陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)2023屆高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)2023屆高三一模數(shù)學(xué)（理科）試卷

長(zhǎng)安區(qū)高三質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)（理科）試題

注意事項(xiàng)：

L本試題共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，時(shí)間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題K答案X后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的K答案》標(biāo)號(hào)

涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它K答案X標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將K答案』

寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={X°<■x≤4，xeN}，■β={x∣2?v≤6},則A'B=（）

A.{1,2}B.[1,2JC.{1,2,3}D.[1,3]

K答案』A

K解析』

K祥解》解指數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合B,再利用交集的定義求解作答.

K詳析D解不等式2、≤6得：x≤10g26,則B={x∣xG0g26},而2<logz6<3,又A={l,2,3,4},

所以AB={l,2}.

故選：A

2.甲乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員參加比賽，抽取連續(xù)6輪射擊比賽的成績(jī)情況如下:

甲：80、70、80、90、90、70；乙：70、80、80、80、70、80

則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.甲比乙平均成績(jī)高，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定

B.甲比乙平均成績(jī)高，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

C.乙比甲平均成績(jī)高，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定

D.乙比甲平均成績(jī)高，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定

K答案，B

K解析D

K祥解Il根據(jù)給定數(shù)據(jù)，求出甲乙成績(jī)的平均數(shù)及方差，再比較判斷作答.

80+70+80+90+90+70Q八

K詳析Il依題意，甲射擊成績(jī)的平均數(shù)內(nèi)--------------------=oθ>

6

方差s；='[2(80-80)2+2(70-80)2+2(90-80)2]=—

63

70+80+80+80+70+80_230

乙射擊成績(jī)的平均數(shù)%=

63

.->IrC∕rc23092302τ200.-...22

方差jSW=—[2(70——)^+4(——80)^]=———,因此玉>χ,5∣^>S，

633992

所以甲比乙平均成績(jī)高，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定.

故選：B

3.復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足z3=—2+2i，貝IJz=()

A.1-iB.l+iC.-l-iD.-l+i

K答案HB

K解析』

K祥解》設(shè)復(fù)數(shù)z=α+加,mSeR),則根據(jù)題意根據(jù)復(fù)數(shù)相等列出關(guān)于。力的方程，即可求得K答案1

K詳析』設(shè)復(fù)數(shù)z=α+歷,(α,∕∈R),則由=-2+2i可得3+歷)'=-2+2i,

即ai+3a2bi+3ab2i2+(?i)3=-2+2i,

則/_3時(shí)=-2,3a2b-bi=2,整理得(?-b)(a2+4ab+b2)=0,

當(dāng)α=〃時(shí)，解得。=匕=1,此時(shí)Z=I+i,

當(dāng)α2+44b+∕=o時(shí)，即(θ+26)2=3必，

則結(jié)合各選項(xiàng)，該式均不成立，

故選：B

IOx-I「乃乃

4.函數(shù)/(x)=U__Lsinx在區(qū)間一彳上的圖象大致為()

10'+122

K答案1A

K解析』

K祥解》利用函數(shù)的奇偶性和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，排除選項(xiàng)得出正確K答案兒

ι∏-χ_i1_10v

K詳析UV?(-?)----------sin(-X)=-----------sinX=/(x)

10^v+l',1+10'

10,-1

.?./(%)=—~-?sinx偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B和D

10'+1

1CX1

當(dāng)0<x<5時(shí)，sinx>O,IoA>1,即/（x）=U?i?sinx>O,排除選項(xiàng)C

2101+1

故選：A

11

5.在平行四邊形ABCO中,AE=-AD,CF=-CD,則BA=（）

6923

A.-AF——CEB.-AF——CE

5555

6923

C.-AF+-CED.-AF+-CE

5555

K答案』C

K解析1

R祥解』設(shè)A8=α,AD=Z?，將84，AF-CE都用a，6表示，設(shè)84=MA尸+"CE，解出機(jī)，機(jī)

設(shè)A8=a,AD=b>

12

因?yàn)锳E=—AD,所以CE=CD+DE=-a——b,

33

I2

因?yàn)镃T=—CO,所以A尸=A。+。/=/?+—a,

33

設(shè)64=mAf+〃CE，則一a=根S+§a）+〃（一。一§〃），

-2,

-m-n=-1

36969

，解得根=一，〃=一，即BA=-Ab+-CE.

25555

m——n=On

3

故選：C.

6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服號(hào)影算法”在《大衍歷》中建立了辱影長(zhǎng)1與太陽(yáng)天頂距

6(0?！躤≤180。)的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，唇影長(zhǎng)

度/等于表高/Z與太陽(yáng)天頂距。正切值的乘積，即∕=6tane.對(duì)同一“表高”兩次測(cè)量，第一次和第二次太陽(yáng)

天頂距分別為a,￡，且tan（α-4）=；,若第二次的“唇影長(zhǎng)”與“表高”相等，則第一次的“唇影長(zhǎng)”是“表高”

的（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

K答案》B

K解析》

K祥解Il根據(jù)給定條件，可得tan分=1,再利用和角的正切公式計(jì)算作答.

K詳析》依題意，tan力=1,則tanα=tan[(α-夕)+0=網(wǎng)絲旦粵J=2,

1-tan(tz-p)?tanβ??

~3

所以第一次“辱影長(zhǎng)”是“表高”的2倍.

故選：B

3TT71

7.下列是函數(shù)/(X)=2Sin(X+—)Sin(X+—)圖像的對(duì)稱(chēng)軸的是()

44

πC兀〃兀C兀

A.X——B.X=-C.X=-D.X=一

6432

K答案》D

K解析》

K祥解D根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)/(X),再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.

JiTTTTTTJiTT

K詳析H/(x)=2sin[(?+—)+—]sin(x+—)=2sin(?+—)cos(x+—)=sin(2x+—)=cos2x,

424442

顯然/(*=CoSl=gw±l,/(?)=COSI=OW±1,/(])=cosg=-g≠±l,?(?)=cosπ=-1,

所以函數(shù)/'(x)=2Sin(x+型)sin(x+q)圖像的對(duì)稱(chēng)軸的是x=5,ABC錯(cuò)誤，D正確.

442

故選：D

8.盲盒是一種深受大眾喜愛(ài)的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準(zhǔn)備將棱長(zhǎng)為8cm的正四面體的魔方放入正方體盲盒

內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長(zhǎng)最小時(shí)，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為（）

A,/∏√B.空C.2√

1D-

3333

K答案2c

K解析』

K祥解》棱長(zhǎng)為8的正四面體放入正方體，使正方體面對(duì)角線長(zhǎng)等于正四面體棱長(zhǎng)，然后求出體積作答.

K詳析》依題意，要使棱長(zhǎng)為8cm的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，且盲盒棱長(zhǎng)最小，

則當(dāng)且僅當(dāng)正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)等于正四面體的棱長(zhǎng)，即它們有相同的外接球，

如圖，正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為8cm,該正四面體的所有棱均為正方體對(duì)應(yīng)的面對(duì)角線,

所以該正方體棱長(zhǎng)為4√∑cm，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為4×∣×→4√2×4√2×4√2="等(cm3).

故選：C

，2

9.己知點(diǎn)尸(4,0)是雙曲線C:，-與=1(。>O/>0)的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)尸向C的一條漸近線引垂線垂足為A,

cΓb2

交另一條漸近線于點(diǎn)艮若2Ab=/8,則雙曲線C的方程為()

222222?2

A.^-2L=1B.土-匕=1C.土-匕=1D.三-工=1

124412106610

R答案?A

K解析》

K祥解』根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到直線距離公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式計(jì)算作答.

2

K詳析』雙曲線C:二=1的漸近線方程為：bx±ay=0,不妨令點(diǎn)A在直線bx-αy=0上,

a^

a2+?2=16.如圖,

4h4h,

因?yàn)锳FJ_Q4,則IAFl=/,,=;=b，而2AF=FB，即有IFBI=2∣AEI=2"IABl=32,

____________________b

1222

IOAI=y∣?OF?-?AF?=√4-b=a.sinZAOF=-,由2A/=/8知，點(diǎn)AB在），軸同側(cè),

兀h

于是/4。8=2/4。尸6(0,—),cosZAOB=1-2sin2ZAOF=1——>0，?2<8>

28

在RtAAOB中，1081=JIoAI2+1AgI2=y∣a2+9b2=J16+8/,由IQ4∣=∣OBleOSNAOB得：

a=√16+8Z?2?(1--).整理得：8(16-〃)=(戶(hù)+2)(8％化簡(jiǎn)得/一以〃+40=0,解得/=4

8

或加=10(舍去)，

22

所以從=4,/=12,雙曲線方程為土—匕=1.

124

故選：A

10.已知函數(shù)"x)滿(mǎn)足2f(x)+y(τ)=-2x,若2"=log2b=c,則()

A.f(a)<f(b)<f(c)B.f(b)<f(c)<f(a)

C./(?)</(c)<∕(∕?)D.f(c)<f(^)<f(a)

K答案2B

K解析H

K祥解》求出/(X)的K解析】式，在同一坐標(biāo)系中作y=c,y=23y=l0g2X,V=X的圖象，得到

a<c<b,借助/(X)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.

K詳析D因?yàn)?∕(x)+∕(-x)=-2x,所以2∕(-x)+√?(x)=2x,

^2∕(%)+∕(-x)=-2x

聯(lián)立＜得/(x)=-2x,在R上單調(diào)遞減,

2∕(r)+f(X)=2x

在同一坐標(biāo)系中作y=c,y=2*,y=Iog2?,y=x的圖象，如圖,

所以α<c<h,故/(匕)<∕(c)<∕(a).

故選：B.

11.在三棱錐A—JeCD中，平面AeD，平面BCD,.ACD是以CQ為斜邊的等腰直角三角形，M為CD

中點(diǎn)，BMYBC,AC=23C=4,則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.16πB.24兀C.32πD.40π

K答案》D

K解析』

K祥解』分析得到球心。在平面ACD的投影與M點(diǎn)重合，由面面垂直得到球心O在平面8C。上，作出

輔助線，球心。在上，設(shè)OM=X,由半徑相等列出方程，求出X,進(jìn)而得到外接球半徑，求出表面積.

K詳析》因?yàn)锳CD是以CO為斜邊的等腰直角三角形，M為CD中點(diǎn),AC=4,

所以AMJ_C￡>,且AΛ∕="C=2√^,

因?yàn)?3C=4,所以3C=2,而

由勾股定理得：BM=VCM2-BC2=2，所以BM=BC,

故」BOW為等腰直角三角形，ZBMC=45°,ABMD=I35。,

由題意得：球心。在平面ACD投影與M點(diǎn)重合，

因?yàn)槠矫?CD，平面BCD所以球心O在平面Ba）上，

在平面BC。上，過(guò)點(diǎn)歷作M8,故NBMH=45°,

球心。在上，設(shè)OM=X,

由余弦定理得：OB2=。"2+8知2_2OM?8McosN8W∕=χ2+4-2缶，

則Ao2=A"+Q”=8+f,

由=AO2得：X2+4-2√2%=8+X2>解得：x=-√2.

設(shè)外接球半徑為R,則心=8+卜起『=10,

故該三棱錐的外接球的表面積為4兀W=4（）兀.

A

故選：D

H點(diǎn)石成金口解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置.對(duì)于外切的問(wèn)題要

注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相

等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求

得球的半徑.

12.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,滿(mǎn)足/(x+2)=2"x),且當(dāng)x∈(0,2］時(shí),/(χ)=χ(2-x).則下列結(jié)

論正確的個(gè)數(shù)是()

①〃7)=8；

(13~

②若對(duì)任意x∈(-8,問(wèn)，都有/(x)≤6,則用的取值范圍是I-8,了；

③若方程/(力=加(％-5)恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則"，的取值范圍是(一1,一；)

①函數(shù)/(力在區(qū)間［2〃-2,2〃］(〃￡氏)上的最大值為《，若?IGN+,使得∕L4<2”7成立，則

2/3一

λ∈I—∞,—16」.

A.1B.2C.3D.4

K答案』B

K解析》

K祥解》由題意推出函數(shù)的K解析D式，作出函數(shù)圖象，利用K解析』式可判斷①；解方程，結(jié)合函數(shù)

圖象可判斷②；舉反例取特殊值，”=-1,可判斷③；根據(jù)函數(shù)K解析》式求得最值，可得勺表達(dá)式，分離

參數(shù)，^3rt∈N+,使得；lα,,<2〃-7成立轉(zhuǎn)化為數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題，可判斷④.

K詳析』函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,滿(mǎn)足/(x+2)=2∕(x),即F(X)=2/(%-2),

且當(dāng)x∈(0,2]時(shí),/(x)=x(2-x),

當(dāng)x∈(2,4]時(shí)，x-2∈(0,2],故/(x)=2(x-2乂4—x)=-2χ2+12x-16,

當(dāng)％∈(4,6]時(shí),%-2∈(2,4],故/(x)=2[—2(X-2)2+12(X-2)—16]=-4x2+40X-96,

依次類(lèi)推，

當(dāng)Xe(2〃-2,2n]時(shí)，/(X)=-2',-ix2+2"(2〃—I)X—2,,^'(2〃)(2〃-2)

=-2,,^'X2+2n(2n-I)X-2nn(2n-2),

由此可作出函數(shù)/(x)的圖象如圖：

對(duì)于①，7e(6,8),此時(shí)〃=4,?∕(7)=-23×72+24(2×4-l)×7-24×4(2×4-2)

=-392+784—384=8,①正確；

對(duì)于②，當(dāng)x≤6H寸，/(x)≤4;結(jié)合①可知當(dāng)6<x≤8時(shí)，/(x)≤8;

故當(dāng)X∈(6,8)時(shí)，?∕(χ)=-8x2+112x-384=6,

1513

即4χ2+56x+195=0,.?.(2x-15)(2x-13)=0,解得玉>7,々=萬(wàn)<7,

又/⑺=8,故對(duì)任意x∈(τΛ,m∣,都有/(x)≤6,則加的取值范圍是b*T,正確;

對(duì)于③，取機(jī)=-∣,則直線y=-χ+5,過(guò)點(diǎn)（3,2）,

結(jié)合圖象可知y=∕'(x),y=-%+5恰有3個(gè)交點(diǎn),

即/(x)=MX-5)恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即說(shuō)明機(jī)=T符合題意，則③錯(cuò)誤；

對(duì)于④,當(dāng)X∈(2M-2,2Q時(shí),/(x)=-2n^'X2+2"(2n-l)x-2nn(2n-2),

其最大值為4=2n-'χ8"Q"2芋2"—1)-=

2n-7In-I

若?ιeN+,使得44<2〃-7成立，即4<方丁，即需

2〃一5

記勿=一^口一，則。用

2"

故也用一勿=^——k=三，當(dāng)〃≤4時(shí)，2用一2>0,也,}遞增;

13

當(dāng)〃≥5時(shí)，h-b<0,{"J遞減，又“=於4=77，

j+1n816

則85〉勿，故勿=MY的最大值為工

216

33

則λ<—，即％∈(―∞,—)，故④錯(cuò)誤,

1616

綜合可知，結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是2個(gè),

故選：B

Kr點(diǎn)石成金口難點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)列的單調(diào)性等，綜合性較強(qiáng)，解答的

難點(diǎn)在于要明確函數(shù)的性質(zhì)，明確函數(shù)的K解析』式，從而作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，解決問(wèn)題.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)”為實(shí)數(shù)，mf(x)=ex-e-x+ax2導(dǎo)函數(shù)為/'(x),若f(x)是偶函數(shù)，則α=

此時(shí)，曲線y=八幻在原點(diǎn)處的切線方程為

K答案1①.0y=2x

K解析D

K祥解》由偶函數(shù)的定義得出“的值，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.

K詳析Hf?x)=e'+e-χ+2ax,因?yàn)?(x)是偶函數(shù)，所以/'(-x)=J"(x)在XeR上恒成立，

則e`+e^v-2ax=e'+e^v+20x恒成立，故α=().

因?yàn)?(O)=1-4=0,∕,(%)=ev+e-v,∕,(0)=2,

所以曲線y=∕(x)在原點(diǎn)處的切線方程為丁-0=21-0),即y=2x.

故K答案U為：0；y=2x

14.已知直線A∕nx+y+百加-I=O與圓V+/=4交于A,8兩點(diǎn)，若IABl=2,則a=.

K答案》—且##」四

33

K解析』

K祥解》根據(jù)給定條件，利用圓的弦長(zhǎng)公式求出圓心到直線/的距離即可求解作答.

K詳析》圓V+y2=4的圓心O(0,0),半徑r=2,因?yàn)閳A。的弦A8長(zhǎng)為2,

則點(diǎn)O到直線/的距離d=,產(chǎn)一(；IABl)2=√22-l2=√3,

∣G∕I∣m,uJV3∕∏-l∣瓜融雞√3

而d=—j=，因此一=√3,解得m=-----，

‰2+l2√l∕n2+l3

所以/〃=一^~?

3

故R答案》為：-且

3

15.已知在_A3C中，角A3,C所對(duì)邊分別為ab,c,滿(mǎn)足2。COSA+α=2c,且。=26，則2。一C

的取值范圍為.

K答案力(-2√3,4√3)

K解析H

K祥解》根據(jù)已知利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式可得8=三，從而可表示出2α-c的表達(dá)式，

利用輔助角公式化簡(jiǎn)結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得K答案』.

K詳析D由題意在一ABC中，滿(mǎn)足2)CoSA+〃=2c,即2sin3cosA+sinA=2sinC=2sin(A+3),

即sinA=2sinAcosB,而A∈(0,π),/.SinA≠0,

1π

故COSJB=―,又3∈(0,π),8=—,

23

Z?sinA2?/?sinA..1

則sin8G，同理c=4smC,

~2

2TT

故2。-c=8sinA-4sinC=8sinA-4sin(--A)

=6sinA-2Λ∕3COSA=4√3sin(A--),

6

B,小2兀、.π/兀兀、M?(兀、(1八

又A∈(0,—),/.A-—∈(一;，7)，故SlnA71-—∈,1,

3662I6j{2J

則2〃-CE2?∕3,4?x∕3),

故K答案D為：(一2g,4√5)

16.在生活中，可以利用如下圖工具繪制橢圓，已知。是滑桿上的一個(gè)定點(diǎn)，力可以在滑桿上自由移動(dòng)，線

段∣Q4∣=∣4D∣=3,點(diǎn)E在線段Ar)上，且滿(mǎn)足AE=AED，若點(diǎn)E所形成的橢圓的離心率為當(dāng)，則2=

K解析》

K祥解11建立坐標(biāo)系，求得尸點(diǎn)的軌跡方程，從而求出點(diǎn)E的軌跡方程，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，列方程即

可求得K答案U.

K詳析》如圖，以。為原點(diǎn)，。。為X軸，過(guò)點(diǎn)。作。。的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

過(guò)點(diǎn)E作。。的垂線交延長(zhǎng)線于P,交。。于M

作AF_LPK,垂足為F，則A尸〃。D,

因?yàn)镮OAI=I的=3,故ZPAF=ZAOD,ZEAF=ZADO,則ZPAF=ZEAF,

故IPAl=IAE?,?PF?=?EF?

設(shè)AE=rAD,(O<∕≤l),貝∣]IΛ41=∣AE∣=3z,故IoPl=3+3，,

則P點(diǎn)的軌跡方程為X2+/=9(1+O2，

IEFIIAEI

由于則扇=房=''^I^HEFhZ∣MF∣,

則IPMI=(l+r)∣MF∣,∣EM∣=(l-r)?MF?,

2

設(shè)E(X,y),則X=xp,y=?-1力,而Xp+yj,=9(1+r)t

故/+(?L±Iy)2=9(l+f)2,即為E點(diǎn)軌跡方程，表示橢圓，

1-t

29

即上＞+上^=］，

9(1+7)29(17A

由于橢圓的離心率為偵，BPl-9α??=(-)2,

59(1+r)25

22

解得『=§,即AE=§A。，

由于AE=∕IE。，故2=2，

故K答案》為：2

Kr點(diǎn)石成金口關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：解答本題時(shí)，要明確由該題中的方法形成橢圓的過(guò)程，因此解答時(shí)結(jié)

合平面圖形幾何性質(zhì)，判斷尸點(diǎn)軌跡為圓，由此解答本題的關(guān)鍵在于要由此確定E點(diǎn)的軌跡方程，從而根

據(jù)橢圓的性質(zhì)求得K答案n.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步驟，第17?21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為洗考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.已知等差數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿(mǎn)足%=6,.

在①S3=%；②E=20；③4+%+“8=3。這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并解答(注：

如果選擇多個(gè)條件，按照第一個(gè)解答給分.在答題前應(yīng)說(shuō)明“我選”)

(I)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)"=2。”+可，求也｝的前〃項(xiàng)和北.

K答案JI(I)4=2〃

(2)7；,=∣(4n-l)+π2+π

R解析工

2

K祥解II(I)根據(jù)等差數(shù)列的基本量的運(yùn)算可得＜C，進(jìn)而即得;

2

(2)利用分組求和法即得.

K小問(wèn)1詳揄

設(shè)等差數(shù)列｛風(fēng)｝的首項(xiàng)為4,公差為d

若選擇條件①S3=ab,則由4=6,

q+2d=6a,=2

解得,C

3al+3d-aλ+5Jd=2

.?.all=2+2(〃-I)=2〃；

若選擇條件②品=20,則由%=6,

q+2d=6

α∣=2

得《4×3J解得,

4ZIq÷-J=20d=2

/.an=2+2(〃-1)=2〃；

若選擇條件③4+。5+。8=30，則由。3=6，

a.+2d-6[a.=2

得”/八W解得]?-

3(q+4d)=30Id=2

.*.all-2+2(〃-l)=2n?

K小問(wèn)2詳析)

由(1)知，選擇三個(gè)條件中的任何一個(gè)，都有《,=

2n,

則bn=T-+a,,=2+2n=4'+2n,

，也}的前〃項(xiàng)和(=(4∣+下+型+?+4(,)+2(l+2+3++〃)

,

4(l-4')n(l+∏)4\2

=--------+2×-------=-(z4"-↑}+n^+n

1-423、7

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，24，平面ABCr>,AD±CD,AD//BC,∕%=AT>=8=2,

BC=3,E為Po的中點(diǎn)，尸在PC上，滿(mǎn)足所_LPC.

(I)求證：CD_L平面PAZM

(2)求二面角3-AF-C的余弦值.

K答案1(1)證明見(jiàn)K解析D.

K解析H

K祥解D(1)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，求出平面ABE和平面AC尸的

法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得K答案》.

K小問(wèn)1詳析』

證明：因?yàn)锽4_L平面ABC。，CoU平面ABCA所以LCD,

又因?yàn)長(zhǎng)Cr>,PACAz)=APAADU平面尸A。,

所以Cr)，平面/%。.

小問(wèn)2詳析工

過(guò)4作AO的垂線交BC于點(diǎn)M,

因?yàn)镻AJ_平面ABCD,AM,AoU平面ABCr>,

所以P4,AM,P4LAD,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A",AD,AP分別為X,Xz軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

八Z

則A(0,0,0),3(2,TO),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),

因?yàn)镋為尸。的中點(diǎn),所以E(OJl),

因?yàn)镕在PC上，設(shè)AR=2元="2,2,-2),則方(24242-2%),

i?EF=(22,22-1,1-22),

因?yàn)樯癬LPC,所以所J.PC,:.E/JPC=0,

即(242/l—l,l—24)?(2,2,—2)=0,即12X-4=O,r.2=’,

3

即《|令，

224

所以A尸=AB=(2,-1,0),

m?AB—0

設(shè)平面AB/7的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),貝叫，

m?AF=0

2x-y-Q

即《224，令χ=2,則y=4,z=-3,故m=(2,4,-3)；

-x+-y+-z-0

〔333

UUUιi?AC=Q

AC=(2,2,0),設(shè)平面AC尸的一個(gè)法向量為"=(α,4c),則＜

n?AF=0

2a+2b=0

即《224，令α=l,則A=-LC=0,故方=(1,-1,0),

-a+-b+-c=G

1.333

m?n-2√58

故cos(m,〃〉=

阿川√29×√2^29^

由圖可知二面角8—AE—C為銳角，故二面角8—A/一C的余弦值為叵.

29

19.設(shè)拋物線。：〉2=2,工(〃>0)的焦點(diǎn)為尸，MeC,。在準(zhǔn)線上，Q的縱坐標(biāo)為6p,點(diǎn)M到尸與

到定點(diǎn)Q的距離之和的最小值為4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過(guò)產(chǎn)且斜率為2的直線/與C交于A、B兩點(diǎn)，求二ABQ的面積.

K答案》(1)y2=4x,

(2)√15+2√5.

K解析』

K祥解』(I)由已知可推得IFQl=4,求出RQ的坐標(biāo)代入，即可得出關(guān)于P的方程,求解即可得出p=2；

(2)由已知可求得直線方程為y=2(x-1),聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)IA同.然后

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)。到直線的距離，即可得出面積.

K小問(wèn)1詳析』

由已知可得，/(與°}—多

因?yàn)樵?IMQ∣≤∣EQ∣,當(dāng)且僅當(dāng)M,EQ三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.

又阿同+∣M2∣≤4,所以Wa=4,

即J")+(Gpj=4,整理可得p2=4,

因?yàn)椤?gt;0，所以p=2.

所以，拋物線C的方程為V=4χ.

K小問(wèn)2詳析』

由(1)知，F(xiàn)(l,0),所以直線/的方程為y=2(x-l),e(-l,2√3).

V2=4x

聯(lián)立直線/與拋物線的方程「7八可得，X2-3X+1=0.

y=2(x-l)

x+X=3

設(shè)A(χ,y),3(w,%),則由韋達(dá)定理可得＜l2

xlx2=1

所以IAM=J(Xl-々I+(M-必)~=Vl+22J(Xl+%)2-4中2=5.

又點(diǎn)°(一1,2@到直線/:y=2(x-1),即直線2x—y—2=()的距離為

∣2×(-l)-2√3-2^2√i5+4√5

二衣+三

所以，-ABQ的面積S=LXIA3∣?d=Lχ5x冬晝也叵=岳+2百.

21125

K『點(diǎn)石成金D方法『點(diǎn)石成金』：求圓錐曲線中的有關(guān)三角形的面積時(shí)，常聯(lián)立直線與曲線的方程，根據(jù)

韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng).然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求出三角形的高，即可得出.

20.某學(xué)校組織知識(shí)競(jìng)答比賽，設(shè)計(jì)了兩種答題方案：

方案一：先回答一道多選題，從第二道開(kāi)始都回答單選題；

方案二：全部回答單選題.

其中每道單選題答對(duì)得2分，答錯(cuò)得0分；

多選題全部選對(duì)得3分，選對(duì)但不全得1分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分.

每名參與競(jìng)答的同學(xué)至多答題3道.在答題過(guò)程中得到4分或4分以上立刻停止答題.統(tǒng)計(jì)參與競(jìng)答的500名

同學(xué)，所得結(jié)果如下表所示：

男生女生

選擇方案一10080

選擇方案二200120

（I）能否有90%的把握認(rèn)為方案的選擇與性別有關(guān)？

（2）小明回答每道單選題的正確率為0.8：多選題完全選對(duì)的概率為0.3,選對(duì)且不全的概率為0.3.

①若小明選擇方案一，記小明的得分為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

②如果你是小明，為了獲取更好的得分你會(huì)選擇哪個(gè)方案?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.

K答案R（1）沒(méi)有.（2）①分布列見(jiàn)K解析》；4.016.②選方案一，理由見(jiàn)K解析Il.

K解析》

K祥解》（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，計(jì)算K?的值，即可判斷結(jié)論；

（2）①確定X的取值，求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，可得分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；②計(jì)算出選擇方案二的

數(shù)學(xué)期望，和方案一進(jìn)行比較，可得K答案》.

K小問(wèn)1詳析U

由題意完善列聯(lián)表如圖：

男生女生總計(jì)

選擇方案一10080180

選擇方案二200120320

總計(jì)300200500

故”=MX(I吵磔-2呼迎。2.315<2,706

300×200×320×180

故沒(méi)有90%的把握認(rèn)為方案的選擇與性別有關(guān).

K小問(wèn)2詳析】

①山題意可知X的所有可能取值為0」,2,3,4,5,

則P(X=O)=0.4X0.2X0.2=0.016,P(X=D=0.3×0.2X0.2=0.012,

P(X=2)=0.4X2X0.8x0.2=0.128,P(X=3)=0.3×0.2×0.2+0.3×2×0.8×0.2=0.108

P(X=4)=0.4x0.8x0.8=0.256,

P(X=5)=0.3x0.8+0.3x0.2x0.8+0.3x0.8χ0.8=0.480,

故X的分布列為：

X012345

P0.0160.0120.1280.1080.2560.480

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=IXO.012+2x0.128+3x0.108+4x0.256+5x0.480=4.016.

②設(shè)選擇方案二的得分為K則y的可能取值為0,2,4,

則P(y=0)=0.2×0.2×0.2=0.008,P(Y=2)=3χ0.8χ0.2χ0.2=0.096,

P(Y=4)=0.8×0.8+2×0.82×0.2=0.896,

故E(Y)=2×0.096+4×0.896=3.776,

因?yàn)镋(X)>E(y),故為了獲取更好的得分,小明會(huì)選擇方案一?

21.已知函數(shù)/(x)=e*-χ2,求證:

(1)/(χ)存在唯一零點(diǎn)；

(2)不等式e'T-胃+%一1+(InX)2N0恒成立.

K答案力(1)見(jiàn)K解析》(2)見(jiàn)K解析』

K解析】

K祥解D(1)由導(dǎo)數(shù)得出f(χ)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；

(2)先證明InX≤x-l,再由/*)的單調(diào)性，證明不等式即可.

K小問(wèn)1詳析』

尸(X)=e*-2x=g(x),g<x)=e*-2.

當(dāng)x>ln2時(shí)，g'(x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增：

當(dāng)x<ln2時(shí)，g'(x)<O,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

所以g(ln2)=eh*2-21n2=2-ln4>0,即g(x)>0J'(x)>0.

所以/(X)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，/(0)=1,/(—1)=!一1<0.

則在(TO)上，存在%,使得/(xo)=O,即/(X)存在唯一零點(diǎn);

K小問(wèn)2詳析》

/(ln%)=elnr-(ln?)2=%-(ln%)2,/(?-l)=ev-'-(%-1)2=er^'-x2+2x-?

11—Y

令〃(X)=InX-x+l(x>0),h,(x)=——1=-----.

XX

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)>0,此時(shí)函數(shù)∕z(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時(shí)，WXO,此時(shí)函數(shù)〃(％)單調(diào)遞減；

即Mx)≤Zi(I)=O,故InX≤x-l.

因?yàn)楹瘮?shù)/(?)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，所以/(InX)≤/(x-1).

即ejr^'-x2+2%-l-x+(ln%)2≥0.

故不等式e'T-/+χ-1+(InX)2NO恒成立.

H點(diǎn)石成金』』關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：在證明第二問(wèn)時(shí)，關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)證明InX≤x-l,再利用函數(shù)/S)的單

調(diào)性證明，在做題時(shí)，要察覺(jué)到這一點(diǎn).

(二)選考題：共10分.考生從22.23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

K選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程』

2

t11

X=W+科

22.在直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線C的參數(shù)方程為《La>0,t為參數(shù)).

,3-逑

It

(I)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)己知直線/：X—y-l=0與X軸的交點(diǎn)為尸，且曲線C與直線/交于A、B兩點(diǎn)，求∣E4∣?∣EB∣的值.

K答案Il(I)y2=l2x

(2)24

K解析D

t21

X=—