第六章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)2

16.1.8頻率變換與高通、帶通及

帶阻濾波器設(shè)計(jì)

高通、帶通及帶阻濾波器的幅頻特性曲線及邊界頻率示意圖

(a)高通濾波器(b)帶通濾波器(c)帶阻濾波器2設(shè)計(jì)高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是:①通過頻率變換公式，先將希望設(shè)計(jì)的濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的歸一化低通原型濾波器指標(biāo)；②設(shè)計(jì)相應(yīng)的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Q(p)；③對Q(p)進(jìn)行頻率變換得到希望設(shè)計(jì)的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。

3符號(hào)規(guī)定希望模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)歸一化低通濾波器原型頻率變換公式于是41.模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)低通原型到高通濾波器的頻率變換在虛軸上高通濾波器通帶邊界頻率115例6.1.6

設(shè)計(jì)巴特沃思模擬高通濾波器,通帶邊界頻率為fp=4kHz，阻帶邊界頻率為fs=1kHz，通帶最大衰減為0.1dB（fp處），阻帶最小衰減αs=40dB。解：高通濾波器指標(biāo)1）確定相應(yīng)低通原型濾波器的指標(biāo)62)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。確定階次N：可得N按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。7歸一化的5階濾波器的系統(tǒng)函數(shù)3）高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)8closeall;clear;wp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[B,A]=butter(N,wc,'s');wph=2*pi*4000;%高通模擬濾波器通帶邊界頻率[BH,AH]=lp2hp(B,A,wph)[H,W]=freqs(BH,AH);plot(W/2/pi,20*log10(abs(H)))grid9BH=1.00001.9438e-12-5.5146e-059.59394.56071.9485e-03AH=1.00005.1073e+041.3042e+092.0584e+132.0078e+179.7921e+20nb-1nb-2B(s)b(1)s+b(2)s+...+b(nb)H(s)=----=-------------------------------------na-1na-2A(s)a(1)s+a(2)s+...+a(na)1011%直接設(shè)計(jì)巴特沃思高通濾波器closeall;clear;wp=2*pi*4000;ws=2*pi*1000;Rp=0.1;As=40;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[BH,AH]=butter(N,wc,'high','s');[H,W]=freqs(BH,AH);plot(W/2/pi,20*log10(abs(H)))grid12BH=100000AH=1.0000e+0005.1073e+0041.3042e+0092.0584e+0132.0078e+0179.7921e+020nb-1nb-2B(s)b(1)s+b(2)s+...+b(nb)H(s)=----=-------------------------------------na-1na-2A(s)a(1)s+a(2)s+...+a(na)132.低通到帶通的頻率變換:低通原型到帶通濾波器的頻率變換在虛軸上通帶邊界頻率：上邊界頻率下邊界頻率帶通濾波器的帶寬帶通濾波器的中心頻率14映射關(guān)系15減少，或增加減少，或增加帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以證明：如給定邊界頻率不滿足該條件，改變參數(shù)，提高指標(biāo)16例6.1.7：設(shè)計(jì)巴特沃思模擬帶通濾波器，通帶上下邊界頻率分別為4kHz和7kHz，阻帶上、下邊界頻率分別為2kHz和9kHz，通帶內(nèi)最大衰減αp=1dB，阻帶最小衰減αs=20dB。clear;closeall;wp=2*pi*[4000,7000];ws=2*pi*[2000,9000];Rp=1;As=20;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[B,A]=butter(N,wc,'s');[H,W]=freqs(B,A,1000);plot(W/2/pi,20*log10(abs(H)))grid173.低通到帶阻的頻率變換:阻帶邊界頻率：上邊界頻率下邊界頻率帶阻濾波器的帶寬帶阻濾波器的中心頻率18低通原型到帶阻濾波器的頻率變換在虛軸上阻帶邊界頻率：上邊界頻率下邊界頻率帶阻濾波器的帶寬帶阻濾波器的中心頻率19減少，或增加減少，或增加帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以證明：如給定邊界頻率不滿足該條件，改變參數(shù)，提高指標(biāo)20例6.1.8：分別設(shè)計(jì)巴特沃思和橢圓模擬帶阻濾波器，阻帶上下邊界頻率分別為4kHz和7kHz，通帶上、下邊界頻率分別為2kHz和9kHz，通帶內(nèi)最大衰減αp=1dB，阻帶最小衰減αs=20dB。clear;closeall;ws=2*pi*[4000,7000];wp=2*pi*[2000,9000];Rp=1;As=20;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[B,A]=butter(N,wc,'stop','s');[H,W]=freqs(B,A,1000);plot(W/2/pi,20*log10(abs(H)))grid21clear;closeall;ws=2*pi*[4000,7000];wp=2*pi*[2000,9000];Rp=1;As=20;[N,wc]=ellipord(wp,ws,Rp,As,'s');[B,A]=ellip(N,Rp,As,wc,'stop','s');[H,W]=freqs(B,A,1000);plot(W/2/pi,20*log10(abs(H)))grid226.2IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)目標(biāo)：滿足給定頻率響應(yīng)指標(biāo)、因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)間接法設(shè)計(jì)過程確定數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成過渡模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器將過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器23過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的要求保證因果穩(wěn)定性，Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射成H（z）后保持不變，即S平面的左半平面Re{S}＜0應(yīng)映射到Z平面的單位圓以內(nèi)|Z|<1。

H（z）的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即S平面的虛軸應(yīng)映射到Z平面的單位圓上。設(shè)計(jì)模擬Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字H(z)246.2.1脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

基本思想使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波的特性；從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的采樣值，即

方法25（1）濾波器系統(tǒng)函數(shù)（單階極點(diǎn)、分母階次高于分子階次部分分式）（2）模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)（3）采樣（4）Z變換26下面分析脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換性能：

s平面到z平面的極點(diǎn)映射關(guān)系:，用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)時(shí)，整個(gè)s平面到z平面的映射關(guān)系為

設(shè)

則

所以

ω=

T

27其中，式ω=

T

表明：

數(shù)字頻率與模擬頻率之間是線性關(guān)系，這是脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)之一。由式可知：

=0時(shí)，r=1，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓；

<0時(shí)，r<1，s平面的左半平面映射為z平面的單位圓內(nèi)；

>0時(shí)，r>1，s平面的右半平面映射為z平面的單位圓外。28模擬系統(tǒng)因果穩(wěn)定，其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的所有極點(diǎn)位于s平面的左半平面，按照上述結(jié)論，這些極點(diǎn)全部映射到z平面單位圓內(nèi)，因此，數(shù)字濾波器H(z)也因果穩(wěn)定。因?yàn)閔(n)=ha(nT)，根據(jù)時(shí)域采樣理論得到代入ω=

T得到

上面兩式說明，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓函數(shù)。

29所以，如果模擬濾波器具有帶限特性，而且T滿足采樣定理，則數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)完全模仿了模擬濾波器頻率響應(yīng)。這是脈沖響應(yīng)不變法的最大優(yōu)點(diǎn)。但是，一般模擬濾波器不是帶限的，所以實(shí)際上總是存在頻譜混疊失真30由上圖可見，頻譜混疊失真會(huì)使數(shù)字濾波器在ω=

附近的頻率響應(yīng)偏離模擬濾波器頻響特性曲線，混疊嚴(yán)重時(shí)可使數(shù)字濾波器不滿足阻帶衰減指標(biāo)。所以，脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器，這是脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)。31與模擬濾波器頻率響應(yīng)增益相比，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)增益增加了常數(shù)因子1/T。所以，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)增益會(huì)隨采樣周期T變化，特別是T很小時(shí)增益很大，容易造成數(shù)字濾波器溢出。所以，工程實(shí)際中采用以下實(shí)用公式這時(shí)

使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)增益與模擬濾波器頻響增益相同，符合實(shí)際應(yīng)用要求。增益補(bǔ)償(6.2.12)32例6.2.1：

二階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

試用脈沖響應(yīng)不變法將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)，并對不同的采樣周期T，觀察頻譜混疊失真現(xiàn)象。解:

采用待定系數(shù)法將Ha(s)部分分式展開。Ha(s)的極點(diǎn)為因此解得33按實(shí)用公式，即式（6.2.12）得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為式中34當(dāng)T分別取0.2s,0.1s和0.05s時(shí)，模擬濾波器和數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線如下圖所示模擬頻率（Hz）數(shù)字頻率（rad）(a)模擬濾波器頻響曲線(b)數(shù)字濾波器頻響曲線顯然，采樣周期T越大，頻譜混疊失真越嚴(yán)重，與差別越大。所以，脈沖響應(yīng)不變法不能用于將模擬高通和帶阻濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通和帶阻濾波器。35例6.2.2

用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，要求通帶和阻帶具有單調(diào)下降特性，指標(biāo)參數(shù)如下:因?yàn)橥◣Ш妥鑾Ф季哂袉握{(diào)下降特性，所以應(yīng)該使用巴特沃思濾波器。36T=1;wp=0.2*pi/T;ws=0.35*pi/T;rp=1;rs=10;[N,wc]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s');[B,A]=butter(N,wc,'s');[Bz,A