2023-2024學(xué)年人教A版必修第一冊 三角函數(shù) 階段提升課 學(xué)案

階段提升課

=1

=1

題型一三角函數(shù)的定義

1.(多選題)(2023.朝陽高一檢測)已知角。的終邊經(jīng)過點(-2,-遮),且。與a的終邊關(guān)

于％軸對稱，則()

A.sin。=-

7

B.a為鈍角

C.cosa--^-

1

D.點(tanatana)在第四象限

【解析】選ACD角6的終邊經(jīng)過點(-2,-g),sin。二手,A正確.

。與a的終邊關(guān)于%軸對稱，由題意得?的終邊經(jīng)過點(-2,g),a為第二象限角，不

一定為鈍角，

cosa=-券,B錯誤,C正確.

因為tan0=y>O,tana=[<0,所以點(tanatana)在第四象限,D正確.

2.若角a的終邊在直線y-3x上，且sina<0,又尸(九")是a終邊上一點，且|OP|=VIU,

求sina,cosa,tana.

【解析】因為sina<0,且角a的終邊在直線尸3%上,所以角a的終邊在第三象限,

又尸（利,"）是a終邊上一點，所以加<0,〃<0.又因為

九=3zn,gci'if71=-3,

,n2+m2=10,所以Vn=_l,

n33V1O

所以sinQf^—---——----——-----

\OP\Vioio'

m1V10sina。

cosa-————,tana=----=3.

\OP\V1010cosa

【總結(jié)升華】

利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法

（1）已知角a的終邊在直線上時，常用的解題方法有以下兩種：

①先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標,再利用正弦、余弦函數(shù)的定義求出相

應(yīng)三角函數(shù)值.

②在a的終邊上任選一點P（x,y）,P到原點的距離為r（r〉0）,則sina=*cosa=*tan

已知a的終邊求a的三角函數(shù)值時，用這幾個公式更方便.

X

⑵當角?的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進

行分類討論.

題型二同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

1.（2023.煙臺高一檢測）已知角a的頂點在原點，始邊與％軸的非負半軸重合，終邊

sin(等+a)+2cosg-a)

經(jīng)過點尸（2,-2）,則)

sin(3n-a)+cos(Ti+a)

AA-5BD

3i-i

sin(等+a)+2cos(￡-a)_-cosa+2sina_-l+2tana

【解析】選B.

sin(3n-a)+cos(7i+a)sina-cosatana-1

又尸(2,-2),故tana=-L

故-l+2tana_-l+2x(-l)_3

tana-1-1-12

2.已知關(guān)于％的方程2%2-(舊+1)%+/=0的兩個根為sina,cosa,a￡(0,2TI),

求:⑴,sinatanacosa的值;

tana-l1-tancr

⑵實數(shù)t的值;

⑶方程的兩個根及此時?的值.

sincrtanacosasin2acosa

【解析】（1）因為----------1-------二-----------------------1-------

tana-11-tanacosa(tana-l)1-tana

sin2a-cos2asin2a-cos2a.V3+1

二----------------------=-----------------=SHIot+cosa-------.

cosa(tana-l)sina-cosa2

(2)因為sinot+cos。=當士?！?0,2兀)，

所以兩邊平方可得sinacosa=f,故t3.

sina=》fsina=—

(3)由(1)(2)得遮或3

cosa=y[cosa=-

所以a=g或a=g.

63

【總結(jié)升華】

1.關(guān)于同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

一是利用基本關(guān)系進行直接運算，二是綜合利用基本關(guān)系進行弦、切互化，整體代

換求值等.

2.關(guān)于誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

首先結(jié)合口訣理解、熟記誘導(dǎo)公式，其次在應(yīng)用的過程中要善于觀察角度之間的

關(guān)系，如互余、互補、拆分出特殊角等，以達到靈活應(yīng)用目的.

題型三三角函數(shù)的圖象及變換

1.已知函數(shù)/(%)=cos(cvx+0)(co〉O,O<0<7i)的最小正周期為兀,將其圖象向右平移!個

單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱，則0=；當匯金勺時兀X)的值域

OO

是.

【解析】由函數(shù)於)的最小正周期7=空=冗得69=2,所以危)=cos(2%+。),將其圖象

向右平移]個單位長度后得到g(%)=cos(2W+0)的圖象，因為g(%)的圖象關(guān)于原點

對稱，所以。?三+配左wZ,所以片獸也火￡Z,又0<0<九,所以0丹，

DZOO

則危尸cos(2%+m當%引-與時2%+等金耳勺,所以以)的值域是

6oooZ6

答案?[-1,0]

O

2.(2023.泰安高一檢測)已知函數(shù)八工尸Asin(ttu：+0)(其中4〉00〉0,0<0<今的圖象如

圖所示.

⑴求函數(shù)兀0的解析式及其對稱軸方程；

⑵將函數(shù)兀0的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的縱坐標不變，得到了函數(shù)

產(chǎn)g(%)的圖象，求函數(shù)產(chǎn)g(%)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.

O

【解析】⑴由題圖知A=2,7=4x(*》=兀,則①哼=2,

51261

由2sin(2x?+0)=2,即sin(2+0)=l,彳導(dǎo)？+0=2祈+：左GZ,所以(p-2kn+-,k^Z,

63326

又(0今),則0=/故障)=2sin(2%+,

令2%+?=^+祈(左《z>得%=?+如(左￡Z),

6262

所以危)的對稱軸方程為X=%?(左wZ).

62

⑵將火工)圖象上各點的橫坐標縮短為原來的"縱坐標不變彳導(dǎo)到g(%)=2sin(4%+?的

圖象

因為％引0,爭貝隼4叫罵,

當器4%+三甘，即。^^時段)單調(diào)遞增；

當察4%+能當即會理時g(%)單調(diào)遞增.所以g⑴在［0,爭上的單調(diào)遞增區(qū)間為

ZODDOO

［。頡騫.

【總結(jié)升華】

L函數(shù)產(chǎn)sin%的圖象變換到y(tǒng)=Asin(cox+0),%￡R圖象的兩種方法

步驟1|—>|在某閉區(qū)間上作》=5畝/長度為2n的囪豪

|沿z軸平移乜置位橫坐標伸］長或縮短

得N=sin(i+w)的圖象得1yhsin(i)x的圖象

橫坐標伸長或縮短沿土軸平移應(yīng)個單位長度

wWI(D

步驟3--------?得y=sin(ou'+卬)的圖象

］縱坐標伸長或縮短

步驟4--------?得了=Asin(3<r+g)的圖象

I沿工軸［擴展

步驟5--------?得y=Asin(oxr+q)R的圖象

2.關(guān)于利用圖象求函數(shù)的解析式

一般按照A-co-^的順序求參數(shù)，其中A?？梢酝ㄟ^觀察最值、周期求得9則通過

圖象的點代入求解，求解時注意(P的范圍.

題型四三角函數(shù)的性質(zhì)

1.(多選題)(2023?葫蘆島高一檢測)若函數(shù)/(%)=cos(cox+B)兩條對稱軸之間的最小

距離為今則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)八%）的最/」'正周期為71

B.函數(shù)危）在［0或上單調(diào)遞減

C.將函數(shù)啟）圖象向右平移:個單位長度后所得圖象關(guān)于y軸對稱

D.若危1）書%2）=0廁#%1+%2）=?

【解析】選AC因為危尸cos（s+；）兩條對稱軸之間的最小距離為今

所以搟7帶,所以7=冗，

則Gf=2,即危）=cos（2x+9故A正確；

當％￡［0,中時2%+衿耳爭根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性,可得當2%+衿阮爭，即％引丁中

時就0單調(diào)遞增，故B錯誤；

將函數(shù)啟）圖象向右平移2個單位長度后得到的產(chǎn)cos［20》+m=cos2%的圖象關(guān)

于y軸對稱，故C正確；

由cos（2%+g）=0可彳導(dǎo)+然,%2=5+竽，肌，依eZ,

D，乙乙■.乙乙

miln（左1+k2）冗互kn］「~

貝UXl+X2=~+=~+—,k^Z,

oN9oZ

貝以%1+X2）=（：⑹2G+?）+勺=（:。$（4+左71）=士"故D錯誤

6233z

2.已知函數(shù)危）=sin（5+0）（tv>O,|0］<］）滿足下列三個條件中的兩個

①函數(shù)八%）的周期為K；

②是函數(shù)危）的對稱軸；

③49=0且在區(qū)間C，;）上單調(diào).

⑴請指出這兩個條件，并求出函數(shù)危）的解析式；

（2）若％仁［。司,求函數(shù)危）的值域.

【解析】⑴由①可得,以=兀0刃=2;

（1）

由②彳導(dǎo)詈+/=祈+與今0=祈+三詈，左￡Z;

由③彳導(dǎo)，理+夕=機兀00=機冗-吧，機￡Z,->---=-=>—>—=>0<&）<3;

442263（JL）3

若①②成立，則①=2,0="%）=sin（2%+*

若①③成立，則片5-9=加兀三根GZ,不合題意；

若②③成立，則也上吧=加兀-吧0①=120左）-6次,見左￡Z（cv〉0）,與③中的0<?<3矛

264

盾，所以②③不成立，

所以只有①②成立於尸sing%+

⑵由題意得,0304幺+3號今為㈤口，所以函數(shù)危）的值域為悖，1.

【總結(jié)升華】

三角函數(shù)的性質(zhì)及求解技巧

三角函數(shù)的性質(zhì)主要有定義域、值域、單調(diào)性、周期性及對稱性.

⑴關(guān)于三角函數(shù)的定義域、值域問題，其中定義域除了對分母、被開方數(shù)等的限

制外，還要注意正切函數(shù)自身的定義域，而值域一般需要借助三角函數(shù)自身的值

域、定義區(qū)間上的范圍，利用換元、配方等方法求解.

（2）在研究相關(guān)性質(zhì)時，利用整體代換思想解題是常見的技巧,即將危）=4sin（Gx+0）

中的cox+（p看作--整體.

題型五已知三角函數(shù)值求角

1.（2023?濰坊高一檢測）已知a引0,2冗）,點P（l,tan2）是角a終邊上一點，則a=（）

A.n+2B.2

C.TI-2D.2-7I

【解析】選A.tan2<0,所以P是第四象限點，即a是第四象限角，

又tana=tan2=tan（7i+2）,a￡[0,2TI）,

所以a=;i+2.

2.若sin（差+x）￥，%e（0,2冗）,則％的值為（）

A*或*B專

C理哈喏

【解析】選A.因為sin（乎+%）#,

所以COS

所以產(chǎn)史+2祈或文+2析,左WZ.

66

因為工￡（0,2冗）,所以x哼或?qū)W

【總結(jié)升華】

關(guān)于利用三角函數(shù)值求角、解不等式

⑴求角:首先要明確各個象限內(nèi)特殊的三角函數(shù)值對應(yīng)的角,可以利用誘導(dǎo)公式、

銳角的三角函數(shù)值推出，其次借助三角函數(shù)線、圖象直觀得出；

⑵解不等式:求角是關(guān)鍵，求出角后，可以根據(jù)單位圓、圖象寫出不等式的解集.

=1規(guī)避易錯誤區(qū)辨帶破瓶頸

易錯點一-忽略角的范圍限制致誤

1.已知cos(7i+a)=*則tana-()

AA—班B.—

25

c.±—D.士獨

25

【解析】選c因為cos(兀+a)總所以cosa=-|,

則?為第二或第三象限角，

所以sina=±Vl-cos2a-

,VsL

sina_i___<5

所以tana------=~2~=——?

cosa--2

3

［誤區(qū)警示］利用sin2a+cos2a=l求值一般