學習概率論與數(shù)理統(tǒng)計王明慈第二版第3-5節(jié)重積分的計算

二、二重積分的基本性質(zhì)

一、二重積分的概念重積分解法:

類似定積分解決問題的思想:引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xOy

面上的有界閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分割,近似替代,近似求和,取極限”1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為n個小閉區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個2)“近似替代”在每個3)“近似求和”則中任取一點小曲頂柱體4)“取極限”令一、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,元素d

也常記作二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積可用平行坐標軸的直線來劃二重積分的幾何意義:=V表示曲頂柱體的體積;表示曲頂柱體體積的負值；表示各部分體積的代數(shù)和.(3)一般f(x,y),=-V二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個點或有限條光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D

上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.二、二重積分的基本性質(zhì)(k

為常數(shù))

為D的面積,則

為D的面積,則推論2.

由于則推論1.若在D上則5.若在D上(a≤b)與曲線1.設(shè)被積函數(shù)f(x,y),有界閉區(qū)域D是由直線x=a,x=b

三、利用直角坐標計算二重積分圍成的.X-

型區(qū)域

(先y后x的二次積分

)(c≤d)與曲線2.設(shè)被積函數(shù)f(x,y),有界閉區(qū)域D是由直線y=c,y=d

圍成的.Y-

型區(qū)域

(先x后y的二次積分)說明:

若積分區(qū)域既是X-型區(qū)域又是Y

-型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有3.若有界閉區(qū)域D較復雜,可將它分成若干X-

型域或Y-

型域,則例1.

計算二重積分其中D是直線x=-2,x=2與y=-1,y=1圍成的矩形.解：D看作X-型區(qū)域例2.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X-型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y-型區(qū)域,

則例3.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:D為Y-型區(qū)域,則及直線例4.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X-

型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.例5.計算二重積分其中區(qū)域D

是由直線與雙曲線

圍成的閉區(qū)域

.解:Y-型區(qū)域，則內(nèi)容小結(jié)1.二重積分化為二次積分的方法直角坐標系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則

2.計算步驟及注意事項?

畫出積分域D?確定積分序?寫