重組卷04-2023年高考數(shù)學(xué)真題重組卷（上海）（解析版）

絕密☆啟用前

沖刺2023年高考數(shù)學(xué)真題重組卷04

數(shù)學(xué)（上海地區(qū)專用）

考生注意：

1、本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.

2、本試卷分設(shè)試卷和答題卡.試卷包括試題與答題要求，作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x

擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.

3、答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準(zhǔn)考證號碼等相關(guān)信息.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1一6題每題4分，第7—12題每題5分）

考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1、（2015?上海?統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集U=R.若集合A={l,2,3,4},B={X∣2≤X≤3},則

ACuB=

【答案】{1,4}

【詳解】因為G73={x∣x>3垢<2},所以ACCB={41}

考點：集合運算

2、（2017?上海.統(tǒng)考高考真題）若排列數(shù)""'=6x5x4,則

【答案】3

【詳解】由優(yōu)=6χ5χ（6+I）=6χ5x4,所以6τw+l=4,解得，“=3.

%X∈（—OOQ）

；',若f（2）=4,貝IJa的取值范圍為

1x2,x∈[α,+∞）

【答案】（7,2]

【詳解】由題意，若α>2,貝∣Jf（2）=2不合題意，因此α≤2.此時xe[α,+∞）時，/⑶=/

滿足"2）=4.

【考點】分段函數(shù).

22

匕-三=1

4、（2011?上海?高考真題）設(shè)機為常數(shù)，若點尸（°，5）是雙曲線加9的一個焦點，則W=

【答案】16

【分析】根據(jù)雙曲線的焦點坐標(biāo)，判斷出雙曲線焦點所在的坐標(biāo)軸，再根據(jù)C?=/+從列方

程，求得〃?的值.

【詳解】雙曲線的焦點坐標(biāo)為*0,5）,故焦點在>軸上，由/=/+〃得25=〃?+9,機=16.

【點睛】本小題主要考查根據(jù)雙曲線的焦點坐標(biāo)求雙曲線的方程，屬于基礎(chǔ)題.

5、（2011?上海?高考真題）在極坐標(biāo)系中，直線。（2cos6+sin0=2與直線夕CoSe=I的夾

角大小為.

【答案】arccos

5

【分析】分別將直線化為直角坐標(biāo)方程，進而由斜率可求傾斜角，可得夾角.

【詳解】直線P（2cos9+sin0）=2化為直角坐標(biāo)系方程可得：2x+y=2,

直線0cosO=l化為直角坐標(biāo)系方程可得：χ=l,

由2x+y=2得斜率為-2,設(shè)直線與x=l的夾角為αe[0,g,

sin(--α)

.,π??..2CoSaC

貝nI1Jtan(彳一a)=2,所cr以---------=------=2,

2CoS(A)Snm

Xsin2a+cos2a=1,解得cosa=

5

所以α=arccos

5

2√5

故答案為：arccos

^5^

6、（2015?上海統(tǒng)考高考真題）若正三棱柱的所有棱長均為“，且其體積為16百，則〃=

【答案】4

【詳解】試題分析：V=Ba2xa=?66。=4.

4

考點：棱柱的體積.

【名師點睛】1.解答與幾何體的體積有關(guān)的問題時，根據(jù)相應(yīng)的體積公式，從落實公式中

的有關(guān)變量入手去解決問題，例如對于正棱錐，主要研究高、斜高和邊心距組成的直角三角

形以及高、側(cè)棱和外接圓的半徑組成的直角三角形；對于正棱臺，主要研究高、斜高和邊心

距組成的直角梯形.

2.求幾何體的體積時，若給定的幾何體是規(guī)則的柱體、錐體或臺體，可直接利用公式求解；

若給定的幾何體不能直接利用公式得出，常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等求解.

7、（2019年上海高考真題）在ΔABC中，AC=3,3sinA=2sinB,且COSC=工，則4?=

4

（解答］解：3sinA=2sin3,

???由正弦定理可得：3BC=2ΛC,

由AC=3,可得：BC=2,

L1

cosC=-?

4

???由余弦定理可得：-I=打2二四，

42×3×2

解得：AB=>/10.

故答案為：√ιo.

8、（2021年上海高考真題）在圓柱中，底面圓半徑為1,高為2,上底面圓的直徑為AB.C

是底面圓弧上的一個動點，繞著底面圓周轉(zhuǎn)，則43C的面積的范圍.

【答案】［2,6

當(dāng)點C在E點影時，面積最小S=-?AB∕=2;

2

當(dāng)點C在底面圓弧EF的中點時，面積最大S=LAB/=也，

2

由于變化的連續(xù)性及任意性，因此,ABC面積的取值范圍為［2,行］

9、（2016?上海?統(tǒng)考高考真題）在（證-的二項式中，所有項的二項式系數(shù)之和為256,

則常數(shù)項等于.

【答案】112

【詳解】由二項式定理得：所有項的二項式系數(shù)之和為2"，即2"=256,所以〃=8,又二項

展開式的通項為?84,令1-力=(),所以r=2,所以外=112,

兀=Q(必嚴(yán)(一)'=(-2)PR「

X

即常數(shù)項為112.

【點睛】根據(jù)二項展開式的通項，確定二項式系數(shù)或確定二項展開式中的指定項，是二項式

定理問題中的基本問題，往往要綜合運用二項展開式的系數(shù)的性質(zhì)、二項展開式的通項求解.

本題能較好地考查考生的思維能力、基本計算能力等.

-x+a,x≤O,

10、(2014?上海?高考真題)設(shè)AX)={1若/⑼是/(X)的最小值，則“的取值范

XH--,X>0,

X

圍是.

【答案】(-∞,2]

【詳解】由題意,當(dāng)x>0時,/(x)的極小值為/⑴=2.當(dāng)x≤O時，/3極小值為/(O)=

/(0)是/S)的最小值，則α≤2.

【考點】函數(shù)的最值問題..

11、(2015?上海?統(tǒng)考高考真題)已知點P和Q的橫坐標(biāo)相同，P的縱坐標(biāo)是Q的縱坐標(biāo)的2

倍，P和Q的軌跡分別為雙曲線Cl和.若Cl的漸近線方程為)'=±6χ,則C?的漸近線

方程為.

【答案】y=±^-x

22

【詳解】由題意得：C-3』=Z(ZIWo)設(shè)Qx,y),則P(x,2y),^3χ-4y=λ,

即C?的漸近線方程為y=±*x

考點：雙曲線漸近線

12、(2011?上海?高考真題)設(shè)g(x)是定義在R上、以1為周期的函數(shù)，若"x)=x+g(x)在

[°，1]上的值域為-2,5],則F(X)在區(qū)間[0,3]上的值域為

【答案】[-2,7]

【分析】根據(jù)x∈[0,l]J(x)=x+g(x)e[-2,5],分別求出在區(qū)間[1,2],[2,3]的值域即可得解

【詳解】g(x)是定義在R上、以1為周期的函數(shù)，

F(X)=X+g(x)在[0,1]上的值域為[-2,5],

X∈[0,1],/(x)=x+g(x)∈[-2,5].

x+1∈[l,2],∕(x+l)=x+l+g(x+l)=x+l+g(x)∈[-l,6],

x+2∈[2,3],∕(x+2)=x+2+g(x+2)=x+2+g(x)∈[θ,7],

所以F(X)在區(qū)間K),3]上的值域為[-2,7].

故答案為：[-2,7]

二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分，每題5分)每題有且只有一個正確選項，考生

應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13、(2015?上海?統(tǒng)考高考真題)已知點A的坐標(biāo)為(4?1)，將C)A繞坐標(biāo)原點。逆時針

π

旋轉(zhuǎn)E至OB,則點B的縱坐標(biāo)為.

A.生■B.述C.-D.-

2222

【答案】D

【詳解】OB=OA?(cos工+isin工)=(4√5+i)?d+且，)=述+Ui，即點B的縱坐標(biāo)為:

3322222

考點：復(fù)數(shù)幾何意義

14、(2022年上海高考真題)若實數(shù)“、6滿足”>b>O,下列不等式中恒成立的是()

A.α+fe>2√?bB.α+?<2√?bC.A+2?>2√?bD.A+2fe<2√^b

22

【分析】利用已知條件以及基本不等式化簡即可判斷求解.

【解答】解：因為”>6>0,所以“+6》2日，當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號，

又α>%>0,所以α+Z>>,故A正確，8錯誤，

?+2b×2b=2√?b.當(dāng)且僅當(dāng)?∣?=2b?即。=4匕時取等號，故CO錯誤，

故選：A.

【點評】本題考查/基本不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

c,:—+2-=1

15、(2017?上海?統(tǒng)考高考真題)在平面直角坐標(biāo)系X。)'中，已知橢圓364和

c?√+Z=ι.P為α上的動點，Q為G上的動點，■是°p?°°的最大值.記

29

O={(P,Q)I尸在G上，。在°?上且OP?OQ=M,則^^中元素個數(shù)為

A.2個B.4個C.8個D.無窮個

【答案】D

222

【詳解】橢圓G：獲+?=ι和C?:/+*1,P為c」動點，。為G上動點，

可設(shè)P(6cos0,2sintz),Q(cosp,3sinβ),0<a,β<2π,

則OP?OQ=6cos(2cos∕7+6SinaSin∕?=6cos(α-/?).

當(dāng)α--=2Ajτ∕eZ時，W取得最大值6,

則Ω={(P,Q),P在G上，。在C?上，且OpoQ=M中的元素有無窮對，故選D.

16、(2019年上海高考真題)以(q,0),(a2,0)為圓心的兩圓均過(1,0),與)，軸正半軸

分別交于(y∣,0),(γ210),且滿足協(xié)+姐,=0,貝IJ點(1」)的軌跡是()

%?2

A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線

【解答】解：因為(=∏-R=而；+犬,則y；=l-2q,

同理可得及=]-2叼,

又因為l∏yi+Iny2=0,

所以NM=1，

則(1-24)(1-2?)=1,

BP2ala2=tz1+?,

1

X=—

設(shè)：,則x+y=2為直線,

y=-

〃2

故選：A.

三、解答題（本大題共5小題，滿分76分）

ΛΛ

17、（2016?上海.統(tǒng)考高考真題）將邊長為1的正方形0°（及其內(nèi)部）繞°。旋轉(zhuǎn)一周

2π工

形成圓柱，如圖，AC長為石，A與長為3,其中及與C在平面M00的同側(cè).

（I）求三棱錐C-OME的體積；

（2）求異面直線BC與AA所成的角的大小.

【答案】（1）正（2）f.

124

【詳解】試題分析：（1）由題意可知，圓柱的高〃=L底面半徑r=LZA1O1B1,再

由三角形面積公式計算S。網(wǎng)B,后即得.

（2）設(shè)過點Bl的母線與下底面交于點B,根據(jù)BB∣//AA-知NCBF或其補角為直線BC與

AA所成的角，再結(jié)合題設(shè)條件確定NCOB=CB=I.得出NCBIB=B即可.

試題解析：（1）由題意可知，圓柱的高％=1,底面半徑r=l.

由Ag的長為上，可知∕AQ∣B∣=（.

1/?

SΛB

0,,I=?O1A1O1B,?sinZΛ10lBl=~.

v一底匕_2

yn

C-OlAlBt-??O1A1B1'~~^'

（2）設(shè)過點。的母線與下底面交于點B,則BB"∕AA∣,

所以NCBIB或其補角為直線BC與AAl所成的角.

Ojr_2冗

由AC長為g,可知NAOC=莖，

Tr

又所以NCOB=w,

3

ZAOB=ZA1O1B1=-

從而COB為等邊三角形，得CB=1.

因為BIBj_平面AOC,所以B∣BJ.CB.

JrTr

在，CB∣B中，因為NBlBC=CB=LB1B=I,所以NCBlB=彳,

從而直線BC與AAI所成的角的大小為二.

4

【考點】幾何體的體積、空間角

【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題時，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、

直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題.立體幾何中的

角與距離的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選

擇方法.本題能較好地考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運

算能力等.

18、（2017,上海.統(tǒng)考高考真題）根據(jù)預(yù)測，某地第〃（〃eZ）個月共享單車的投放量和損失

量分別為""和"（單位：輛），

其中2=〃+5,第〃個月底的共享單車的保有量是前"個月的

累計投放量與累計損失量的差.

（1）求該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量；

（2）已知該地共享單車停放點第〃個月底的單車容納量S（I=-4（〃-46尸+8800（單位：輛）.

設(shè)在某月底，共享單車保有量達(dá)到最大，問該保有量是否超出了此時停放點的單車容納量？

【答案】⑴935；(2)見解析

【詳解】試題分析：(1)計算｛""｝和｛4｝的前4項和的差即可得出答案；

(2)令”,,≥"得出〃≤42.再計算第42個月底的保有量和容納量即可得出結(jié)論.

試題分析：

(1)(α1+a2+a3+?)-(∕>1+b2+b3+?)=965-30=935

(2)-10"+470>"+5="≤42,即第42個月底，保有量達(dá)到最大

(e1+a2+?+???+?)-(?l+?2+?3+???+?4)=965+(420+50)×38_(6+47)×42

2

S42=-4(42-46)+8800=8736此時保有量超過了容納量.

19、(2014?上海高考真題)如圖，某公司要在A、8兩地連線上的定點C處建造廣告牌CO,

其中。為頂端，AC長35米，Ce長80米，設(shè)在同一水平面上，從A和8看Z)的仰角

分別為涮尸

D

(1)設(shè)計中CO是鉛垂方向，若要求Q-二；問C。的長至多為多少(結(jié)果精確到0.01米)？

(2)施工完成后.co與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實測得a=尸=ISr.,求c。的長

(結(jié)果精確到0.01米)？

【答案】（I）Ia>1=28.28米；（2）ICq=26.93米

rr

【詳解】（1）由題得，?,oc≥2β,且0<2∕≤α<,,.?.tana≥tan2β

?CD?

m>/

解得，，卬米

即35ICDI4≈28.28

^1,?

6400

由題得，ZADB=ISO-38.12-18.45=123.43,

v35+80∣∕?r>∣■???M*43.61米

sin123.43-sin18.45

V∣CD∣2=352+∣AO∣2-2?35?∣AD∣?COS38.12,??CD?≈26.93*

1*2

C,:--_y2=l,一,

20、(2013?上海?高考真題)如圖，已知曲線2,曲線】-'-I,P是平

面上一點，若存在過點P的直線與G'&都有公共點，則稱P為“Ci—Cz型點”

⑴在正確證明G的左焦點是“G—C2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條

這樣的直線的方程(不要求驗證)；

⑵設(shè)直線y=丘與C?有公共點，求證網(wǎng)＞1,進而證明原點不是‘C-G型點”；

⑶求證：圓r+V=5內(nèi)的點都不是“Cr-C2型點”.

【答案】見解析

【詳解】⑴Q的左焦點為F(-√J,0),過F的直線X=-G與CI交于(-/,±也)，與C2

2

交于(-√J,±(石+1)),故Cl的左焦點為PLCZ型點”，且直線可以為X=-√j；

(2)直線y=丘與Cz有交點，則

ι?=

=，k-IiΛ-=l,若方程組有解，則必須網(wǎng)＞1；

UPKXl+1

直線y=丘與Cz有交點，則

y=]ζγ1

{2=，C=(I-2廿優(yōu)=2,若方程組有解，則必須公＜[

X-2y=22

故直線y=區(qū)至多與曲線Cl和Cz中的一條有交點，即原點不是“Ci-Cz型點”.

(3)顯然過圓V+y2=g內(nèi)一點的直線/若與曲線a有交點，則斜率必存在；

根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線/斜率存在且與曲線Cz交于點("+1)(∕≥0),則

/：y=0+1)=k(x-t)=AX-y+(l+f—K)=O

直線/與圓/+)，=；內(nèi)部有交點，故L^=」<爛

化簡得，(l+fTQ2<g(公+ιyp

若直線/與曲線Cl有交點，則

y=Ax-?r+r÷l

｛尤2?=(%~—)x^÷2,k(]+/—kt)x÷(1÷/—kt)~÷1=O

-----y-=12

2

+*"=(—(J)

化簡得，(1+”砌2≥2(42-D②

由12得，2(?2-l)≤(l+z-r?)2<i(?2+l)≈>?2<1

2

但此時，因為f≥0,[l+f(l-k)]2≥lg(%2+l)<l,即1式不成立；

當(dāng)代=；時，①式也不成立

綜上，直線/若與圓v+y2=;內(nèi)有交點，則不可能同時與曲線α和Cz有交點，

即圓/+>2=；內(nèi)的點都不是“OC2型點”.

【考點定位】考查雙曲線，直線，圓的位置關(guān)系，綜合性較強，屬難題.

21、(2015?上海?統(tǒng)考高考真題)對于定義域為R的函數(shù)g(x),若存在正常數(shù)T,使得

CoSg(X)是以T為周期的函數(shù)，則稱g(?x)為余弦周期函數(shù)，且稱T為其余弦周期.已知"x)

是以T為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域為R.設(shè)“力單調(diào)遞增，"°)=°,"T)=4"

(1)驗證MX)=X