（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 2 第2講 直線、平面平行的判定與性質(zhì)刷好題練能力 文-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第2講直線、平面平行的判定與性質(zhì)1．(2019·常州模擬)下面的說法中，________是平面α∥平面β的一個充分條件．①存在一條直線a，a∥α，a∥β；②存在一條直線a，a?α，a∥β；③存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α；④存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α.解析：若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，故①錯．若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故②錯．若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故③錯．答案：④2．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是________．解析：對于圖形①，平面MNP與AB所在的對角面平行，即可得到AB∥平面MNP；對于圖形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；圖形②③無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行．答案：①④3．過三棱柱ABC-A1B1C1的棱A1C1、B1C1、BC、AC的中點E、F、G、H的平面與平面________平行．解析：如圖所示，因為E、F、G、H分別為A1C1、B1C1、BC、AC的中點，所以EF∥A1B1，F(xiàn)G∥B1B，且EF∩FG＝F，A1B1∩B1B＝B1，所以平面EFGH∥平面ABB1A1.答案：ABB1A14．(2019·徐州月考改編)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的序號是________．①若α⊥γ，α⊥β，則γ∥β②若m∥n，m?α，n?β，則α∥β③若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β④若m∥n，m∥α，則n∥α解析：垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，所以①錯誤；兩個平面內(nèi)的兩條直線平行，這兩個平面不一定平行，所以②錯誤；兩個平面同時垂直于兩條平行直線，這兩個平面平行，所以③正確；兩條平行直線中的一條平行于一個平面，另一條不一定平行于該平面，所以④錯誤．答案：③5.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．解析：因為EF∥平面AB1C，EF?平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，又E為AD的中點，AB＝2，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×eq\r(22＋22)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)6．若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列命題中真命題的序號是________．①若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線；②若m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線；③已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，則n∥β；④若m，n在平面α內(nèi)的射影互相平行，則m，n互相平行．解析：①為假命題，②為真命題，在③中，n可以平行于β，也可以在β內(nèi)，故是假命題，在④中，m，n也可能異面，故為假命題．答案：②7．棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積是________．解析：由面面平行的性質(zhì)知截面與平面AB1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求其面積為eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)8．設(shè)α，β，γ是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，有下列三個條件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命題“α∩β＝a，b?γ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________(把所有正確條件的序號都填上)．解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)b∥β，a?γ時，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，③正確．故填入的條件為①或③.答案：①或③9．如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，PN∥BD，則下列命題中，正確的序號是________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④異面直線PM與BD所成的角為45°.解析：由題意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故①正確；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故②正確；由PN∥BD可知，異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角，又四邊形PQMN為正方形，所以∠MPN＝45°，故④正確；而AC＝BD沒有論證來源．答案：①②④10．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝eq\f(a,3)，過B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________．解析：因為平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥PQ.又因為B1D1∥BD，所以BD∥PQ，設(shè)PQ∩AB＝M，因為AB∥CD，所以△APM∽△DPQ.所以eq\f(PQ,PM)＝eq\f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，所以eq\f(PM,BD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(1,3)，所以PM＝eq\f(1,3)BD，又BD＝eq\r(2)a，所以PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.答案：eq\f(2\r(2),3)a11．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是BC、CC1、C1D1、A1A的中點．求證：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D.證明：(1)如圖，取BB1的中點M，連結(jié)HM，MC1，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，所以HD1∥MC1.又MC1∥BF，所以BF∥HD1.(2)取BD的中點O，連結(jié)EO、D1O，則OEeq\o(\s\do2(══),\s\up2(∥))eq\f(1,2)DC，又D1Geq\o(\s\do2(══),\s\up2(∥))eq\f(1,2)DC，所以O(shè)Eeq\o(\s\do2(══),\s\up2(∥))D1G，所以四邊形OEGD1是平行四邊形，所以GE∥D1O.又D1O?平面BB1D1D，EG?平面BB1D1D.所以EG∥平面BB1D1D.12．在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點．(1)若E為A1C1的中點，求證：DE∥平面ABB1A1；(2)若E為A1C1上一點，且A1B∥平面B1DE，求eq\f(A1E,EC1)的值．解：(1)證明：取B1C1的中點G，連結(jié)EG、GD，則EG∥A1B1，DG∥BB1.又EG∩DG＝G，所以平面DEG∥平面ABB1A1.又DE?平面DEG，所以DE∥平面ABB1A1.(2)設(shè)B1D交BC1于點F，連結(jié)EF，則平面A1BC1∩平面B1DE＝EF.因為A1B∥平面B1DE，A1B?平面A1BC1，所以A1B∥EF.所以eq\f(A1E,EC1)＝eq\f(BF,FC1).因為eq\f(BF,FC1)＝eq\f(BD,B1C1)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(A1E,EC1)＝eq\f(1,2).1．考察下列三個命題，在“________”處都缺少同一個條件，補上這個條件使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi)、m為不同直線，α、β為不重合平面)，則此條件為________．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,l∥m,))?l∥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,))?l∥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,α⊥β,))?l∥α.解析：線面平行的判定中指的是平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，故此條件為：l?α.答案：l?α2．過三棱柱ABC-A1B1C1任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條．解析：各中點連線，只有平面EFGH與平面ABB1A1平行，如圖，在四邊形EFGH中有6條符合題意．答案：63.如圖，矩形ABCD中，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，正確的命題是________．①BM是定值；②點M在圓上運動；③一定存在某個位置，使DE⊥A1C；④一定存在某個位置，使MB∥平面A1DE.解析：取DC中點N，連結(jié)MN，NB，則MN∥A1D，NB∥DE，所以平面MNB∥平面A1DE，因為MB?平面MNB，所以MB∥平面A1DE，④正確；∠A1DE＝∠MNB，MN＝eq\f(1,2)A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根據(jù)余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值．①正確；B是定點，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的圓上，②正確；當(dāng)矩形ABCD滿足AC⊥DE時存在，其他情況不存在，③不正確．所以①②④正確．答案：①②④4．(2019·江蘇省第一次檢測)在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于D，E，F(xiàn)，H.D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為________．解析：取AC的中點G，連結(jié)SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因為SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，則SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分別為AB，BC的中點，則H，F(xiàn)也為AS，SC的中點，從而得HFeq\o(\s\do2(══),\s\up2(∥))eq\f(1,2)ACeq\o(\s\do2(══),\s\up2(∥))DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))＝eq\f(45,2).答案：eq\f(45,2)5．(2019·無錫檢測)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四邊形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，點M在線段EF上．(1)求證：BC⊥平面ACFE；(2)當(dāng)EM為何值時，AM∥平面BDF？證明你的結(jié)論．解：(1)證明：在梯形ABCD中，因為AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四邊形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，所以BC⊥平面ACFE.(2)當(dāng)EM＝eq\f(\r(3),3)a時，AM∥平面BDF，證明如下：在梯形ABCD中，設(shè)AC∩BD＝N，連結(jié)FN，如圖，則CN∶NA＝1∶2.因為EM＝eq\f(\r(3),3)a，而EF＝AC＝eq\r(3)a，所以EM∶MF＝1∶2，所以MF綊AN，所以四邊形ANFM是平行四邊形，所以AM∥NF.又因為NF?平面BDF，AM?平面BDF，所以AM∥平面BDF.6．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積．解：(1)證明：由題設(shè)知，BB1eq\o(\s\do2(══),\s\up2(∥))DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因為A1D1eq\o(\s\do2(══),\s\up2(∥))B1C1eq\o(\s\do2(══),\s\up2(