2023年一輪復習《等式性質與不等式性質》提升練習(含解析)

2023年一輪復習《2.1等式性質與不等式性質》提升訓

練

-、單選題（本大題共12小題，共60分）

1.（5分）設M=2α（α-2）+3,N=（a+l）（a-3）,aeR,則有（）

A.M>;NB.M≥NC.M<-,ND.M≤N

2.（5分）已知Q>b>c,且Q+b+c=0,則下列不等式一定成立的是

A.ab>beB.ac<beC.∣ab∣>∣bc∣D.?+?>0

3.（5分）若α,b,C為實數，下列結論正確的是（）

A.若Q>b,c>df則ac>bdB.若α<b<O,則q2>ab>b2

C.若α<b<0,貝壯<二D.若α<b<O,則

abab

4.（5分）若實數*b、C滿足α>b>c,則下列不等式正確的是（）

A.α÷&>c

Cab2a2b

C.a?c?>b?c?D.——<——

c2+lc2+l

X-y+1≤0

5.（5分）已知實數X,y滿足%+y-3≥0,則Z=x2÷y?的取值范圍是（）

y—340

A.[5,9]B.[5,13]C.[√5,3]D.[√5,√13]

6.（5分）若a>b>O,c<d<O,則一定有）

A.ac>bdB.ac<bdC.ad<bcD.ad>bc

7.（5分）若不等式α>b與;同時成立,則必有（）

A.a>b>0B0>那C.a>0>bDΣ>I>0

8.（5分）若Q>b,Od,下列不等式正確的是（）

X.c-b>d-aB.ac>bdC.a-c>b-dD.3>-

dc

9.（5分）若a>b>O,且ab=l,則下列不等式成立的是（）

A.?<Iog2（。+&）<α+?B?ɑ÷~<^<IOg2（α+b）

C.a+T<log2（a+h）<?D.Io52（ɑ+b）<a+^<^

10.（5分）若OQbeR）,則下列不等式恒成立的是（）

A.a<bB.α+&>abC.?a?>

?b?D.ab<b2

11.（5分）若a,b,c￡R,a>b,則下列不等式成立的是（）

A.?<?B.a2>b2

C."注2D.α(c2+1)>e(e2+1)

12.(5分)下列不等式一定成立的是

sιnx+-!—≥2

A.<inrB.x2+4≥4∣x∣

112

一十—〉一=S

c.￡(x2+1)>§(2x)D.abJab

二、填空題(本大題共4小題，共20分)

13.(5分)已知久，y都是實數，則好+'?+12(x+y-l)(用>,<,=填空).

14.(5分)已知b克糖水中含有α克糖(b>α>0),再添加小克糖(τn>0)(假設全部溶

解)，糖水變甜了.請將這一事實表示為一個不等式.

15.(5分)已知α+b>0,則￡+*與;+：的大小關系是.

16.(5分)已知α+b>O,則卷■+g與工+:的大小關系是

三、解答題(本大題共6小題，共72分)

17.(12分)試比較下列各組式子的大?。?/p>

(l)α+［和b÷?(ɑ>e>0)；

(2)√x+1-爪和爪—√χ—l(χ>1)；

(3)。3-。肱2ag>0);

(4)x3-2y3和χy2-2x2y(x>y>0).

18.(12分)設α>0,函數f(x)=x-α言+1,g(x)=af(x)+f(-x).

(1)若函數/Q)在R上有兩零點，求ɑ的取值范圍；

(2)若函數g(x)在［-1,1］上有零點，求ɑ的取值范圍.

19.(12分)某企業(yè)新研發(fā)了一種產品，產品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件

產品的非原料成本y(元)與生產該產品的數量χ(千件)有關，經統(tǒng)計得到如下數據：

?12345678

y11261Il..-)3530.5282524

根據以上數據繪制了散點圖，如圖.

現考慮用反比例函數模型y=a+:和指數

函數模型y=ce"分別對兩個變量的關系進行擬合,已求得用指數函數模型擬合的回歸

方程為j=96.54e-02x,Iny與X的相關系數rl=-0.94.

(1)用反比例函數模型求y關于X的回歸方程；

(2)用相關系數判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好(精確到o.oi),并用其估計產量

為io千件時每件產品的非原料成本.參考數據：(其中為=5)

8888

V2∑J

E/yuU2Lufl√O,61×6185.5

i=1-1I=Ii=l

183.40.340.1151.5336022385.561.40.135

20?(12分)已知函數/"(x)=αxex-αx-l(α∈R),若不等式f(x)〉Inx在g,+8)上

恒成立，求實數ɑ的取值范圍.

2L(12分)某服裝店對過去100天其實體店和網店的銷售量(單位：件)進行了統(tǒng)計,

制成頻率分布直方圖如下：

如低店鋪忸/仲

(1)若將上述頻率視為概率，已知該服裝店過去100天的銷售中，實體店和網店銷售量

都不低于50的概率為0.24,求過去IoO天的銷售中，實體店和網店至少有一邊銷售量不

低于50的天數；

（2）若將上述頻率視為概率，已知該服裝店實體店每天的人工成本為500元，門市成本

為1200元，每售出一件利

潤為50元，求該實體店一天獲利不低于800元的概率；

（3）根據銷售量的頻率分布直方圖，求該服裝店網店銷售量的中位數的估計值（精確到

0.01）.

22.（12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD是矩形，P4JL平面ABCO,AP=

AB=2,BC=2√2,E,尸分別是4D,PC的中點,求證：PCI平面BEF.

四、多選題（本大題共5小題，共25分）

23,（5分）若洛>。，則下列正確的選項為

A.2a<2bB.a3>b3C.a2<abD.Inab>1

24.（5分）下列選項中，能推出的為（）

A.α>/?>0B.h<α<0

C.-1<α<0lZ?>1D.α<-LoVbVl

25.（5分）下列選項中描述正確的是（）

A.若Ge?>ZJC2,則必有Q>bB.若Q>匕與2>二同時成立，貝IJab<0

ab

C.若Q>b,則Ina2>1∏62D.若α>b>0,c<d<O,則巴<2

dc

26.（5分）已知α,b,c∈R且OVQVd則下列結論正確的是（）

A.a2<b2B.ab<b2c.-<-D.ac2<bc2

ab

27.（5分）下列結論正確的是（）

A.若α>b>c>O,則￡>：B.若a>b>0,則b?VabVa2

ab

C.若Q>b>0,則以:2>bc2D.若α<b<O,則V<"

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】M-N=2α(α-2)+3-(a+l)(a-3)

=2a2—4a+3-(a2—2a—3)

=a2—2a+6

=(a-1)2+5>;O恒成立,

所以〃>?,N.

故A正確.

2.【答案】B;

【解析】

此題主要考查了不等式的基本性質，屬于基礎題.

a>b>c且a+b+c=O,可得a>0,c<0.再利用不等式的基本性質即可得出.

解：a>b>c且a+b+c=0,當b=0時，顯然A,C錯誤；

因為a>b,c<0,所以ac<bc,B正確；

當a=2,C=—1時，顯然。錯誤.

故選8.

3.【答案】B;

【解析】

這道題主要考查了不等式的基本性質，屬于基礎題.

根據不等式的基本性質，判斷每個選項即可.

解：對于4：取a=2,b=1,c=—1,d=—2,此時ac=bd,故A不正確,

對于B：若a<b<O,K0a2>ab>?2>正確，

對于C：若a<b<O,則三<:，即上,故C不正確，

ababba

對于D：若α<b<O,則α2>∕32,則三>1，即步?故D不正確，

ababba

故選：B.

4.【答案】B;

【解析】

此題主要考查了不等式的性質，考查了推理和計算能力，屬于基礎題.

根據α>b>C判斷每個選項不等式是否正確，錯誤的舉出反例即可.

解：Vα>?>c,

?，?4Q+b>C錯誤，比如一4>—5>—6,得出一4一5V—6；

B.Q-c>/?—c>0,?,?——<――，」.該選項正確；

C.a?c?>b∣c∣錯誤,比如ICl=0時,a?c?=b?c?↑

D.ab2—a2b=ab(h—a),ab(b—Q)=O時，Qb2=小人...券?=高勺...該選項錯誤.

故選：B.

5.【答案】B;

%—y+1≤0

【解析】解：實數X,y滿足x+y—3>0,的可行域如圖所示，其中力(1,2),8(2,3),

.y-3≤0

若目標函數Z=/+必的幾何意義是可行域內的點到坐標原點距離的平方.由圖形可

知僅在點8(2,3)取得最大值，z=4+9=13.4到原點距離最小，Z=1+4=5.

則Z=/+f的取值范圍為[5,13],

故選：B.

根據已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域，再用圖象判斷，求出目標函數的最

大值.

用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關

鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組(方程組)尋求

約束條件，并就題目所述找出目標函數.判斷幾何意義，最后比較，即可得到目標函

數的最優(yōu)解.

6.【答案】B;

【解析】略

7.【答案】C;

【解析】解：?.一>:，?.?Y>0,

abab

又,：a>b,b~a<0.

???ab<0.

.?.a>0>b.

故選C.

利用不等式的性質即可得出.

此題主要考查了不等式的性質，屬于基礎題.

8.【答案】A;

【解析】

此題主要考查了不等式性質及其大小比較，考查學生的計算能力，屬于基礎題.

根據不等式的性質即可依次解出.

解：由題意，因為α>b,

所以—a.<—b>即—b>—cι>

又因為C>d,

所以C—b>d—a,

故選4

9.【答案】A;

【解析】解：ɑ>b>0,且ab=l,

二可取α-2,6=

則α+[=4,?=?,Iog2(ɑ+fe)=Iog21∈(1,2),

α

V<ιθg2(+?)<ɑ+?-

故選：4

a>b>0,且ab=l,可取α=2,b=*代入計算即可得出大小關系.

該題考查了函數的單調性、不等式的解法與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于

中檔題.

10.【答案】D;

【解析】

此題主要考查不等式的性質，由已知得ab>0,然后利用不等式的性質求解即可.

解：?.q<3<0(α,b∈R),

???ab>0,

則Lab<Lab,即b<a,

ab

又b<O,

所以兩邊都乘b，得b2>ab.

b<a,α+b<ab,網>∣α∣,故ABC錯誤.

故選D.

11.【答案】D;

【解析】

此題主要考查不等式的概念和不等關系，根據不等式的性質解題即可.

a>b,c2+1>0,因此ɑ(e?+1)>"C?+1),D選項正確,

a=1,b=—1時，可判斷4B,C錯誤.

故選0.

12.【答案】B;

【解析】

該題考查不等式大小的比較，不等式大小比較是高考中的常考題，類型較多，根據題

設選擇比較的方法是解答該題的關鍵.

sιnx+-≥2

解：A選項不成立，這是因為正弦值可以是負的，故不一定能得出Gnr；

X2+4x≥4∣x∣(IXI一2)—θ

B選項是正確的，這是因為(x∈∕?)<≠>；

C選項不成立，當X=I時，不等式兩邊不相等；

。選項不成立，當a=b=l時，不等式兩邊不相等.

故答案選：B.

13.【答案】>;

【解析】解：?.?x,y都是實數，

且*2+y2+1—2(X+y-1)=X2+y2+1—2x—2y+2=(x—I)2+(y—I)2+1≥

1>0,

.?.X2+y2+1>2(x+y-1).

故答案為：>.

直接利用作差法比較兩個對數式的大小.

此題主要考查利用作差法比較兩個對數式的大小，是基礎題.

14.【答案】產〉?；

b+mb

【解析】

本小題主要考查不等式、不等式的應用等基礎知識，基礎題.

bg糖水中有ag糖(b>α>O),若再添mg糖(τn>O),濃度發(fā)生了變化，只要分別寫出

添糖前后的濃度根據題意可得不等式.解：???bg糖水中有ag糖，

糖水的濃度為：g

b

bg糖水中有ag糖(b>Q>0),若再添mg糖(7H>0),

則糖水的濃度為：產；

b+m

又糖水變甜了，說明濃度變大了，

.a+τna

**?~b+m>7b,

故答案為產>I

b+mb

?Λ1

-

++-

15.【答案】匕

b2α2

【解析】此題主要考查不等式大小的比較，利用做差法即可比較大小，屬于基礎題.

Vα÷b>O,(α—6)2>0,

(ɑ+b)(α-b~)2

,?而》0,

ab11

.?亨+滔1+京

16.【答案】?+?≥-÷?;

b2aiab

【解析】

此題主要考查了不等式比較大小，屬于較易題.

作差化簡整理即可得結果.

解：?+?^?+?

a—bb-a

b2+~^~

11

=(ai)??i-)

_(ɑ+b)(α-b)2

a+b>0,(α-b)?≥0,

(ɑ+b)(α-b)2

a2b2

故答案為怎+芻》工+1.

bla2ab

17.【答案】解：⑴α+/(b+”爐管%

Vα>b>0,α—&>0,ab>0,1+ab>0,

.?.(aw。+")>0,

ab

J?Q+1>bd—.

(2)√x+1-Vx=焉+v7

由于√%+1+√x>√x-1+√x>0,

故√x+1—√x<√%—√x—1;

(3)當Q=1時，α3^α=α2a=1;

當Q>l時，y=Q”為增函數，且3-。<2a,因此Cp-aVq2a；

當0<a<1時,y=α”為減函數，且3-a>2a,因此<α2a;

綜上，α3^α≤α2a;

(4)由題意,知(爐-2y3)-(Xy2一2x2y)=x3-xy2+2x2y-2y3

=x(x2—y2)+2y(x2—y2)=(x2—y2)(x+2y)=(%—y)(x÷y)(%÷2y);

V%>y>0,?,?X-y>0,x+y>0,%+2y>0,

?(x3-2y3)-(xy2-2x2y)>0,

即/一2y3>xy2-2x2y.;

【解析】此題主要考查代數式大小的比較方法，屬于基礎題.

(1)作差的+》=絲誓也，確定差的符號即可；

-1根據不等式的性質比較大小.

(2)√x+1-√x=f√x-√x-1=τr-?=,

\/√x+l+√x√x+√x-l

(3)討論Q的取值，分別比較即可.

(4)根據作差法可得Q3一2y3)-(xy2-2x2y)>0,可得結果.

18.【答案】解:(1)由題意可知聲=凳,令h(x)=晝,h(X)=G,x=l,

e2￠22e2

九τnα%(x)=7,xτ+8,h(x)->0,h(-1)=0,x→-8時,h(x)f8,故a∈(0,-=).

?√eV7e

X__x

(2)當a>l時,g(x)=ax?Q2e5+a?x?Qe~i+l<ax?<ax-

<∕ax-

X_XX_x

αe2+a-x-αe^2+l=(a-1)x-a(e2+e^2)+a+1<(a-1)x-2a+a+1≤

a-l-2a+a+l=0,所以g(x)在［-1,1］上有零點,則a≤l;

XX

g,(x)=a-Je<l+4=2αe2-α0空±?,令g<χ)=(),則整理化簡。2。*+2(1-

x

22eoz>7

X

a)β≡-a=O,

所以關于藍的二次方程兩個根為一個正根e關一個負根,而負根舍去,

故g(x)在［-1,1］上的單調性為先增后減,且g(0)=-α2+a-a+l>0,

所以要保證有零點只需保證瓶譏{g(-l),g(l)}≤0,

g(l)=a-√βα2+a-l-?+I=-√βα2+(2-?^)a,

g(-1)=-a-^=÷a+1-a?/e+1^-a√β+2,

g(-l)-g(l)=(a-l)［(√^-?a-2l>^

Ve

所以,只需考慮g(1>-√Fα2+(2-^)a≤0=>a≥二,所以a∈［^∣=i,l］.;

【解析】略

19.【答案】解：⑴令u=3則y=a+?轉化為y=a+bu,因為產拶=45,所以

XXO

b=∣Hg嘿若懸黑等=懸=IOO,則展=y；345-100x0.34=l1,所以，=11+10OU,所以

乙［二］cZ￡OtZ1.53o^v?11?0?Ox

y關于X的回歸方程為y=ll型.

∑L"i%-8即61

(2)y與;的相關系數為「2=$\frac$-≈0.99.因為

J(∑L垃-8*2)(∑L*-8")vo?61×6185?5

IrlKIr2∣,所以用反比例函數模型擬合效果更好,當x=10時，=黑+11=21(元),所以當產量

為10千件時,每件產品的非原料成本為21元

【解析】略

20.【答案】解:令g(x)=αxe*-ax-lnx-l,貝!jg'(x)=a(%eX+eX)-a-1,

設-口。)=磯3。+靖。)-α4=。,消去a,得到(χ0+i)e和眸+沏1罹。=。，

x

g(%o)=ax0e0—QXo—Inx0—1=0.

解得e*。=■即XO=-InXo),Xo€(；』)為極小值，

×02

此時a=l,故a>l,下證充分性，

當a≥l時,令g(x)=h(a)=ax(ex-l)-lnx-l在［1,+8)上單調遞增，

所以g(x)=ax(e*.l)-InX-l>x(e*-l)-lnx-l,令k(x)=x(ex-1)-lnx-1,

k(x)=e*-l+xe*-}=(x+l)("：),設k,(x)=O,

則e*=；令解為%］,所以k(x)=k(x)=x(exι-l)-lnx-1=x(?-1)-(-x)-1=0,^f以k(x)≥O,

X7nin111Xi1i

即當a》l時,g(x>O恒成立.；

【解析】略

21.【答案】解:(1)由題意知,網店銷售量不低于50,共有

(0.068+0.046+0.010+0.008)x5x100=66(天)，

實體店銷售量不低于50洪有(0.032+0.020+0.012x2)x5x100=38(天),

實體店和網店銷售量都不低于50的天數為100×0.24=24,

故實體店和網店至少有一邊銷售量不低于50的天數為66+38-24=80.

(2)由題意,設該實體店一天售出X件,則獲利為(50x-1700沅,50x-1700》800=x》50.

設該實體店一天獲利不低于800元為事件A,

貝IJP(A)=P(x>50)=(0.032+0.020+0.012+0.012)×5=0.38.

故該實體店一天獲利不低于800元的概率為0.38.

(3)因為網店銷售量頻率分布直方圖中,銷售量低于50的直方圖面積為

(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,

銷售量低于55的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044+0.068)x5=0.68>0.5,

所以網店銷售量的中位數的估計值為50度魯×5≈52.35.;

0.34

【解析】略

22.【答案】證明:因為PAJ_平面ABCD,所以PAlBE,PAlBA,

又因為底面ABCD是矩形,且AP=AB=2,BC=2√Σ,E,F分別是AD,PC的中點，

所以BP=2√Σ,BE1AC,所以BFlPC,

因為PAnAC=A,所以BEl平面PAC,

所以BEIPC,又因為BEnBF=B,所以PCL平面BEF.;

【解析】略

23.【答案】AC;

【解析】【試題解析】

［分析］

此題主要考查不等式的性質，屬于基礎題。根據不等式的性質逐項進行判斷即可求解。

［解答］

解：由工><>0得b>α>0,則2。<2〃正確，故A正確；

令Q=O.3,b=0.4可得MV廬，故B錯誤；

因為b>a>0且Q>0,故a2<ab,故C正確；

令α=0.3,b=