2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019必修第二冊試題6-3-2-3平面向量的正交分解及平面向量加減運算的坐標(biāo)表示

6.3.2-3平面向量的正交分解及平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示

(分層作業(yè))(夯實基礎(chǔ)+能力提升)

【夯實基礎(chǔ)】

一、單選題

1.(2022?高一課前預(yù)習(xí))己知，?,./分別是方向與X軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，。為原點，設(shè)

04=12+、+1卜一卜2一%+])八其中》￡/?),則點A位于(？??？)

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】判斷(V+X+1)與-(f-x+i)的正負，從而可得點A所在的象限.

【詳解】因為i,J分別是方向與X軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，√+x+ι=^+i∫+∣>o,

-(x2-x+l)=-fx-lJ-→0,所以可知點A位于第四象限.

故選：D

2.(2022秋.湖南株洲?高一校聯(lián)考期中)已知點A(1,2),B(3,5),則AB=(????)

A.(4,7)B.(2,3)C.(-2,-3)D.(3,10)

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳解】因為點A(1,2),B(3,5),所以AB=(2,3).

故選：B

3.(2022秋?河南鄭州?高一鄭州外國語學(xué)校?？计谥?如果用*/分別表示X軸和)，軸正方向上的單位

向量，且A(2,3),β(4,2),則AB可以表示為(????)

A.2i+3jB.4z+2jC.2i-jD.-2i+j

【答案】C

【分析】設(shè)平面直角坐標(biāo)系為。，則AB=OB-OA.

【詳解】設(shè)平面直角坐標(biāo)系為。，由題得OA=2/+3/，OB=4/+2j.

則AB=OB-OA=&+2；-(27+3'=2Z-j.

故選：C

4.(2022秋?甘肅蘭州?高一統(tǒng)考期末)已知產(chǎn)(-2,1),Q(l,2)則PQ=(????)

A.(―1,1)B.(-2,2)C.(3,1)D.(Y/)

【答案】C

【分析】根據(jù)兩點的坐標(biāo)直接可得向量.

【詳解】由尸(-2,1),0(1,2),

得序=(1+2,2-1)=(3,1),

故選：C.

5.(2022秋?北京平谷?高一統(tǒng)考期末)已知向量α=(4,-l),力=(2,而)，且〃=那么，”的值為(？??？)

A.—B.—2C.—D.2

22

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；

【詳解】解：因為α=(4,T),b=(2,m),且.=2"

所以(4,-1)=2(2,m)=(4,2m),所以2加=一1,解得機=一；.

故選：A

6.(2022.全國?高一假期作業(yè))設(shè)向量α=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量40,43-2c,2(α-c),d的

有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為(????)

A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,—6)D.(—2,—6)

【答案】D

【分析】根據(jù)向量線性運算的坐標(biāo)表示，結(jié)合題意求解即可.

【詳解】由題可知:4d+4b-2c+2d-2c+d=6,

BPJ=-60-4/J+4c=(-6,18)+(8,-16)+(^l,-8)=(-2,-6).

故選：D.

二、多選題

7.(2022?高一課時練習(xí))已知A8=(-2,4),則下列說法不正確的是(？?？)

A.A點的坐標(biāo)是(—2,4)

02/19

B.B點的坐標(biāo)是(-2,4)

C.當(dāng)B是原點時，A點的坐標(biāo)是(-2,4)

D.當(dāng)A是原點時，5點的坐標(biāo)是(-2,4)

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量的概念，以及向量的坐標(biāo)表示，逐項判定，即可求解.

【詳解】由題意，向量AB=(-2,4)與終點、始點的坐標(biāo)差有關(guān)，

所以A點的坐標(biāo)不一定是(-2,4),故A錯誤；

同理3點的坐標(biāo)不一定是(-2,4),故B錯誤；

當(dāng)8是原點時，A點的坐標(biāo)是(2,Y),故C錯誤；

當(dāng)A是原點時，B點的坐標(biāo)是(-2,4),故D正確.

故選：ABC

8.(2021秋?山東?高一階段練習(xí))已知平行四邊形的三個頂點坐標(biāo)分別為(1,2),(4,0),(6,3),則第四個頂點

的坐標(biāo)可以是(????)

A.(3,5)B.(-1,-1)C.(9,1)D.(8,-1)

【答案】ABC

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分情況利用向量的相等，建立方程，可得答案.

【詳解】由題意，設(shè)A(l,2),8(4,0),C(6,3),第四個頂點。(x,y),

當(dāng)Aβ∕∕CZ),AB=Cf)時，AB=CD^AB=DC>

由A8=(3,-2),CD=(x-6,y—3),DC=(6-x,3-?),

3=X—6,[3=6—%

則-2=y-3^[-2=3-y,解得

當(dāng)AC〃BD,AC=Sf)時，AC=B?；駻C=/)8,

由AC=(5,1),BD=(x-4,y),DB=(4-x,-y),

故點。的坐標(biāo)為(9,1),(3,5),(-1,-1).

故選：ABC.

三、填空題

9.(2021?高一課時練習(xí))已知數(shù)軸上的點A(-3),8(5),C(x),AB=-3AC,W∣J∣BC∣=.

32

【答案】y

【分析】由數(shù)軸上點的坐標(biāo)以及A3=-3AC,分別計算向量AB和向量AC的模，再由點的位置關(guān)系求出

向量BC的模.

【詳解】解：已知點4-3),B⑸，則卜8卜8,又AB=-3AC，所以B,C在A的兩側(cè)，且IACl=|,所以

IBC|=8+-=—.

33

32

故答案為：—.

10.(2023?高一課時練習(xí))設(shè)i,J是％y軸正方向上的單位向量，2a-b=i-3j,a+3b=l?i+9j,

則向量d,〃的夾角為.

【答案】7

4

【分析】分別求出α,人的表達式，利用定義求出。，〃的夾角即可.

【詳解】24-0=i-3)①，

tz+3fe=Ilz+9)②，

①χ3+②得74=14i,.?.a=2i,

-2X②+①得-78=-21i-21j,.?.h=3i+3),

a-h=3i?3+B=話+i-$=

同=2,W=?/?2+32=3五,

i*扁=Ξ?=1

11.(2023?高一課時練習(xí))已知三個力=(1,3),QE=(-2,3),OK=(X,y),某物體在這三個力的同

時作用下保持平衡，則力OE=.

【答案】(1,-6)

【分析】根據(jù)OM+Og+O"=O及向量的加法的坐標(biāo)運算即可求解.

【詳解】由題意可得OK+OR+o￡=O,且OK=(1,3),Og=(-2,3),Of>(x,y),

04/19

所以(1,3)+(-2,3)+(x,y)=(T+x,6+y)=(0,0)

-1÷Λ=Ox=l

,解得即O月=(l,-6)

6÷γ=0y=-6

故答案為：(1,-6)

12.(2022秋?黑龍江齊齊哈爾?高一階段練習(xí))已知在ABC中，4(1,2),8(2,4),C(0,6),￡)為BC中點,

則40的坐標(biāo)為_.

【答案】(0,3)

【分析】先求AB,AC,再用AB,AC表示4。，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出答案即可.

【詳解】A(L2),僅2,4),C(0,6),

,AB=(1,2),AC=(-1,4).

因為。為BC中點，

所以A。=J(AB+AC)=(0,3)

2

故答案為：(0,3).

四、解答題

13.(2022?高一課前預(yù)習(xí))如圖，分別用基底｛i,∕｝表示向量0,6,c,d,并求出它們的坐標(biāo)

【答案】答案見解析

【分析】根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可得各向量的坐標(biāo).

【詳解】a=2i+3√=(2,3),?=-2Z+3√=(-2,3),

c=-2i-3j=(-2,-3),d=2Z-3j=(2,-3).

14.(2021?全國?高一專題練習(xí))已知點5(3,4),AB=(5,5),求點A的坐標(biāo).

【答案】(-2,-1)

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)A(x,y),因為8(3,4),AB=(5,5)

f3-x=5fx=-2

所以AB=(3τ,"y)=(5,5),所以,),=5‘解得Jj=T，

所以A的坐標(biāo)為(-2,-1).

15.(2022秋.黑龍江齊齊哈爾?高一階段練習(xí))(1)已知向量α=(3,2),匕=(T,3),c=(5,2),求6Q+8-2C;

(2)化簡：NQ+QP+MN-MP.

【答案】⑴(7,11);(2)0.

【分析】(1)根據(jù)向量的坐標(biāo)運算計算即可；

(2)根據(jù)向量的線性運算計算即可.

【詳解】(1)ο=(3,2),6=(-1,3),c=(5,2),

.?.6a+b-2c=6(3,2)+(-1,3)-2(5,2)

=(18,12)+(-1,3)-(10,4)=(7,H):

(2)NQ+QP+MN-MP

=NP+MN-MP

=MP-MP

=0?

16.(2022秋?湖南邵陽?高一統(tǒng)考期中)設(shè)向量a=(T,2),6=(l,-l),c=(4,-5).

⑴求卜+2小

(2)若c=az+4∕7,ZMSR,求2+〃的值；

【答案】⑴1

(2)2

【分析】(1)先求得α+2"然后求得|。+24

(2)根據(jù)：?=/1：+〃％列方程組，化簡求得進而求得4+〃.

⑴

06/19

a+2?=(-l,2)+(2,-2)=(1,0),∣a+2?∣=√lTδ=l；

⑵

(4,—5)=1,2)+//(1,-1)=(—Λ+∕z,2Λ-χ√),

∫-Λ+χ∕=4JΛ=—1

所以解得:i〃=3所以義+〃=2.

?2λ-μ=-5

17.(2022秋?廣東韶關(guān)?高一?？茧A段練習(xí))如圖，已知平行四邊形ABCQ的三個頂點的坐標(biāo)分別

是(-1,3)?(3,4)?(2,2),

⑴求向量BC;

(2)求頂點A的坐標(biāo).

【答案】(I)BC=(4,1)

⑵(-2,1)

【分析】(1)由點B?C的坐標(biāo)即可求解BC的坐標(biāo)；

(2)設(shè)頂點A的坐標(biāo)為(x,y),由四邊形ABCQ為平行四邊形，有8C=A￡>,從而即可求解.

(1)

解：因為點B?C的坐標(biāo)分別是(-1,3)?(3,4),

IILIU

所以8C=(3,4)—(T,3)=(4,1);

(2)

解：設(shè)頂點A的坐標(biāo)為(x,y),

因為四邊形ABCO為平行四邊形，。的坐標(biāo)是(2,2),

所以BC=AO，即(4,l)=(2-x,2-y),

2-x=4?x=-

所以,解得

2-y=?Iy=I1

所以頂點A的坐標(biāo)為(-2,1).

18.(2021?高一課時練習(xí))已知梯形ABS的頂點坐標(biāo)為4(1,-2)、8(3,4)、0(2,1),且A3//DC,AB=ICD,

求點C的坐標(biāo).

【答案】(3,4)

【分析】分析可得AB=2DC,利用平面向量的坐標(biāo)運算可求得點C的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)點C(x,y),由題意可得AB=2DC,即(2,6)=2(x-2,y—1),所以解得

因此，點C的坐標(biāo)為(3,4).

19.(2022?高一課時練習(xí))求線段43中點的坐標(biāo)：

(I)A(3,1),B(-2,3)；

(2)4(—6,—3)，B(4,13).

【答案】⑴(；,2)；

⑵(-1,-3).

【分析】(1)運用線段中點坐標(biāo)公式進行求解即可；

(2)運用線段中點坐標(biāo)公式進行求解即可

(1)

因為A(3,1),B(-2,3),

所以線段AB中點的橫坐標(biāo)為：當(dāng)4=：,縱坐標(biāo)為：與=2,即線段AB中點的坐標(biāo)為(!，2)；

2222

(2)

因為A(—6,—3),B(4,—3),

所以線段AB中點的橫坐標(biāo)為：得9=-1,縱坐標(biāo)為：-3；-3)=_3,即線段4B中點的坐標(biāo)為(-1,-3).

20.(2022秋.山東東營.高一統(tǒng)考期中)如圖，在平行四邊形ABCO中，AB=?,AD=2,/34)=60。，

BD,AC相交于點。，/為8。中點.設(shè)向量48=α,AD=b.

(1)用。，石表示A

08/19

⑵建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使得點C的坐標(biāo)為C(∣,孚)，求點M的坐標(biāo).

31

【答案】⑴AM=嚴(yán)J

7

⑵%，

O

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及平面向量的線性運算法則.

(2)以A為坐標(biāo)原點，AZ)所在的直線為X軸，建立直角坐標(biāo)系，滿足題意,可求出各點的坐標(biāo).

【詳解】(1)由四邊形4BC。是平行四邊形，BD,AC相交于點0

所以AO=」AC」(A8+AQ)='(a+5)，

222

因為M為30中點，AM=-{AO+AB}=-?-{a+h)+d}=-a+-b.

22244

(2)如圖，以A為坐標(biāo)原點，AO所在的直線為X軸，建立直角坐標(biāo)系，由AB=I,4)=2,ZBAZ)=60°,

根據(jù)中點坐標(biāo)公式，可求得點M的坐標(biāo)為

21.(2022秋?山東東營?高一統(tǒng)考期中)已知點42,3),B(5,4),C(7,10),P(x,y),且點P滿足

AP=aAB+βAC,其中α,βwR?

(1)若α=l,點P在直線＞=x上，求實數(shù)夕；

(2)若α+∕=l,求點尸的坐標(biāo)X,y滿足的關(guān)系式.

【答案】(l)6=g

⑵3x-y=ll.

【分析】(I)根據(jù)向量的坐標(biāo)運算化簡條件求出點尸的坐標(biāo)，結(jié)合點P在直線y=χ上，列方程求夕；(2)根

據(jù)向量坐標(biāo)運算化簡條件，消去α,α可得X,y滿足的關(guān)系式.

【詳解】(1)由題意可知：4P=(x-2,y-3),AB=(3,1),AC=(5,7),

因為AP=A8+夕AC,

,C(x-2=3+5β…,IX=5+5/

故3—2,y—3)=(31)+以5,7),即化簡可得Zl二，

[y—3=1+7〃[y=4+7,

因為點P在直線y=x上，故5+54=4+7尸，解得：￡=；.

,fx-2=3a+5∕?

(2)由AP=αA5+/?AC,得：↑o「二,

[y-3=α÷7∕>

代入α+∕=l,得：/Λ,消去夕，得：3x-y=ll.

[y=4+6∕

【能力提升】

一、單選題

1.(2022秋?河南許昌?高一統(tǒng)考期末)已知對任意平面向量A5=(x,y),把AB繞其起點沿逆時針方向旋

轉(zhuǎn)。角得到向量AP=(XCos8-ySinaXSine+ycos8),叫做把點8繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得到點P.已

知平面內(nèi)點A(1,2),點6(2,3),把點3繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)多得到點P,則點P的坐標(biāo)為(????)

6

【答案】D

【分析】利用新定義，根據(jù)兩個向量坐標(biāo)形式的運算法則，即可求解

【詳解】由題意可得AB=(1,1),

IITTTT

把點B繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)詈得到點P,即把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)B得到點P,

66

IJTTΓ,JTJT

則AP=(xcos-?sinxsinθ+?eos=cos——sin—,sin—+cos—

?6666

設(shè)P(αU),則AP=(α-l,2)二

222

解得W+V力=I+V，

所以P]+￥，+書

故選：D

10/19

2.(2022秋?江蘇常州?高一統(tǒng)考期末)設(shè)平面向量”，〃滿足任=12,?=(2,√5),fl.?=i8,則〃在“上

投影向量的模為(????).

A.-B.氈C.3D.6

22

【答案】A

【分析】表示出b在α上投影向量，結(jié)合己知條件何=12即可求得答案.

【詳解】由題意可知：6在α上投影向量為t=，

Iallal8

113

故人在〃上投影向量的模為IdQI=WXl2=彳，

oo2

故選：A

3.(2022秋?四川德陽?高一四川省羅江中學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知。4、。B滿足0408=0,點C在/AOB

OA1

內(nèi)，且ZAOC=30。，設(shè)OC=mOA+/O8(,%"∈R).若——=-,則竺m=(????)

OB2n

A.6√3B.4C.2√3D.?

【答案】C

【分析】由OzVOB=O知OA_LOB，根據(jù)題意，作出圖像,根據(jù)幾何關(guān)系即可求解.

【詳解】根據(jù)題意可作出如圖所示的幾何圖形,

VOC=mOA+nOBr故可分別作向量OC在04,08方向上的分向量EC，DC.

其中EC=mOA,DC=nOB.

?.?點C在NAoB內(nèi)，且ZAOC=30,∣EC∣=√3∣Z)C∣,即∕n∣6U∣=石"。Bl

I。Al=I

又?*?m=2?∣3n,—=2Λ∕3.

畫一5n

故選：C.

4.（2022秋?江蘇鎮(zhèn)江?高一統(tǒng)考期末）某人向東偏北60。方向走50步，記為向量a；向北偏西60。方向走

100步，記為向量6;向正北方向走200步，記為向量￠.假設(shè)每步的步長都相等，則向量C可表示為（？??？）

A.2?∣3a+bB.a+2?∣3bC.2a+>∣3bD.?/?a+2b

【答案】A

【分析】由題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算求解即可.

【詳解】如圖，由步為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，

則a=(50cos60°,50sin60o)=(25,25√3)，c=(0,200)>b=(100cosl50o,IOOsin150o)(-50√3,50)，

0=25%-50√3y

由C=Xa+y6可得,解得X=2?∣3,y=1,

200=25√3x+50y

所以C=2?βa+b,

故選：A

二、多選題

5.（2022?高一單元測試）如圖所示的各個向量中，下列結(jié)論不正確的是（????）

12/19

3.3?

A.PQ=-a+-hB.PT=--a--b

2222

313

C.PS=-a——hD.PR='+b

222

【答案】BD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，可得向量〃=(1,1)/=(-1,1),由此以向量。為基底分別表示

PQ,PT,PS,PR,由向量的坐標(biāo)運算判斷選項A,B,C,D,可得正確答案.

【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系：則4=(1,1)/=(7,1),

3333

?∕3Q=(0,3)=∣(l,1)+≈(-l,l)=-u+∣?,A選項正確，

3333

PT=(3,O)=?(l,l)-^(-l,l)=→-??,B選項錯誤，

2222

3131

PS=(2,1)=≈(1,1)--(-1,l)=∣α--?,C選項正確，

3131

=(1,2)=-(1,1)+-(-1,1)=-a+-b,D選項錯誤，

2222

故選：BD.

6.(2022?高一課時練習(xí))下列說法中正確的是(????)

A.相等向量的坐標(biāo)相同，與向量的起點、終點的位置無關(guān)

B.當(dāng)向量的起點在坐標(biāo)原點時，向量的坐標(biāo)就是向量終點的坐標(biāo)

C.兩向量和的坐標(biāo)與兩向量的順序無關(guān)

D.兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無關(guān)

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示及向量的線性運算法則即可得到答案.

【詳解】對于A、B：由向量坐標(biāo)表示的定義，即可判斷出A、B正確；

對于C：因為加法滿足交換律，所以兩向量和的坐標(biāo)與兩向量的順序無關(guān).故C正確；

對于D：因為減法不滿足交換律，所以兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序有關(guān).故D錯誤.

故選：ABC

三、填空題

7.(2022秋.天津?qū)幒?高一天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知

OA=(1,2),當(dāng)OA繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到08,則的坐標(biāo)為.

l-2√32+√3

【答案】(二,二/

22

【分析】由三角函數(shù)的定義，結(jié)合兩角和與差的正弦、余弦公式求解

【詳解】設(shè)點A在角e的終邊上，可得COSe=@,sin。=冬叵，

55

則點B在角夕+(的終邊上，坐標(biāo)為(右cos(a+(),√^sinS+())

G

(…、加12√5石

一-

COS("+-)=——X----------×2τ

3525

在

.,?^?,2√51√5-√l

sιn(σ+—)=-----X—+——X25

3525

故答案為：(上心更,馬二叵)

22

8.(2022秋?四川內(nèi)江?高一統(tǒng)考期末)已知點A(0,1),B(I-I),P是函數(shù)/(x)=CoSx,XwO,可圖象上

的動點，若OP=2OA+4O8,則2〃-/1的最大值為.

【答案】%+1##1+K

【分析】由題可得P(x,cosx),然后利用向量的坐標(biāo)關(guān)系可得〃=x,2=x+cosx,然后利用函數(shù)單調(diào)性即

得.

【詳解】由題可知P(x,8sx),yL0P=λ0A+μ0B,A(0,1),B(l,-1),

工(x,cosx)=2(0,l)+χ√(l,-l)=(y4√,Λ-χ∕),

.φ.χ∕=x,Λ-χ∕=cosx,即/∕=x,Λ=x÷cosx

.?.2μ-λ=x-CQSx,

當(dāng)x∈[0,司時，函數(shù)y=x與V=-COSX為增函數(shù)，

所以y=X-COSX在[0,同為增函數(shù)

2切-4的最大值為乃+1.

故答案為：%+1.

四、解答題

14/19

9.(2022秋?江蘇淮安?高一金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))己知向量α,人滿足IaI=右，?=(-l,l),

⑴若(然+6)〃(&+4勸)，求實數(shù)人的值;

(2)若設(shè)α+2A與6的夾角為，，求。的大小.

【答案】(i)4=±;

⑵”

4

【分析】(1)利用向量垂直數(shù)量積為0,得出q∕=T,從而確定向量”，方不共線，可作為一組基底，

再根據(jù)共線定理得出實數(shù)義的值；

(2)根據(jù)兩向量的夾角公式的需要，首先求出兩向量的數(shù)量積，再求出α+26的模長，最后代入夾角公

式即可.

(1)

由(α-b)Ma+26)可得：(α-?)?(f∕+2?)=0,

即/+4電一2匕2=0，又由IaI=6，6=(T,1)得/=5,方2=2,

代入解得：ab=-l,所以“，方是不共線的向量.

由題可設(shè)：λa+h=μ(a+4λb),因為α,%是不共線的向量，

所以2=〃且4初=1,解得2=±g.

(2)

由于(α+2b)?Z?=a?b+2b2=-1+4=3,

pz+2?∣=J。？+4〃+4/??=15-4+8=3,

(a+2b?b3√2

由"2〃與〃的夾角為凡cos”即曬=Wr了'

由于6e[0,句，所以6=(.

10.(2022秋?湖北十堰?高一哪陽中學(xué)?？茧A段練習(xí))某公園有三個警衛(wèi)室A?B?C,互相之間均有直道相

連，A8=2千米，AC=2&千米，8C=4千米，保安甲沿CB從警衛(wèi)室C出發(fā)前往警衛(wèi)室8,同時保安

乙沿&!從警衛(wèi)室8出發(fā)前往警衛(wèi)室A,甲的速度為2千米/小時，乙的速度為1千米/小時.

C

⑴保安甲從C出發(fā)1.5小時后達點。，若Ao=XA8+yAC,求實數(shù)x?y的值;

（2）若甲乙兩人通過對講機聯(lián)系，對講機在公園內(nèi)的最大通話距離不超過2千米，試問有多長時間兩人不能

通話？

31

【答案】⑴X=。=；

44

（2）兩人約有亨小時不能通話

【分析】（1）先根據(jù)勾股定理確定這是一個直角三角形，然后可以建立平面直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐

標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)運算可以計算出實數(shù)X?），的值：（2）表示出點E的坐標(biāo)之后可以把Z）E坐標(biāo)表示，立出不等

式解不等式即可.

【詳解】（1）mAB2+AC2=BC2,所以AB上4C,

因此建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

A(0,0),B(2,0),C(0,2√3),

2t一.t

設(shè)保安甲從C出發(fā)，小時后達點。，所以有CO=亍CB=8=]CB,

設(shè)。區(qū),*),由C。=；CB=(X∣,y-2G)=((2,-2G)n%=r,yl=2√3-√3r,

即QQ,2√5-√?),當(dāng)f=L5時，￡>([,*),

由AD=xAB+)，Aen(?∣,噂)=x(2,0)+y(0,2√3)=(2x,2√3y)

=>?

"44

16/19

(2)設(shè)保安乙從8出發(fā)/小時后達點E,所以點E的坐標(biāo)為(2T,O),

于是有DE=(2-2r,√3r-26),

因為對講機在公園內(nèi)的最大通話距離超過2千米，兩人不能通話，

22

所以有>2,所以A∕(2-2Z)+(^-2√3)>2

解之：XO<∕≤2

所以兩人約有與小時不能通話.

??.(2022?高一課時練習(xí))已知點O(0,0),A(l,2),8(4,5)&OP=OA+rA8.

(1)當(dāng)r為何值時，點P在X軸上?點P在y軸上?點P在第二象限？

(2)0,A,B,P四點能否構(gòu)成平行四邊形?若能，求出相應(yīng)的，值；若不能，請說明理由.

【答案】(1)答案見解析

(2)不能，理由見解析

【分析】⑴根據(jù)OP=OA+f08,求出P(l+4f,2+5r),再根據(jù)點尸的位置可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)AP與4B共線可得結(jié)論.

(1)

解：OP=QA+M