7.5.2 平行線幾何模型（鉛筆頭模型）（知識(shí)講解）【含答案】

PAGE17.5.2平行線幾何模型（鉛筆頭模型）（知識(shí)講解）幾何模型1：鉛筆頭模型圖二幾何模型2：多個(gè)鉛筆頭模型證明思路參考幾何模型1【典型例題】類型一、平行線幾何模型??鉛筆頭模型??求解??證明 1．閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了這樣—道題：如圖1，已知點(diǎn)分別在上，．求的度數(shù)．同學(xué)們經(jīng)過思考后，小明、小偉、小華三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：小明：“如圖2，通過作平行線，發(fā)現(xiàn)，由已知可以求出的度數(shù)．”小偉：“如圖3這樣作平行線，經(jīng)過推理，得也能求出的度數(shù)．”小華：∵如圖4，也能求出的度數(shù)．”(1)請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)所畫的圖形(圖2)，描述小明同學(xué)輔助線的做法，輔助線：______；(2)請(qǐng)你根據(jù)以上同學(xué)所畫的圖形，直接寫出的度數(shù)為_________°；老師：“這三位同學(xué)解法的共同點(diǎn)，都是過一點(diǎn)作平行線來解決問題，這個(gè)方法可以推廣．”請(qǐng)大家參考這三位同學(xué)的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問題：如圖，，點(diǎn)分別在上，平分若請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系（(用含的式子表示)，并驗(yàn)證你的結(jié)論．舉一反三：【變式】問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)．思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)；小芳的思路是：如圖4，延長(zhǎng)AP交DC的延長(zhǎng)線于E，通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)．問題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為°；問題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．類型二、平行線幾何模型??多鉛筆頭模型??求解??證明 2．（1）如圖1，AM∥CN，求證：①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；如圖2，若平行線AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明．舉一反三：【變式】如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．

7.5.2平行線幾何模型（鉛筆頭模型）（知識(shí)講解）幾何模型1：鉛筆頭模型圖二幾何模型2：多個(gè)鉛筆頭模型證明思路參考幾何模型1【典型例題】類型一、平行線幾何模型??鉛筆頭模型??求解??證明 1．閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了這樣—道題：如圖1，已知點(diǎn)分別在上，．求的度數(shù)．同學(xué)們經(jīng)過思考后，小明、小偉、小華三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：小明：“如圖2，通過作平行線，發(fā)現(xiàn)，由已知可以求出的度數(shù)．”小偉：“如圖3這樣作平行線，經(jīng)過推理，得也能求出的度數(shù)．”小華：∵如圖4，也能求出的度數(shù)．”(1)請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)所畫的圖形(圖2)，描述小明同學(xué)輔助線的做法，輔助線：______；(2)請(qǐng)你根據(jù)以上同學(xué)所畫的圖形，直接寫出的度數(shù)為_________°；老師：“這三位同學(xué)解法的共同點(diǎn)，都是過一點(diǎn)作平行線來解決問題，這個(gè)方法可以推廣．”請(qǐng)大家參考這三位同學(xué)的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問題：如圖，，點(diǎn)分別在上，平分若請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系（(用含的式子表示)，并驗(yàn)證你的結(jié)論．【答案】（1）過點(diǎn)作；（2）30；（3）．【分析】（1）根據(jù)圖中所畫虛線的位置解答即可；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，進(jìn)而可得答案；（3）設(shè)，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案．解：（1）由圖中虛線可知PQ//AC，∴小明同學(xué)輔助線的做法為過點(diǎn)作，故答案為：過點(diǎn)作（2）如圖2，過點(diǎn)作，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案為：30（3）如圖，設(shè)，過點(diǎn)作，∵，即．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)．思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)；小芳的思路是：如圖4，延長(zhǎng)AP交DC的延長(zhǎng)線于E，通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)．問題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為°；問題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【答案】問題解決：110°；問題遷移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由見分析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由見分析【分析】小明的思路是：過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得∠APC＝110°．（1）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）畫出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．解：小明的思路：如圖2，過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案為：110；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖6，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖7，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角．類型二、平行線幾何模型??多鉛筆頭模型??求解??證明 2．（1）如圖1，AM∥CN，求證：①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；如圖2，若平行線AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明．

【答案】（1）①詳見分析；②詳見分析；（2）猜想：若平行線間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°，證明詳見分析【分析】（1）①過點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到結(jié)論；②過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到結(jié)論；（2）過n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，即可得出所有角的和為（n+1）?180°．解：（1）①證明：如圖1，過點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°②如圖，過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行線間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°．證明：如圖2，過n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，∴結(jié)合（1）問得：所有角的和為（n+1）?180°．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作平行線，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出結(jié)論．舉一反三：【變式】如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得答案；（2）過點(diǎn)E作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖1，同理可得答案；（3）過點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成3個(gè)圖1，可得答案；（4）由（2）（3）類比可得答案．解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．故答案為：180°；（2）如圖2，過點(diǎn)E作AB的平行線EF，