2023年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：函數(shù)性質(zhì)的綜合問題(解析)

Oi函數(shù)性質(zhì)的綜合問題

高考預(yù)測

概率預(yù)測☆☆☆☆☆

題型預(yù)測選擇題、填空題☆☆☆☆☆

考向預(yù)測函數(shù)性質(zhì)的綜合

應(yīng)試攻略

函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題.解題時，

往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定某一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決

相關(guān)問題.

1.從考點頻率看，函數(shù)的性質(zhì)是高頻考點、必考點，所以必須完全掌握。

2.從題型角度看，可以是選擇題、填空題，分值10分左右，著實不少！

9知識必備

課程標(biāo)準(zhǔn)命題解讀

考查形式：高考對本章的考查一般為1~3道小

1.建立完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解為刻畫

題.

變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具，也把函數(shù)理解

考查內(nèi)容：主要涉及函數(shù)的圖象，多為給出具體

為實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系.

函數(shù)解析式判斷函數(shù)的圖象；函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)性質(zhì)

2.能用代數(shù)運算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性

的綜合問題；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、福函數(shù)的圖象與

質(zhì).

性質(zhì)；分段函數(shù)，既有求函數(shù)值，也有解不等式，常

3.在現(xiàn)實問題中，能利用函數(shù)構(gòu)建模型，解決問

與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、零點相結(jié)合.

題.

備考策略：(1)熟練掌握函數(shù)的基本知識和解決函

4.能用函數(shù)圖象和代數(shù)運算的方法研究基本初

數(shù)問題的基本方法.

函數(shù)的性質(zhì).

(2)關(guān)注點——函數(shù)的定義域,抽象函數(shù)問題及函

5.理解基本初等函數(shù)中所蘊含的運算規(guī)律.

數(shù)的實際應(yīng)用.

6.運用基本初等函數(shù)建立模型，解決簡單的實際

(3)重視函數(shù)的創(chuàng)新問題——新定義問題,函數(shù)零

問題，體會這些函數(shù)在解決實際問題中的作用.

點的交匯問題，函數(shù)圖象的靈活運用問題.

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)X,按照某種確定的對應(yīng)

關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B

的一個函數(shù)，記作y=f(χ),χ∈A.

2.函數(shù)的定義域、值域

(1)在函數(shù)丫=￡”)，x∈A中，X叫做自變量，X的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與X的值相

對應(yīng)的V值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)∣x∈A｝叫做函數(shù)的值域.

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相

同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、列表法和圖象法.

4.分段函數(shù)

(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種

函數(shù)稱為分段函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分

段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

5.單調(diào)遞增、單調(diào)遞減

一般的，設(shè)函數(shù)f(X)的定義域為I,區(qū)間DGI：

(1)如果Vxl,x2∈D,當(dāng)xl<x2時，都有f(xl)<f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.

(2)如果VXLx2∈D,當(dāng)xl<x2時,都有f(xl)>f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.

6.增函數(shù)、減函數(shù)

(1)當(dāng)函數(shù)f(X)在定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)；

(2)當(dāng)函數(shù)f(X)在定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù).

7.單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)

格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做N=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

8.函數(shù)的最值

一般的，設(shè)函數(shù)y=∕(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足:

(I)Vx∈Z,都有/(x)wM(或f(x)2M.

(2)3xo∈/,使得/(xo)=M

那么，我們稱M是函數(shù)y=∕(x)的最大值(或最小值).

9.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象

一般地，設(shè)函數(shù)/(χ)的定義域為/,如果Vχ∈∕,都有一χ∈∕,

偶函數(shù)關(guān)于ZM對稱

且八-x)=∕(x).那么函數(shù)/(x)就叫做偶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/(X)的定義域為/,如果Vx∈∕,都有-x∈∕,關(guān)于坐標(biāo)原點

奇函數(shù)

且/(一X)=-/(χ).那么函數(shù)/(x)就叫做奇函數(shù)對稱

10.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)/(X)的定義域為。如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一

個x∈。都有x+T∈D且/(x+Q=iω,那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)豈就叫做

這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)

就叫做/(x)的最小正周期(若不特別說明，T一般都是指最小正周期).

11.函數(shù)周期性的常用結(jié)論

對/(x)定義域內(nèi)任一自變量X,

⑴若f{x+a)=-f(x),則T=2a(a>0).

⑵若/(X+。)=?,則T=2α(α>0).

/(x)

(3)若/(X+α)=-*，則T=2α(α>0).

12.函數(shù)圖象的對稱性

(1)若函數(shù)丁=/(》+。)是偶函數(shù)，即/(α-x)=∕(α+x),則函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于直線X=α

對稱.

(2)若對于R上的任意X都有/(2α—x)=∕(x)或/(—x)=∕(2α+x),則y=∕(x)的圖象關(guān)于直

線X=α對稱.

(3)若函數(shù)y=∕(x+b)是奇函數(shù),BP∕(-%+?)+f(x+b)=0,則函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于點(b,0)

中心對稱.

13.募函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=P叫做塞函數(shù).其中X是自變量，α是常數(shù).

14.常見的五種募函數(shù)的圖象

15.鬲函數(shù)的性質(zhì)

(1)塞函數(shù)在(0,+8)上都有定義.

(2)當(dāng)α>0時，得函數(shù)的圖象都過點(1,1)和(0,0),且.在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(3)當(dāng)α<0時，得函數(shù)的圖象都過點(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

16,二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式：f(x)=ax2+bx+c[a≠0)；

頂點式：/(x)=a(x-A)2+k(a≠0)；

兩根式：/(x)=α(x-Xl)(X-x2)(αXθ).

圖象關(guān)于直線三成軸對稱圖形

對稱性

18.〃次方根

(1)根式的概念

一般地，如果把3，那么X叫做。的〃次方根，其中〃>1,且〃∈N*.式子%叫做根式,

這里也叫做根指數(shù)，生叫做被開方數(shù).

(2)α的n次方根的表示

①當(dāng)〃為奇數(shù)時，仍=2；

心

②當(dāng)〃為偶數(shù)時，循=IaI=a,0,

,-a,a<0.

19.有理數(shù)指數(shù)事

盟

n1

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)得：=后(。>0,/%,∕7∈N*,W>1)

暮的有tn]1

正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)轅：a"==?(。>0,m,"∈N*,M>1)

關(guān)概念m

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)得等于Qo的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒直亞

指數(shù)密,

a''as=ar+s(a>0,r,s∈Q);(M)S=a"(a>0.r,s∈Q);(abY=a''br(a>0,b>0,

的運算

∕?∈Q)

性質(zhì)

20.指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=αx(α>0,且。片1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)X是自變量，定義域是R.形如

y-ka?y=α*+A(斤∈R且％X0,α>0且。#1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù).

21.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

0<α<la>?

一鳴

圖象等月ZX

~~o-~~o

R

-?-(0,+∞)

-S-過定點@11即X=O時，y=l

當(dāng)x<0時，止1；當(dāng)x>0時，v>l；

當(dāng)x>0時，O<y<l當(dāng)x<0時，O<y<l

減函數(shù)增函數(shù)

22.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較

如圖是指數(shù)函數(shù)(l)y=α?(2?=從，(3)y=c',(4?=講的圖象，底數(shù)α,b,c,d與1之間

的大小關(guān)系為c>d>l>α>b>O.由此我們可得到以下規(guī)津在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y=a'Q

>0,。產(chǎn)1)的圖象越高，底數(shù)越大.

23.對數(shù)的概念

一般地，如果ax=Ma>0.月.α*l),那么數(shù)X叫做以。為底N的對數(shù)，記作X=Iog“N.

其中“叫做對數(shù)的底數(shù).N叫做真數(shù).

24.對數(shù)的性質(zhì)與運算法則

⑴對數(shù)的運算法則

如果α>0,l.a≠l,M>Q,N>0,那么

①IOga(?/??=log“〃+IOgaM

(2)lθg-=Ioga〃一IogaM

rtN

③IOg(M="log5/(M∈R).

(2)對數(shù)的性質(zhì)

IOgJV

φlogαl=0；②Iogaa=1；③a=N；

④IOgUaN=&伍>0,且αX1).

(3)對數(shù)的換底公式

IOgab=螃也(α>0,且一。片1；b>0-,c>0,?c≠1).

Iogta

換底公式的三個重要結(jié)論

(I)Iogab?-?-.

Iogba

(2)logbn=—logab.

m

am

(3)logab?Iogbc-Iogcd=logad.

其中a>0,且aWl,b>0,且屏1,c>0,且c≠l,m,n∈R.

25.對數(shù)函數(shù)

(1)—?般地，函數(shù)y=IOgaX(α>0,且4聲1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，定義域是(0,

+∞).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

0<α<la>l

Ir1k=1y=logΛ

圖象^?(Eθ)r

I'yTo?Λ

定義域~~(0.+8)

SMR

過定點(LS),即χ=i時，y=0

當(dāng)x>l時，產(chǎn)0；當(dāng)x>ι時，y>0；

性質(zhì)

當(dāng)0<x<l時，y>0當(dāng)0<x<l時，產(chǎn)0

減函數(shù)增函數(shù)

對數(shù)函數(shù)圖象的特征

(1)由圖可知，O<d<c<l<b<a.

(2)對數(shù)函數(shù)y=k>gax(a>O,且a/l)的圖象過定點(1,0),且過點(a,1),la'?j,函數(shù)圖象只

在第一、第四象限.

26.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)N=a"(α>0,且。聲1)與對數(shù)函數(shù)J=log"X(α>0,且。片1)互為反函數(shù)，它們的圖

象關(guān)于直線匕工對稱.

27.利用描點法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點、連線.

首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、

周期性、對稱性等).

其次：列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標(biāo)軸的交點等)，描點，

連線.

28.函數(shù)圖象的變換

(1)函數(shù)圖象平移變換八字方針

①“左加右減”，要注意加減指的是自變量.

②“上加下減”，要注意加減指的是函數(shù)值.

(2)對稱變換

①Λx)與/(-x)的圖象關(guān)于歹軸對稱.

②Λx)與-/(x)的圖象關(guān)于X軸對稱.

(3)翻折變換

①/(X)I的圖象是將/(x)的圖象中X軸下方的圖象對稱翻折到X軸上方，X軸上方的圖象不

變.

②八⑼的圖象是/(x)的圖象中X軸右側(cè)的圖象不變，再對稱翻折到歹軸的左側(cè)得到.

(4)關(guān)于兩個函數(shù)圖象對稱的三個重要結(jié)論

①函數(shù)N=∕(x)與y=∕(24-X)的圖象關(guān)于直線x="對稱.

②函數(shù)y=/(x)與y=2b-/(2。-x)的圖象關(guān)于點(么6)中心對稱.

③若函數(shù)y=∕(x)的定義域內(nèi)任意自變量X滿足/(α+x)=∕(α-x),則函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)

于直線X=α對稱.

(5)函數(shù)圖象自身的軸對稱

φ∕'(-x)=∕(x)Q函數(shù)y=∕(χ)的圖象關(guān)于XM對稱；

②函數(shù)N=∕(x)的圖象關(guān)于X=α對稱Q/(ɑ+x)=j?a-x)<=>∕,(x)=∕(24-x)<≠∕(-x)f(2a+

回；

③若函數(shù)y=∕(x)的定義域為R,且有/(α+x)=∕(b-x),則函數(shù)尸/(x)的圖象關(guān)于直線三

a+b.,...

三一^―對稱rt.

2

(6)函數(shù)圖象自身的中心對稱

①/'(-X)=-/(x)0函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于原點對稱；

②函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于(a,0)對稱=∕?(α+x)=-f(a-x)^f(x)=-/(2α-x)<=√,(-X)=二/

(2a+x);

③函數(shù)N=/(X)的圖象關(guān)于點(4,6)成中心對稱佳f(α+x)=2b-f(a-x)<=>f'(x)=2b-f(2a-x).

29.函數(shù)零點的概念

對于一般函數(shù)V=/(χ),我們把使.及江Q的實數(shù)X叫做函數(shù)y=∕(χ)的零點.

30.幾個等價關(guān)系

方程/(x)=0有實數(shù)解=函數(shù)y=∕(χ)的圖象與有公共點o函數(shù)y=∕(x)有零點.

31.函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間四句上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(0fS)<O,那么

函數(shù)V=∕(x)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(α,b),使得/Ye，)=。.這個C也就是

方程/G)=0的解.

32.二分法

(I)函數(shù)y=∕(χ)在區(qū)間也a上圖象連續(xù)不斷；

條件

(2)所在區(qū)間端點的函數(shù)值滿足./W色。

不斷地把函數(shù)y=AX)的零點所在的區(qū)間一分為二.使所得區(qū)間的兩個端點逐步

方法

逼近零點.進而得到零點近似值

33.有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論

(1)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.

(2)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號.

34.常見的函數(shù)模型

(1)正比例函數(shù)模型：/(X)=丘伏為常數(shù)，左X0)；

(2)反比例函數(shù)模型：f(χ)=K伏為常數(shù)，左X0)；

X

(3)一次函數(shù)模型：/(x)=Ax+以左,6為常數(shù),?≠0);

(4)二次函數(shù)模型：/(x)=αx2+bx+c(a,b,C為常數(shù)，α≠0);

(5)指數(shù)函數(shù)模型:/(X)=的+cQb,C為常數(shù)，a≠0,b>Q,b≠l)i

(6)對數(shù)函數(shù)模型：/(X)=ZMIogαx+〃(加,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,a≠l);

(7)寒函數(shù)模型：/(X)=OXn+b(α,b,〃為常數(shù),α≠0,n≠l);

(8)“對勾”函數(shù)模型:y=x+?>O).

X

35.指數(shù)、對數(shù)、累函數(shù)性質(zhì)比較

函數(shù)

vy=xf1(n>0)

?=a(a>l)=logαx(α>l)

性質(zhì)

在。+∞)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)為與工隨X的增大逐漸表現(xiàn)為隨〃值變化而各

圖象的變化

軸平行與X軸平行有不同

-----------------------------------°-----------------------------------

常見函數(shù)定義域的類型

1.分式型祠^要滿足/(x)K0

------------_-_-_-_-__-_-_-_-_-_-_-__-_-_-_-__-_-_-_-_-_-_-__-A---__-_-_-_-_-_-_-__-_-_-_______________

根式型"7⑻("CN)要滿足/(X)MO________

__________________________A__________________________

/⑶。要滿足/(x)≠0

G

MF

對數(shù)型IOgJ(X)(a>0,且αWI)要滿足/(x)>0

θ

正切型tan/(x)要滿足/(x)≠^-+kιr,AeZ

2.求抽象函數(shù)定義域的方法已知函數(shù)f(x)的定義域為已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的

[α,b],求復(fù)合函數(shù)f(g(x))定義域為[a,b],求函數(shù)

的定義域/(x)的定義域

由不等式αWg(x)W∕)解求出y=虱X)(Xe[a,b])的

得X,則X的取值范圍即值域，即為y=∕(x)的

為所求定義域定義域

3、求函數(shù)解析式的3種方法求函數(shù)解析式的3種方法

待定系數(shù)法當(dāng)函數(shù)的類型已經(jīng)確定時，一般用待定系數(shù)法來確定函數(shù)解析式

如果給定復(fù)合函數(shù)的解析式，求外函數(shù)的解析式，通常用換元法將內(nèi)函數(shù)換元，

換元法

然后求出外函數(shù)的解析式

如果給定兩個關(guān)于/(X)的關(guān)系式，可以通過變量代換建立方程組，再通過解方

解方程組法

程組求出函數(shù)解析式

4,求分段函數(shù)的函數(shù)值的步驟：

⑴確定要求值的自變量所在區(qū)間.

(2)代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值，直到求出具體值為止.

提醒：①自變量的值不確定時，必須分類討論；

②求值時注意函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用；

③出現(xiàn)/(∏α))求值形式時，應(yīng)由內(nèi)到外或由外向內(nèi)逐層求值.

5、求參數(shù)或自變量的值(范圍)的解題思路

(1)解決此類問題時，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的

自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結(jié)果合起來(取并集)即可.

(2)如果分段函數(shù)的圖象易得，也可以畫出函數(shù)圖象后結(jié)合圖象求解.

6、判斷函數(shù)的單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間的方法

定義法一般步驟為設(shè)元一作差一變形一判斷符號一得出結(jié)論

若/(X)是以圖象形式給出的，或者/(X)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下`

圖象法

降判斷函數(shù)的單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)法先求導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各基本初等函數(shù)的增減性及"增

性質(zhì)法

+增=增，增-減=增，減+減=減，減-增=減”進行判斷

對于復(fù)合函數(shù)，先將函數(shù)/?X))分解成/⑺和f=g(χ),然后討論(判斷)這兩個函

復(fù)合法

數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進行判斷

7,求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，得出最值.

(3)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.

CX+d

(4)分離常數(shù)法：求形如y=------(ac/))的函數(shù)的值域或最值常用分離常數(shù)法求解.

ax+b

⑸基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求

出最值.

8、比較函數(shù)值大小的解題思路

比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同

一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行比較.對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.

9、求解含uΓ的不等式的思路

先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為/(g(X))歲(〃(X))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉afn,

得到一般的不等式g(χ)>∕z(χ)(或g(χ)<h(x)).

10.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法

⑴視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性的定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)

間比較求參數(shù)；

(2)需注意，若分段函數(shù)在R上是單調(diào)的，則該函數(shù)在每一段上具有相同的單調(diào)性，還要注意

分界點處的函數(shù)值大小.

Ik判斷函數(shù)奇偶性的常用方法

(1)定義法，即根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義來判斷.

(2)圖象法，即利用奇、偶函數(shù)的對稱性來判斷；

(3)性質(zhì)法，即利用在公共定義域內(nèi)奇函數(shù)、偶函數(shù)的和、差、積的奇偶性來判斷.

12、應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的問題及解題方法

(1)求函數(shù)值

將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.

(2)求解析式

先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)

的方程(組)，從而得到f(x)的解析式.

(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值

利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)/(x)與r(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參

數(shù)的值或方程(組)，進而得出參數(shù)的值.

13、函數(shù)周期性有關(guān)問題的求解策略

(1)求解與函數(shù)的周期性有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.

(2)周期函數(shù)的圖象具有周期性，如果發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)的圖象具有兩個對稱性(注意：對稱中心在

平行于X軸的直線上，對稱軸平行于N軸)，那么這個函數(shù)一定具有周期性.

14、二次函數(shù)的最值問題的類型

軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動.不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置

關(guān)系.當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論.

15.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍

都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，依據(jù)是：aNf(x)恒成立=aNf(x)max,aSf(x)恒成立OaWf

(x)min.

16、指數(shù)募運算的一般原則

(1)指數(shù)搴的運算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)賽統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)賽，以便利用法則計算.

(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)賽化成正指數(shù)賽的倒數(shù).

(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù).

(4)運算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式要力求統(tǒng)一.

17、綜合應(yīng)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的?？碱}型及求解策略

?？碱}型求解策略

比較富值(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)塞，再利用單調(diào)性比較大小;

的大小(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入T”等中間量比較大小

-解簡單指先利用得的運算性質(zhì)化為同底數(shù)得，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解，

數(shù)不等式要注意底數(shù)。的取值范圍，并在必要時進行分類討論

探究指數(shù)與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)的方

型函數(shù)的法一致，另外要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，借助“同增異減”，將問題歸結(jié)為內(nèi)

性質(zhì)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決

18、比較對數(shù)值大小的常見類型及解題方法

常見類型解題方法

底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷

底數(shù)為同一字母需對底數(shù)進行分類討論

底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進行比較

底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,0等中間量進行比較

19,簡單對數(shù)不等式問題的求解策略

(1)解決簡單的對數(shù)不等式，應(yīng)先利用對數(shù)的運算性質(zhì)化為同底數(shù)的對數(shù)值，再利用對數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.

(2)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和底數(shù)a的值有關(guān)，在研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，要按O<a<l和a>l進

行分類討論.

(3)某些對數(shù)不等式可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

20.函數(shù)圖象的辨識方法

(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位五；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位五;

(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;

(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;

(4)從函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù);

(5)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.

21.通過圖象變換識別函數(shù)圖象要掌握的兩點

(1)熟悉基本初等函數(shù)的圖象(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的圖象)；

(2)了解一些常見的變換形式，如平移變換、翻折變換.

22.確定函數(shù)/(X)的零點所在區(qū)間的常用方法

(1)利用函數(shù)零點存在定理：首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f

(a)?f(b)<O.若有，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點.

(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與X軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.

23.函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法

(1)直接求零點，令f(x)=0,有幾個解就有幾個零點；

(2)函數(shù)零點存在定理，要求函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<O,再結(jié)

合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點個數(shù)；

(3)利用圖象交點個數(shù)，作出兩個函數(shù)圖象，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù).

典例剖析

一、多選題命題熱點中的函數(shù)性質(zhì)的綜合問題

函數(shù)問題中的多選題主要集中在函數(shù)的性質(zhì)中，涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性等.

從命題角度看，既可以是與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的組合型選擇題，也可以是新定義函數(shù)后再從不同角

度研究函數(shù)的性質(zhì)問題.

例1、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x—1)為奇函數(shù)，f(x+1)為偶函數(shù)，當(dāng)XG時，f(x)=-χ2+1,

則下列結(jié)論正確的是()

A?f("T

B.f(x+7)為奇函數(shù)

Cf(X)在(6,8)上為減函數(shù)

D.方程f(x)+Igx=0僅有6個實數(shù)解

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性和對稱性，對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系和數(shù)

形結(jié)合思想，屬于較難題.

利用函數(shù)的奇偶性與對稱性得r(X)=-r(_χ-2)和r(x)=f(-×+2)、再利用所得結(jié)論進行計算，對A

進行判斷，再再利用所得結(jié)論，結(jié)合的周期性得函數(shù)∕√x)是周期為8的周期函數(shù)，再利用函數(shù)的周期性和

奇函數(shù)定義對B進行判斷，再利用所得結(jié)論作出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)"x)的圖象對C進行判斷，再

利用對數(shù)函數(shù)圖象，作出函數(shù)f(x)和y=-lgx的圖象，利用函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系對。進行判斷，從

而得結(jié)論.

【解答】

解：因為函數(shù)/Yx)的定義域為R,函數(shù)/Yx-7)為奇函數(shù)，

所以函數(shù)∕γx)的圖象關(guān)于點(一7,0)對稱，因此f(X)=-/(-X-2).

又因為函數(shù)/Yx+7)為偶函數(shù)，所以函數(shù)∕√x)的圖象關(guān)于X=7對稱，

因此f(x)=f(-×+2).

對于A.因為由/(X)=f(-x+0得/9=∕(-f÷2)=f(-∣),

而由f(x)=—f(—X—2)得/(一1)=-f(^―^)=—f(一今，

所以re=-∕(-j).

又因為當(dāng)X∈(-737H寸，f(X)=一X2+7,

所以fe=-「(-9=一[一(一鄉(xiāng)2,A=-*故N正確；

對于B.因為由f(X)=f(-x+2)得/(X+4)=f[-[×+4)+2?=f(-×-2),

所以由/'(x)=—/(—X—Z得/(x+4)=-/(x).

因此f(x+8)=-f(x+4]=f(x),所以函數(shù)∕√x)是周期為8的周期函數(shù).

又因為f(x+7)=f[(x-7)+8?=/(x—7),

/(-X+7)=/[(-X-!)+&=/(-X-1)=-f[-(-X-7)-2]=-f(x-7),

所以f(x/7)=—/'(一X/因此函數(shù)∕√x+7是奇函數(shù)，故B正確；

對于C因為函數(shù)∕√x)的定義域為H,且f(x)=-f(-x-2),

所以f(_7)=-f[-(-7)-2]=一以一7),因此/(一T)=0,

所以由當(dāng)X∈(—7,7次寸，/■白)=一*2+7得當(dāng)*€/—7,7/0寸，f(×)=-X2+7,

因此由函數(shù)∕7χ)的圖象關(guān)于X=7對稱得當(dāng)X∈[-7,當(dāng)時，函數(shù)/Yx)的圖象，

所以由函數(shù)∕√χ)的圖象關(guān)于點(一7,0對稱得當(dāng)X∈/—仿一/寸，函數(shù)∕√χ)的圖象，

因此再利用函數(shù)f(X)是周期為8的周期函數(shù)得函數(shù)∕√χ)的圖象如下：

對于D作函數(shù)“x)和y=-Igx的圖象如下:

因為當(dāng)X>70時，一IgX<-7,

所以由圖象知：函數(shù)/(X)圖象與y=—Igx的圖象的交點數(shù)為6,

因此方程∕7x)+Igx=。僅有6個實數(shù)解，故C正確.

例2、給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是().

A.函數(shù)y=(9一，+1的最大值為T

B.已知函數(shù)V=∣oga(2-ax)(a>0且a≠1)在(0,1)上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(1,2)

C.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2X與y=Iog2X的圖像關(guān)于直線y=x對稱

D.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-8,0)內(nèi)有IOIO個零點，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2021

【答案】CD

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點個數(shù)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中等題.

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷A;由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷R由反函數(shù)的定義可判斷C

由奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.

【解答】

解：A錯，令t=一X2+7,則t的最大值為7.

...V=鄉(xiāng)*+7的最小值為?

B錯，???函數(shù)"?<?∕2"∕i在?7)上是減函數(shù),

解得1Va≤2；

C對，?.?函數(shù)y=2*與y=IogzX互為反函數(shù)，

二函數(shù)y=2*與y=IOg?x的圖像關(guān)于直線y=X對稱；

。對，???定義在R上的奇函數(shù)"χ)3x?⑴內(nèi)有7070個零點，

二∕√x)在(。+8)在內(nèi)有7070個零點，

又?.?f[0}=0,

???函數(shù)∕√x)的零點個數(shù)為2x1010+1=2021.

排除AB,

故選CD

例3、已知定義在R上的函數(shù)f(χ)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①VX∈R,/?l∕lrl；

②VX],X2∈(O,+8),當(dāng)χ]≠χ2吐都有小Ih3∕'IiL則下列選項成立的是()

?i-?l

A.f(3)>f(-4)

B.若/?”「11/12),則"上，XIl

C.若也>0,則，，\1ILIl

X

D.?x∈R,3M∈R,使得f(χ)<M

【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查了抽象函數(shù)，不等式求解，函數(shù)的最值，函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的奇偶性和數(shù)形結(jié)合思

想.

結(jié)合題目條件得函數(shù)∕7x)為偶函數(shù)，在+8)上單調(diào)遞減，利用偶函數(shù)在α+8)上單調(diào)遞減對A進行判

斷，利用偶函數(shù)在0,+8)上單調(diào)遞減，結(jié)合題目條件得7/>2再利用不等式求解，對B進行判斷，

利用題目條件作出函數(shù)∕γχ)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合和不等式求解，對C進行判斷，利用C的圖象，結(jié)合

函數(shù)的最值，對D進行判斷，從而得結(jié)論.

【解答】

解：因為函數(shù)∕γx)定義在R上的函數(shù)，

所以由⑦：VxeR,f(?-x)=f(x)得函數(shù)∕√X'為偶函數(shù).

又因為由2知：χ,.x∈(β≠∞),當(dāng)X7≠X2時，都有大包>0,

?2“X"

X2~xJ

因此VX[,×2∈{0,+∞),不妨設(shè)X7VX2，有f(X1)-f(X2)>。，即∕7X">∕7X2),

所以函數(shù)∕√X)在々,+8)上單調(diào)遞減.

對于A、因為函數(shù)∕√x)為偶函數(shù)，所以f(-4)=f(4),

而函數(shù)∕√x)在。,+8)上單調(diào)遞減，因此<f(3).

(-4)<f(3),因此才正確;

對于8、因為定義在H上的偶函數(shù)∕7x)在8)上單調(diào)遞減且連續(xù)，且7)<f(2),

所以/m—7/>2,解得m<—7或m>3,因此B不正確；

對于C、因為/7-〃=0,函數(shù)∕√x)為偶函數(shù)，所以/77)=0.

因為函數(shù)∕√x)為偶函數(shù)，在0,+8)單調(diào)遞減，

所以作函數(shù)∕γx)的可能圖象如下：

所以由3>0,得X<一7或0<XV7,因此C正確；

X

對于。、由C知：∕√0,是函數(shù)∕√x)的最大值，

因此Vx∈R,3Λ∕〃⑴€〃，使得/僅，近因此。正確,

故選NCD

例4、已知函數(shù)〃??.,,-?1■iH「11的圖象如下所示.函數(shù)f(x)=(k-

l)a`-a-，的圖象上有兩個不同的點A(x1,yD,B(x2,y2),則()

A.a>l,k>2

B.f(x)在R上是奇函數(shù)

C.f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)

D.當(dāng)X≥O時，2f(x)≤f(2×)

【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的圖像，考查對數(shù)型函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的綜合運用，屬于難題.

對于A結(jié)合對數(shù)型函數(shù)圖像相關(guān)知識求解；

對于B運用定義法判斷∕√x)是否在H上是奇函數(shù)；

對于C運用定義法判斷函數(shù)單調(diào)性；

對于D通過作差法并對式子變形即可判斷.

【解答】

解：對于A,由圖像可知，函數(shù)g(x)=∣og∕x+k"0>O且?！?,在(一2+8,上單調(diào)遞增,

所以α>1,因為g△，經(jīng)過(一1,0),所以g(-7)=Iog/-1+k)=0,所以a。=一1+k,k=2,故4

錯誤.

對于B,f(×)=a×-a~x,定義域R關(guān)于原點對稱，f(-×)=a~×-ax=-f(×),所以∕√x)在R上是

奇函數(shù)，故8正確.

對于C,對于/Yx)=a*-of,由題意不妨令X7>X2,Xz∈J?.X2∈J?,貝U

r,.q/、V,1./X,1.(a×ia×2+D(ax∣-a×2)

za12

f(×ι)-f(×2)=(--)-----------xK---------

a'71a×2aIQX2

因為Xj>×2<a>7，

所以a'，。，？+7>0,ax'ax2>0,ax'—ax2>0,

即∕YX7,>∕7XZΛ所以f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確?

對于D.

2f(×)~f(2×)=2(ax-a-x)-(a2x-a-2x)

=2(ax-a-x)-(CIX-a-x)(ax+a-x)

=(ax-a-x)(2-QX-Q-X)

a2x-1.,2ax-a2x-1,-(ax-t-l)(ax-I)3

二(7~^)(^—)=,

因為a>7,X≥0,所以QX+1>0,(ax-I)3≥0,a2x>0,

所以7尸<0,

a2x

當(dāng)且僅當(dāng)X=0時等號成立，

即當(dāng)X3。時，2f(X)≤f(2x)成立，故D正確.

二、函數(shù)的新定義問題

在函數(shù)的概念與表示中，函數(shù)新定義問題是一個?？紵狳c知識，通過函數(shù)新定義問題考查

閱讀理解能力，分析問題、解決問題的能力，也是復(fù)習(xí)的一個難點.

例1、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,若函數(shù)f(x)滿足條件：存在［a,b］￡D,使f(x)在［a,b］上的值域是成苧，則

稱f(x)為“倍縮函數(shù)”，已知函數(shù)?，，」?n為“倍縮函數(shù)”，則t的取值范圍是()

A.(θ,?)B.(0,1)C.(θ,?)D.弓,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性以及二次方程根的關(guān)系，屬較難題.

/(α)?2?+()=^

由題意得f(X)在4,b/上為增函數(shù)，即有〈t,,從而可得方程+t_/=0有兩

/(Ml091(-'，)一X

個不同實數(shù)根，通過換元求t的取值范圍.

【解答】

解：因為函數(shù)∕√χ)=Zogz/+￡)為"倍縮函數(shù)",且滿足存在q,t√GD,使∕√x)在4,b∕上的值域是

因為/Yx)在??,b/上為增函數(shù),

/(α)=lu%(2**+I)a

92a+t=2i

所以《∕(fc....■「即(

l,b

2b+t=2

所以方程2χ∕=o有兩個不同實數(shù)根，設(shè)m=/>0，

即Hi?—m+t=0有兩個不同的正根，

所以｛‘一"2一農(nóng)>0,解得OVt<1..

t>04

故選4

例2、形如y=U7(c>o,b>0)的函數(shù)因其函數(shù)圖象類似于漢字中的“冏”字，故我們把其生動地稱為“冏函

數(shù)”.若函數(shù)f(x)=axF+ι(a>0且a≠1)有最小值，則當(dāng)C=1,b=1時的“冏函數(shù)”與函y=loga∣x∣的圖象

交點個數(shù)為()

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)中新概念的應(yīng)用，以及函數(shù)的性質(zhì)，最值，單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系，

屬于拔高題.

由概念得到兩函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法，得到交點個數(shù).

【解答】

解：函數(shù)f(x)=aχ2+x+?a>0,aψ7)有最小值，.?,α>7,

畫出函數(shù)y=信與y=IogJxI的圖象在同一坐標(biāo)系數(shù)內(nèi)的圖象:

兒

二結(jié)合圖形，得到交點個數(shù)有4個.

故選C.

例3、若函數(shù)f(X)同時滿足：①對于定義域上的任意X,恒有f(X)+f(-X)=O②對于定義域上的任意X],X2,

當(dāng)X]≠X2時，恒有您壬詈<0,則稱函數(shù)f(x)為“理想函數(shù)”.下列四個函數(shù)中，能被稱為“理想函數(shù)”的有()

A.f(x)=-?B.f(χ)=∣n(V1+X2+χ)

Ca、1-2xc×2,×>0

C.f(×)=——-D.f(x)={?

J1+2xJx2,x<O

【答案】CD

【解析】

【分析】

本題考查對函數(shù)新定義的理解，函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷.

通過對理想函數(shù)的分析，只要滿足在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是遞減的就符合條件，然后對所給的函數(shù)逐個

分析是否正確即可.

【解答】

解：???對于定義域上的任意X,恒有∕√x)+∕γ-X)=。

.?.f(x)是奇函數(shù)，

又???對于定義域上的任意X7,Xz當(dāng)X,≠X2時，恒有筆光型V。，

.?.f(x)為減函數(shù)；

對于A,???函數(shù)〃X，=(在e+8)和(一8,0是減函數(shù)，不能說在定義域上是減函數(shù)，.?.A不是“理想函數(shù)”；

對于B,?：,>/J+χ2>Vx2,即J7+χ2>∣χ∣,則47+χ2+χ>0,

；?函數(shù)/(X)=1"1+χ2+χ)的定義域為R,

：函數(shù)y=InX在(4+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)y=√7+χ2+X在R上單調(diào)遞增,

???函數(shù)f僅)=lnM7而+x)為R上的增函數(shù)，.?.?B不是“理想函數(shù)”；

對于c,???fg=fT7÷?減函數(shù)，

且"2=保=I=-總=—f(X)，

2×

.?.∕γx)在R上既是奇函數(shù)，又是單調(diào)遞減函數(shù)，.?.c是“理想函數(shù)”；

■×2,X》。

對于D,T(X)={X

2,X<O

由二次函數(shù)的圖象和單調(diào)性可知，∕√χ)為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減，.?.D是“理想函數(shù)”.

故選CD.

例4、設(shè)f(x)和g(x)是定義在同一區(qū)間［a,b］上的兩個函數(shù)，若函數(shù)V=f(×)一g(×)?［a,b］上有2個不同的零

點，則稱f(x)和g(x)在［a,b］上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間［a,b］