平行四邊形的判定完整版

平行四邊形與中心對(duì)稱(chēng)(zhōnɡxīnduìchēnɡ)圖形本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.1——3.1.3

平行四邊形的判定(pàndìng)第一頁(yè)，共三十四頁(yè)。

觀察下邊的圖形，再根據(jù)前面學(xué)到的“平行四邊形的對(duì)角線互相(hùxiāng)平分”，你能畫(huà)出一個(gè)平行四邊形嗎？動(dòng)腦筋第二頁(yè)，共三十四頁(yè)。

過(guò)點(diǎn)O畫(huà)兩條線段AC，BD，使得(shǐde)OA=OC，OB=OD.

連結(jié)AB，BC，CD，DA，則四邊形ABCD是平行四邊形，如圖3-18.

你能說(shuō)出這樣畫(huà)出的四邊形ABCD一定(yīdìng)是平行四邊形的道理嗎？圖3-18第三頁(yè)，共三十四頁(yè)。由于(yóuyú)OA=OC，OB=OD，(已知)∠AOB=∠COD（對(duì)頂角相等(xiāngděng)）因此(yīncǐ)△OAB≌△OCD.(SAS)從而∠1=∠2.（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）于是AB∥DC.(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)同理BC∥AD所以四邊形ABCD是平行四邊形.12第四頁(yè)，共三十四頁(yè)。結(jié)論對(duì)角線互相(hùxiāng)平分的四邊形是平行四邊形.第五頁(yè)，共三十四頁(yè)。

從平移把直線變成與它平行的直線受到啟發(fā)(qǐfā)，你能不能從一條線段AB出發(fā)，畫(huà)出一個(gè)平行四邊形呢？動(dòng)腦筋

把線段(xiànduàn)AB平移至某一個(gè)位置，得到線段DC，分別連結(jié)AD，BC，則四邊形ABCD是平行四邊形，如圖3-19.第六頁(yè)，共三十四頁(yè)。

這樣(zhèyàng)畫(huà)出的四邊形ABCD為什么一定是平行四邊形呢?

已經(jīng)有AB∥DC，如果還能說(shuō)明BC∥AD，那么(nàme)四邊形ABCD就是平行四邊形.第七頁(yè)，共三十四頁(yè)。如圖3-20，連結(jié)(liánjié)AC，由于AB∥DC，因此(yīncǐ)∠1=∠2.又由于(yóuyú)

AB=DC，AC=CA，因此△ABC≌△CDA.(SAS)從而∠3=∠4.所以四邊形ABCD是平行四邊形.因此BC∥AD.圖3-201243第八頁(yè)，共三十四頁(yè)。結(jié)論一組對(duì)邊平行(píngxíng)且相等的四邊形是平行(píngxíng)四邊形.第九頁(yè)，共三十四頁(yè)。例2

已知：如圖3-21，在□ABCD的對(duì)角線AC上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使得點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于對(duì)角線交點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，連結(jié)(liánjié)EB，ED，F(xiàn)B，F(xiàn)D.

求證：四邊形EBFD是平行四邊形.舉例圖3-21第十頁(yè)，共三十四頁(yè)。證明：由于(yóuyú)點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，圖3-21因此點(diǎn)O是線段(xiànduàn)EF的中點(diǎn)，即OE=OF.由于(yóuyú)四邊形ABCD是平行四邊形，因此OB=OD.所以四邊形EBFD是平行四邊形.(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形).第十一頁(yè)，共三十四頁(yè)。舉例例3

已知：如圖3-22，在□ABCD的邊AB，DC

上分別取一個(gè)點(diǎn)E，F(xiàn)，使得，

.連結(jié)AF，CE.

求證：（1）四邊形AECF是平行四邊形；（2）AF=CE.圖3-22第十二頁(yè)，共三十四頁(yè)。證明(zhèngmíng)：（1）由于四邊形ABCD是平行四邊形，圖3-22因此(yīncǐ)AB∥CD，AB=CD.因此(yīncǐ)AE=CF.又AE∥CF，所以四邊形AECF是平行四邊形.(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形).第十三頁(yè)，共三十四頁(yè)。圖3-22（2）由于(yóuyú)四邊形AECF是平行四邊形，因此(yīncǐ)

AF=CE.第十四頁(yè)，共三十四頁(yè)。1.用兩種方法(fāngfǎ)畫(huà)一個(gè)平行四邊形.練習(xí)第十五頁(yè)，共三十四頁(yè)。2.已知：如圖3-23，把△ABC的中線AD延長(zhǎng)至E，使得DE=AD，連結(jié)(liánjié)EB，EC.

求證：四邊形ABEC是平行四邊形.圖3-23證明(zhèngmíng)：∵

AD是△ABC的中線，∴

BD=DC，又∵

DE=AD，∴

AE和BC互相(hùxiāng)平分，且為四邊形ABEC的對(duì)角線.∴四邊形ABEC是平行四邊形.第十六頁(yè)，共三十四頁(yè)。3.在例3中，如果連結(jié)(liánjié)BF，DE，那么四邊形BFDE

是平行四邊形嗎？為什么？例3

已知：如圖3-22，在□ABCD的邊AB，DC上分別取一個(gè)點(diǎn)E，F(xiàn)，使得連結(jié)AF，CE.求證:(1)四邊形AECF是平行四邊形；

(2)AF=CE.答：四邊形BFDE是平行四邊形.

因?yàn)镃D∥AB，故DF∥BE.

又

AB=CD，故BE=DF.

所以四邊形BFDE是平行四邊形.第十七頁(yè)，共三十四頁(yè)。

用兩支同樣長(zhǎng)的鉛筆(qiānbǐ)和兩支同樣長(zhǎng)的圓珠筆能擺成一個(gè)平行四邊形的形狀嗎？動(dòng)腦筋第十八頁(yè)，共三十四頁(yè)。

我們(wǒmen)可以用兩支同樣長(zhǎng)的鉛筆和兩支同樣長(zhǎng)的圓珠筆擺成如圖3-24(1)的形狀.

可以(kěyǐ)看出圖3-24(1)可能是平行四邊形.圖3-24(1)第十九頁(yè)，共三十四頁(yè)。

把上述(shàngshù)問(wèn)題抽象出來(lái)就是：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形嗎？第二十頁(yè)，共三十四頁(yè)。如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BC=DA.連結(jié)(liánjié)AC.由于(yóuyú)AB=CD，BC=DA，AC=CA，因此(yīncǐ)△ABC≌△CDA.(SSS)從而∠1=∠2.(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)因此AB∥CD.(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)所以四邊形ABCD是平行四邊形.(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)12第二十一頁(yè)，共三十四頁(yè)。結(jié)論兩組對(duì)邊分別(fēnbié)相等的四邊形是平行四邊形.第二十二頁(yè)，共三十四頁(yè)。1.兩組鄰邊分別相等(xiāngděng)的四邊形一定是平行四邊形嗎？動(dòng)腦筋

不一定(yīdìng)是平行四邊形.第二十三頁(yè)，共三十四頁(yè)。2.一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行(píngxíng)的四邊形一定是平行四邊形嗎？

不一定是平行四邊形.例如(lìrú)等腰梯形就滿(mǎn)足所述條件，但不是平行四邊形.第二十四頁(yè)，共三十四頁(yè)。

綜上所述，我們可以得到下面(xiàmian)一些平行四邊形的判定方法.第二十五頁(yè)，共三十四頁(yè)。結(jié)論兩組對(duì)邊分別(fēnbié)平行的四邊形是平行四邊形.兩組對(duì)邊分別(fēnbié)相等的四邊形是平行四邊形.一組對(duì)邊平行(píngxíng)且相等的四邊形是平行(píngxíng)四邊形.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.第二十六頁(yè)，共三十四頁(yè)。

在紙上畫(huà)一個(gè)(yīɡè)三角形，把它剪下來(lái)，再用紙剪三個(gè)與它全等的三角形，再用這四個(gè)三角形拼成一個(gè)(yīɡè)大三角形，如圖3-25所示.找出其中所有的平行四邊形，并且說(shuō)出理由.做一做圖3-25第二十七頁(yè)，共三十四頁(yè)。1.如圖3-26，在四邊形ABCD中，AB=DC，

BC=AD，E，F(xiàn)分別(fēnbié)是邊AB，DC的中點(diǎn).

找出圖中所有的平行四邊形，并且說(shuō)出理由.練習(xí)答：□ABCD，□AEFD，

□

EBCF.圖3-26第二十八頁(yè)，共三十四頁(yè)。2.如圖3-27，把△ABC繞邊BC的中點(diǎn)(zhōnɡdiǎn)O旋轉(zhuǎn)

180°，得到△DCB.試問(wèn)：四邊形ABDC是平行四邊形嗎？為什么？答：四邊形ABDC是平行四邊形.

因?yàn)锳C=BD，AB=DC，所以四邊形ABDC是平行四邊形.(兩組對(duì)邊分別相等(xiāngděng)的四邊形是平行四邊形).圖3-27第二十九頁(yè)，共三十四頁(yè)。中考試題例1

如圖，是由12個(gè)邊長(zhǎng)相等(xiāngděng)的正三角形鑲嵌而成的平面圖形，則圖中的平行四邊形共有

個(gè).解析

由圖形知，由兩個(gè)正三角形所組成的平行四邊形有6+6+1=13個(gè)；由四個(gè)正三角形所組成的平行四邊形有6個(gè)，由六個(gè)正三角形所組成的平行四邊形有2個(gè)；故所有的平行四邊形共有21個(gè).21第三十頁(yè)，共三十四頁(yè)。中考試題例2

如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.

求證(qiúzhèng)：（1）△AFD≌

△

CEB；（2）四邊形ABCD是平行四邊形.第三十一頁(yè)，共三十四頁(yè)。（1）∵DF∥BE，∴

∠DFE=∠BEF.∵

∠AFD+∠DFE=180°，∠CEB+∠BEF=180°，

∴

∠AFD=∠CEB.

又AF=CE，DF=BE.∴

△AFD≌△CEB(SAS).（2）由(1)知△AFD≌△CEB，

∴

∠

DAC=∠BCA，AD=BC，

∴

AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形