函數(shù)的奇偶性與周期性、對稱性-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）（解析版）

考向06函數(shù)的奇偶性與周期性、對稱性

'(2022年北京卷第4題)己知函數(shù)/(X)=6'則對任意實(shí)數(shù)X,有()

A./(-x)+∕(X)=OB./(-X)-/(X)=O

D./(-x)-∕U)=∣

C./(一x)+∕(x)=l

【答案】C

11V1

【解析】/(-%)+/(%)=---------1--------=1,故A錯誤，C正確;

1+2^A1+2V↑+2x1+2*

1_2'I__2

/(T7(χ)=τ?不常數(shù)，故BD錯誤;

T+27-T+271+F-?7+?--2Λ+1

故選：C.

2.(2022年新高考2卷第8題)若函數(shù)/(χ)的定義域?yàn)镽,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)∕(y),∕(l)=1,

22

則Wy(Q=()

k=?

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】因?yàn)椤皒+y)+∕(x-y)=∕(x)∕(y),令X=Ly=O可得，2/(1)=/(1)/(0),所以

/(0)=2,令X=O可得，/(y)+∕(-y)=2∕(y),SP∕(y)=∕(-y),所以函數(shù)/(χ)為偶函數(shù)，令y=l

得，/(x+l)+∕(x-l)=∕(x)∕(l)=∕(x),即有/(x+2)+∕(x)=∕(x+l),從而可知

/(x+2)=-/(XT)，/(XT)=?√(x-4),故/(x+2)=∕(x-4),即/(x)=∕(x+6),所以函

數(shù)/(x)的一個周期為6.

因?yàn)?(2)=/⑴—/(0)=1—2=—1,〃3)=〃2)-/⑴=。-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=∕(0)=2,所以

一個周期內(nèi)的/(1)+/(2)++/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以⑹=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=1-1一2-1=一3.

k=?

故選：A.

3.(2022年甲卷理第5題)函數(shù)y=(3*-3-*)cosX在區(qū)間［_(,自的圖像大致為

【答案】A

［解析1設(shè)f(x)=(3X-3^x)cosx,/(-X)=(3^?V-3Λ')COS(-X)=—，(幻，所以，(X)為奇函數(shù)，排除BD,令X=1,

則/(1)=(3-3T)CoSl>0,排除C,故選A.

4.(2022年乙卷第12題)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-∕(x-4)=7.

22

若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，g(2)=4,則

*'=1

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【解析】若y=g(x)的圖像關(guān)于直線X=2對稱，則g(2-x)=g(2+x),因?yàn)?(x)+g(2-x)=5,所以

f(-x)+g(2+x)=5，故f(-x)=f(x),/(x)為偶函數(shù).由g(2)=4,f(0)+g(2)=5,得f(0)=l.由

?(x)-∕(x-4)=7,得g(2-x)=f(—x—2)+7,代入f(x)+g(2-X)=5,W∕(x)+∕(-x-2)=-2,/(x)關(guān)

于點(diǎn)(—1,-1)中心對稱，所以/(1)=/(-D=-I.由/(x)+/(-X-2)=-2,/(-Jt)=/(x),得

/(x)+/(x+2)=-2,所以/(x+2)+∕(x+4)=-2,故/(x+4)=F(X),/(x)周期為4.由/(0)+/(2)=-2,

22

得/(2)=-3，又/(3)=/(-1)=/(I)=-I,所以X/W=6/(1)+6/(2)+5八3)+5/(4)=

k=l

11×(-1)+5×1+6x(-3)=-24.

1.函數(shù)具有奇偶性包括兩個必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域.

(2)判斷式X)與人一x)的關(guān)系.在判斷奇偶性時，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式兀0+式-x)=0(奇

函數(shù))或HX)-χ-χ)=O(偶函數(shù))是否成立.

2t

常見特殊結(jié)構(gòu)的奇偶函數(shù)：Λx)=logα(√Λ+l-χ)(a>0且αWl)為奇函數(shù)FX)=O+Q3>0且α≠l)

為偶函數(shù).

2.已知函數(shù)奇偶性可以解決的3個問題

(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.

(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出.

(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)貝尤)坎一x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對

等性得參數(shù)的方程或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值.

3.函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用

(I)判斷函數(shù)的周期性只需證明y(χ+7)=KX)(TWO)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期

性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題.

(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：

若T是函數(shù)的周期，則Wez且ZWO)也是函數(shù)的周期.

1.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論

(1)如果函數(shù)yu)是偶函數(shù)，那么yu)=Λ∣x∣).

(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

(3)在公共定乂域內(nèi)有：奇土奇=奇，偶±偶=偶,奇X奇=偶,偶X偶=偶,奇X偶=奇.

2.函數(shù)周期性的常用結(jié)論

對y(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：

(1)若式x+a)=-/U)，則T=2a(a>0).

(2)若J'則T=2a(a>0).

(3)若yu+4)='則T=2a(a>0).

/(?)

【易錯點(diǎn)1］判斷函數(shù)的奇偶性不可忽視函數(shù)的定義域.函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性

的必要不充分條件.

【易錯點(diǎn)2】函數(shù)/U)是奇函數(shù)，必須滿足對定義域內(nèi)的每一個X，都有火-x)=一火x)，而不能說存在

Xo,使負(fù)一沏)=—AXo).同樣偶函數(shù)也是如此.

【易錯點(diǎn)3］不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如7U)=5?

9

1,函數(shù)式X)=X+1#0)是()

A.奇函數(shù)，且在(0,3)上是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，且在(0,3)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在(0,3)上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，且在(0,3)上是減函數(shù)

【答案】B

【解析】因?yàn)榘?X)=-x+±=-(x+2)=—/(χ),所以函數(shù)＜X)=X為奇函數(shù).

9

又/(x)=l—F，在(0,3)上/(x)CO恒成立，所以y(x)在(0,3)上是減函數(shù).

2.已知函數(shù)./(x)=COS(E+2x]+j]1—1'若貝")=~則"—")=()

A.；B.C.—ID.—

【答案】D

Y

【解析】設(shè)g(x)=y(x)+I=-Sin2x+χ2+］，易知g(x)是奇函數(shù)，

122

則?(a)=Λα)+?=-3+1=3.所以g(一ɑ)??-g(ɑ)=一1,

25

即式―。)+]=―t所以/(—a)=一故選D.

3.如果火用是定義在R上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為偶函數(shù)的是()

A.y=x+f(x)B.y=xfi,x)C.y=^+j(x)D.y-x2J(x)

【答案】B

【解析】因?yàn)?U)是奇函數(shù)，所以八一X)=-TU).

對于A,g(—x)——%+X—x)=—x—y(X)--g(x)，所以y=x+∕(x)是奇函數(shù).

對于B,g(—x)=—狀—X)=Mu)=g(x),所以y=M(x)是偶函數(shù).

對于C,g(—x)=(—x)2+./(—x)=『一/(x),所以y=x2+√(x)為非奇非偶函數(shù).

對于D,g(-χ)=(-x)2∕(-X)=—Λ2∕(X)=-g(x),所以y=x2∕(x)是奇函數(shù).

x+α,—l<x<O,

4.在R上函數(shù)式x)滿足火x+l)=AX—1),且<X)=其中α∈R,若人一5)=<4.5),則α=()

?2~x?,0<x<l,

A.0.5B.1.5C.2.5D.3.5

【答案】C

【解析】由yu+l)=∕(χ-l),得y(x)是周期為2的函數(shù)，又/-5)=/(4.5),所以人-1)=/(0.5),即一1

+α=L5,所以α=2.5.故選C.

5.(多選)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+oo)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()

A.y=x2B.y=|x—1|C.y=k|—1D.y-2x

【答案】AC

【解析】選項(xiàng)A,C中的函數(shù)為偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞增；選項(xiàng)B,D中的函數(shù)均為非奇非偶函

數(shù).所以排除選項(xiàng)B,D,故選AC

6.已知函數(shù)兀V)的定義域?yàn)镽,且為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=2對稱.當(dāng)x∈[0,4]時，Ax)=X2-

4x,貝U彤022)=.

【答案】4

【解析】；/U)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，.?JLx)=∕(x+4),

又y(x)為奇函數(shù)，.?√(一χ)=-∕U),故yu+4)=-y(x),.?.7=8,

又；2022=252x8+6,.,..Λ2022)=犬6)=|-2)=—/(2)=—(4-8)=4.

7.已知函數(shù)式X)的定義域?yàn)镽,對任意X都有/(2+x)=Λ2-χ),且7(一χ)=∕U),下列結(jié)論正確的是.(填

序號)

①/U)的圖象關(guān)于直線x=2對稱；

②/U)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱：

③Ax)的最小正周期為4；

④y=√(x+4)為偶函數(shù).

【答案】①③④

【解析】VΛ2+x)=Λ2-χ),則式X)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，故①正確，②錯誤；

；函數(shù)y(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則八一x)=∕(x+4),乂八一x)=∕(x),.?√U+4)=y(x),

二7=4,故③正確；

?.?7=4且7U)為偶函數(shù)，故y=Ax+4)為偶函數(shù)，故④正確.

一、單選題

1.(2022?廣東佛山?二模)設(shè)α,b,CeR且α=0,=ax2+bx+c,f(x)=(x+2)g(x),若

/(x)+∕(-x)=0,則下列判斷正確的是()

A.g(x)的最大值為-αB.g(x)的最小值為-α

C.g(2+x)=g(2-x)D.g(2+x)=g(-X)

【答案】D

【解析】依題意，/(Λ)=(x+2)(ax2+bx+c)=axi+(2a+b)x2+(2b+c')x+2c,

/?zX(2a+b=0

因"x)+∕(r)=0,則/O)是奇函數(shù)，于是得2c=0，即b=-2a,c=0,

因此，g(x)=ax2-2ax=a(x-l)2-a,ffi]α≠O,當(dāng)α>0時，g(x)的最小值為-α,當(dāng)α<()時，g(x)的最大值

為-a,A,B都不正確；

g(2+x)="(x+l)2-a,g(2-x)=a(-x+l)2-a,g(-x)=α(-x-l)2-a=a(x+l)2-a,

即g(2+x)≠g(2-x),g(2+x)=g(T),因此，C不正確,D正確.

故選：D

2.(2022?廣西桂林?二模(文))某一年是閏年，當(dāng)且僅當(dāng)年份數(shù)能被400整除(如公元2000年)或能被4

整除而不能被IOO整除(如公元2012年).閏年的2月有29天，全年366天，平年的2月有28天，全年

365天.2022年2月7日星期一是小說家狄更斯誕辰210周年紀(jì)念日.狄更斯的出生日是()

A.星期五B.星期六C.星期天D.星期一

【答案】A

【解析】因?yàn)?022年2月7日星期一是小說家狄更斯誕辰210周年紀(jì)念日,

所以小說家狄更斯出生于1812年2月7日，其中1812年為閏年，1900不是閏年，又210=52x4+2,

所以這210年有52個閏年，158個平年，

所以共有52×366+158×365=76702天，

因?yàn)?6702=10957x7+3,所以狄更斯的出生日是星期五，

故選：A.

3.(2022.云南昆明?模擬預(yù)測(理))對于函數(shù)/(x)=e"+αlnx(αeR),有下列四個論斷：

①/(x)是增函數(shù)②/(x)是奇函數(shù)③/(x)有且僅有一個極值點(diǎn)

④f(x)的最小值為e

若其中恰有兩個論斷正確，則。=()

A.-1B.1C.-eD.e

【答案】C

【解析】函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),故函數(shù)是非奇非偶，即無論。為何值，②一定錯誤

對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)f(X)=史士

X

當(dāng)時，f(x)恒大于零，原函數(shù)單調(diào)遞增，

故原函數(shù)沒有極值點(diǎn)和最小值，故選項(xiàng)B、D排除.

當(dāng)〃<()時，函數(shù)不是增函數(shù)，故只能有③④正確；

當(dāng)α=T時，函數(shù)/(x)=e=lnx,導(dǎo)函數(shù)八幻=莊二1,

X

令〃(X)=Xe*-l,Λ(x)=e'(x+1),h?x)>0,耳。)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由于〃(0)<0,Λ(l)=e-l>0,

%

故3x0∈(0,1),使得力(XO)=0,即xoe=1≈>x0=-l∏Λfl

xe(0,?),/(x)<0,/(x)在(0,χl))單調(diào)遞減，

Xe(XO,+co),/(x)>0,在(Xo,+8)單調(diào)遞增

t

故函數(shù)有且僅有一個極值點(diǎn)，F(xiàn)(X)的最小值為/(?)=e0-Inx0=I-Inx0=l+x0<e

故α=T只滿足③，排除選項(xiàng)A

當(dāng)α=-e時，/(x)=ejr-elnx,/'(%)=———-

X

令9(X)=Xe*-e,S(X)=e*(x+l),°(x)>0,夕(x)在(0,+℃)上單調(diào)遞增，

3⑴=0,x∈(O,l),/(χ)<0,f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，

x∈(I,+∞),/(Λ)>0,/(x)在(1,+8)單調(diào)遞增

故/(x)的最小值為/(D=e

故滿足③④

故選：C.

二、多選題

4.(2022?河北秦皇島?二模)已知函數(shù)/(x)=IgHX2+100-@,鼠⑼=*，F(xiàn)(X)=/(χ)+g(χ),則

()

A."x)的圖象關(guān)于(0,1)對稱

B.g(x)的圖象沒有對稱中心

C.對任意的xe[-α,"](α>0),∕7(x)的最大值與最小值之和為4

D.若尸(X-3)+X-3<],則實(shí)數(shù)X的取值范圍是(r0,ι)u(3,+∞)

x-1

【答案】ACD

【解析】由題意知/(x)的定義域?yàn)镽，因?yàn)椤皒)+∕(T)=IgIOo=2,所以/(x)的圖象關(guān)于(0,1)對稱，故

A正確；

因?yàn)間(x)的定義域?yàn)镽，且g(x)+g(f)=2,所以g(x)的圖象關(guān)于(0,1)對稱,故B不正確;

因?yàn)镕(X)=/(x)+g(x),所以P(X)的圖象關(guān)于(0,2)對稱，所以對任意的xe[-α,α](4>0),F(X)最大值

與最小值之和為4,故C正確；

由尸(x-3)+x-3<],得仆-W...Ju<o,乂F(X)在R上單調(diào)遞減，且F(O)=2,所以

x-1x-1x-1

fx-3>0^i[x-3<0,…,

{1C或<1a>解得X>3或x<l,故D正確，

x-1>0x-l<0

故選：ACD.

5.(2022?山東淄博?三模)已知定義在R上的偶函數(shù)〃x),滿足/(x)+〃2-x)=2,則下列結(jié)論正確的是

()

A.7(x)的圖象關(guān)于x=l對稱

B./(x+4)=∕(x)

C.若函數(shù)在區(qū)間［0/上單調(diào)遞增，則/(x)在區(qū)間［2021,2022］上單調(diào)遞增

D.若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上的解析式為/(x)=lnx+l,則/(x)在區(qū)間(2,3)上的解析式為

/(x)=ln(x-l)+l

【答案】BC

【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?(x)+∕(2-x)=2,則函數(shù)"x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，A錯；

對于B選項(xiàng),因?yàn)?(x)+∕(2-x)=2且函數(shù)”x)為偶函數(shù),

所以，/(x)+">2)=2可得"x+2)+∕(x)=2,所以，/(x+2)=∕(x-2),

所以，對任意的XWR,/(x+4)=∕(x),B對：

對于C選項(xiàng)，因?yàn)?(x+4)=∕(x),

若函數(shù)/(x)在區(qū)間［0』上單調(diào)遞增，則〃x)在區(qū)間［2021,2022］上單調(diào)遞增，C對：

對于D選項(xiàng),當(dāng)x∈(2,3)時，2-x∈(-l,0),x-2∈(0,l),

所以，/(x)=2-∕(2-x)=2-∕(x-2)=2-［ln(x-2)+l］=l-ln(x-2),D錯.

故選：BC.

6.(2022.遼寧丹東?一模)設(shè)4>O,αxl,b>O力Hlj'(x)為函數(shù)/(x)="+6'的導(dǎo)函數(shù)，己知〃”為偶函數(shù),

則()

A./⑴的最小值為2B.尸(力為奇函數(shù)

C.尸(力在R內(nèi)為增函數(shù)D.7(x)在(O,+e)內(nèi)為增函數(shù)

【答案】BCD

【解析】/(-X)=「+L=*=由x)=∕(x)可得(α4=l,從而而=I,

于是/(x)=α"+ατ.

/(?)=?+?-'..2√^?Γ=2,取等號時α=l,因?yàn)?1,所以/(1)>2.所以A錯誤，

由/(x)=av+ax,得尸(x)=("-Ina,

∣?∣^r(-?)=(λ^λ-??)?n^=-(?'-ax)?na=-f?x),所以f'(x)為奇函數(shù)，所以B正確，

因?yàn)?Γ(x)=("+ατ)(lnα)2>0,所以f'(x)在R為增函數(shù)，所以C正確，

/'(X)=S-ln4=~!.in"，當(dāng)">Lx>°時，當(dāng)O<"<l,χ>O時，("1_-<0,In?<0,

則/'(x)>0,綜上，當(dāng)x>0時，∕,(x)>0,所以“x)在(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù)，所以D正確，

故選：BCD

7.(2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測)己知定義在R上的單調(diào)遞增的函數(shù)f(x)滿足：任意xwR,有

/(l-x)+∕(l+x)=2,/(2+X)+∕(2-Λ)=4,則()

A.當(dāng)XeZ時，/(x)=x

B.任意XGR,f(-x)=-f(%)

C.存在非零實(shí)數(shù)T,使得任意x∈R,/(x+T)=∕(x)

D.存在非零實(shí)數(shù)c,使得任意XeR,|/(x)-H≤l

【答案】ABD

［解析】對于A,令X=IT,則/⑺+/(2T)=2,即/(x)+∕(2-x)=2,

X∕(2+x)+∕(2-x)=4,Λ∕(X+2)=4-∕(2-X)=4-(2-∕(X))=∕(X)+2;

令x=0得:/(1)+∕(1)=2,/(2)+∕(2)=4,Λ∕(l)=l,/(2)=2,

則由/(x+2)=∕(x)+2可知：當(dāng)XeZ時，F(xiàn)(X)=X,A正確；

對于B,令x=l+f,則/(τ)+f(2+∕)=2,即/(—x)+∕(2+x)=2,

.?.∕(-x)=2-∕(2+x)=2-(4-∕(2-x))=∕(2-x)-2,

由A的推導(dǎo)過程知：/(2-x)=2-∕(x),.?.∕(-x)=2-∕(x)-2=-∕(x),B正確;

對于C,/(x)為R上的增函數(shù)，

.?.當(dāng)T>()時，x+T>x,P!∣J∕(x+7')>∕(x);當(dāng)T<0時，x+T<x,則/(x+T)<∕(x),

.?.不存在非零實(shí)數(shù)T,使得任意xeR?/(x+η=∕(x),C錯誤；

對于D,當(dāng)C=I時，I”X)-T=I/(χ)-M；

由“l(fā)-x)+"l+x)=2,"2+x)+∕(2—x)=4知：“X)關(guān)于(1,1),(2,2)成中心對稱，則當(dāng)α∈Z時，(〃4)

為/(x)的對稱中心；

當(dāng)XwO,1]時，F(xiàn)(X)為R上的增函數(shù),/(0)=0,/(1)=1,.?.∕(x)∈[0,l],

???∣∕(χ)-M≤i;

由圖象對稱性可知：此時對任意XeR,∣∕(x)-cx∣≤l,D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考杳函數(shù)對稱性的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知關(guān)系式確定了(x)的對稱中心，同時采

用賦值的方式確定了(x)所滿足的其他關(guān)系式，從而結(jié)合對稱性和其他函數(shù)關(guān)系式來確定了(x)所具有的其他

性質(zhì).

8.(2022?全國?模擬預(yù)測)懸鏈線指的是一種曲線，指兩端固定的一條(粗細(xì)與質(zhì)量分布)均勻、柔軟(不

能伸長)的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，例如懸索橋等，因其與兩端固定的繩子在均勻引力

作用下下垂相似而得名.適當(dāng)選擇坐標(biāo)系后，懸鏈線的方程是一個雙曲余弦函數(shù)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為y=OCOSht

a

X_x

QcoshXe'+e：,其中。為非零常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)).當(dāng)a=l時，記/(x)=CoShX，則下列

a2

說法正確的是()

A./(2X)=2∕2(X)-1

B./(x)是周期函數(shù)

C./(x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)是奇函數(shù)

D.f(x)在(-8,0]上單調(diào)遞減

【答案】ACD

【解析】/(x)=COShX=C—,

對于A：2∕2(x)-l=2∣^≤i≤j-l=≤±≤l=∕(2χ),故A正確；

p-v+T?-(??)

對于B：/(χ+τ)=J^一,不存在非零常數(shù)T,使f(x+T)=f(x)成立，故B錯誤；

對于c：/(χ)的定義域?yàn)镽,/(x)=≤≤,滿足尸(一)=q≤=-f(χ),所以廣(?是奇函數(shù)，故C

正確：

對于D：當(dāng)xe(e,0]時，/(χ)=?≤J≤0,所以/(X)在(F,0]上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：ACD.

三、填空題

Y

9.(2022?北京?北大附中三模)對于函數(shù)"力=In^~?和8(同=時-111(2》-1),給出下列四個結(jié)論：

①設(shè)f(x)的定義域?yàn)椤?，g(x)的定義域?yàn)镹,則N是M的真子集.

②函數(shù)g(x)的圖像在X=I處的切線斜率為0.

③函數(shù)/(χ)的單調(diào)減區(qū)間是(y,o),[p+∞].

④函數(shù)“X)的圖像關(guān)于點(diǎn)(j-ln2卜寸稱.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①③④

【解析】對于①，由題意得，函數(shù)f(x)的定義域M={x嘉?}=(-8,0)u(g,+8),

函數(shù)g(x)的定義域所以N是M的真子集，則①正確.

1?1?

對于②，/(?)??--?-,則在x=l處的切線斜率左=g'(l)=：-二=T,則②錯誤.

X2x-l12-1

對于③，〃子的定義域的(-8,。)。(；,+8],而函數(shù)懺X廠2仁AT)+2Jl1在區(qū)間(y,0),

'Z)2x-?2x-l22(2x-l)

(g，+s)上都是單調(diào)遞減且值為正，又因?yàn)楹瘮?shù)V=IM在其定義域上單調(diào)遞增，

因此復(fù)合后得到的/(X)=In已在這兩個區(qū)間上也是單調(diào)遞減，則③正確.

④只需驗(yàn)證：當(dāng)時，虐比『則④正

Λ,+Λ2=4F)+“')=Iny+ln'中「募+力廣-21n2,

確.

故答案為：①③④.

10.(2022.山東濰坊?二模)已知定義在[0,+8)上的函數(shù)己(x)滿足"x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2]時,

..[?∕3x,0<x<l,....

∕x=r-γ/X圖像與X軸的交點(diǎn)從左至右為。，β.,B2,名,…，紇，…；”X圖

-√3x+2√3J<x≤2,

像與直線y=G的交點(diǎn)從左至右為A,A,A,,…，An,....若G，C2,G，…，CK)為線段AA上的

io/Liuiruuu`x

10個不同的點(diǎn)，則E(OA?OG)=.

/=I2

【答案】480

【解析】因?yàn)槎x在為+8)上的函數(shù)〃x)滿足"x+2)="x),所以〃x)是在[0,+⑹上周期為2的周期

函數(shù)，

r1..>∕3x,0≤x≤1

且當(dāng)x∈[0,2]時，/(%)=,函數(shù)圖象如下所示：

[-√3x+2√3,l<x<2

依題意可得4(3,6)、A(15,6)、B8(16,0),口.AA的方程為y=—G(XT4)+2GX∈[15,16],

設(shè)C?(E?,-G%+16>Λ),xi∈[15,16],

UUU/r?

所以O(shè)A2=(3,6),OCi=^xi,->∕3xi+1e?/?),

UULlUUU

√3(-√3x,.+16√3)=

所以O(shè)A2OCi=3xi+48,=10×48=480

故答案為：480

1—r

?.(2021年高考全國乙卷理科)設(shè)函數(shù)/(X)=——，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+x

A./(Λ-1)-1B./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(x+l)+l

【答案】B

↑-x2

【解析】由題意可得/(X)=——二-1+——，

1+x1+x

2

對于A,7(尤—1)一1=嚏一2不是奇函數(shù)：

2

對于B,7(x-l)+l=一是奇函數(shù)；

X

2

對于C,/(x+l)-I=---2,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)；

2

對于D,/(Λ+1)+1=-定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù).

故選：B

2.(2021年高考全國甲卷理科)設(shè)函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)镽,/(X+1)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)

x∈[l,2]時，f(x)=ax2+b.若/(O)+/■⑶=6,則/(?l=()

【答案】D

【解析】因?yàn)?(x+l)是奇函數(shù)，所以/(-x+l)=-∕(x+l)①;

因?yàn)?(x+2)是偶函數(shù)，所以〃無+2)=∕(-x+2)②.

令X=1,由①得：/(0)=-∕(2)=-(4β+?),由②得：f^)=f(?)=a+b,

因?yàn)閒(0)+/(3)=6,所以一(4。+/?)+α+Z?=6=>α=—2,

令X=0,由①得：/(l)=-γ(l)n/(I)=O=8=2,所以/(x)=-2f+2.

思路一：從定義入手.

思路二：從周期性入手

由兩個對稱性可知，函數(shù)/卜)的周期T=4?

所以喝=∕({H］∣j=∣?

故選：D.

3.(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科)設(shè)函數(shù)/(x)=In12x+11-In12犬-11,則以)()

A.是偶函數(shù)，且在(L,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(一4」)單調(diào)遞減

222

C.是偶函數(shù)，且在(-00,-g)單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(-00,-；)單調(diào)遞減

［答案］D

【解析】由/(x)=ln∣2x+l∣-ln∣2x-l∣得/'(X)定義域?yàn)?x∣xk±g1,關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,

又/(-x)=ln∣l-2Λ∣-ln∣-2x-1∣=ln∣2x-l∣-ln∣2x÷l∣=-/(x),

Λ∕(x)為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；

當(dāng)時，/(x)=ln(2x÷l)-ln(l-2x),

y=ln(l-2x)在K上單調(diào)遞減,

???/(%)在1-g,j上單調(diào)遞增，排除B；

當(dāng)X∈(一00，一；)時，/(x)=In(-2x-1)-In(1-2x)=In:廿；=In(1+Zj

2(］、

A=I+-------在-8,-不上單調(diào)遞減，/(〃)=In〃在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

2x—1\2J

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：/(X)在1—8,一；］上單調(diào)遞減，D正確.

故選：D.

(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)In卷理科)設(shè)/(X)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+力)單調(diào)遞減，則

【答案】C

【解析】/(x)是R上的偶函數(shù)，?^./μg3；)=/(T。g34)力"(log34).

23((二)

05i32

log,4>1=2>2>2>0`又/(x)在(8+8)單調(diào)遞減，/(Iog34)</2<f2

,故選C.

4>

5.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)∏卷(理))已知/(x)是定義域?yàn)?TO,+8)的奇函數(shù)，滿足/(17)=/(1+x).若

/(1)=2,則f(1)+/(2)+/(3)+L+f(50)=()

A.-50B.OC.2D.50

【答案】C

【解析】因?yàn)?(X)是定義域?yàn)?YO,+8)的奇函數(shù)，且滿足f(l-x)=f(?+x),

所以/(1-(x+l))=∕(l+(x+l)),即/(-%)=/(x+2)，所以/(x)=-f(x+2),

/(x+4)=-∕(x÷2)=∕(x),因此/(x)是周期函數(shù)且7=4.

又/(1)+/(2)+/(3)+L+/(50)=12[∕(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+?(l)+/(2),

且/(2)=/(1+1)=/(1-1)=/(O)=0,/