7.5 三角形內(nèi)角與外角-蘇科版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第7章《平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）》尖子生同步培優(yōu)（附答案解析）

專題7.5三角形內(nèi)角與外角姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間40分鐘，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝3∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：32．（2020春?常州期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，則∠1+∠2等于（）A．40° B．60° C．80° D．140°3．（2020春?寶應(yīng)縣期末）在△ABC中，若一個(gè)內(nèi)角等于另兩個(gè)內(nèi)角的差，則這個(gè)三角形必定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上三個(gè)都是4．將△ABC紙片沿DE按如圖的方式折疊．若∠C＝50°，∠1＝85°，則∠2等于（）A．10° B．15° C．20° D．35°5．（2020春?常熟市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，將△BDC沿CD折疊，點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)B′處，若∠ADB′＝20°，則∠A的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．35° D．40°6．如圖，已知∠ACD＝130°，∠B＝20°，則∠A的度數(shù)是（）A．110° B．30° C．150° D．90°7．（2020春?江陰市期中）AD是∠CAE的平分線，∠B＝35°，∠DAE＝60°，則∠ACD＝（）A．25° B．60° C．85° D．95°8．如圖，已知∠BOF＝120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F為多少度（）A．360° B．720° C．540° D．240°9．如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么∠1等于（）A．120° B．105° C．60° D．45°10．如圖，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC．以下結(jié)論：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°；⑤DB平分∠ADC．其中正確的結(jié)論有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．如圖，在△ABC中，∠A＝27°，∠B＝48°，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，則∠ACD的大小為°．12．（2020?泰州）如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點(diǎn)重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數(shù)為．13．（2020春?姜堰區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠ABC＝α（20°＜α＜120°），AE平分△ABC的外角∠BAD，CF將∠ACB分成1：2兩部分．若AE、CF交于點(diǎn)G，∠AGC的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．14．（2020春?相城區(qū)期末）如圖∠1，∠2，∠3分別是△ABC的外角，則∠1+∠2+∠3＝°．15．（2020春?洪澤區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，則∠APB＝．16．在△ABC中，∠B＝58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC＝．17．（2020春?揚(yáng)中市期中）如圖，若△ABC的三條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)I，過I作DE⊥AI分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，則圖中與∠ICE一定相等的角（不包括它本身）有．18．（2020春?鼓樓區(qū)期末）如圖，直線a、b、c、d互不平行，以下結(jié)論正確的是．（只填序號(hào)）①∠1+∠2＝∠5；②∠1+∠3＝∠4；③∠1+∠2+∠3＝∠6；④∠3+∠4＝∠2+∠5．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．已知：如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC的度數(shù)．20．（2020春?鼓樓區(qū)期末）用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°”．如圖，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個(gè)外角．求證：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．證法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個(gè)外角．∴．∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），∵．∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°請(qǐng)把證法1補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證法2．21．如圖，在△ABC中，AD是角平分線，∠B＝40°，∠C＝70°，（1）求∠BAD的度數(shù)．（2）過點(diǎn)A作BC邊上的高AE，垂足為E，求∠EAD的度數(shù)．22．（2020春?興化市月考）如圖，△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)P．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，則∠A＝°；（2）若∠A＝80°，試求∠BPC的度數(shù)；（3）試直接寫出∠DPC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系：∠DPC＝．23．（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD．①圖中有個(gè)“8字形”；②若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)；（3）如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點(diǎn)P，求∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系．24．Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α＝30°，則∠1+∠2＝°；（2）若點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC之外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2的關(guān)系為：．參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．A【分析】根據(jù)直角三角形的定義一一判斷即可．【解析】A、由∠A＝∠B＝3∠C，可得∠A＝∠B=37×B、由∠A﹣∠B＝∠C，可知∠A＝90°，△ABC是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意．C、由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，△ABC是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意．D、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，推出∠C＝90°，△ABC是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．2．C【分析】證明∠1+∠2＝2∠A即可解決問題．【解析】連接AA′．∵∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠A＝40°∵∠2＝∠EA′A+∠EAA′，∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠BAC＝∠EA′D，∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°，故選：C．3．B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和可求解△ABC的一內(nèi)角為90°，進(jìn)而可判斷三角形的形狀．【解析】設(shè)∠A＝∠B﹣∠C，則∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC為直角三角形，故選：B．4．B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解析】如圖，∵∠C＝50°，∴∠3+∠4＝∠A+∠B＝∠A′+∠B′＝180°﹣∠C＝130°，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A′+∠B′＝360°，∠1＝85°，∴∠2＝360°﹣85°﹣2×130°＝15°，故選：B．5．C【分析】利用翻折不變性，三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)即可解決問題．【解析】∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵△CDB′是由△CDB翻折得到，∴∠CB′D＝∠B，∵∠CB′D＝∠A+∠ADB′＝∠A+20°，∴∠A+∠A+20°＝90°，解得∠A＝35°．故選：C．6．A【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．【解析】∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝130°﹣20°＝110°，故選：A．7．D【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠EAC＝2∠DAE＝120°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．【解析】∵AD是∠CAE的平分線，∴∠EAC＝2∠DAE＝120°，∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝85°，∴∠ACD＝180°﹣85°＝95°，故選：D．8．D【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根據(jù)鄰補(bǔ)角求出∠EOF，然后求解即可．【解析】如圖，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠BOF＝120°，∴∠3＝180°﹣120°＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．故選：D．9．B【分析】先求出∠2，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．【解析】如圖，∠2＝90°﹣45°＝45°，由三角形的外角性質(zhì)得，∠1＝∠2+60°，＝45°+60°，＝105°．故選：B．10．C【分析】根據(jù)角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、平行線的判定、菱形的判定、等邊三角形的判定判斷即可．【解析】①∵BD、CD分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP，∴AD平分△ABC的外角∠FAC，∴∠FAD＝∠DAC，∵∠FAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，∴∠FAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正確．②∵BD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∴EB⊥DB，故②正確，③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠∵∠BAC+2∠ACB＝180°，∴12∠BAC+∠ACB∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③正確，④∵∠BEC＝180°-12（∠MBC+∠NCB）＝180°-12（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°∴∠BEC＝90°-12∠∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正確，⑤不妨設(shè)BD平分∠ADC，則易證四邊形ABCD是菱形，推出△ABC是等邊三角形，這顯然不可能，故錯(cuò)誤．故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．75°．【分析】由∠A，∠B的度數(shù)，利用三角形的外角性質(zhì)可求出∠ACD的度數(shù)．【解析】∵在△ABC中，∠A＝27°，∠B＝48°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝27°+48°＝75°．故答案為：75．12．140°．【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出求出∠DFB，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠α即可．【解析】如圖，∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答案為：140°．13．12α+10°或【分析】先求出∠CAE的度數(shù)，再分為兩種情況，求出∠ACG的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可．【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝60°，∠ABC＝α，∴∠DAB＝∠ACB+∠ABC＝60°+α，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=12∠DAB=12×∴∠CAE＝180°﹣∠DAE＝180°﹣（30°+12α①當(dāng)∠ACG：∠BCG＝1：2時(shí)，∠ACB＝60°，則∠ACG＝20°，所以∠AGC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACG＝180°﹣（150°-12α②當(dāng)∠ACG：∠BCG＝2：1時(shí)，∠ACB＝60°，則∠ACG＝40°，所以∠AGC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACG＝180°﹣（150°-12α所以∠AGC的度數(shù)是12α+10°或14．360°．【分析】利用三角形的外角和定理解答．【解析】∵三角形的外角和為360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°，故答案為：360°．15．115°．【分析】依據(jù)∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，即可得出∠BAP+∠2＝65°，進(jìn)而得到△ABP中，∠APB＝180°﹣65°＝115°．【解析】∵∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，∴∠BAP+∠2＝65°，∴△ABP中，∠P＝180°﹣65°＝115°，故答案為：115°．16．61°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及三角形外角定理求得12∠DAC+12∠ACF=12（∠B+∠B【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=1∵∠DAC＝∠B+∠2，∠ACF＝∠B+∠1∴12∠DAC+12∠ACF=12（∠B+∠2）+12（∠B∵∠B＝58°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴12∠DAC+12∴∠AEC＝180°﹣（12∠DAC+12故答案是：61°．17．∠ICB，∠DIB．【分析】首先證明∠BIC＝∠BDI＝∠IEC，再證明∠ICE＝∠ICB＝∠DIB即可．【解析】∵AI平分∠BAC，∴∠IAD＝∠IAE，∵AI⊥DE，∴∠AID＝∠AIE＝90°，∴∠ADI+∠DAI＝90°，∠AEI+∠IAE＝90°，∴∠ADE＝∠AEI，∴∠BDI＝∠IEC＝180°﹣（90°﹣∠IAE）＝90°+12∠∵IB，IC分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=1∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12（180°﹣∠BAC）＝90°∴∠BDI＝∠IEC＝∠BIC，∵∠IBC+∠BIC+∠ICB＝180°，∠ICE＝∠ICB，∠IBC＝∠DBI，∴∠ICE＝∠ICB＝∠DIB，∴與∠ICE一定相等的角有∠ICB，∠DIB．故答案為：∠ICB，∠DIB．18．①②③．【分析】利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．【解析】由三角形外角的性質(zhì)可知：∠5＝∠1+∠2，∠4＝∠1+∠3，∠6＝∠4+∠2＝∠3+∠5，∴∠6＝∠1+∠2+∠3，故①②③正確，故答案為①②③．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)即可解決．【解析】∵∠BAC＝120°，∴∠2+∠3＝60°①∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2∠2②把②代入①得：3∠2＝60°，∠2＝20°．∴∠DAC＝120°﹣20°＝100°．20．證法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個(gè)外角．∴∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2．∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），∵∠1+∠2+∠3＝180°．∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°請(qǐng)把證法1補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證法2．【分析】證法1：要求證∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2，則∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；證法2：根據(jù)平角的定義得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝540°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角的和差關(guān)系即可得到結(jié)論．【解析】證明：證法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個(gè)外角．∴∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2．∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），∵∠1+∠2+∠3＝180°．∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°；證法2：∵平角等于180°，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．故答案為：∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2；∠1+∠2+∠3＝180°．21．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線求出∠BAD；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠BAE的度數(shù)，然后根據(jù)角的關(guān)系求出∠DAE即可．【解析】（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∵AD是角平分線，∴∠BAD=1（2）∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∵AE是高，∴∠BAE＝90°﹣40°＝50°，∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝50°﹣35°＝15°．22．（1）60°；（3）90°-12∠A【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°-12（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，易得∠【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，∴∠1=12∠ABC，∠2=1∴∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°-12∠ABC-12∠ACB＝180°-1∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BPC＝180°-12（180°﹣∠A）＝90°+1（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣50°﹣70°＝60°．故答案為60．（2）∵∠A＝80°，∴∠BPC＝90°+1（3）∵∠BPC＝90°+12∠∴∠DPC＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°-1故答案為：90°-12∠23．∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）①圖中有6個(gè)“8字形”；【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論．（2）①根據(jù)“8字形”的定義判斷即可．②根據(jù)“8字形”的性質(zhì)，構(gòu)建關(guān)系式解決問題即可．（3）根據(jù)“8字形”的性質(zhì)，構(gòu)建關(guān)系式解決問題即可．【解析】（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案為：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）①圖中，有6個(gè)“8字形”．故答案為6．②∵AP平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵PC平分∠BCD，∴∠3＝∠4，∵∠1+∠B＝∠3+∠P①，∠2+∠P＝∠4+∠D②，①﹣②得，2∠P＝∠B+∠D＝50°，∴∠P＝