高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 平面向量（學(xué)生版）

微專題平面向量

【秒殺總結(jié)】

結(jié)論L極化恒等式

L平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和:

∣α+6∣2+∣α-δ∣2=2(∣α∣2+∣6∣2)

證明:不妨設(shè)旗=4,ZS=立則而=4+六兩=4一X

?AC?t=AC2=(a+b)2=?a?2+2a?b+?b??l)

?DB?2=DB2=(α-6)2=∣α∣2-2α?δ+∣fe∣2(2)

(1)(2)兩式相加得：

I福?+I/2=2(∣蕾+時)=2(∣AB∣2+∣AD∣2)

2.極化恒等式：

上面兩式相減,得：?[(ɑ+^)-(a—6)]---------極化恒等式

⑴平行四邊形模式：4小=肛球]

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差

的十.

(2)三角形模式za?b^?AM?2-十|DBl2(M為BD的中點)

結(jié)論2：矩形大法;矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等.

已知點O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點,證明：OA2+OC1=OB1+OD2.

【證明】(坐標法)設(shè)AS=a,4D=b,以A3所在直線為軸建立平面直角坐標系工四,

則B(a,0),D(0Λ),C(a,b),設(shè)。(工切)，則

OA2+OC2=(x2+y2)+[(τ-a)2+(y-6)2]

OB2+OD2=[{x-a)2+y2]+[x2+(y-6)2]

.?.O^+OC2=OB2+OD2

結(jié)論3：三點共線的充要條件

設(shè)。X、而是三個不共線向量,則4、B、P共線O存在1∈A使聲=(1—入麗.

特別地,當P為線段AB的中點時，OP=^OA+yOB.

結(jié)論4：等和線

【基本定理】

(一)平面向■洪線定理

已知◎?=/。方+若α+4=1,則43,。三點共線;反之亦然.

(二)等和線

平面內(nèi)一組基底OA,OB及任一向量OP,OP=λOA+uδB(λ,μCR),若點P在直線AB上或者在平行

于AB的直線上,則1+∕∕=k(定值),反之也成立,我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和

線.

(1)當?shù)群途€恰為直線AB時，％=1；

(2)當?shù)群途€在。點和直線之間時，k∈(0」)；

(3)當直線/1B在點。和等和線之間時，左€(1,+8)；

(4)當?shù)群途€過。點時，k=0；

(5)若兩等和線關(guān)于O點對稱,則定值k互為相反數(shù);

結(jié)論5：奔馳定理

【奔Ifc定理】若。為△ABC內(nèi)任一點,且α±5+￡詬+me=。,則SABoC:SAztoc:SAAQB-Of.β'.γ

【典型例題】

例1.在AABC中，M是BC的中點，AM=3,BC=10,則N&NH=______.

例2.正三角形內(nèi)接于半徑為2的圓O,點P是圓O上的一個動點，則西?麗的取值范圍是

c

例3.已知圓。1：/+娟=9與。2：/+靖=36,定點P（2,O）,71、B分別在圓G和圓G上，滿足R4J?PB,則

線段AB的取值范圍是.

?4-

Q

例4.在平面內(nèi)，已知而_1_狷，碣=。耳=ι,羽=福+狷,若I麗■,則∣OH的取值范圍是（

）

a

?（。普］B（亭豹

D

C-（等網(wǎng)

例5.在△力BC中，已知。是AB邊上一點,若前=2瓦,歷=4國+4用,則/1=（）

例6.給定兩個長度為1的平面向量35和血,它們的夾角為120",點C在以。為圓心的圓弧分上變動.若

OC=xOA+yδB,其中①,yeA,則4+y的最大值是.

【過關(guān)制試】

一、單選題

1.（2023?北京西城?高三統(tǒng)考期末）在△月BC中，A。=BC=I,NC=90°.P為AB邊上的動點，則兩?

區(qū)的取值范圍是（）

b?[-?-1]

2.（2023.北京昌平.高三統(tǒng)考期末）已知向量五El滿足同=√2，∣6∣=1,{a,b）=1,（N—五）?住一初=0,則

同的最大值是（）

B.與1y

A.√2-l

√5+l

D.√2^+1

c.2

3.（2023?廣西桂林?統(tǒng)考一模）如圖，在AABC中，河為線段3。的中點，G為線段4W上一點且配=

2面,過點G的直線分別交直線AB、4。于P、Q兩點，而=TaP（H>0）,Λ?=y而（y>0）,則[+

上的最小值為（）

A.與B.1

4

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在半徑為4的扇形AOB中，/403=120,點P是油上的一點，則

而質(zhì)的最小值為（）

A.-8B.-3C.-2

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在平面內(nèi)，定點4B,C,D滿足I力H=I屁|=|西|,罰?歷=說?比=

比?方N=-2,動點P,心■滿足?AP?^1,PM^MC,!i∣∣J?BM?2的最大值是（）

?43?49C47+6√iIC37+2商

A?4404D?4

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）A4BC中，43=√Σ,NACB=與，O是AASC外接圓圓心，是正?赤+

4

心4?項的最大值為（）

A.0B.1C.3D.5

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）AB為?C：3—2尸+（y—4-=25的一條弦，∣ABI=6,若點尸為G）C上一

動點,則居?兩的取值范圍是（）

A.[0,100]B.[-12,48]C.[-9,64]D.[-8,72]

8.（2023.全國?高三專題練習(xí)）在aABC中，D為三角形所在平面內(nèi)一點，且用=[而+4■京，則

O/

#=（）

A.-?-B.-?-C.?D.?

t）/JJ

9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知向量4，X,2滿足同=4,五在，；方向上的投影為2,?。℅—4）=-3,則

|；一百的最小值為（）

A.√3-lB.禽+1C.2√3-2D.2√3+2

10.（2023-全國?高三專題練習(xí)）已知邊長為2的菱形ABCD中，點R為BD上一動點,點E滿足BE=2EC,

通?初=—則前?甫的最小值為（）

O

A-2B-?c一型D一鳴

A，3$3c,75D36

11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）P是Δ4BC所在平面上的一點，滿足戶1+廂+用=2廂,若SAABC=6,

則APAS的面積為（）

A.2B.3C.4D.8

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在矩形ASCD中，A3=LHD=2,動點P在以點。為圓心且與區(qū)D相切的

圓上.若存=1荏+〃肉,則〃的最大值為

A.3B.2√2C.√5D.2

二、多選題

13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在aABC中，AB=47=3,BC=4,O為AABC內(nèi)的一點，設(shè)Z5=1屈+

〃怒,則下列說法正確的是（）

A.若。為4ABC的重心,則,1+〃=?B.若。為AABC的內(nèi)心,則I+”==V

OO

C.若。為BC的外心,則∕i+4=4D.若O為△?!BC的垂心,則

IU7?

14.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知K葭不是互不相等的非零向量,其中五，X是互相垂直的單位向量，3=汨+

yb（x,y∈R）,記④？=OB=b,。溫=1,則下列說法正確的是（）

A.若（α-c）?（δ-c）=OJllJO,A,B,C四點在同一個圓上

B.若0一“值一苫）=0,則同的最大值為2

C.若同=1,則僅一2）?（b-c）的最大值為%+1

D.若同=I,則z+n的最小值為一方

15.（2023?全國?高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與

“奔馳”轎車,（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知。是4ABC

內(nèi)一點，ABOC,AAOC,^AOB的面積分別為Sy,,SipS0,且Syl?。才+Szj?而+S,?=%設(shè)。是

銳角AABC內(nèi)的一點，/B力C,AABC,乙4CB分別是的ATlBC?三個內(nèi)角，以下命題正確的有（）

A.若3?+2OS+3OS=6』I]SA：SB：S<.=1：2:3

B.若|示|=|宿|=2,NAOB=普，2δl+3詬+4（5^=6,則

SMBC=^2^

C.若O為AZ8C的內(nèi)心，3（51+4阮+5*=。,則NC=專

D.若O為ZVlBC的垂心，3OA+4OB+5OC=6,則COSNAOB=-?

0

16?（2023?全國?高三專題練習(xí)）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一,始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為

貢品人朝,產(chǎn)品以其精湛的工業(yè)制作而聞名于海內(nèi)外.經(jīng)歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)

展成為具有獨特風格的中國傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人,其華燦宜艷女,深受各階層人民喜愛.古人曾有

詩贊日：“開合清風紙半張,隨機舒卷豈尋常;金環(huán)并束龍腰細,玉柵齊編鳳翅長,偏稱游人攜袖里,不勞侍

女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒,還汝團圓共夜涼''圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD,其中ZCOD

=亭Qe=304=3,動點P在也上（含端點）,連接OP交扇形。4B的弧南于點Q,且的=Z。百

O

+y兩,則下列說法正確的是（）

,,>_>--->

C.AB?PQ≥-2D.PA-PB>^-

17.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，圓。是邊長為2—的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點

。,點M為圓上任意一點，麗？=Z胡+y前（竄，yCH）,則2z+y可以取值為（）

a??B-ic??d?1

18.（2023.全國?高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論,因為這個定理對應(yīng)的圖形與

“奔馳”轎車（MeTCedeSbenZ）的IOgO很相似,故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：己知。是AABC

內(nèi)的一點，ABOUZVlOC、^AOB的面積分別為S”、Szs、S°,則S1-04+Sβ?OB+Sf■?OC=（5.O?

銳角ZVlBC內(nèi)的一點，Z.BAC.AABC.ZACB是AABC的三個內(nèi)角，且點。滿足6E?。云=麗?。日

=瓜加則（）

A.O為aABC的垂心

B.乙403=兀一乙403

C.∣O4∣:?OB?:?δc?=SinNBAC:sinΛABC:sin/A