特殊的平行四邊形（8個知識點）-中考復(fù)習(xí)講義及練習(xí)（解析版）

第五部分四邊形

專題18特殊的平行四邊形（8大考點）

核心考點一矩形的性質(zhì)與判定

核心考點二矩形的相關(guān)證明與計算

核心考點三菱形的性質(zhì)與判定

核心考點四菱形的相關(guān)證明與計算

核心考點

核心考點五正方形的性質(zhì)與判定

核心考點六正方形的相關(guān)證明與計算

核心考點七中點四邊形

核心考點八三角形的中位線

新題速遞

核心考點一矩形的性質(zhì)與判定

命鼠豳尼究

雨（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，AB=2√3,NABC=60。，矩形BEFG

的邊EF經(jīng)過點C,且點G在邊A。上，若BG=4,則BE的長為（）

B

E

A.-B.迪C.√6D.3

22

【答案】B

【分析】過點G作GMLBC于點M,過點C作CNLAD于點N,由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=26,

AD=BC,ZABC=ZD=6Qo,AD//BC,由直角三角形的性質(zhì)求出MG=3,證明△CE,山相似

三角形的性質(zhì)得出空=?竺，則可求出答案.

【詳解】解：過點G作GMLBC于點M,過點C作CNLAD于點M

B

Y四邊形ABCD為菱形,

o

：?AB=BC=CD=,AD=BC,ZABC=ZD=GOfAD//BC,

：.NMGN=90。，

，四邊形GMCN為矩形,

：.GM=CN,

在△CDN中,NZ）=60。，CD=2√3,

/.CN=CZ）?sin60o=273×—=3,

2

,MG=3,

Y四邊形BEFG為矩形，

o

ΛZE=90,BG//EF9

,NBCE=NGBM,

又<ZE=ZBMGf

L∕?GBMsABCE,

.BGGM

??=，

BCBE

?4_3

,*2√3^,

ΛBE=-√3,

2

故選：B.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)，熟

練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

§3（2022?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在矩形ABCZ）中，AB=S,AD=6,E,F分別為AB,AD

的中點，連接EF.如圖2,將AAEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角6（0＜，＜90。），使EFJAD,連接BE并延長交

DF于點H,則NBH。的度數(shù)為,?！ǖ拈L為

【分析】設(shè)E尸交4。于點M,BH交AD于點N,先證明△A。尸S△月打日可得NA。尸=NABE可得

/84Q=NBAQ=90°；然后過點E作EG_LAB于點G,可得四邊形AMEG是矩形,從而得到EG=AMtAG=ME,

ioAF3

ZABE=ZMEN然后求出EG=AM=”，再利用銳角三角函數(shù)可得tanZA"=F=:，從而得到

f5AE4

AG=ME=———=—,進(jìn)而得至IJBG=AB-AG=8—3=二，可得至IJtanNMEN=tanNABE=-=

tanZAEF555BG2

Q

從而得到“N=g,進(jìn)而得到。N=2,即可求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)EF交AD于點M,BH交AD于點N,

根據(jù)題意得：ZBAE=ZDΛF,ZEAF=90°,AFAD=3,AEAB4,

22

.AE3

??---=-f

AF4

在矩形ABCQ中，AB=8,Az)=6,ZBAD=90o,

.AD3

..---——,

AB4

/.XNDFsXABE、

：.ZADF=ZABE9

,.β/ANB=/DNH,

：.NBHD=NBAD=90。；

如圖，過點E作EGLAB于點G,

???ZAGE=ZAME=ZBAD=90o,

???四邊形AMEG是矩形，

：.EG=AM,AG=MEfME//ABf

：.NABE=NMEN,

在∕?Z?AE/中，EF=√AE2+AF2=5?

Ap3

???tanZAEF=——=-,

AE4

YSaef=^AMEF=-AE?AF9

tanZAEF5

tanZMEN=tanZABE==?,

BG2

：.DN=AD-AM-MN=I1

?；NADF=NABE,

.*.tanZ.ADF=tan/ABE=—,

2

BfJDH=2HN9

VDH2+HN2=DH2+{-DH?=DN2^4,

解得：OH=拽或-撞（舍去）.

55

故答案為：90°,延

5

【點睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟

練掌握直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

甌（2022?云南?中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，連接BO,E為線段AO的中點，延長BE與

C。的延長線交于點片連接A尸，NBDF=90°

（1）求證：四邊形ABO尸是矩形；

（2）若AD=5,DF=3,求四邊形ABCF的面積5.

【答案】（1）見解析；

⑵18.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定證得一ABE〈ADFE,即可得到ΛB=DF,從而

證明四邊形ABQF是平行四邊形，再根據(jù)NBDF=90唧可證明四邊形ABD尸是矩形：

（2）根據(jù)全等的性質(zhì)、矩形性質(zhì)及勾股定理得到48=Z）F=3,AF=4,由平行四邊形性質(zhì)求得CF=6,最后利

用梯形的面積公式計算即可.

【詳解】（I）證明：；四邊形A8C。是平行四邊形，

.".AB∕∕CD,B[JAB//CF,

：.ZBAE=ZFDE,

TE為線段AC的中點，

：.AE=DE,

又：NAEB=NDEF,

二.,ABEgΛDFE（ASA）,

LAB=DF,

5L,：AB//DF,

四邊形ABOF是平行四邊形，

,.?NBQF=90°,

；?四邊形ABO尸是矩形；

（2）解：由（1）知，四邊形483尸是矩形，

J.AB=DF=?,,ZAFD=t)0o,

在用ADF中，AF^y∣AD2-DF2≈√52-32≈4,

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=CD=3,

，CF=C0+Z)F=3+3=6,

Λ5=∣(ΛB+CF).AF=^×(3+6)×4=18.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理

等知識，熟練掌握各性質(zhì)及判定定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.

厚命題出敬

1.矩形的性質(zhì)：

(1)矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

(2)矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直知；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等且互相平分；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱

中心是兩條對角線的交點.

(3)由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

2.矩形的判定：

①矩形的定義：有一個角是宜角的平行四邊形是矩形；

②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③對角線相等的平行四邊形是矩形(或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”)

?鷺瑟硼演

【變式1](2022?山東泰安?模擬預(yù)測)如圖，在四邊形ABCO中NADC=ZABC=90。，AD=CD,DPYAB

于點P,若四邊形ABa)的面積是9,則。尸的長是()

D

A.6B.4.5C.3D.2

【答案】C

【分析】如圖，過點。作。交BC的延長線于E,先證明四邊形。/歸E是矩形，再利用AAS證明

ΛADP^ΛCDE,得到DE=DP,SMDP=SMDE,再由四邊形ABCD的面積=9,得到DP?DE=9,則DP=3.

【詳解】解：如圖，過點。作OE,JeC交8。的延長線于區(qū)

?：ZABC=90o,DP1.AB,

???四邊形。尸是矩形，

VZCDE+ZCDP=90o,ZADC=90o,

JZADP+ZCDP=90°,

：.ZADP=NCDE,

'/DP工AB,

,ZAPD=NE=90。，

在&DP和,CDE中，

ZADP=ZCDE

?乙APD=NE,

AD=CD

ΛADP^CDE(AAS),

?*?DE=DP，SAADP=SACDE

???四邊形ABCD的面積=四邊形DPBE的面積=9,

."?DPDE=9,

：.DP=3,

故選C.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形

是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023?安徽淮北?校聯(lián)考一模）如圖，矩形A8C3中，Aβ=4,8C=6,點P是矩形ABa）內(nèi)一

點，連接Q4,PC,PD,若PALPD,則PC的最小值為（）

A.2√13-4B.2√10-3C.2D.4

【答案】C

【分析】由可得點尸在以AO中點O為圓心AD為直徑的圓上，連接8交圓于一點即為最短距離

點，即可得到答案；

【詳解】解：J-Pr＞，

點P在以中點。為圓心AO為直徑的圓上，如圖所示，

連接Cc）交圓于一點即為最短距離點P,如圖所示,

VAB=4fBC=6,

?*?OD=3，DC=4,

根據(jù)勾股定理可得，

OC=J32+42=5,

；?CP=5-3≈2,

故選C.

【點睛】本題考查圓上最短距離問題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓外一點到圓上最短距離點為與

圓心連線的交點.

【變式3］（2022?黑龍江哈爾濱??？级＃┤鐖D，矩形ABCZ）中，AB=4,βC=10,“為的中點，把矩

形沿著過點M的直線折疊，點A剛好落在邊BC上的點E處，則AE的長為.

A___________M___________D

BC

【答案】2不或4石

【分析】如圖1,連接EM,過M作，BC于，,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NBAD=ZABC=90o,AD=BC=IO,

求得B"=40=5,由折疊的性質(zhì)知是線段AE的垂直平分線，得到EM=AM=5,根據(jù)勾股定理得到

AE=y∕AB2+BE2=√4?27=2√5.如圖2,連接AF,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AG=￡G，根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)得到EF=AM=3AO=5,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：為AD的中點，

.?.AM=-AD,

2

如圖1,連接EM,過仞作BC于",

?；四邊形ABCD是矩形，

.?.ZBAD=ZABC=90o,AD=BC=IO,

二四邊形ABHM是矩形，AM=S,

：.MH=AB=4,

：.BH=AM=5,

由折疊的性質(zhì)知叱是線段AE的垂宜平分線，

EM=AM=5,

在Rt?AEH中，EH=VEM2-MH?=√52-42=3，

BE=BH-EH=2,

在RtAABE中，AE=y∣AB2+BE2=√42+22=2√5>

???把矩形沿著過點M的直線折疊，點A剛好落在邊8C上的點E處,

.?.MF是線段AE的垂直平分線，

，AG=EG,

,/AD//BC,

：.ZAMG=ZEFG,

,/ZAGM=NEGF,

：...AMG^..EFG(AAS),

.?.EF=AM=-AD=5,

2

：.AF=5,

二BF=BF=√AF2-AB-=3，

.,.BE=8,

AE=>JAB2+BF2=√42+82=4√5，

故答案為：2石或4√L

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，分類討

論是解題的關(guān)鍵.

【變式4］（2023?陜西西安?陜西師大附中校考模擬預(yù)測）如圖，在矩形488中，A8=3,AO=4,點E、

F在邊AB、ADl.,且ΛE=AF=1,點P為BC上一動點，點。為矩形內(nèi)部一動點，且NEQF=I35。，連接

PD、PQ,則PQ+即的最小值為.

【答案】2屈-I

【分析】連接EF,作點。關(guān)于BC的對稱點“，連接C"、PH,根據(jù)題意可知點。在以A為圓心，AE長

為半徑的圓上運動，從而將PQ+尸。的最小值轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓心的最小值問題.

連接EF,作點D關(guān)于BC的對稱點H,連接CH、PH,

VAE=AF=I,NEQF=I35。

點Q在以A為圓心，AE氏為半徑的圓上運動

點。關(guān)于BC的對稱點為H

-,.PD=PH

.,.PQ+PD=PQ+PH

，PQ+尸。的最小值為4∕-AE

在RtAAHD中根據(jù)勾股定理得

AH=4AD'+DH-=√42+62=2√H

?,.P。+尸。的最小值為A∕∕-AE=2屈-I

故答案為2g-1.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、軸對稱最短路線問題、定弦定角、勾股定理等知識點，熟練掌握上述知

識點是解答本題的關(guān)鍵.

【變式5】（2022?云南文山?統(tǒng)考三模）如圖，在，ABC中，AB=AC,點。是BC的中點，連接"）,點E

是AO的中點，延長BE至點F,使EF=BE,連接AF、CF,BF與AC交于點G,連接。G.

（1）求證：四邊形ADCF是矩形；

（2）若ACJ_8/，AC=3,tanNABC=Ji,求。G的長.

【答案】（1）見解析

⑵6

【分析】（1）證明AAEFHOEB（SAS）,推出A尸〃DB,由等腰三角形的性質(zhì)推出。B=DC,ADIBC,

證明四邊形AoCF是平行四邊形，據(jù)此即可得出結(jié)論；

（2）由等腰三角形的性質(zhì)以及tanNABC=0,推出AO=08，由勾股定理推出CD?+人》==9，

求得8C=2√j,再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（I）證明：；點E是AD中點，

AE=DE,

AE=DE

在△AEF和▲DEB中，｛NAEF=ZDEB,

[EF=EB

：.AAEF學(xué)乙DEB(SAS),

：.AF=DB,ZAFE=ZDBE,

.,?AF//DB.

；AB=AC,點。是BC中點，

DB=DC,ADlBC,

：.AF=DC,ZADC=90°.

，四功形M)C尸是平行四邊形，

,/ZADC=90。，

；?平行四邊形A。CF是矩形；

(2)解：；A3=AC,點。是BC中點，

ΛDB=DC,AD±BC,tanZABC=tanZACB=√2.

?'?-^=V2,即Ar)=辰》，

VCD2+AD2=AC2=9B∣JCD2+2CD2=9.

?,.CD=√3.βC=2CD=2√3,

VAClBF,即NBGe=90。，且點Z)是BC中點，

.,.DG=>BC=6.

2

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定，解答本題

的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

核心考點二矩形的相關(guān)證明與計算

￡3(2021.四川綿陽.統(tǒng)考中考真題)如圖，在等腰直角JLBC中，ZC=90o,M.N分別為8C、AC上

的點，NCNM=50°,尸為MN上的點，且尸C=IMN,NBPC=II7。,則NABP=()

B

CNA

A.22oB.23oC.25oD.27o

【答案】A

【分析】作輔助線，構(gòu)建矩形，得P是MN的中點，則例P=NP=CR根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外

角的性質(zhì)可解答.

【詳解】解：如圖,過點M作MG，BC于過點N作NGLAC于N,連接CG交MN于”,

.?.ZGMC=NACB=NCNG=90°,

二四邊形CMGN是矩形，

：.CH=gcG=?^MN,

：PC=與MN,

存在兩種情況：

如圖，CP=CPI=WMN,

B

①尸是MN中點時，

LMP=NP=CP,

：.ZCNM=NPCN=50。,NPMN=ZPCΛ∕=90o-50o=40o,

：?ZCPM=180o-40o-40°=100°,

???ZXABC是等腰直角三角形，

：?NABC=45。，

YNCPB=Il7。,

JNBPM=I17o-∣00°=17。，

?：ZPMC=ZPBM+ZBPM9

ΛZPBΛ∕=40o-17o=23o,

：,NA8P=450-23°=22°.

②CP】=；MN,

：.CP=CPh

工NCPPl=NCP)=80。,

?；NBPlC=M7。,

：.ZSP∕M=H7o-80°=37°,

ΛZΛ∕BP∕=40o-37o=3o,

而圖中NMBH>NMBP,所以此種情況不符合題意.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識，作出輔

助線構(gòu)建矩形CNGΛ∕證明P是MN的中點是解本題的關(guān)鍵.

甌（2021?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABC。，AB=I,8C=2,點A在X軸正半軸上，點。

在y軸正半軸上.當(dāng)點A在X軸上運動時，點。也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點。的

最大距離為

【答案】√2+l??l+√2

【分析】取AD的中點H,連接C”，OH,由勾股定理可求CH的長，由直角三角形的性質(zhì)可求的

長，由三角形的三邊可求解.

【詳解】如圖，取AD的中點〃，連接CH,OH,

.?.CD=AB=?,AD=BC=2,

點//是AD的中點，

.-.AH=DH=I,

.-.CH=y∣DH2+CD2=7F+T=√2，

.ZAOD=90°,點H是AO的中點,

..OH=-AD=X,

2

在AOC”中，CO<OH+CH,

當(dāng)點H在OC上時，CO=OH+CH,

：.C0的最大值為OH+CH=yIl+?,

故答案為：>∕2+1-

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的三邊形關(guān)系，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)

輔助線構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵.

甌(2022.湖北十堰?統(tǒng)考中考真題)如圖，YABC。中，AC,3。相交于點0,E,F分別是Q4,OC

的中點.

D_____________________c

⑴求證：BE=DF-,

AΓ

(2)?-=?,當(dāng)A為何值時，四邊形OEB尸是矩形？請說明理由?

BD

【答案】(1)證明見解析

(2)當(dāng)&=2時，四邊形￡>￡BE是矩形，理由見解析

【分析】(I)連接OEBf,先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得04=OC,08=OD,再根據(jù)線段中點的定義可

得OE=gθA=gθC=OF,然后根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形OEB尸是平行四邊形，最后根據(jù)平行四

邊形的性質(zhì)即可得證：

(2)先根據(jù)矩形的判定可得當(dāng)BD=所時，四邊形Z)EB尸是矩形，再根據(jù)線段中點的定義、平行四邊形的

性質(zhì)可得AC=2EF,由此即可得出女的值.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。E,BF,

Z)________________________=C

???四邊形ABCD是平行四邊形,

OA=OCyOB—OD,

E,F分別是Q4,OC的中點,

.'.OE=-OA=-OC=OF,

22

.??四邊形Z）EB/是平行四邊形，

.-.BE=DF.

（2）解：由（D已證：四邊形DEB廠是平行四邊形，

要使平行四邊形DEBF是矩形，則BD=EF,

OE=-OA=-OC=OF,

22

.?.EF=OE+OF=-OA+-OC=OA=-AC,AC=IEF,

222

：.k=-2,

BDEF

故當(dāng)％=2時，四邊形DEBF'是矩形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定等知識點，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)

是解題關(guān)鍵.

【變式1】（2021.浙江寧波??？既＃┤鐖D，在ASC中，點E是線段AB上一點，EDLBC于點D,四

邊形GE為矩形，若BC=DG,ΛBC的面積為“，矩形Ez）G尸的面積為匕，則下列圖形中面積可以確

定的是（）

A.Z?8∕）E的面積B.四邊形ACG尸的面積

C.梯形。CH的面積D.△AEF的面積

【答案】D

（分析］過點A作AN，BC于點N,交EFF點M,根據(jù)矩形的性質(zhì)和梯形的性質(zhì)利用面積公式解答即可.

【詳解】解：過點A作4V_LBC于點N,交EF千點、M,

BC=DG,

：.Sλbc=^DG-AN=a,

則4V?0G=20,

，S矩形EDGr=ED?DG=b,

則石。?DG=力,

.?四邊形EZ)G尸為矩形，

.?.AFED=ZEDG=90°,

.ANlBC,

..ZANB=W,

???四邊形EZWM為矩形,

MN=ED,

.?DG×(AN-ED)=2a-bf

:.AN-ED=^^-=AM,

DG

SAEF=gAA/?EF,

EF=DGf

,S語=；X第XDG=g(2α-b),

ZIJKJZ

.二AE尸的面積可以確定，

故選：D.

【點睛】此題考查梯形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)得出MN=ED解答.

【變式2】(2022?湖南婁底?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在矩形ABC。中，OE平分一ATQ交BC于點E,點產(chǎn)

是CQ邊上一點（不與點。重合）.點尸為OE上一動點，PE<PD,將NDPF繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。后,

角的兩邊交射線。A于"，G兩點，有下列結(jié)論：ΦDH=DE;②DP=DG；③DG+DF=6DP;④

DPDE=DHDC,其中一定正確的是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

【答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷得AGPH三ΔDPF(A弘)，可判斷③正確，證APr歸ACDE可判斷④正確,

從而得出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，NDPH=NGPF=90。,

?.?OE平分NAr>c,

.?.NHDP=45°,

二ZDHP=ZPDH=ZPDF=45°,

：.PH=PD,

,/NDPH=NGPF=90。

：.NGPH=ZDPF

在AGPH和ADP尸中，

ZGHP=ZFDP

?：PH=PD

NGPH=ZDPF

：.AGPH≡ADPF(ASA)

：.HG=DF

?,ZPDH=45°

?-?DH=y∣2DP

DF+DG=GH+DG=DH=y[2DP

故③正確；

??ZPDH=ZPDF=45o,ADPH=ZDCE=90°

?PDHACDE

.DHDP

"DE-CD

即DP?DE=DH?DC,

故④正確；

根據(jù)已知條件無法證明①O"=OE,②DP=DG.

故選：D.

【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、三角形的全等、三角形的相似，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

【變式3］（2022?黑龍江哈爾濱?校考二模）已知矩形ABCQ,點E在AO邊上，DE<AE,連接8E,點G

在BC邊上，連接EG,BE平分ZAEG,若BG=5GC,DE=2CG,Bf=2√10,則一ABE的面積是

【答案】4√6

［分析］過點E作￡415C于H,設(shè)CG=X,則。E=2x,8G=5x,證明ZAEB=ZEBG,得到BG=EG=5x,

再求出HG=GC=1,則8G=5,BH=4,由勾股定理可求E"的長，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點E作于“，

BG=5x,

8E平分NAEG,

:.ZAEB=ABEG,

AD//BC,

.?.ZAEB=NEBG,

BG=EG=5x,

QEHABC,ZD=ZC=90o,

???四邊形OC是矩形，

DE=CH=2x，

.?HG=x,BH-4x,

EH'=BE1-BH2，EH2=EG2-HG2,

Λ40-16√=25√-X2.

.,.χ=l（負(fù)值舍去），

.?.BG=5,BH=4,HG=I=GC,DE=I,

..BC=6,EH=yjBE2-BH2=√4O-I6=2√6，

.?AE=4,

=—×2>∕6X4=4>∕6,

故答案為：4χ∕δ.

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理求出CG的長是解題的關(guān)鍵.

【變式4］（2022?陜西咸陽?統(tǒng)考一模）如圖，在RtA4BC中，ZC=90o,AC=3cm,βC=4cm,。是AB

上一點，Z）EJ_AC于點E,BC于點F,連接E尸，則EF的最小值為cm.

【答案】2.4##M

【分析】證明四邊形CF7)E是矩形，由垂線段最短可得，當(dāng)時，線段。的值最小，即線段EF的

值最小，求得此時的最小值即可.

【詳解】解：如圖，連接CD

VZACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,

.,.ΛB=√9+16=5(cm),

VDELAC,DF±BC,ZACB=90°,

二四邊形CFZ)E是矩形.

：.EF=CD,

由垂線段最短可得，當(dāng)時，線段C。的值最小，即線段E尸的值最小.

此時，SABC=^BCAC=^ABAC-

解得C￡）=2.4Cm.

.?.EF的最小值是2.4cm.

故答案為：2.4.

【點睛】本題考杳了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理,解決問題的關(guān)鍵在于判斷出C

時，線段CO的值最小.

【變式5］（2022?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考三模）在四邊形ABCZ）中，AB〃C。，點E在Az）上，連接BE,CE,

AABE”ADCE.在四邊形ABCz）中，AB∕/CD,點E在A。上，連接8E,CE,AABE絲ADCE.

⑴如圖1,求證：四邊形4BCE＞為矩形；

⑵如圖2,連接AC交BE于點尸，點G在CF上，AF=2CG,連接BG,在不添加任何輔助線的情況下,

直接寫出圖中所有面積為四邊形ABCO面積的g的三角形.

4

【答案】（1）見解析

（2）ABE，CDE,ΛACE,BFG

【分析】（1）先證明四邊形四邊形ABCD為平行四邊形，然后再證得有一個角是直角即可;

（2）根據(jù)題意直接寫出即可.

⑴

??AABE名ADCE,

ΛAB=CDfZA=Zr>,

???AB∕∕CD,

???四邊形A3C。是平行四邊形，ZA+ZD=180°,

/.ZA=ZD=90。，

???四邊形ABCD為矩形；

(2)

?.,AABE會LDCE,

???AE=DE=-AD.

2

?■SΔABE=^AB-AE=^AB^AD=^ABAD=^n.ABCDi

^cde=^AB-DE=^AB^AD=^ABAD；

^ACE=?AB-AE=^AB-^ADΛAB-AD=^Smco..

VAD/∕BC,AE=DE=-AD=-BC,

22

JAAEFS∕?CBF,

,AFAEI

??-------=一,

CFBC2

XVAF=2CG,

:?CF=ACG,

/.FG=3CGfAC=AF+FG+CG=6CG,

.,.FG=-AC,

2

.-LIc-?e

?d_-

**?BFG-/ΔASC2。矩形ABCO'矩形ABCD*

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

核心考點三菱形的性質(zhì)與判定

D意題圖究

雨（2022.山東荷澤?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,ZABC=60°,M是對角線8。上的

一個動點，CF=BF,則M4+M廠的最小值為（）

D

Λ/

A.1B.√2C.√3D.2

【答案】C

【分析】連接AF,則AF的長就是AM+所的最小值，證明AABC是等邊三角形，A尸是高線，利用三角函

數(shù)即可求解.

【詳解】解：連接4凡則AF的長就是AM+FM的最小值.

；四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC,

又：NABC=60°,

...△A8C是等邊三角形，

,/CF=BF

尸是BC的中點，

：.AF±BC.

則AF=A小sin60°=2x正=6.

2

即M4+MF的最小值是6.

故選：C

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形以及三角函數(shù)，確定AF的長就是的最小值是關(guān)鍵.

甌（2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2,NABC=60。，對角線AC與8。交

于點。，E為。B中點，尸為中點，連接班則EF的長為.

【答案】叵

2

【分析】由菱形的性質(zhì)可得A8=AO=2,NABD=30。,ACYBD,BO=DO,由三角形中位線定理得尸”=

yΛO=y,FHAO,然后求出OE、OH,由勾股定理可求解.

【詳解】解：如圖，取的中點"，連接

：四邊形ABCQ是菱形，NABC=60。，

：.AB=AD=-2,ZABD=30o,ACLBD,BO=DO,

：.AO=^AB=\,BO=√22-I2=也=DO,

；點H是。。的中點，點尸是AO的中點，

：.FH=AO=^-,FH.AO,

：.FHlBD,

?.?點E是B。的中點，點”是On的中點,

IOE=B,OH=B,

22

LEH=日

：.EF=>JEH2+FH2=,3+：=孚，

故答案為：巫.

2

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

甌（2022.廣東廣州.統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABeD中，NBAD=I20。，AB=6,連接BD.

（1）求BD的長；

（2）點E為線段8。上一動點（不與點B,。重合），點尸在邊AO上，且8E=√^OF,

①當(dāng)CE」.AB時，求四邊形ABEF的面積；

②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+6CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+6CF的最小值；如

果不是，請說明理由.

【答案】（I）BO=6石；

⑵①四邊形ABEF的面積為7百：②最小值為12

【分析】（I）證明AABC是等邊三角形，可得803√3?即可求解；

（2）過點E作AD的垂線，分別交4。和8C于點M,N,根據(jù)菱形的面積可求出MN=36,設(shè)BE=X,

則EN=gx,從而得到EM=MN-EN=3√5-gx,再由BE=R可得/從而得至IJ四邊形ABE尸

的面積s=SzAM-SDEF+笥巨，①當(dāng)CELAB時，可得點E是AABC重心，從而得到

βE=CE=∣B（9=∣×3√3=2√3,即可求解；②作CHLAD于",可得當(dāng)點E和尸分別到達(dá)點。和點”位置時,

C尸和CE分別達(dá)到最小值；再由S=*（χ-3√5）'+竽，可得當(dāng)X=3√5,即時，S達(dá)到最小值,

從而得到此時點E恰好在點。的位置，而點尸也恰好在點H位置，即可求解.

【詳解】（1）解：連接AC,設(shè)AC與BO的交點為0,如圖，

D

Y四邊形ABC。是菱形，

.".ACl-BD,OA=OC,AB//CD,AC平分NOA8,

；NBAD=120°,

ZCAB=60o,

二Z?A8C是等邊三角形，

二BO=AB?sin60°=6×^=3√3.

二BD=2BO=6也；

（2）解：如圖，過點E作A。的垂線，分別交4。和BC于點M,N,

?.?△A8C是等邊三角形，

?u?AC=AB=G,

由（1）得：BD=60

菱形ABC。中，對角線80平分NA8C,AB∕∕CD,BC=AB=6,

,MN工BC,

β.?ZBAD=120°,

JNABC=60。，

.β.NEBN=30°；

：?EN=；BE

?^ABCD=?ACBD=MN-BC.

?.MN=3g,

設(shè)BE=X,則EN=,

2

1

X

〈EM=MN-EN=362-

?S修ABCD=ADaMN=6X??/?=18√3，

*.SΔΛBD=5SrΛBCD=9>∕3>

：BE=y∕3DFt

?.DF=華力

X，

√33

?.SADEF=WDF=EM=S&+，，

122

記四邊形ABM的面積為s,

：.S=S屈BD-SADEF=96-(-—x2+^x)=烏χ-3扃+空回,

122121J4

：點E在Bo上，且不在端點，.?.0<BE<BQ,B∣Jθ<x<6√3;

①當(dāng)CElAβItt,

VOBlAC,

點E是△ABe重心，

.,.BE=CE=-BO=-×3√3=2√3,

33

此時S=^l(2百-3后『+笞8=76，

,當(dāng)CEL48時，四邊形ABE尸的面積為7√L

②作C〃_LAO于H,如圖,

D

'JCOl-BD,CHLAD,而點E和尸分別在8。和A。上，

當(dāng)點E和尸分別到達(dá)點0和點”位置時，CF和CE分別達(dá)到最小值；

在菱形ABCZ)中，AB//CD,AD=CD,

'：ZBAD=120o,

：.NAOC=60。，

.?.ZVlCO是等邊三角形，

：.AH=DH=3,

,?CH-??/?,

..√3∕.∕τ√27√3

?s=*?(x-3j3)+丁，

二當(dāng)x=3石,即BE=3百時，S達(dá)到最小值，

YBE=6DF,

.,.DF=3,

此時點E恰好在點0的位置，而點尸也恰好在點“位置，

當(dāng)四邊形ABEF面積取得最小值時，CE和CF也恰好同時達(dá)到最小值，

??.CE+GCF的值達(dá)至IJ最小，

其最小值為CO+√3CW=3+√3×3^=12.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直

角三角形等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解

直角三角形等知識是解題的關(guān)鍵.

厚命題西破

1.菱形的性質(zhì):

(1)菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

(2)菱形的性質(zhì)：

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.

(3)菱形的面積計算

①利用平行四邊形的面積公式.②菱形面積=L必.(a、b是兩條對角線的長度)

2

2.菱形的判定：

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形)；

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形(或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”).

【變式1】(2023?安徽淮北?校聯(lián)考一模)如圖，菱形ABCD的邊長為4cm,NA=60°,點E,F在菱形ABa)

的邊上，從點A同時出發(fā)，分別沿A→8→C和A→D→C的方向以每秒ICm的速度運動，到達(dá)點C時停

止，線段EF掃過區(qū)域的面積記為y(c∏?),運動時間記為MS)，能大致反映y與X之間函數(shù)關(guān)系的圖象是

【答案】C

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合題意，分兩種情況討論，0≤x≤4時，當(dāng)4<x≤8時，根據(jù)三角形的面積公

式建立函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函函數(shù)的圖象的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解析：當(dāng)Ow4時，過點尸作戶MLAB于如圖1,

.?.AF=AE=x,ZA=60°,

G

貝IJFM=AF-sinA=-x,

2

???線段EF掃過區(qū)域的面積y=2x?立X=走爐，圖象是開口向上，位于y軸右側(cè)的拋物線的一部分，

224

當(dāng)4<x≤8時,

如圖2,過點JF作短VJ.BC于N,則CE=CF=8-x,

...FN=Qg-X）,

線段EF掃過區(qū)域的面積y=4x26-；x（8-x）X#（8-x）=8石-乎（8-x『，

圖象是開口向下，位于對稱軸直線x=8左側(cè)的拋物線的一部分，

圖1圖2

故選：C.

【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次

函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2】（2022?遼寧營口?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=°a>O,x>0）的圖像與菱

形Q4BC的邊OC,A8分別交于點V、N,且OM=2MC,0A=6,ZCftA=60°,則N的橫坐標(biāo)為（）

A.7B.6+√3C.3√13D.3+√13

【答案】D

【分析】分別過點M、N作X軸的垂線，垂足分別為從G,根據(jù)題意求得OM=4,在放_。例”中，OM=4,

NAOC=60。，則?！?2,.揚/=2√3.故點M的坐標(biāo)為（2,2√5）,利用待定系數(shù)法求得氏=48，在RtNAG

Ψ,設(shè)4V=24,ZM4G=60o,則AG=α,NG=也a，則點N的坐標(biāo)為（6+α,岳），代入反比例函數(shù)的解析

式，即可得到關(guān)于。的方程，解方程求得“的值，進(jìn)而求得點N的橫坐標(biāo).

【詳解】解：分別過點M、N作X軸的垂線，垂足分別為〃、G,

OC=OA=6,

?：OM=2MC,

2

JOM=-χ6=4,

3

在HoM，中，OM=4,NCOA=60。，則0H=2,MH=2√3-

?,.點M的坐標(biāo)為（2,2百），

；點M在反比例函數(shù)y=4k>0,x>0）的圖像上,

X

A:=2×2√3=4√3,

.?.反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=生叵（尤>0）,

X

設(shè)4V=24,

?.?OC//AB.

：.ZAOC=ZΛ?G=60。，

在MΛ?G中，設(shè)ATV=2α,ZΛ?G=60o,則AG=α,NG=?，

，點N的坐標(biāo)為((6+α,√3α),

點N在反比例函數(shù)y=&叵(x>0)上，

X

?**(6+α)??∣3a=4?/3,

解得α=-3+(負(fù)值已舍去)，

,?6+α=3+>/13,

???乂的橫坐標(biāo)為3+至，

故選：D.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形等，

求得點M的坐標(biāo)，表示出點N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

【變式3］（2023.陜西西安.陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形ABCQ中，對角線AC與8。相交于

2

點0,過點。作。EIC。，交AC于點￡,若AC=6,tanZACB=-,則OE的長是.

【答案】巫

3

【分析】先求出菱形的邊長，再利用等角的正切值相等求解即可.

【詳解】解：：四邊形ABCD是菱形，

ΛAC±BD,0A=0C=-AC=3,DC=BC,ZDCE=ZACB,

2

?：tanZACB=-,

3

.,.OB=3×-=2,

3

?'?BC=√32+22=√13-

，CD=√13,

2

?/DEVCD,tanZDCE=tanZACB=-,

3

JOE=CDtanNZ）CE=√ilχ2二獨?,

33

故答案為：口叵.

3

【點睛】本題考查J'菱形的性質(zhì)與正切函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，本題用到的有菱形的四

條邊都相等，菱形的對角線互相垂直平分，且平分一組對角.

【變式4】（2022?江西萍鄉(xiāng)?校考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCz）中，BC=IO,尸為AO的中點，點E在8。

上，F(xiàn)ELBD,EF=4,將△。戶E沿OB方向平移，使點F落在AB上，則ADFE平移的距離為.

【分析】連接AC交3。于點0,過點F作FG〃BD交43于點G,根據(jù)菱形四邊相等得到Az）=I0,根據(jù)中

點定義得到。尸=5,根據(jù)勾股定理得到DE=3,根據(jù)菱形對角線互相垂直證明防〃AC,求出8=6,根

據(jù)菱形對角線互相平分得到%>=12,根據(jù)平行線分線段成比例得到FG=6,即得△￡>/話平移的距離.

【詳解】解：如圖，連接AC,交5。于點0,過點F作尸G〃加，交AB于點G,

；四邊形A6C。是菱形,

二AD=BC=XQ,

：于為AD的中點,

.,.DF=-AD=5,

2

VEF=A,FELBD,

?"?DE=y∣DF2-EF2=3，

,.?AClBD,

/.EF∕7AC,

.DEDF

..--=--=1λ,

OEAF

：.OD=2DE=6,

OB=ODf

：.BD=2OD=12,

VAF=DF.FG//BDf

.AGAF

..==1λ

BGFD

???AG=BG.

：.FG=-BD=6,

2

二將△。尸E沿OB方向平移，使