平行四邊形與多邊形（6個知識點）-中考復(fù)習(xí)講義及練習(xí)（解析版）

第五部分四邊形

專題17平行四邊形與多邊形（6大考點）

核心考點一平行四邊形的判定

核心考點二平行四邊形的性質(zhì)

核心考點三平行四邊形中的折疊問題

核心考點

核心考點四平行四邊形中的動點問題

核心考點五平行四邊形的綜合性問題

核心考點六多邊形及其性質(zhì)

新題速遞

核心考點一平行四邊形的判定

O氟題答究

例R（2022.湖南益陽?統(tǒng)考中考真題）L如圖，在。4BCD中，A8=8,點E是AB上一點，AE=3,連接

DE,過點C作CF〃QE,交AB的延長線于點F,則BF的長為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知CQ=AB=8,由AE=3,可得8E的長，再判定四邊形DEFC是平行

四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得EF的長，由BF=EF-BE,即可求出BF.

【詳解】解：；在口ABC。中，AB=S,

二CO=AB=8,AB//CD,

；AE=3,

.,.BE=AB-AE^5,

,JCF//DE,

.?.四邊形DE尸C是平行四邊形，

.*.DC=EF=8,

：.BF=EF-BE=?,-5=3.

故選：C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及判定，能夠熟練運用平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.

畫W（2021?黑龍江牡丹江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABeQ中，AB=DC,請?zhí)砑右粋€條件，使四

邊形ABC。成為平行四邊形，你所添加的條件為（寫一個即可）.

【答案】48〃￡>C（答案不唯）

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定條件解答即可.

【詳解】解：；AB=Z）C,

再力口AB〃￡）C,

.?.四邊形48CO是平行四邊形，

故答案為：AB〃OC（答案不唯一）

【點睛】本題考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

甌（2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）如圖,在四邊形ABCO中，AC與8。交于點。，BEJ.AC,OF上AC,

垂足分別為點E,F,且BE=DF,ZABD=ZBDC.求證：四邊形ABCz）是平行四邊形.

【答案】見解析

【分析】結(jié)合已知條件推知A8〃8；然后由全等三角形的判定定理AAS證得ΔA8EgACDF,則其對應(yīng)

邊相等：AB^CD-,最后根據(jù)“對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論.

【詳解】證明：ZABD=ZBDC,

.?.AB∕∕CD.

:.NBAE=NDCF.

在MBE1J?CDF中,

NBAE=NDCF

<NAEB=NCFD=90。.

BE=DF

:.ΔABE^CDF（AAS）.

AB=CD.

.??四邊形ABC。是平行四邊形.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的

判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

厚命題內(nèi)確

平行四邊形的判定定理：

1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

特別說明：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個平行四

邊形時，應(yīng)選擇較簡單的方法.

（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).

,曾日惻繚

【變式1】（2021?河北邯鄲?一模）如圖，在平行四邊形ABC。中，點E,F分別在AB,CO上，S.AE=CF.求

證：DE=BF.以下是排亂的證明過程：

φ":AE=CF,：.BE=FD；

②Y四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD；

③；.DE=BF,

④；?四邊形EBFO是平行四邊形.

證明步驟正確的順序是（）

DF

C

?-----------E------------B

A.①一②?→③?→④B.①一④—②一■③C.②-÷①—》④—③D.②—>④―①-÷③

【答案】C

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AB=C。，AB//CD,再證BE=FD,得四邊形￡8FQ是平行四邊形，即可

得出結(jié)論.

【詳解】解：；四邊形ABCO是平行四邊形，

.".AB^CD,AB//CD,

?"AE^CF,

：.BE=FD,

：.四邊形EBFD是平行四邊形，

：.DE=BF,

則證明步驟正確的順序是②T①T④T③，

故選：C.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【變式2］（2021?山東青島?一模）如圖，將矩形ABC。沿BE,。尸折疊，使點A,C的對應(yīng)點4,C分別落

在對角線8。上，連接EK交8。于點O.若A8=6,AD=S,則OE的長度是（）

A.√5B.√10C.2√5D.2√10

【答案】B

【分析】首先通過ASA證明AABE絲Z?CE>F,得AE=CE可得四邊形BFDE是平行四邊形，在Rf及43￡）中，

由勾股定理得：βD=∣O,得OC=5,在RfA43E中，由勾股定理得：A'E2+42=（8-Λ,E）2,解得：A1E=

3,再利用勾股定理求OE即可.

【詳解】解：：四邊形ABCo是矩形，AB=6,AO=8,

o

ΛZA=ZC=90,AB//CD,AD//BC,AD=BC=8,AB=CD=6f

e

..ZABD=ZCDBf

???將矩形45Co沿BE,QF折疊，使點A,。的對應(yīng)點W,C分別落在對角線3。I

JNABE=NEBD=LNABD,ZCDF=ZFDB=-ZCDB,

22

JZABE=ZCDFf

??ABE??CDFφ,

ZA=ZC

AB=CD,

/ABE=NCDF

：.∕?ABACDF(ASA),

：?AE=CF,

.'.AD-AE=BC-CF,

：.DE=BFt

'：AD//BC,

???四邊形汨是平行四邊形，

二OD=OB,

在mAABD中，由勾股定理得：BD=y]AB2+AD2=√62+82=10?

.?.0D=-BD=5,

2

o

由折疊性質(zhì)可得：48=48=6,ZBAT=ZA=W1

ΛZEA'D=90o,A1D=BD-A,B=10-6=4,

ΛOA,=OD-A,D=5-4=1,

1

由折疊性質(zhì)得：AE=AE9

1,

：.DE=AD-AE=AD-AE=S-AEt

在心AYQE中，由勾股定理得：

ΛA,E2÷42=(8-AE)2,

解得：Λ,E=3,

在即"?！曛校晒垂啥ɡ淼茫篛E=SAn+=爐Kr=M?

故選：B.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),

勾股定理等知識，靈活運用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵.

k

【變式3】(2022?山東泰安?統(tǒng)考一模)如圖，反比例函數(shù)尸一(fc>0)的圖象與直線AB交于點4(2,4),

X

直線AB與X軸交于點8(4,0),過點B作X軸的垂線BC,交反比例函數(shù)的圖象于點C,在平面內(nèi)存在點

使得以A,B,C,。四點為頂點的四邊形為平行四邊形，則點。的坐標(biāo)是

【答案】（2,2）或（2,6）或（6,-2）

Q

【分析】山圖象過點A求出反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=9,進(jìn)而求出點C坐標(biāo)(4,2),利用中點公式求點。

X

的坐標(biāo).

k

【詳解】解：???反比例函數(shù)y=-(?>0)的圖象與直線交于點42,4)

X

.,.?=2×4=8

Q

???反比例函數(shù)解析式為y=9

X

：點8(4,0),BCLx軸，交反比例函數(shù)的圖象于點C

.?.當(dāng)jr=4時，y=2

即點C的坐標(biāo)為(4,2)

令點。的坐標(biāo)為(χ,y)

2+4=4+x

①當(dāng)48,CO為對角線時

4+0=2+y

解A，得k（x=2

，點Q的坐標(biāo)為(2,2)

2+4=4+%

②當(dāng)4C,8。為對角線時

4+2=0÷y

X=2

解得

y=6

.?.點。的坐標(biāo)為（2,6）

2+x=4+4

③當(dāng)A￡>,BC為對角線時

4+y=0+2

???點。的坐標(biāo)為（6,-2）

綜上可知，點。的坐標(biāo)為（2,2）或（2,6）或（6,-2）

故答案為：（2,2）或（2,6）或（6,-2）.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，求兩函數(shù)的交點坐標(biāo)，利用中點公式分情況求構(gòu)成

平行四邊形的點坐標(biāo).

【變式4］（2022?遼寧鐵嶺?統(tǒng)考一模）如圖，將邊長為4的等邊，ΛBC沿射線8C平移得到.QEF,點M,

N分別為AC,。尸的中點，點尸是線段MN的中點，連接R4,PC.當(dāng)為直角三角形時，BE=.

【答案】4或8

【分析】分NAPC=90。和NACP=90。兩種情形求解即可.

【詳解】如圖1,當(dāng)NAPC=90。時,

'：AM=MC,AC=4,

."M是△/!PC斜邊上的中線,

：.AM=CM=PM=I,

：.PN=2,

.?.MN=4,

故將AABC向右平移4個單位即可，

.*.8E=4：

如圖2,當(dāng)∕ACP=90。時，

丁AABC是等邊三角形，AM=MC,

：.ZBMC=90o,

：.NBMC=NACP,

；.BM〃CP,

???△ABC是等邊三角形，4DEF是等邊三角形，M,N分別是AC,CF的中點,

二NACB=NDFE=60o,CM=NF,

：.MC〃NF,

：.四邊形MCFN是平行四邊形，

：.MP〃BC,

：.四邊形BCPM是平行四邊形，

；.PM=4,

.?.PN=4,

：.MN=3,

故將AABC向右平移8個單位即可，

.?.BE=8;

故答案為：4或8.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平移的基本規(guī)律，

熟練掌握平移的基本特點，靈活運用等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式5］（2022?江蘇蘇州?蘇州市振華中學(xué)校?？寄M預(yù)測）（1）如圖1,點E,F均在正方形ABCr）內(nèi)

部，且BE=EF=FD=2,NE=NF=90。.

①求證：四邊形BEf獷是平行四邊形；

②求正方形ABC。的邊長；

(2)如圖2,點E,F,G,”均在正方形ABCD內(nèi)部，且BE=EF=FG=GH=HD=2,

NE=NF=NG=ZH=90°,求正方形ABC。的邊長.

（圖1）（圖2）

【答案】（1）見解析；（2）√W（3）√26

【分析】（1）①連接BF,DE,即交Er于點。，證明a。FgBEo（AAS）,則OF=O￡。D=OB,即可得

證；

②根據(jù)勾股定理以及全等三角形的性質(zhì)得出8￡＞，即可求解；

（2）連接FH,BF,BD,BG,BD交FG于點K,過點8作8Λ∕LG尸交G尸的延長線于點M,證明BK=OK,

勾股定理求得BK,進(jìn)而即可求解.

(圖1)

?.?ADOF=ZBOE,NDFO=ZBEO=90o,DF=BE,

：..DFg一BEO(?AS),

OF=OEQD=OB,

二四邊形BEDF是平行四邊形；

②；DF=EF=BE=2,OF=OE=1,ZOFO=ZBEO=90°,

??OB-OD=V22+12=?∣5'

/.BD=20B=2√5,

.?.四邊形438是正方形，

??.BC=-BD=VlO；

2

(2)連接FH,BF,BD,BG,BD交FG于點、K,過點4作J_G尸交G尸的延長線于點M,如圖,

???二￡7詛一FG”,二EFG是等腰直角三角形,

：?/EFB=/GFH=45。,

NEFG=90。，

/.ZEFB+ZEFG+ZGFH=180°,

???B,F,H三點共線,

同理可得RGE三點共線，

?：DH=BE,BH〃DE,

???四邊形BEDH是平行四邊形，

：,BH〃DE,BH=DE,

?：BF=FH,BG=DG,

???BF=DG,

VZBFK=ZDGKfNBKF=ZDKG,

???一5KF0一OKG(AAS),

???FK=KG=1,BK=DK,

YNM=ZBEF=ABFM=90°,

???四邊形BEFM是矩形,

".,BE=EF,

，四邊形BEFM是正方形，

：.BM=FM=2,MK=MF+FK=3,

BK=^BM-+MK2=√22+32=√13,

BD=岳,

：四邊形ABCZ）是正方形，

/.BC=-BD=√26.

2

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定

理，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

核心考點二平行四邊形的性質(zhì)

H（2022?遼寧朝陽?統(tǒng)考中考真題）將一個三角尺按如圖所示的方式放置在一張平行四邊形的紙片上，

NEFG=90°,NEGF=60°,ZAEF=50°,則NEGC的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得A8〃3C,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到NGE尸的度數(shù)，依據(jù)平

行線的性質(zhì)，即可得到/EGC的度數(shù).

【詳解】解四邊形ABCC是平行四邊形，

：,ABDC,

：?ZAEG=ZEGCf

VZEFG=90o,NEGF=60。，

ZGEF=30o,

JNGEA=80。，

JZEGC=SOo.

故選：B.

【點睛】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.

甌（2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題）如圖,在YABeD中，C4_LAB,若々=50。，則NC4D的度數(shù)是

【答案】40。##40度

【分析】根據(jù)平行四邊形對邊平行可得A￡>〃BC，利用平行線的性質(zhì)可得NC4D=NACB,因此利用直角

三角形兩個銳角互余求出/AC5即可.

【詳解】解：???四邊形ABa）是平行四邊形，

二AD//BC.

：.ZCADZACB,

,.?CAYAB,

：.ZBAC=90°,

"：NB=50°,

/.ZAC3=90°-ZB=40°,

NeW=ZACB=40°,

故答案為：40°.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，難度較小，解題的關(guān)鍵是能夠

綜合運用上述知識.

甌（2022.廣西.統(tǒng)考中考真題）如圖，在YAfiCD中，BD是它的一條對角線，

（1）求證：AABgACDB；

（2）尺規(guī)作圖：作BQ的垂直平分線EF分別交A。，BC于點、E,F（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（3）連接2E,若NDBE=25°,求ZA￡6的度數(shù).

【答案】（1）見解析

（2）見解析

(3)50o

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CRAD=BC,可利用“SS5”證明三角形全等；

（2）根據(jù)垂直平分線的作法即可解答；

（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BE=OE,由等腰三角形的性質(zhì)可得"3E=NBZ）E,再根據(jù)三角形外角

的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）.四邊形A8C。是平行四邊形，

:.AB=CD,AD=CB,

BD=DB,

:.AABD^ACDB（SSS）

（2）如圖，EF即為所求；

（3）B力的垂直平分線為ER

/.BE=DE,

.?.ZDBE=NBDE,

Q/DBE=25。,

?,.ZDBE=ZBDE=25。,

.?.ZAEB=ZfiDE+/DBE=50°.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角

形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

厚命題自確

1.邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對邊平行且相等；

2.角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補，對角相等；

3.對角線性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分；

4.平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心；

特別說明：(1)平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角

相等或兩角互補；對角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.

(2)由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時根據(jù)需要進(jìn)行選擇.

(3)利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應(yīng)聯(lián)系三角形三

邊的不等關(guān)系來解決.

容就硼繞

【變式1](2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模)如圖，在YABCD中，過點A作垂足為E.若8C=4,

ZC=105o,ZBDC=45°,則AE的長為（）.

A.B.l+√3C.2+√3D.2+2√3

2

【答案】B

【分析】過點A作AH,BD于點H,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可知NAS￡>=NB￡>C=45。,

ZB∕M=18O≡-NC-ZBDC=3O0,求出即長度，再跟據(jù)平行四邊形面積公式，列出方程解答即可.

【詳解】

如圖過點A作AH±3。于點H,

；四邊形ABCD為平行四邊形，NC=K)5。，ZBZJC=45°,

.?NBAA=I80。-Ne-NBZ）C=30。，ZABD=ZBDC=45°,

：.ZBAH=^ABD=4501

：,BH=AH,

?：AD=BC=4i

?1DH=———=-^=2√3

??BH=AH=-AD=2,tanNBDA后,

2—

3

?*.BD=BH+HD=2+2yβ，

'?"SABCD=BC-AE=SABC+SBCD=2Saπd,

：.4-AE=2-AHBD=4+4y∣3,

2

.,.AE=4+4右=]+G.

4

故選：B.

【點睛】本題考查了平行四邊形及其對角線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，平行四邊形的面積等知識點，熟

練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵.

【變式2】（2022?安徽合肥?合肥38中?？寄M預(yù)測）在平行四邊形ABCC中，AD=2AB,F是AC的中點，

過點C作CEJ垂足E在線段AB上，接EACF,則下列結(jié)論錯誤的是（）

C.EF=CFD.SΔBEC=2SΔCEF

【答案】D

【分析】分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AEF公ADMF,得出對應(yīng)線段之

間關(guān)系進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：；尸是4。的中點，

，AF=FQ,

；在DABC。中，AD=IAB,

：.AF=FD=CD,

.?.NDFC=NDCF,

?：AD〃BC,

：.ADFC=ΛFCB,

:?NDCF=NBCF,

：.ZDCF=ZBCDf故此選項A正確;

設(shè)NFEC=X,則NFCE=居

，ZDCF=ZDFC=90o-χ,

ΛZEFC=180o-2x,

???ZEFD=90o-χ+180o-2r=270o-3x,

YZAEF=90o-χ,

???NDFE=3NAEF,故此選項B正確；

延長E凡交。。延長線于M,

Y四邊形4BC。是平行四邊形,

J.AB//CD,

：.ZA=ZMDFf

O尸為AD中點,

IAF=FD,

在^AEF。FM中，

NA=NFDM

AF=FD,

NAFE=/DFM

：.∕?AEF^∕?DMF(ASA),

：.EF=MF9NAE尸=NM,

VCElAB,

/./AEC=90。，

，ZAEC=ZECD=90o,

YEF=MF,

：.CF=MF,BPCF=EF,故選項C正確；

"：EF=MF,

：*SAEFC=SACFM,

'CMlOBE,

：.SABEC<2SAEFC

故LBEC=2SZCEF錯誤；故選項D不成立；

故選D

【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出AAEF也△￡>MF是

解題關(guān)鍵.

【變式3】（2022?遼寧營口?一模）如圖，平行四邊形ABC。中，AC,BD交于點O,BD=IAB,以A為

圓心，Ao長為半徑作弧，交OB于點G,分別以O(shè),G為圓心，大于;OC的長為半徑作弧，兩弧交于點M,

作射線AM交BZ）于點E,交BC于點F,EO=2,BG=I,貝IJAC=.

【答案】4√5

【分析】利用基本作圖可判斷得AM垂直平分OG,所以EG=OG=2,NA=A￡0=90。，則

Bo=5,BE=3,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OB=ODOC=OA,由BD=2A8,所以AB=80=5,然

后利用勾股定理可先計算出AE,再計算出04,從而得到AC的長.

【詳解】解：由作法得AM垂直平分0G,

：.EG=OG=2,ZAEB=AEO=90°,

?：BG=I,

：.BO=5,BE=3,

???四邊形AS8為平行四邊形,

ΛOB=OD,OC=OA,

：BD=2AB,

：.AB=Bo=5,

在RtZ?Λ3E中，AE=舊-W=4,

在Rt?A0E中，OA=√22+42=2√5，

，AC=2OA=4√5.

故答案為：4√5.

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.也考查了平行四邊形的性

質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是得到AM垂直平分OG.

【變式4］（2023?山東棗莊??？寄M預(yù)測）如圖，E、尸分別是YAB8的邊A3、8上的點，AF與Z）E相

2

交于點P,8尸與CE相交于點Q,若S=14cn√,Sbqc=26cnr,Sabcd=200cm,則陰影部分的面積

【答案】60

【分析】連接E、尸兩點，過點E作EU_LDC于點M,求解SCEC=IoOCm證明Sefc=SBCF,可得SKFQ=SBCQ

同理：SEFD=SADF,可得SEo=S的，可得SiflmC°=14+26=4θ(cπ√),從而可得答案.

【詳解】解：連接E、尸兩點，過點E作EWJ_DC于點M,

=DC-EM=20()Cm2,

.".SDEC=IOoCm2,

；四邊形AB8是平行四邊形,

.?.AB//CD,

：.工EFC的FC邊上的高與ABCF的FC邊上的高相等,

??SEFC=SBCF，

?,?SEFQ=SBCQ?

同理：SEFD=SADF

??SEFP=$ADP，

?SAPD~14Cm,SβQQ=26Cm,

?'?^waiKEFPQ=14+26=4θ(Cnr),

故陰影部分的面積為=SOEC-Mq邊牘舛°=100-40=60(cm2).

故答案為：60.

【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握“同底等高的兩個三角形的面積相等“是解本

題的關(guān)鍵.

【變式5】(2023?湖南衡陽??？家荒?在平行四邊形ABCO中，對角線AC、BD交于O點"AD=AO,

點E為。4的中點，

⑴若DEJ.CD,CD=6,AQ=2火，求OE的長.

(2)證明：CD=2DE.

【答案】(1)3

(2)詳見解析

【分析】(1)根據(jù)題意可得OE=g4O=gAZ)=石，OC=AO=AD=2石，再根據(jù)勾股定理求解即可;

(2)取AO的中點尸，連接。F,通過證明.AfSAAO尸和中位線定理，即可求證.

【詳解】(1)解：?；四邊形ABCD是平行四邊形，

二OA=OC,

：點￡為。4中點，AD=AO,AD=2非,

?'?OE=-A0=—AD=y/5,OC=AO=AD=2>∕5?

22

/.CE=OE+OC=3/,

VDElCD,8=6,

?,?DE=-JCE2-CD2=3；

(2)證明：取AO的中點凡連接。尸，

?.?AO=AO,點E為OA中點，

/.AE=AF,

在VADE和AOF中，

AD=AO

-ZEAD=ZEAO,

AE=AF

AO-AOE(SAS),

：.DE=OF,

V0A=0C,AF=DF,

：.CD=WF,

：.CD=2DE.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行四

邊形對邊平行且相等，對角線互相平分.

核心考點三平行四邊形中的折疊問題

阿H（2022?黑龍江大慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，將平行四邊形AfiCD沿對角線8。折疊，使點A落在E處.若

Zl=56°,/2=42。，則NA的度數(shù)為（）

E

A.108oB.109oC.IlOoD.Illo

【答案】C

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出48CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出NA8E=Nl=56。，根據(jù)折疊

得出/ABO=工NABE=28。，根據(jù)三.角形內(nèi)角和得出/A的度數(shù)即可.

【詳解】解：???四邊形ABC。為平行四邊形，

ABCD,

.?.ZABE=Zl=56°,

根據(jù)折疊可知，ZABD=ZEBD,

：.ZABD=-ZABE=1×56°=28°,

22

Z2=42o.

.,.ZA=180°-ZABO-Z2=110°,故C正確.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，折疊性質(zhì)，根據(jù)已知條

件求出NABD=28。是解題的關(guān)鍵.

題耳（2022?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）如圖，對折矩形紙片A8CO,使得A。與BC重合，得到折痕E尸，

把紙片展平，再一次折疊紙片，使點A的對應(yīng)點4落在E尸上，并使折痕經(jīng)過點B,得到折痕.連接MF,

若MhBM,AB=6cm,則A￡>的長是cm.

B

【答案】5√3

【分析】根據(jù)直角三角形的中線定理，先證明四邊形AaVM是平行四邊形，再證明.AOM是等邊三角形,

分別根據(jù)直角三角形中的三角函數(shù)求出AM和。例，從而得到答案.

【詳解】解：如下圖所示，設(shè)A，E交于點。，連接A。，

:點E是中點，

二在和KJA'8Λ∕中，AO=OM=OBQA=OB=OM,

：.ZOAE=NOBE,NOBA'=ΛOA'B,

,/ZOBE=ZOBA'.

：.ZOAE=ZOAIB,

?/ZOAE+ZAOE=90',ZOA1B+ZOA'M=90,

，ZAOE=ZOArM,

：.AOHAM,

,.?AM//OA'

.?.四邊形AOTM是平行四邊形，

.-?AM=OA'

：.AM=AO=OM,

.AOM是等邊三角形，

；?ZAMO=ZOMA'=60°

.?tanZAMO=tan60=

AM

.".AM≈2y∕3,

VMFlBM.NOMA=60",

.,./AMF=30°,

/.ZDMF=180°-l50°=30"，

■：OF=LAB=3,

2

.?.MD=-DΛ-=3√3,

tan30o

AD=AM+MD=56,

故答案為：5√3.

【點睛】本題考查矩形的折疊、直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明.AOM是等邊三角形

以及熟練掌握直角三角形中的三角函數(shù).

H（2021?山西?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，

在YABCr）中，BELAD,垂足為E,F為C。的中點，連接E尸，BF,試猜想E尸與8F的數(shù)量關(guān)系，并

加以證明；

獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將YABCD沿著BF（尸為C。的中點）所在直線折疊，如圖②，

點C的對應(yīng)點為C',連接。C并延長交AB于點G,請判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將YAfiCD沿過點B的直線折疊，如圖③，點4的對應(yīng)點為4,使

LCD于點“，折痕交AD于點M,連接交8于點N.該小組提出一個問題：若此YABC。的

面積為20,邊長A3=5,BC=2√5,求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積.請你思考此問題，直接

寫出結(jié)果.

【答案】（1）E尸=B∕r;見解析；（2）AG=BG,見解析；（3）—.

【分析】（1）如圖，分別延長A￡>,即相交于點P,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD//8C,根據(jù)平行線的

性質(zhì)可得ZPDF=ZC,ZP=ZFSC,利用AAS可證明△PDFBABb,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FP=FB.

根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得EF=；BP,即可得EF=BF;

（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得NCFB=NC戶8=，/CFC,FC=FC',可得FD=FC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

NFDC=/FCD,根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得/C尸C=NF。。+/FC'C,即可得出∕C'FB=∕R7O,可得

DG//FB,即可證明四邊形。GBF是平行四邊形，∏TWDF=BG=-AB,可得AG=BG;

2

(3)如圖,過點M作MQL48于。,根據(jù)平行四邊形的面積可求出8H的長,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得4B=A8,

ZA=ZA',/4BM=NM84,根據(jù)A'3J_CO可得48J_A8,即可證明4例8。是等腰直角三角形，可得MQ=BQ,

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∕A=∕C,即可得N4=NC,進(jìn)而可證明aAWHs^CBH,根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)可得A'"、MI的長，根據(jù)NH//M?？傻肗HSZVVMQ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長，

根據(jù)S行SAA'MB-SΔA'NH即可得答案.

【詳解】(1)EF=BF.

如圖，分別延長AO,BF相交于點P,

；四邊形ABCD是平行四邊形，

AD//BC,

；.NPDF=NC,NP=NFBC,

：F為CO的中點，

：.DF=CF,

NP=NFBC

在公PDF和^BC尸中，，ZPDF=ZC,

DF=CF

.'.△PDF當(dāng)ABCF,

,FP=FB,即尸為BP的中點，

，BF=-BP,

2

,/BELAD,

：.NBEP=90。,

：.EF=-BP,

2

；?EF=BF.

(2)AG=BG.

???將YA3CD沿著M所在直線折疊，點C的對應(yīng)點為CI

,

???ZCFB=ZCFB=IZCFC9FC=FC,

???F為Co的中點，

JFC=FD=-CD,

2

：?FC=FD，

???NFDC=NFCD,

?//CFC=NFDC+NFCD,

1

.*.ZFCD=-ΛCFC?

2

NFcD=NCFB,

：,DGHFB,

???四邊形ABCZ)為平行四邊形，

ΛDCHABfDC=AB1

???四邊形DGBF為平行四邊形，

：?BG=DF,

：.BG=-AB

2f

：.AG=BG.

(3)如圖，過點例作何。，43于。，

YYABC。的面積為20,邊長48=5,于點H,

BH=50÷5=4,

22

?'?CH=yJBC-BH=2,AH=ABBH=T,

Y將YA5C。沿過點B的直線折疊，點A的對應(yīng)點為A,,

：.A,B=AB,NA=NA,NABM=NMBH,

???A'B,C。于點H,ABHCD,

：,HBJLAB,

；?NMBH=45。,

???是等腰直角三角形，

：.MQ=BQ,

Y四邊形ABCD是平行四邊形，

JZA=ZC,

???NH=NC

t

?/ZAHN=ZCHB9

：.LANHs∕?CBH,

???絲=嗎即2」,

AHNH1NH

解得：NH=2,

VA'BlCD.MQLA'B,

.".NH∕∕MQ,

：.XKNHSXHMQ,

.AHNHaπ12

**AQMQ`S-MQMQ'

解得:MQ=J,

,112

s礦SJMB-SΔA'NH=ABMQ-?A'HNH=y×5×y-∣××=y-

【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定

與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵.

厚命趣自曲

（1）折疊的性質(zhì)

①重疊部分全等

②折痕是對稱軸，對稱點的連線被對稱軸垂直平分.

（2）對稱的定義（折疊是對稱的一種特殊情況）

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，

這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點.軸對稱和軸對稱圖形的特性是相同的，對應(yīng)

點到對稱軸的距離都是相等的.

（3）認(rèn)真識別折疊前后的圖形是解題的關(guān)鍵.

【重點聚焦】

（1）折疊問題通常涉及平行四邊形的性質(zhì)和判定、折疊的性質(zhì)、對角線的性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識點.

（2）“利用折疊的性質(zhì)得到等邊等角“和”識別折疊前后的圖形“是解決折疊問題的關(guān)鍵.

（3）審題時，應(yīng)養(yǎng)成良好的做題習(xí)慣：把已知條件的等邊關(guān)系、等角關(guān)系、角的度數(shù)等內(nèi)容均在圖形做好

標(biāo)記.

【變式1］（2022.貴州遵義.統(tǒng)考一模）在探究折疊問題時，小華進(jìn)行了如下操作：如圖，尸為直角梯形ABCO

邊AB的中點，將直角梯形紙片ABC力分別沿著EF,OE所在的直線對折，點8,C恰好與點G重合，點。，

G,尸在同一直線上，若四邊形BCZ）F為平行四邊形，且AD=6,則四邊形BEGF的面積是（）

A.6√3B.3√3C.2√3D.等

【答案】A

【分析】先由折疊性質(zhì)和點F是AB的中點得出AF與Z）F的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理求得4尸與。凡再平行

四邊形的面積公式求得8CDF的面積，進(jìn)而求得四邊形8EGF的面積.

【詳解】】解：由折疊性質(zhì)得BE=GE=CE,BF=GF,CD=DG,

?：四邊形BCQF為平行四邊形，

/.CD=BF,DF=BC,

'：AF^BF,

.'.AF=BF=FG=DG,

：.IAF=DF,

在mAPF中，DF2-AF2=AD2,即4人尸-/1產(chǎn)=62,

??ΛF=2?^3>

BF=2?∣3,

SmBCDF=BF?AD=12√3，

?：DG=FG,

：.SAEDG=S&EFG,

由折疊性質(zhì)知SACDE=SAEDG=SARFG=S&BEF,

：.S娟形BEGF=ISaBCDF=6√3.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的面積計

算，折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵在應(yīng)用勾股定理求出A尸的長度.

【變式2］（2022?重慶九龍坡?統(tǒng)考一模）如圖，將四邊形紙片ABCo沿過點A的直線折疊，使得點B落在

CZ）上的點Q處，折痕為AP.再將APC。，AAOQ分別沿尸。，AQ折疊，此時點C,。落在AP上的同一點

AB

R處.當(dāng)A。=CP時，則含的值為（）

A.√3B.2√3C.2D.√2

【答案】A

【分析】由折疊的性質(zhì)可得NB=NAQP,ZDAQ=ZQAP=ZPAB1ZDQA=ZAQR,ZCQP=ZPQR,

ZD=ZARQf/C=NQRP,由平角的性質(zhì)可得N￡>+/C=180。，ZAβP=90%可證A￡>〃8C由平行線的性

質(zhì)可得NzM3=90。，由平行四邊形和折疊的性質(zhì)可得AK=Pm由直角三角形的性質(zhì)可得4P=2PB=2QR,AB=

√3∕JB,即可求解.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：ZB=ZAQP1ZDAQ=ZQAP=ZPABfZDQA=ZAQR,ZCQP=ZPQR,

ZD=ZARQfZC=ZQRP1

VZβ∕M+Zβ?P=180o,

ΛZD+ZC=180°,

.?AD∕∕BC,

：.ZB+ZDAB=?S0o,

YNQQR+NCQR=180。，

/.ZDQA+ZCQP=90o,

：.NAQP=90。，

NB=NAQP=90。,

JNDA8=90。，

???ZDAQ=ZQAP=ZPAB=30O,

由折疊的性質(zhì)可得：AD=AR,CP=PR,

Y四邊形APCD是平行四邊形，

：.AD=PCf

：.AR=PR,

XVNAQP=90。，

.”[AR

VZMB=30o,NB=90°,

：.AP=2PB,AB=也PB,

LPB=QR,

???嚼S

QR

故選：A.

【點睛】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)解決問題是本

題的關(guān)鍵.

【變式3］（2022.江蘇鎮(zhèn)江.統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形AfiC。中，將.A8沿著AC所在的直線折疊

得到∕?ACE,AE交BC于點F,連接BE,若ZABC=60o,ZACB=45o,AC=2√3,則BE的長是

【答案】2

［分析］利用折疊的性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，得到ZEFC=90°,分別解Rt?ΛFC,Rt?EFC.RtAEFB.

即可得解.

【詳解】解：；四邊形ABQ）為平行四邊形，NABC=60。，

.?.ZD=ZABC=60°,NBCD=180°-60°=120°,AD=BC,

'：ZACB=45°,

/.ZA8=120°—45°=75°,

Y將ACD沿著AC所在的直線折疊得到ZXACE.

，ZACE=ZACD=75°,CE=CD,ZAEC=ZD=60o,AE=AD,

NEC尸=75°-45°=30°,

NEFC=180。-60°-30°=90°,

ZAFC=180o-ZEFC=90°,

VZACB=45°,AC=2√3,

.,.AF=CF=-AC=46,

2

；?￡F=CFxtan30o=√6×-=√2,

3

??BC=AD=AE,AF=CF,

：.BC-CF=AE-AF,即：BF=EF=近,

BE=血EF=2;

故答案為：2.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及解直角三角形.熟練掌握平行四邊形和折疊的性質(zhì)，

得到BClAE,是解決本題的關(guān)鍵.

【變式4】（2022?河南?模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，ZA=45,AB=G+3,點E為AO

邊上一動點.將AABE沿直線BE折疊，點A的對應(yīng)點為4,再將Ev沿直線4B折疊，點E的對應(yīng)點為

E'.當(dāng)點在BC上方，且BE與平行四邊形ABC。的一邊垂直時，A，F(xiàn)的長為.

【答案】指或正

【分析】分兩種情況討論：當(dāng)BE，_LAB時，當(dāng)8E，_LAZ）,垂足為點H時，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及直角三

角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【詳解】如圖1，當(dāng)BE，_L48時，過過點E作AB,

:BE，LAB,

：.ZABE,=90o,

；將AABE沿直線BE折疊，再將ABEI沿直線折疊,

.,.ZABE=ZA,BE=ZA,BE,=30°,

設(shè)HE=x,

：.RmBHE中,BH=由HE=瓜,

'：Rt?AEH,NA=45,

：.AH=HE,

ΛΛB=χ+√3x=√3+3,

解得：X=?∣3>

/.EH=B

/.AtE'=Af'=√2EW=√6,

如圖2,當(dāng)垂足為點H時,

,/BE,LAD,

：.ZAHB=90o,

：RQABH中，∕A=45,

：.AH=HB=曰AB=與（幣⑹,

,：將"8E沿直線BE折疊，再將Ev沿直線A1B折疊，

.?.∕ABE=∕A'BE=NA>Bb=15°,

：.NHBE=30°,

/.RMHE中，HE=-BH=-×-（3+y∕3]=瓜+垃,

332、）2

.,?AE=AE=AH-EH=今（6+3）-迷;五=血;

故答案為：瓜或近.

【點睛】本題考查了翻折變換-折疊問題，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識；熟練掌握翻折變換和

直角三角形的性質(zhì)，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

【變式5]（2020?廣西貴港?統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCo中，Aβ=10,Ar>=16,ZA=60o,尸是

射線AO上一點，連接尸8,沿尸6將ΔAPB折疊，得ΔA∕8.

（1）如圖所示，當(dāng)NQR4'=10。時，APB=度；

D

(2)如圖所示，當(dāng)B4UBC時，求線段Λ4的長度;

(3)當(dāng)點P為Az)中點時，點尸是邊A3上不與點A、8重合的一個動點，將/SAPF沿尸尸折疊，得到ΔA'Pk，

連接fl4l求ΔBA尸周長的最小值.

【答案】(1)85°；(2)5√3+5;(3)2+2√21

【分析】(1)求出利用翻折不變性解決問題即可.

(2)如圖2中，作BH_LAD于H.根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理求出AH,PH即

可解決問題.

(3)Δβ4N的周長=E4，+BF+β4，=AF+BF+8A=AB+β4，=10+β4，，推出當(dāng)BA的周長最小時，?β√尸的周

長最小，由此即可解決問題.

【詳解】(I)如圖1：

圖1

7NCVW=10°

：.ZAPA'=180°-ZDPA'=180°-10°=170°

由折疊的性質(zhì)可知:

ZAPB=ZA,PB=?×170o=85o

2

故答案為：85°

(2)如圖2：作BH,AD于H

在Rt?ABH中

VZAHB=90°,AB=10,ZA=60°

ΛZABH=30°

ΛAH=∣AB=5

BH=y∣AB2-AH2=√102-52=5√3

T四邊形ABCD是平行四邊形

ΛAD√BC

PA'VBC

：.PA'LAD

：.NARr=90°

ZHPB=ZBPA'=45°

PH=BH=5√3

PA=AH+PH=5>β+5

故答案為：5√3+5

(3)如圖3中，作BHJLAD于H,連接BP

VPA=8,AH=5

.*.PH=3

VBH=5√3

PB=y∣PH2+BH2=732+(5√3)2=2√21

由翻折可知：PA=Br=8,FA=EV,

ΔBE4'的周長

M'+BF+βA'=AF+BF+BA'=AB+BA'=10+BA,

二當(dāng)BA,最小時，ΔBEV的周長最小

：BA'≥PB-PA'

；?BA'≥2√2l-8

84的最小值為2jΣT-8

二ΔBE4'的周長的最小值為：10+2√ΣI-8=2⑨+2

圖3

故答案為：2后+2

【點睛】本題考查了軸對稱