2023年甘肅省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年甘肅省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（4分）已知集合A={2,4,6},若實(shí)數(shù)。滿足α∈A時(shí)，一定有6-a∈A,則α的取值集

合為（）

A.{2}B.{4}C.{2,4}D.{2,4,6）

2.（4分）下列推理錯(cuò)誤的是（）

A.AEl,A∈α,B∈∕,8∈an∕Ua

B.A∈a,Λ∈β,B∈a,β∈β=>a∩β=ΛB

C./Ca,A∈∕=>Λ?a

D.AGl,∕?a=>A∈a

3.（4分）①若兩直線平行，則其斜率相等；

②若兩直線垂直，則其斜率之積為-1；

③垂直于A-軸的直線平行于y軸.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

4.（4分）已知直線（a-2）x+ay-1=0與直線2x+3y+5=0平行，則a的值為（）

44

A.-6B.6C.D?一

55

5.（4分）用輾轉(zhuǎn)相除法，計(jì)算56和264的最大公約數(shù)時(shí)，需要做的除法次數(shù)是（）

A.3B.4C.6D.7

6.（4分）某小說(shuō)共有三冊(cè)，任意排放在書架的同一層上，則各冊(cè)從左到右或從右到左恰好

為第1,2,3冊(cè)的概率為（）

1112

A.-B.-C.-D?一

6323

7.（4分）已知數(shù)列{板}是公差為2的等差數(shù)歹小且〃1,〃2,〃5成等比數(shù)列，則。2的值為（）

A.3B.-3C.2D.-2

8.（4分）已知向量m=（λ+1,1）,n=（入+2,2）,若（zn+九）_L（m-n）,則入=（）

A.-4B.-3C.-2D.^1

9.（4分）棱錐的側(cè)面和底面可以都是（)

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

10.(4分)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?)

A.[-1,I)U(1,+∞)B.(1,+∞)

C.(-1,+∞)D.(-1,1)U(1,+∞)

二、填空題，本大題共5小題，每小題4分，共2()分，把答案填在題中的橫線上.

11.(4分)已知一扇形的半徑為2,面積為4,則此扇形圓心角的絕對(duì)值為弧度.

12.(4分)已知向量Q=(2,2),b=(-8,6),則cos<α,b>=.

13.(4分)若函數(shù)y=∕(x)的定義域是[0,3],則函數(shù)g(x)=隼學(xué)的定義域是.

14.(4分)在棱長(zhǎng)為1的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體，則

截去8個(gè)三棱錐后，剩下的凸多面體的體積是.

Qγ?2γVl

''若/(/(0))=〃，則實(shí)數(shù)Q=______.

(X2—axτX(jué)≥1,

三、解答題：本大題共5小題，共40分.解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)期、證明過(guò)程或演算

步驟.

16.(8分)設(shè)數(shù)列｛〃“｝滿足：α1=1/αn+ι=3αn,nGN*.

(1)求｛的｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和S〃；

(2)已知｛加｝是等差數(shù)列，T〃為其前〃項(xiàng)和，且加=。2,b3=m+42+Q3,求公().

17.(8分)在大小相同的5個(gè)球中，只有紅色和白色兩種球，若從中任取2個(gè)，全是白球

的概率為0.3,則所取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率為.

18.(8分)已知tanα=3,求下列各式的值：

√3cos(-τr-a)-sin(π+α)

(1)

√3^cos(^+α)+sin(^-a)

(2)2sin2α-3sinαcosα-1.

19.(8分)已知四棱錐P-ABCE>,其三視圖和直視圖如圖，求該四棱錐體積;

20.(8分)如圖，在AOAB中，已知尸為線段AB上的一點(diǎn)，OP=x?0A+y?0B.

(1)若晶=PA,求X,y的值;

(2)若麗=3易，IsII=4,∣0?=2,且后與6?的夾角為60°時(shí)，求(??Λ?的值.

2023年甘肅省普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（4分）已知集合A={2,4,6},若實(shí)數(shù)”滿足α∈A時(shí)，一定有6j∈A,則α的取值集

合為（）

A.{2}B.{4}C.[2,4}D.{2,4,6）

【解答】解：取α=2∈A,貝∣J6-2=46A,."=2滿足條件.

同理可得：“=4滿足條件，a=6不滿足條件.

綜上可得：。的取值集合為{2,4}.

故選：C.

2.（4分）下列推理錯(cuò)誤的是（）

A.Λ∈∕,A∈α,B曰,Bea=IUa

B.Aea,A∈β,Bea,B∈β=>a∩β=AB

C.I<ta,A∈QACa

D.Ael,∕ua=Aea

【解答】解：對(duì)于A,：4日，A∈a,B&l,Bea,二由平面的基本性質(zhì)得∕ua,故A正確；

對(duì)于8,YACa,Λ∈β,B∈a,8印，，由平面的基本性質(zhì)得a∩β=A8,故B正確；

對(duì)于C,?.?∕Ca,AH,二A有可能是/與a的交點(diǎn)，此時(shí)Aea,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，∕ua,.,.由平面的基本事件得A6a,故。正確.

故選：C.

3.（4分）①若兩直線平行，則其斜率相等：

②若兩直線垂直，則其斜率之積為-1;

③垂直于X軸的直線平行于y軸.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：對(duì)于①：若兩直線平行，則其斜率相等：也可能斜率不存在，故①錯(cuò)誤；

②若兩直線垂直，則其斜率之積為-1,當(dāng)其中一條直線和X軸平行，另一條與y軸平行

時(shí)，故②錯(cuò)誤；

③垂直于X軸的直線平行于y軸也可能為y軸，故③錯(cuò)誤.

故選：A.

4.（4分）已知直線（〃-2）x+αy-1=0與直線2x+3y+5=0平行，則〃的值為（）

A.-6B.6C.-?D.-

55

【解答】解：?.?直線（〃-2）x+@-1=0與直線2x+3y+5=0平行，

.ɑ-2CL—1

---二-≠--

235

解得a=6.

故選：B.

5.（4分）用輾轉(zhuǎn)相除法，計(jì)算56和264的最大公約數(shù)時(shí)，需要做的除法次數(shù)是（）

A.3B.4C.6D.7

【解答】解：T264÷56=4…40,

56÷40=l…16,

40÷16=2…8,

16÷8=2,

???264與56的最大公約數(shù)是8,

需要做的除法次數(shù)是4,

故選：B.

6.（4分）某小說(shuō)共有三冊(cè)，任意排放在書架的同一層上，則各冊(cè)從左到右或從右到左恰好

為第1,2,3冊(cè)的概率為（）

1112

A.-B.-C.-D.一

6323

【解答】解：三冊(cè)書任意排放在書架的同一層上，共有433=6種，其中各冊(cè)從左到右或

從右到左恰好為第1,2,3冊(cè)為2種，

故各冊(cè)從左到右或從右到左恰好為第1,2,3冊(cè)的概率為;="

63

故選：B.

7.（4分）已知數(shù)列｛”“｝是公差為2的等差數(shù)歹∣J,且小,a2,a5成等比數(shù)歹U,則“2的值為（）

A.3B.-3C.2D.-2

【解答】解???數(shù)列｛麗｝是公差為2的等差數(shù)列，且αι,。2,“5成等比數(shù)列，

??0-2~Ql*QS，

Λα∣=(α2-2)(α2÷6),解得°2=3.

故選：A,

8.(4分)已知向量Tn=(入+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)_L(m—n),貝!|入=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【解答】解：Vm=(Λ+l,1),I=Gl+2,2).

Λm+n=(2入+3,3),m-n=(—1,-1).

V(m÷n)1(m—n),

——?—?—?

(m+n)?(τn—n)=0,

.,.-(2λ+3)^3=0,解得入=^3.

故選:B.

9.(4分)棱錐的側(cè)面和底面可以都是()

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【解答】解：由棱錐的定義可知，三棱錐的側(cè)面和底面均是三角形.

故選：A.

10?(4分)函數(shù)/(x)=等的定義域?yàn)?)

A.[-1,1)U(1,+∞)B.(1,+∞)

C.(-1,+∞)D.(-1,1)U(1,+∞)

【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則解得且χ≠i?

...函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,1)U(1,+8).

故選：A.

二、填空題，本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在題中的橫線上.

11.(4分)已知一扇形的半徑為2,面積為4,則此扇形圓心角的絕對(duì)值為2弧度.

【解答】解：設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)是α,弧長(zhǎng)為/

；扇形的半徑長(zhǎng)r=2,面積5=4,

.?.S=gr,即4=^x∕X2,解之得/=4

因此，扇形圓心角的弧度數(shù)是a=J=[=2.

故答案為：2.

TTTTD

12.(4分)已知向量α=(2,2),b=(-8>6),則cos<a,b>=_—?θ_.

【解答】解：a-b=2×(-8)+2X6=-4,

∣α∣=√22+22=2√2,

Ibl=?/(-8)2+62=10,

→r.-4√2

c°sVd^=^ιo=^ιδ?

故答案為：-奈

13.(4分)若函數(shù)y=∕(x)的定義域是[0,3],則函數(shù)g(x)=q歲的定義域是「1，

2).

【解答】解：函數(shù)y=∕(x)的定義域是[0,3],

要使函數(shù)g(%)=隼歲有意義，

可得{°會(huì)二7

1%—2≠0

解得：^l≤x<2.

函數(shù)g(X)=隼字的定義域是L1,2).

故答案為：LI,2).

14.(4分)在棱長(zhǎng)為1的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體，則

截去8個(gè)三棱錐后，剩下的凸多面體的體積是-.

~6-

【解答】解：在棱長(zhǎng)為1的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體，

則截去8個(gè)三棱錐，

8個(gè)三棱錐的體積為：8×?×∣×∣×∣×∣=∣.

?ZZZZ。

剩下的凸多面體的體積是IT=搟.

OO

故答案為：f.

6

Qγ-I-?γ<^Λ4

:若/(7(O))=α,則實(shí)數(shù)。=_彳_.

{x2—ax,x≥1,3

【解答】解：f(0)=3×0+2=2,

/(?(θ))=f(2)=4-2a=af

解得，α=［，

4

故答案為：

三、解答題：本大題共5小題，共40分.解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)期、證明過(guò)程或演算

步驟.

16.(8分)設(shè)數(shù)列｛〃“｝滿足：Ql=Lαn+ι=3αn∕n∈N*.

(1)求｛〃〃｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和S〃；

(2)已知｛加｝是等差數(shù)列，T〃為其前〃項(xiàng)和，且加=。2,b3=m+42+α3,求7?0?

【解答】解：(1)數(shù)列伍〃｝滿足：α1=1,αn+ι=3αn,nWN*?

rlnl

可得｛?。耐?xiàng)公式為an=aιcf=3^;

前〃項(xiàng)和Sn=雪上段=午亨=1(3n-1);

I-Q1—?Z

(2)｛加｝是等差數(shù)列，■為其前"項(xiàng)和,

且bι=42=3,b3="ι+α2+α3=1+3+9=13,

設(shè)公差為",則3+2d=13,解得d=5,

則72θ=2O?ι+i×2OX19J=2O×3+lO×I9×5=1O1O.

17.(8分)在大小相同的5個(gè)球中，只有紅色和白色兩種球，若從中任取2個(gè)，全是白球

的概率為0.3,則所取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率為0.7.

【解答】解：因?yàn)槿前浊蚺c取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球是對(duì)立事件，

所以所取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率為I-0.3=0.7,

故答案為：0.7.

18.(8分)己知tanα=3,求下列各式的值：

√3cos(-π-a)-sin(τr+a)

(1)

V3cos(~+(x)+siπ(^--Λ)

(2)2sin2a-3sinacosa-1.

一√?osa+s譏a一乃+tma_3-西6-5√3

【解答】解:(1)原式=

-Bsina-CoSa—√r3tana-1—373—113

sin2a-cos2a-3sinacosaa—1—3ta?Ia1

(2)