遼寧省2023年高中學業(yè)水平合格性考試數(shù)學試卷真題（答案詳解）

2023年7月遼寧省普通高中學業(yè)水平合格性考試

數(shù)學試卷

本試卷分I、II兩卷，滿分100分，考試時間90分鐘

第I卷（選擇題共36分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的）

復數(shù)工的虛部是

1.

1+1

1.

A.BcD.——i

-2-I-g2

x|->ll,B

2.已知集合4=={x|(3x-l)(x-l)>0},則A)

A.B.C.P1D.

3.若“VxeR,mVe'+l”是真命題,則加的取值范圍是（）

A.（3）B.(HO/]C.(l,+oo)D.[1,+00)

4.設/,m,〃是三條不同的直線,a，夕，7是三個不同的平面，下列命題正確的是

()

A.若I〃m,m//n,貝B.若/〃m，m//a,則/〃a

C.若。_L尸，/?±y,則a，/D.若/J_m，I//a,則加〃a

5.函數(shù)/（x）=log“（2x+l）（a>0,且awl）的圖象一定過點（）

A.B.（1,0）C.（0,0）D.（0,1）

6.已知一個正方體的8個頂點都在一個球面上，且正方體的棱長為3,則球的體積為

（）

A.108扃B.27兀C.27,D.907r

7.海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫

汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；缺貨后落潮時返回海洋.下面是

某港口在某季節(jié)某天的時間與水深值（單位：m）記錄表.（）

時刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00

水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，若用函數(shù)y=2.5sin的+5（。>0）近似地描述這個港口的水深值y與時間

X（記時刻0：00為時間x=0）的函數(shù)關系，則上午7：00時，水深的近似數(shù)值為（）

A.2.83B.3.75C.6.25D.7.17

8.函數(shù)y（x）=2,-工零點的個數(shù)為

X

A.0B.1C.2D.3

八tan150+tan45°A/士曰/、

9.--------_=的14值是（）

1-tan15tan45

A.一石B.-3

V-.----D.6

33

10.2022年12月20日，聯(lián)合國世界旅游組織公布2022年“最佳旅游鄉(xiāng)村”名單，中國

廣西大寨村和重慶荊竹村成功入選.遼寧綠江村也以景色別致的油菜花海吸引了眾多游

客.小明準備利用假期從中選一個鄉(xiāng)村游玩，記事件A：小明選大寨村，事件8：小明

選荊竹村，事件C：小明選綠江村.已知P（A）=0.3,P（B）=0.6,則尸（A+B）=（）

A.0.12B.0.18C.0.7D.0.9

11.在4ABe中，若5111244115411。=3:5:7,則最大角為（）

A.60°B.120°C.135°D.150°

12.已知函數(shù)〃尤）=（；）與g（x）的圖象關于y=x對稱，則的值域為（）

A.（0,+oo）B.[0,+co）C.（-oo,0）D.（-oo,0]

第II卷（非選擇題共64分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.要求直接寫出答案，

不必寫出計算過程或推證過程）

13.在4ABe中，點。為邊的中點，若AB+AC=XAD，則實數(shù)2的值為.

14.某科技攻關青年團隊共有8人，他們的年齡分別是29,35,40,36,38,30,32,

41,則這8人年齡的25%分位數(shù)是.

15.已知2x+y=2,則甲+2〉的最小值為.

16.已知關于x的方程f+2（租-2卜+/+4=0有兩個不相等的實數(shù)根，并且兩根之

積等于兩根之和，則實數(shù)機的值為.

三、解答題（本大題共5小題，共52分.解答應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

17.向量”，b如圖所示，求：

試卷第2頁，共4頁

彳-丁〒-湃T二…’

__.■??-A-??A.—A--a--A????■,?■―?0—?

?■rwtf——>——■.?「'

°I234S67S9s

⑴COS(4,“；

⑵(2a+b).(a—辦).

18.某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，

否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為1，5,7-

且各輪問題能否回答正確互不影響.求：

(1)該選手進入第三輪考核才被淘汰的概率；

(2)該選手至多進入第二輪考核的概率.

19.《九章算術》作為中國古代數(shù)學專著之一，在其“商功”篇內(nèi)記載：“斜解立方，得兩

塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉腌.”鱉席是我國古代數(shù)學對四個面均為直角三角

形的四面體的統(tǒng)稱.如圖所示，ABCD-A與GA是長方體.

D

(1)求證：三棱錐A-ABC為鱉腌；

(2)若AB=4,AD=3,M=4,求三棱錐A-ABC的表面積.

20.已知函數(shù)/'(x)=2sinxcosx+25/^cos2x-G.

⑴求了(x)的圖象的對稱中心和對稱軸；

⑵寫出“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

JT冗

(3)當％w一了1時，求/(%)的最值?

21.已知為定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=log2^+^.求:

(l)x<0時，“X)的解析式；

⑵不等式/(x)Wl的解集.

試卷第4頁，共4頁

1.A

【分析】利用復數(shù)的除法運算，將分子分母同乘以分母的共物復數(shù)，化簡為復數(shù)的標準形式

￡R）,b即為虛部.

【詳解】

11-i1-i11.11

I7T（i+i）（-）=三=5一”所以復數(shù)幣的虛部是一，?

2.D

【分析】解分式不等式與二次不等式化簡集合A5,從而利用集合的交并補運算即可得解.

【詳解】因為集合A=1x|J>l1={x[O<x<l},

B={x|（3x-l）（x-l）>0}=1x|x<1^x>l1,

所以=則一隔

故選：D.

3.B

【分析】利用全稱命題或特稱命題的相關性真假求解參數(shù)

【詳解】由題意，VxeR,"z4e，+l恒成立，

因為e*>0,所以e'+l>l,所以機￡1.

故選：B.

4.A

【分析】選項A由平行的傳遞性可得；BCD由長方體中的線面、面面位置關系舉反例可知.

【詳解】選項A,若/〃相，相〃“，則由平行的傳遞性可知，/〃“，故A正確；

選項B,若I〃m,m//a,貝1j/〃a或/ua都有可能，

如圖，長方體ABC。一A4G。中（以下同）,

設直線4G為機，直線5c為/,底面A3CD為a,

滿足/〃加，m//a,但/ua,/與a不平行，故B錯誤;

小/I~~By

AB

選項C,若。，尸，,則。與7不一定垂直,

答案第1頁，共9頁

如圖，設上底面AgGR為a,下底面ABC。為7,平面8月CC為夕，

滿足。/3Ly,但a//7,a與/不垂直，故C錯誤;

選項D,若/_L〃z,I//a,則或相ua或根與a相交都有可能,

如圖，設直線4G為加，直線48為/,設上底面為。，

滿足/_Lm，I//a,但7〃u（z,nt與a不平行，故D錯誤.

故選：A.

5.C

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)所過定點，令〃+1=1即可求解.

【詳解】因為對數(shù)函數(shù)“x）=bgM（?>0,且"1）的圖象過定點（1,0）,

所以令2x+l=l,解得x=0,

此時/（0）=log“1=0,即“力的圖象過定點（0,0）.

故選：C.

6.C

【分析】根據(jù)正方體的體對角線求得球的半徑，進而求得球的體積.

【詳解】由正方體的對角線為其外接球的直徑2H可得，

（27?）2=32+32+32,解得我=乎，

所以外接球的體積丫=3兀&=3兀［乎］=之普.

故選：C.

7.B

答案第2頁，共9頁

【分析】根據(jù)周期求得。，進而求得正確答案.

【詳解】由表中數(shù)據(jù)知，7=12,即空=12,解得。=7,所以y=2.5sin￡x+5,

CO66

當x=7時，y=2.5sin(7t+￡)+5=2.5x(-0.5)+5=3.775.

故選：B

X

函數(shù)/(x)=2的零點等價于2,=工的根等價于函數(shù)y=2,和y=’的交點.

XXX

由圖可知，有一個交點，所以有一個零點.

故選B.

9.D

【分析】利用正切的和角公式，計算即可.

,tan15°+tan45°“cr:

【詳解】--------------=tan(15+45)=tan60=J3.

1-tan15°tan45017

故選：D

10.C

【分析】利用互斥事件與對立事件的概率公式即可得解.

【詳解】由題意，得事件A,B,C為互斥事件，

所以P(=1-Pe)=0.4,貝ijP(A+B)=0.3+0.4=0.7.

故選：C.

11.B

答案第3頁，共9頁

【分析】由正弦定理得到，:〃:c=3:5:7,從而確定最大角，利用余弦定理即可求.

【詳解】由正弦定理，得4：b:c=sinA:sin3:sinC=3:5:7,

設a=3左，b=5k,c=lk,k>0,

因為所以AvbvC,

a2+b2-c2942+25%2-49左2￡

所以cosC二

lab2x3kx5k2

因為0。＜。＜180。,

所以C=120。，即這個三角形的最大角是120。.

故選：B

12.D

【分析】根據(jù)對稱性可知g（x）=l°g1x,利用二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求得值域為

3

（一

【詳解】因為與g（x）的圖象關于y=x對稱，所以“X）與g（無）互為反函數(shù),

即可得g（x）=log|尤.

3

因為,20,所以尤2+121,

因為所以8（力=腕;在[1收）上單調(diào)遞減，

即可得l°gj尤2+1）＜°,即g（%2+l）的值域為（-90].

故選：D.

13.2

【分析】利用向量的加減運算化簡即可求解.

【詳解】因為AO=+=AB+；8C,BC=AC-AB，

所以A￡＞=AB+：（AC-AB）=g（AB+AC）,所以A8+AC=2AO，即4=2.

故答案為：2

14.31

【分析】先排序，再計算i,然后可得.

【詳解】把這8個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列可得：29,30,32,35,36,38,40,41,

計算8x25%=2,所以這8人年齡的25%分位數(shù)是30三+3空2=31.

答案第4頁，共9頁

故答案為：31

15.4

【分析】利用基本不等式即可求出答案.

【詳解】因為2x+y=2,且4*=22,>02>0,

所以4*+T=2"+2y>2d2".2'=2衣而=2后=4，

當且僅當x=g,y=l時，取等號.

故答案為：4.

16.-2

【分析】利用根與系數(shù)關系列方程，從而求得加的值.

【詳解】設關于龍的方程/+2(2)彳+"+4=0的兩根為公，巧，

2

所以玉+%=2(2-m),-x2=m+4.

因為兩根之積等于兩根之和，所以％1+%2=占，%2，

即2(2-m)=m2+4,解得機=0或根=一2,

因為A=4(m—2)2-4("+4)>0,解得機<0,所以機=一2.

故答案為：-2

17.(1)--

10

(2)16

【分析】(1)先根據(jù)題圖求得。=(-3,1),b=(l,2),再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式，模長

公式以及夾角公式即可求解；

(2)結合(1)得至1]2。+6=(-5,4),a-b=(-4,-l),再根據(jù)數(shù)量積的坐標表示求解.

【詳解】(1)由題圖知，=(1,2)-(4,1)=(-3,1),^=(7,3)-(6,1)=(1,2),

所以Q/=(_3)X1+1X2=-1,|^|=A/10,|/?|=\/5,

/7、a-b-1母

所以皿咐=麗=而花=一而.

答案第5頁，共9頁

(2)結合(1)可得2a+6=2x(-3,1)+(1,2)=(-5,4),a-&=(-3,1)-(1,2)=(^1,-1),

所以(2a+磯a-*(-5)x(-4)+4x(T)=16.

9

此⑴記

⑵之

8

【分析】(1)根據(jù)相互獨立事件和對立事件的概率公式計算可得.

(2)根據(jù)相互獨立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和對立事件的概率公式計算可得.

【詳解】(1)記“該選手正確回答第i輪問題”為事件4?=1,2,3),貝U

311

事件A，A,&相互獨立，且尸(A)="尸(&)=]，P(4)="

因為該選手進入第三輪才被淘汰指：前兩輪均通過，第三輪淘汰，

所以該選手進入第三輪才被淘汰的概率為

P(A4%)=P(4)P⑷尸(4)=》；義[1-皆=卷.

(2)因為選手至多進入第二輪考核意味著第一輪淘汰或者第一輪通過第二輪淘汰，且事件4

和A4互斥.

所以該選手至多進入第二輪考核的概率為

融工+4用=?(可+尸(4)尸何卜

19.(1)證明見解析

(2)24+60

【分析】(1)根據(jù)長方體的性質(zhì)得AAAA^AC,從而△441c為直角三角

形，再根據(jù)線面垂直的判定定理得3C_L平面從而ABC,ABC為直角三角形，根

據(jù)鱉麝定義得證；

(2)結合直角三角形面積公式，利用三棱錐表面積公式直接計算即可.

【詳解】(1)因為48。-4與￡4是長方體，所以平面A2C。，

所以A4]_LAB,AA]_LAC,AA.A.BC,

答案第6頁，共9頁

所以AAtB,AAAC為直角三角形.

因為ABCD為長方形，所以AS人3c.

因為ABcA41=A,AB,平面44,3,所以平面44出，

所以8cl.42,所以ABC,ABC為直角三角形，

所以三棱錐A-ABC為鱉麝.

(2)因為四邊形ABQ)為長方形，BC=AD=3,AB=4,所以AC=5.

因為AAtB,△A41C,ABC,ABC為直角三角形，所以43=4應，

所以三棱錐A-ABC的表面積

24

S=S,7MlB+SA41c+S.ABC+SABC=；A,A3+；⑨,AC+；A8,BC+；A3.BC

=—x4x4+—x4x5+—x4x3+—x4>/2x3=24+6A/2.

2222

20.(1)對稱中心為1-，+勺,。］(左eZ),對稱軸方程為尤=勺+：^■(左eZ)

\UN/乙_L/

25兀,兀/7r-r\

(2)^71-—^+―(%wZ)

⑶最小值為-石，最大值為2

【分析】⑴利用三角恒等變換可得/(尤)=2sin12x+gJ,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求對稱中

心及對稱軸.

(2)根據(jù)/(x)=2sin(2x+j,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解決單調(diào)遞增區(qū)間.

(3)根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)即可求得最大最小值.

【詳解】(1)由題意，得函數(shù)

/(x)=2sinxcosx+2^cos2x-y/3=sin2x+y/3cos2x=2sin2x+—

jr

令2%+1=kn(kGZ),

解得x=——+—(^￡Z),

62

所以函數(shù)的對稱中心為、￡+g,oj(左eZ).

答案第7頁，共9頁

/r=tAll71/,r\

斛得%=萬+五(左￡Z),

所以函數(shù)的對稱軸方程為x=**(keZ).

(2)由