2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)練習(xí)：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（附答案解析）

2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)：2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

一.選擇題(共5小題)

1.圓/+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線4x+y-1=0的距離為√Σ,貝IJa=()

A.0或-1B.0C.7D.-1或7

2.已知直線/：x+ay-1=0Ca為實(shí)數(shù))是圓C：/+)?-6x-2y+?=0的對稱軸，過點(diǎn)力(-

4,a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為P,則∣∕?∣=()

A.2B.4√3C.7D.2√10

3.當(dāng)。為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(α-1)χ-y+l=0恒過定點(diǎn)C,則以C為圓心，遍為半徑的

圓的一般方程為()

A.x2+y2+4γ+5=0B.x2+y2+4y-5=0

C.√+√-2γ-5=0D.√+γ2-2y+5=0

4.已知圓O：x2+y2-ri(r>0),設(shè)直線/：x+2y-8=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A,B,若

圓。上存在點(diǎn)P滿足HPl=IB尸則r的最小值為()

6V56-

A.-----B.-C.2VSD.3

55

5.圓(x+l)2+(>-2)2=1與X軸的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切C.相離D.不確定

二.填空題(共4小題)

6.若直線/過A(0,5),且被圓C：Λ2+)2+4X-12y+24=0截得的弦長為4√1則直線/方

程為.

7.已知圓/+y2-6x=0,過點(diǎn)(1,2)的直線被該圓截得的弦的長度的最小值為.

8.已知直線0r+y-2=0與圓C：(X-I)2+(y-α)2=4相交于A,B兩點(diǎn)，且aABC為

等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)〃的值為.

9.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，若圓(χ-2)2+(y-2)2=1上存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)M關(guān)于X

軸的對稱點(diǎn)N在直線區(qū)+y+3=0上，則實(shí)數(shù)人的最大值為.

三.解答題(共3小題)

10.已知直線/：ax+(2-α)y+l=0.

(I)若直線/在X軸上截距和在y軸上截距相等，求”的值；

(II)若直線/與圓(X2+(丁一》2=之相切，求〃的值.

??.己知圓C的圓心在直線/:Zr-y-3=0上，且過點(diǎn)4(5,2)和點(diǎn)8(3,-2).

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求過點(diǎn)D(-1,2)的圓C的切線方程.

12.設(shè)圓C的半徑為r,圓心C是直線y=2r-4與直線y=x-1的交點(diǎn).

(I)若圓C過原點(diǎn)O,求圓C的方程；

(II)已知點(diǎn)4(0,3),若圓C上存在點(diǎn)M,使IMAI=2∣Mo求r的取值范圍.

2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)：2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

參考答案與試題解析

選擇題(共5小題)

1.圓/+/-2χ-8y+13=0的圓心到直線Or+)，-1=0的距離為√Σ則α=()

A.0或-1B.0C.7D.-1或7

【解答】解：圓/+/-標(biāo)-8)，+28=0的圓心。(1,4),

：圓?+/-2x-8>+13=0的圓心到直線ax+y-1=O的距離為√Σ,

.??7T?=瓜

√Q2+12

解得〃=7或a=-1.

故選：D.

2.已知直線/：x+ay-1=0(?為實(shí)數(shù))是圓C-√+√-6x-2y+?=O的對稱軸，過點(diǎn)A(-

4,a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為P,則∣∕?∣=()

A.2B.4√3C.7D.2√10

【解答】解：由直線為圓的對稱軸可得圓心在直線/上，

由圓的方程可得圓心C(3,1),半徑r=3,

所以3+α-1=0,解得a=-2>

所以A(-4,-2),

可得IACI=λ∕(3+4)2+(1+2)2=√49+9=√58,

圓心到直線的距離d=r=3,

所以HPI=√∣ΛC∣2-r2=√58-9=7,

故選：C.

3.當(dāng)“為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(4-1)χ-y+l=O恒過定點(diǎn)C,則以C為圓心，病為半徑的

圓的一般方程為()

A.x2+y2+4y+5=0B.x2+y2+4y-5=0

C./+y2-2y-5=0D.x1+y2-2y+5=0

【解答】解：根據(jù)題意，直線(0-1)X-y+l=0即ax-(x+y-1)=0,恒過定點(diǎn)(0,

1),

則C的坐標(biāo)為(0,1),

則要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為7+(y-1)2=6,變形可得x2+y2-2y-5=0,

故選：C.

4.已知圓O：W+/=/(r>0),設(shè)直線/：x+2y-8=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A,B,若

圓。上存在點(diǎn)尸滿足HPl=IBPl,則r的最小值為()

6√56L

A.——B.-C.2√5D.3

55

【解答】解：不妨設(shè)點(diǎn)A是直線/：x+2y-8=0與X軸的交點(diǎn)，

令y=0,解得x=8,故4(8,0),

設(shè)點(diǎn)B是直線/：x+2y-8=0與y軸的交點(diǎn)，

令X=0,解得y=4,故B(0,4),

設(shè)P(x,?),

若點(diǎn)P滿足HPI=IB尸|,則J(X—8)2+(y—0)2=收-0)2+(y—4)2,整理可得，2χ

-y-6=0,即點(diǎn)尸的軌跡為直線2x-y-6=0,

依題意可得，圓O:X1+y2=ι2(r>0)與直線2χ-y-6=0有公共點(diǎn)P,

故圓O與直線2x-y-6=0相交或相切，

故圓心0(0,0)到直線2χ-y-6=0的距離dW八即粵上粵≤r,解得-≥弊，

“√22+(-l)25

6√5

故/?的最小值為

故選：A.

5.圓(x+l)2+(y-2)2=1與X軸的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【解答】解：圓(x+1)2+(j-2)2=1的圓心坐標(biāo)為(-1,2),半徑為1,

圓心(-1,2)至IJX軸的距離d=2>l,

圓(X+1)2+(y-2)2=1與X軸的位置關(guān)系是相離.

故選：C.

二.填空題(共4小題)

6.若直線/過A(0,5),且被圓C：/+)2+4χ-12y+24=0截得的弦長為48，則直線/方

程為X=O或3x-4y+20=0..

【解答】解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X+2)2+(y-6)2=16,d=J16-(2√3)2=2,

當(dāng)斜率不存在時(shí)，方程為X=0；

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-5=依，d=-"+5∣=2,解得∕c=去

Jk+(T)

故直線方程為3x-4y+20=0.

即所求直線I的方程為x=0或3x-4y+20=0.

故答案為：X=O或3χ-4y+20=0.

7.已知圓/+y2-6x=0,過點(diǎn)(1,2)的直線被該圓截得的弦的長度的最小值為2.

【解答口解：由圓的方程可得圓心坐標(biāo)C(3,0),半徑r=3;

設(shè)圓心到直線的距離為“，則過。(1,2)的直線與圓的相交弦長HBl=2√r2-d2,

當(dāng)d最大時(shí)弦長HBl最小，當(dāng)直線與CD所在的直線垂直時(shí)d最大，這時(shí)J=ICDI=

√(3-I)2+(0-2)2=2√2,

所以最小的弦長HB∣=2J32-(2√2)2=2,

故答案為：2.

8.已知直線Or+y-2=0與圓C：(x-1)2+(y-α)2=4相交于A,8兩點(diǎn)，且AABC為

等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)。的值為，±遮_.

【解答】解：由圓的方程可得圓心C(1,?),半徑r=2

可得圓心到直線的距離d=畢芻，

Jl+α2

又因?yàn)閍ABC為等腰直角三角形，則d=孝r=√2,

所以√I=畢芻，整理可得：J-4α+l=0,

Jl+a2

解得:α=2±√3,

故答案為：2±V5.

9.在平面直角坐標(biāo)系XO)，中，若圓(χ-2)2+(y-2)2=1上存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)M關(guān)于X

軸的對稱點(diǎn)N在直線fcc+y+3=0上，則實(shí)數(shù)A的最大值為0.

【解答】解：M在圓上，故設(shè)M(2+cos0,2+sinθ),

可得N(2+cosθ,-2-sinθ),將N的坐標(biāo)代入kx+y+3=0,

可得sinO-"os8=2A+l,∣2fc+l∣≤√fc2+l,化為得3廿+4卜≤0,-j≤k≤O,

k的最大值為0.

故答案為：0.

≡.解答題(共3小題)

10.已知直線/：cιx+(2-Q)y+l=0.

(I)若直線/在X軸上截距和在y軸上截距相等，求。的值;

(II)若直線/與圓(%-芥+@-扔=/相切,求「的值.

【解答】(I)易知直線/的截距不能為0,

11

令X=O,y=^^2≡α,令y=。，X=一￡；

11

則_H=_『a=l；

(II)圓心?，當(dāng)?shù)街本€/的距離d=呼+入2-砂+1|=1

22ja2+(2-α)2區(qū)

41

整理，得一;-------=-=>a2-2a-8=0n<∕=4或a--2；

2α2-4α+45

11.己知圓C的圓心在直線/：2χ-y-3=0上，且過點(diǎn)A(5,2)和點(diǎn)8(3,-2).

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求過點(diǎn)O(-1,2)的圓C的切線方程.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，要求圓的圓心在直線2χ-y-3=0上，

則設(shè)圓心CCa,2a-3),半徑為r,

則圓的方程為(x-a)2+(y-2a+3)2=r,

把點(diǎn)A(5,2)和點(diǎn)B(3,-2)的坐標(biāo)代入方程，

得(5-α)2+(2-24+3)2=J①，(3-“)2+(-2-2α+3)2=/②,

由①②可得：a=2,尸=10

故所求的圓的方程為(χ-2)2+(?-I)2=10;

(2)根據(jù)題意，所求的圓的方程為(χ-2)2+(y-1)2=10；

點(diǎn)。(-1,2)滿足(-1-2)2+(2-1)2=10,則D在圓上，

,2