整式加減中的規(guī)律問題【六個(gè)題型】-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（浙教版）（解析版）

專題4.5整式加減中的規(guī)律問題【六大題型】

【浙教版】

【題型1數(shù)式的規(guī)律】.........................................................................1

【題型2圖表的規(guī)律】.........................................................................3

【題型3圖形的規(guī)律】.........................................................................6

【題型4算式的規(guī)律】.........................................................................7

【題型5程序運(yùn)算】..........................................................................10

【題型6定義新運(yùn)算】........................................................................13

妙片聲?二

【題型1數(shù)式的規(guī)律】

【例1】(2022秋?婁底期中)觀察下面的三行單項(xiàng)式，

X,2x2,4χ3,8X4,16X5,32Λ6........①

-2x,4/，-8X3,16Λ4,-32x5,64x6........②

2r2,-3x3,5/,-9x5,17x6,-337........③

(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第①行第8個(gè)單項(xiàng)式為128KS

(2)第②行第8個(gè)單項(xiàng)式為256.居，第③行第8個(gè)單項(xiàng)式為-129χ9

(3)取每行的第9個(gè)單項(xiàng)式，令這三個(gè)單項(xiàng)式的和為A.計(jì)算當(dāng)X=T時(shí)，512(A+?的值.

【分析】根據(jù)題三行單項(xiàng)式給出的規(guī)律即可求出答案.

【解答】解：(1)128/.

(2)256/,-129x9

(3)4=2%9-2%9+(2?+1)Xlo

=-28JC9+28X10+ΛI(xiàn)0,

Λ512(A+i)=29×A+27,

4

當(dāng)％=g時(shí),

原式=-28×?×29+28×?×29÷^×29+27

=-28+27×2+i

2

=P

故答案為：（1）256χ9;

（2）256x8,-129Λ?9;

（3）

2

【變式1-1]（2022秋?交城縣期中）一組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：α+b,a2-b?α3+?5,?…，其中第

〃（"為正整數(shù)）個(gè)式子的次數(shù)是（）

A.nB.2n-1C.3n-1D.2n

【分析】先根據(jù)己知算式得出規(guī)律，再根據(jù)多項(xiàng)式次數(shù)的定義得出答案即可.

【解答】解："."a+b,a2-b3,a3+bs,04-b1,

■a的指數(shù)依次為1,2,3,4,5,6,…,

6的指數(shù)依次為1,3,5,7,????（2X1-1=1,2X2-1=3,2X3-1=7,???）,

.?.第”（〃為正整數(shù)）個(gè)式子的次數(shù)是2〃-1,

故選：B.

【變式1-2]（2022秋?霍山縣校級(jí)月考）一塊面積為Iltf的長方形紙片，第一次裁去它的一半，第二次裁

去剩下紙片的一半，如此裁下去，第八次裁完后剩下的紙片的面積是（）

A.—m'B.—?！?C.—m'D.—πι2

3264128256

【分析】根據(jù)題意知，易求出前幾次裁剪后剩下的紙片的面積，第一次剩下的面積為|加，第二次剩下的

面積為;而，第三次剩下的面積為:小，根據(jù)規(guī)律，總結(jié)出一般式，由此可以求出第八次剩下的紙片的面

48

積.

【解答】解：根據(jù)題意，第一次剩下的面積為；加，第二次剩下的面積為力亦第三次剩下的面積為

248

則第∏次剩卜的面積為表M?

則第八次剩下的面積為施2,即表

故選：D.

【變式1-3]（2022秋?如東縣期末）一只小球落在數(shù)軸上的某點(diǎn)Po處，第一次從PO處向右跳1個(gè)單位到

Pl處，第二次從Pl向左跳2個(gè)單位到P2處，第三次從P2向右跳3個(gè)單位到P3處，第四次從Pi向左跳

4個(gè)單位到門處…，若小球按以上規(guī)律跳了（2n+3）次時(shí)，它落在數(shù)軸上的點(diǎn)P2.+3處所表示的數(shù)恰好是

3,則這只小球的初始位置點(diǎn)PO所表示的數(shù)是（）

A.-4B.-5C.〃+6D.n+3

【分析】根據(jù)題意可以用代數(shù)式表示出前幾個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律，進(jìn)而求得這

只小球的初始位置點(diǎn)PO所表示的數(shù).

【解答】解：設(shè)點(diǎn)PO所表示的數(shù)是α,

則點(diǎn)Pl所表示的數(shù)是“+1,

點(diǎn)P.2所表示的數(shù)是cι+\-2=a-1,

點(diǎn)尸3所表示的數(shù)是4-1+3=4+2,

點(diǎn)尸4所表示的數(shù)是4+2-4=4-2,

Y點(diǎn)P⑵+3）所表示的數(shù)是，L3,

解得，”=-5,

故選：B.

【題型2圖表的規(guī)律】

【例2】（2022秋?咸豐縣期末）九格幻方有如下規(guī)律：處于同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個(gè)

數(shù)的和都相等（如圖1）.則圖2的九格幻方中的9個(gè)數(shù)的和為―陵-半_（用含”的式子表示）

492a企5

3574-5

816

圖1圖2

【分析】根據(jù)同一橫行、同一豎列、同一斜對角線上的三個(gè)數(shù)的和相等作出圖形，根據(jù)題意列出關(guān)于a

與X的方程，可得X=。+：,進(jìn)一步求出這9個(gè)數(shù)的和即可.

4

【解答】解：如圖所示:

π□H0

2x-10-a□

3a+5-2,

2x-a-50

a+a-5+x=3α+5-2x+2a-x+a-5

解得X=〃+9,

4

所以3（2α+x-5）=9iz----.

4

故答案為：9a—；.

4

【變式2-1]（2022秋?任城區(qū)校級(jí)期末）如表格是一張日歷表，省去了號(hào)碼數(shù)，設(shè)①位置的數(shù)為X,則②

【分析】根據(jù)日歷上同一列數(shù)的特點(diǎn)：下一個(gè)日期比上一個(gè)日期大7,日歷上同一行數(shù)的特點(diǎn)：左邊日

期比右邊相鄰日期小1,即可得出答案.

【解答】解：設(shè)①位置的數(shù)為X,則②位置的數(shù)為x+7X2-2=x+12?

故選：C.

【變式2-2】（2022秋?東西湖區(qū)期中）將9個(gè)數(shù)填入幻方的九個(gè)方格中，使處于同一橫行、同一豎列、同

一斜對角上的三個(gè)數(shù)的和相等，如表一.按此規(guī)律將滿足條件的另外6個(gè)數(shù)填入表二，則表二中這9個(gè)

數(shù)的和為9a+9（用含ɑ的整式表示）.

表一

492

357

816

表二

【分析】根據(jù)同一橫行、同一豎列、同一斜時(shí)角線上的三個(gè)數(shù)的和相等作出圖形，根據(jù)題意列出關(guān)于“

與X的方程，可得x=α+3,進(jìn)一步求出這9個(gè)數(shù)的和即可.

a+a+1+α+2=a+x+a+6,

解得x=a-3,

3（3α+3）=9a+9.

故答案為：9a+9.

【變式2-3]（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如下表，從左向右依次在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)有理數(shù)，使得

其中任意四個(gè)相鄰小格子中所填數(shù)之和都等于15.已知第3個(gè)數(shù)為7,第5個(gè)數(shù)為m-?,第16個(gè)數(shù)為

2,第78個(gè)數(shù)為3-2m,則m的值為-4,第2021個(gè)數(shù)為-5.

7m-1

【分析】根據(jù)題意，任意四個(gè)相鄰格子中的和等于15,列出等式，找出規(guī)律，計(jì)算出，”的值；再求出第

2021個(gè)數(shù)是幾即可.

【解答】解：；任意四個(gè)相鄰小格子中所填數(shù)之和都等于15,

.?.第5個(gè)數(shù)（5-4=1）與第1個(gè)數(shù)相同，都為〃[-1；第16個(gè)數(shù)（16+4=4）與第4個(gè)數(shù)相同，都為2；

第78個(gè)數(shù)（78+4=19…2）與第2個(gè)數(shù)相同,都為3-2機(jī)；

'.m-1+3-2w+7+2=15,

解得m--4,

則∕n-l=-4-l=-5,3-2m=11,

V202l÷4=505-l,

.?.第2021個(gè)數(shù)是-5.

故答案為：-4；-5.

【題型3圖形的規(guī)律】

【例3】(2022秋?思明區(qū)校級(jí)期中)為了慶祝六一兒童節(jié)，某一幼兒園舉行用火柴擺'‘金魚”比賽，如圖

所示：按照上面的規(guī)律，擺N個(gè)金魚需要用火柴棒的根數(shù)為()

【分析】觀察給出的3個(gè)例圖，注意火柴棒根數(shù)的變化是圖②的火柴棒比圖①的多6根，圖③的火柴棒

比圖②的多6根，而圖①的火柴棒的根數(shù)為2+6.

【解答】解:第〃條小魚需要(2+6/7)根，

故選：A.

【變式3-11(2022秋?晉安區(qū)期末)搭一個(gè)正方形需要4根火柴棒,按照圖中的方式搭n個(gè)正方形需要()

根火柴棒.

A.4"B.4+3(n-I)C.3nD.4〃-(n+l)

【分析】根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律：多一個(gè)正方形，則多用3根火柴.

【解答】解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)圖形需要4根火柴，多一個(gè)正方形，多用3根火柴，則第〃個(gè)圖形

中，需要火柴4+3(n-I).

故選：B.

【變式3-2](2022秋?萊陽市期中)將長為40°",寬為15"?的長方形白紙，按如圖所示的方法粘合起來,

粘合部分的寬為5α",則〃張白紙粘合后的總長度為()cm.

A.35/7+5B.35〃C.40〃D.40〃+5

【分析】“張白紙黏合，需黏合(n-I)次，豆疊5(〃-1)cm,所以總長可以表示出來.

【解答】解：根據(jù)題意和所給圖形可得出：

總長度為40〃-5(rt-1)=35"+5(cm),

故選：A.

【變式3-3](2022秋?上虞市校級(jí)期中)如圖，學(xué)校準(zhǔn)備新建一個(gè)長度為乙的讀書長廊，并準(zhǔn)備用若干塊

帶有花紋和沒有花紋的兩種規(guī)格大小相同的正方形地面磚搭配在一起，按圖中所示的規(guī)律拼成圖案鋪滿

(1)按圖示規(guī)律，第一圖案的長度L=1.5優(yōu)：第二個(gè)圖案的長度Y=2.5加；

(2)用代數(shù)式表示帶有花紋的地面磚塊數(shù)”與走廊的長度〃(m)之間的關(guān)系L=0.5(2〃+1).

【分析】(1)觀察題目中的己知圖形，可得前兩個(gè)圖案中有花紋的地面磚分別有：1,2個(gè)，第二個(gè)圖

案比第一個(gè)圖案多1個(gè)有花紋的地面磚，所以可得第〃個(gè)圖案有花紋的地面磚有〃塊；第一個(gè)圖案邊長

3×0.5=Z,,第二個(gè)圖案邊長5X0.5=L,

(2)由(1)得出則第"個(gè)圖案邊長為L=(2n+l)×0.5.

【解答】解：(I)第一圖案的長度Zd=O.5X3=15第二個(gè)圖案的長度L2=0.5X5=2.5;

(2)觀察可得：第1個(gè)圖案中有花紋的地面磚有1塊，第2個(gè)圖案中有花紋的地面磚有2塊，…

故第〃個(gè)圖案中有花紋的地面磚有n塊；

第一個(gè)圖案邊長L=3X0.5,第二個(gè)圖案邊長L=5X0.5,則第"個(gè)圖案邊長為&=0.5(2n+l).

故答案為：0.9,1.5；0.5(2M+1).

【題型4算式的規(guī)律】

【例4】(2022春?杏花嶺區(qū)校級(jí)期中)計(jì)算兩個(gè)兩位數(shù)的積，這兩個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字相同，個(gè)位上

的數(shù)字之和等于10.

例如:43X47=2021,68X62=4216,74X76=5624,81×89=7209

設(shè)其中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為〃?，個(gè)位數(shù)字為“，請用含〃?，〃的算式表示這個(gè)規(guī)律(10∕π+")(IOm+10

-")=100/〃(〃?+1)+〃(IO-〃).

【分析】由題意得出：兩個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字相同，個(gè)位上的數(shù)字之和等于10的兩個(gè)數(shù)的積的規(guī)律

是：十位數(shù)字乘以十位數(shù)字加一的積作為結(jié)果的千位和百位，兩個(gè)個(gè)位數(shù)字相乘的積作為結(jié)果的卜位和

個(gè)位，據(jù)此可得規(guī)律.

【解答】解：山題意可得，兩個(gè)兩位數(shù)，其中一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字為，”，個(gè)位數(shù)字為〃時(shí)，另外一個(gè)數(shù)的

十位數(shù)字為加，個(gè)位數(shù)字為10-",

那么這兩個(gè)數(shù)的積的規(guī)律是：十位數(shù)字乘以十位數(shù)字加一的積作為結(jié)果的千位和百位，兩個(gè)個(gè)位數(shù)字相

乘的積作為結(jié)果的卜位和個(gè)位，

即：(10m+〃)(10A∕∕+10-/?)=Ioom(m+1)+/?(10-〃).

故答案為：(10加+〃)(10∕w+10-n)=100/7?(加+1)+〃(10-n).

【變式4-1](2022春?青島期中)若規(guī)定運(yùn)算符號(hào)“▲”，滿足下列各式：

1A3=3×l-2X3；

2A(-4)=3×2-2×(-4)；

OA(-7)=3×0-2×(-7)；

(--)上5=3X(--)-2×5；

22

(--)▲(--)=3義(--)~2×(--)；

5454

根據(jù)以上規(guī)律，求解下列各題：

(1)aAh=3a-2h；

(2)若2加-〃=3,求(2∕n+n)▲(-4m+5n)的值.

【分析】(1)根據(jù)定義新運(yùn)算即可得出結(jié)果；(2)先根據(jù)定義新運(yùn)算化簡，再整體代入求值.

【解答】解：(j)由題意可知：=3〃-26

(2)(2m+n)▲(-4m+5n)

=3(2W+H)-2(-4m+5n)

=3×2m+3n-2×(-4m)-2×5n

=?4tn-In,

Y2m-〃=3,

??.原式=14m-7〃=7(2m-n)=7×3=21.

【變式4-2](2022秋?通川區(qū)校級(jí)期中)閱讀下面的文字，完成后面的問題:

我們知道:1_]11_11111

1×222X323,3X434

那么⑴?=-Σ-?-；2012^013=-Ξ?-Ξ?-；

(2)用含有”的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律L5；

——n(n+-l)=-n--n4+1一-

⑶如果I…1+(加2)2=0,求索+扁砌+扁西+……+.2。藐+2。⑶的值?

【分析】(1)根據(jù)題目中的式子，可以將所求式子分解；

(2)根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，可以寫出第"個(gè)等式；

(3)根據(jù)題目中的式子，先裂項(xiàng)，然后計(jì)算即可解答本題.

【解答】解：⑴2=；一；，

4×545

111

——,

2012×201320122013

故答案為工一工，-----L_.

RX口本八45,20122013,

(2)第n個(gè)式子為—i—??-?

n×(n+l)nn+1

故答案為：?=?三；

n(n+l)nn+1

(3)V∣α-1∣+Cab-2)2=0,

.?a-1=0,ab-2=0,

解得：a=l,b=2,

原式

=T?+Ξ?+Ξ?+…+2014×2015

_]_工工_1工」__1_________1_

―2十23^r34??20142015

=1-Ξ?

2014

2015

【變式4-3](2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中)觀察以下5個(gè)乘法算式：6×10;8×18;11X29；12X26；25

×37.

(1)請仿照式子“6X34=202-142”，將以上各乘法算式分別寫成兩數(shù)平方差的形式;

6×10=82-22；

8×18=132-52；

11×29=202-92；

12×26=I92-72；

25×37=312-62

(2)如果將上面五個(gè)乘法算式的兩個(gè)因數(shù)分別用字母a,b表示(α,b為正數(shù)且a<b),請用含a、b

的等式表示(1)的規(guī)律.(只要求寫出結(jié)果)

【分析】(1)觀察式子6X34=202-142,發(fā)現(xiàn)202=(等)2,⑷=(34-20)2,由此可得結(jié)果；

(2)利用(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可得結(jié)果.

【解答】解：(1)V6×34≈202-I42,202=(等)2,⑷=(34-20)2,

.?.6XlO=(―)2-(10--)占82-22；

22

同理可得：8×18=132-52;ll×29=202-92;12×26=192-72;25×37=312-62；

故答案為:82-22;132-52;202-92；192^72；312-62；

(2),.,6×34=202-142,202=(―)2,142=(34-20)2,

2

【題型5程序運(yùn)算】

【例5】(2022?武漢模擬)如圖所示的運(yùn)算程序中，若開始輸入的X值為48,我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果

為24,第二次輸出的結(jié)果為12,以此類推，則第2019次輸出的結(jié)果是多少？

【分析】根據(jù)程序圖進(jìn)行計(jì)算發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，從而分析求解.

【解答】解：當(dāng)輸入x=48時(shí)，

第一次輸出的結(jié)果為48×I=24,

第二次輸出結(jié)果為24×i=12,

第三次輸出結(jié)果為12×I=6,

第四次輸出結(jié)果為6x^=3,

第五次輸出結(jié)果為3+3=6,

第六次輸出結(jié)果為6X^=3,

自第三次開始，奇數(shù)次的輸出結(jié)果為6,偶數(shù)次的輸出結(jié)果為3,

第2019次輸出的結(jié)果是6.

【變式5-1](2022秋?封丘縣期末)如圖所示的是一個(gè)計(jì)算程序，程序規(guī)定從左至右逐步計(jì)算，若輸入α

的值為I，則輸出的結(jié)果b的值應(yīng)為()

A.-5B.5C.7D.-3

【分析】將α的值為I代入計(jì)算程序進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：將”=1代入該計(jì)算程序得，

[I2-(-2)]×(-3)+4

=(1+2)X(-3)+4

=3X(-3)+4

=-9+4

=-5,

.,.b=-5,

故選：A.

【變式5-2】(2022秋?天河區(qū)校級(jí)期中)按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的值為x=3,則最后輸出的

結(jié)果是多少？試寫出你的計(jì)算過

【分析】先把x=3代入代數(shù)式I(X+1)得代數(shù)式的值為6,利用計(jì)算程序，再把x=6代入代數(shù)式的值

為21；接著把x=21代入代數(shù)式得I(X+1)=231,從而得到最后輸出的結(jié)果.

【解答】解：當(dāng)x=3時(shí),∣Λ-(x+l)=i×3×(3+1)=6；

當(dāng)x=6時(shí)，夕(x+l)=∣×6×(6+1)=21；

當(dāng)x=2I時(shí)，∣x（Λ-+1）=∣×21×（21+1）=231>100,

所以最后輸出的結(jié)果是231?

【變式5-3]（2022秋?上虞區(qū)期末）如圖是一個(gè)運(yùn)算程序的示意圖.輸入一個(gè)整數(shù)便能按圖中程序進(jìn)行計(jì)

算.

（1）設(shè)輸入數(shù)X為18,那么根據(jù)程序，第1次計(jì)算的結(jié)果是9,第2次計(jì)算的結(jié)果是4,……，按這樣

的程序計(jì)算下去，第5次計(jì)算的結(jié)果為-4；程序最終輸出結(jié)果為-4.

（2）若輸入某數(shù)X后，程序依次交替進(jìn)行兩種運(yùn)算，且最后輸出結(jié)果為1.請嘗試通過分析，判斷輸入

數(shù)X是奇數(shù)還是偶數(shù)？進(jìn)一步借助計(jì)算，直接寫出該輸入數(shù)X.

將計(jì)算結(jié)果當(dāng)作X

【分析】（1）通過列舉找出規(guī)律：從第5次開始，計(jì)算結(jié)果是-4,-2,-1,-6,-3,-8六個(gè)數(shù)

不斷循環(huán)，從而得出答案；

（2）先判斷出這個(gè)數(shù)是偶數(shù)，列舉得到第1次輸出結(jié)果為22。2。，所以剛開始輸入的數(shù)為X=22020+5.

【解答】解：（1）當(dāng)x=18時(shí)，第1次計(jì)算的結(jié)果是-=9,

第2次計(jì)算的結(jié)果是9-5=4,

第3次計(jì)算的結(jié)果是9=2,

第4次計(jì)算的結(jié)果是|=1,

第5次計(jì)算的結(jié)果是1-5=-4,

第6次計(jì)算的結(jié)果是m=-2.

第7次計(jì)算的結(jié)果是￡=一1,

第8次計(jì)算的結(jié)果是-I-5=-6,

第9次計(jì)算的結(jié)果是T=一3，

第10次計(jì)算的結(jié)果是-3-5=-8,

第11次計(jì)算的結(jié)果是?=一4，

.?.從第5次開始，計(jì)算結(jié)果是-4,-2,-1,-6,-3,-8六個(gè)數(shù)不斷循環(huán),

,.?(2022-4)÷6=336........1,

.?.程序最終輸出結(jié)果為-4；

故答案為：-4,-4；

(2)若X是奇數(shù)，則X-5=1,

.?.x=6,這與X是奇數(shù)矛盾，

.?.x是偶數(shù)；

第2021次輸出結(jié)果為1=2",

第2020次輸出結(jié)果為2=2l,

第2019次輸出結(jié)果為4=2?,

第2018次輸出結(jié)果為8=23,

第1次輸出結(jié)果為22。2。，

：必須有第一種運(yùn)算的參與，

剛開始輸入的數(shù)為x=2∞0+5.

【題型6定義新運(yùn)算】

【例6】(2022秋?安新縣期末)定義HM為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為"=αd-bc,那么當(dāng)

x=l時(shí)，二階行列式1二2|的值為()

A.7B.-7C.?D.-1

【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則列式，然后去括號(hào)，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡，最后代入求值.

【解答】解：原式=-5(x+l)-3(χ-2)

=-5x-5-3尤+6

=-8x+l,

當(dāng)x=l時(shí)，

原式=-8X1+1=-8+1=-7,

故選：B.

【變式6-1](2022秋?橋西區(qū)校級(jí)期末)定義一種新運(yùn)算：“砂=24-4例如2(gβ=2X2-3=1,則(x+y)

Θ(2χ-y)化簡后的結(jié)果是()

A.-3x+3yB.yC.-3x-yD.3y

【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算列出算式，然后去括號(hào)，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡.

【解答】解：原式=2(x+y)-(2Λ-J)

=2x+2y-2x+y

=3y，

故選：D.

【變式6-2]