函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)完整版

1.3.2函數(shù)的極值(jízhí)與導(dǎo)數(shù)高二數(shù)學(xué)(shùxué)選修2-2

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一頁，共二十六頁。一、復(fù)習(xí)(fùxí)導(dǎo)入------復(fù)習(xí)舊課1.解區(qū)間(-∞，-4)-4(-4，2)2(2，+∞)f’(x)00f(x)f(x)在(-∞，-4)、(2，＋∞)內(nèi)單調(diào)(dāndiào)遞增，你記住了嗎？有沒搞錯，怎么這里沒有填上？求導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)—求臨界點—列表—寫出單調(diào)性++-f’(x)>0(x+4)(x-2)>0x<-4或x>2f(x)在(-4，2)內(nèi)單調(diào)遞減。f’(x)<0(x+4)(x-2)<0-4<x<2第二頁，共二十六頁。還記得(jìde)高臺跳水的例子嗎？atho最高點一、復(fù)習(xí)(fùxí)導(dǎo)入------導(dǎo)入新課h(t)=-4.9t2+6.5t+10第三頁，共二十六頁。一、復(fù)習(xí)(fùxí)導(dǎo)入----------導(dǎo)入新課單調(diào)(dāndiào)遞增h’(t)>0單調(diào)(dāndiào)遞減h’(t)<0h’(a)＝02.跳水運動員在最高處附近的情況：(1)當(dāng)t=a時運動員距水面高度最大，h(t)在此點的導(dǎo)數(shù)是多少呢？(2)當(dāng)t<a時h(t)的單調(diào)性是怎樣的呢？(3)當(dāng)t>a時h(t)的單調(diào)性是怎樣的呢？將最高點附近放大t=at<at>aatho最高點導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？在t=a附近，f(x)先增后減，h’(x)先正后負(fù)，h’(x)連續(xù)變化，于是有h’(a)=0．f(a)最大。對于一般函數(shù)是否也有同樣的性質(zhì)嗎？＋－h(huán)(t)=-4.9t2+6.5t+10第四頁，共二十六頁。一、復(fù)習(xí)(fùxí)導(dǎo)入------導(dǎo)入新課探究(tànjiū)3.(1)如圖，y=f(x)在c、d等點的函數(shù)值與這些(zhèxiē)點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？導(dǎo)數(shù)值呢？導(dǎo)數(shù)符號呢？cdefoghIjxy第五頁，共二十六頁。一、復(fù)習(xí)(fùxí)導(dǎo)入------導(dǎo)入新課3.(2)如圖，y=f(x)在a、b點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)值呢？導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)符號呢？探究(tànjiū)xyoaby-=f(x)xyoaby-=f(x)>0<0<0>0極小值點極大點f’(a)=0f’(b)=0第六頁，共二十六頁。二、講授(jiǎngshòu)新課-----了解概念xyoaby=f(x)x<b=b>bf’(x)+0-f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

什么(shénme)是極小值點、極小值、極大值點、極大值、極值點、極值？f(a)f(b)小結(jié)(xiǎojié)x<a=a>af’(x)-0+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點極大值和極小值統(tǒng)稱為極值第七頁，共二十六頁。abxyO定義(dìngyì)

一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義(dìngyì),如果對x0附近的所有的點,都有我們就說f(x0)是f(x)的一個極大值,點x0叫做(jiàozuò)函數(shù)y=

f(x)的極大值點.

反之,若

,則稱

f(x0)是f(x)的一個極小值,點x0叫做函數(shù)y=

f(x)的極小值點.

極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點,極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.第八頁，共二十六頁。yabx1x2x3x4Ox

觀察(guānchá)上述圖象,試指出該函數(shù)的極值點與極值,并說出哪些是極大值點,哪些是極小值點.第九頁，共二十六頁。1．理解極值概念時需注意的幾點(1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念，是僅對某一點的左右兩側(cè)附近的點而言的．(2)極值點是函數(shù)定義域內(nèi)的點，而函數(shù)定義域的端點絕不是函數(shù)的極值點．(3)若f(x)在[a，b]內(nèi)有極值，那么f(x)在[a，b]內(nèi)絕不是單調(diào)(dāndiào)函數(shù)，即在定義域區(qū)間上的單調(diào)(dāndiào)函數(shù)沒有極值．總結(jié)(zǒngjié)第十頁，共二十六頁。

(4)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系．一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以(kěyǐ)有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值可能大于另一點的極大值．(如圖(1))(5)若函數(shù)f(x)在[a，b]上有極值，它的極值點的分布是有規(guī)律的(如圖(2)所示)，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點．2．導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)為0的點不一定是極值點．第十一頁，共二十六頁。練習(xí)(liànxí)1

下圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象,試找出函數(shù)的極值(jízhí)點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點.abxyx1Ox2x3x4x5x6第十二頁，共二十六頁。yxO探究：極值點處導(dǎo)數(shù)值(即切線斜率(xiélǜ)）有何特點？結(jié)論:極值(jízhí)點處，如果有切線，切線水平的.即:

f(x)=0aby=f(x)x1

x2x3f(x1)=0

f(x2)=0

f(x3)=0

思考(sīkǎo);若

f(x0)=0，則x0是否為極值點？xyO分析y

x3第十三頁，共二十六頁。若尋找(xúnzhǎo)可導(dǎo)函數(shù)極值點,可否只由f

(x)=0求得即可?思考(sīkǎo)探索:x=0是否(shìfǒu)為函數(shù)f(x)=x3的極值點?x

yOf(x)

x3f

(x)=3x2

當(dāng)f

(x)=0時，x

=0，而x

=0不是該函數(shù)的極值點.f

(x0)

=0x0

是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點x0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號x0

是函數(shù)f(x)的極值點f

(x0)

=0注意：f/(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件第十四頁，共二十六頁。進(jìn)一步探究:極值點兩側(cè)(liǎnɡcè)函數(shù)圖像單調(diào)性有何特點?極大值極小值即:極值點兩側(cè)(liǎnɡcè)單調(diào)性互異第十五頁，共二十六頁。f

(x)<0yxOx1aby=f(x)極大值點兩側(cè)(liǎnɡcè)極小值點兩側(cè)(liǎnɡcè)f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0探究:極值點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)正負(fù)(zhènɡfù)符號有何規(guī)律?x2

xX<x2

x2X>x2

f

(x)

f(x)

xX<x1

x1X>x1

f

(x)

f(x)增f

(x)>0f

(x)=0f

(x)<0極大值減f

(x)<0f

(x)=0增減極小值f

(x)>0注意:(1)

f

(x0)=0，x0不一定是極值點(2)只有f

(x0)=0且x0兩側(cè)單調(diào)性不同

，

x0才是極值點.(3)求極值點，可以先求f

(x0)=0的點，再列表判斷單調(diào)性結(jié)論：極值點處，f

(x)=0第十六頁，共二十六頁。因為(yīnwèi)所以例1求函數(shù)的極值(jízhí).解:令解得或當(dāng),即,或;當(dāng),即.當(dāng)x變化(biànhuà)時,f(x)的變化情況如下表:x(–∞,

–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以,當(dāng)x=–2時,f(x)有極大值28/3;當(dāng)x=2時,f(x)有極小值–4/3.第十七頁，共二十六頁。例題(lìtí)4圖像-2oxy2+--+28/3-4/3f(x)=1/3x3-4x+4第十八頁，共二十六頁。例2xX<-1-1(-1,0)（0，1）1X>1+0--0+所以(suǒyǐ)，當(dāng)x=-1是，函數(shù)的極大值是-2，當(dāng)x=1時，函數(shù)的極小值是2導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)是交替(jiāotì)出現(xiàn)的嗎？不是(bùshi)極大值極小值第十九頁，共二十六頁。求函數(shù)極值（極大值，極小值）的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格(biǎogé)（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況

若f’(x０)左正右負(fù)，則f(x０)為極大值；若f’(x０)左負(fù)右正，則f(x０)為極小值+-x0-+x0求導(dǎo)—求極點(jídiǎn)—列表—求極值第二十頁，共二十六頁。練習(xí)(liànxí)2求下列(xiàliè)函數(shù)的極值:解:令解得列表(lièbiǎo):x0f(x)+單調(diào)遞增單調(diào)遞減–所以,當(dāng)時,f(x)有極小值第二十一頁，共二十六頁。練習(xí)(liànxí)2求下列(xiàliè)函數(shù)的極值:解:解得列表(lièbiǎo):x(–∞,

–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以,當(dāng)x=–3時,f(x)有極大值54;當(dāng)x=3時,f(x)有極小值–54.第二十二頁，共二十六頁。練習(xí)(liànxí)2求下列函數(shù)(hánshù)的極值:解:解得所以(suǒyǐ),當(dāng)x=–2時,f(x)有極小值–10;當(dāng)x=2時,f(x)有極大值22

.解得所以,當(dāng)x=–1時,f(x)有極小值–2;當(dāng)x=1時,f(x)有極大值2

.第二十三頁，共二十六頁。