P第14章-達朗伯原理的超級應(yīng)用

第14章達朗伯原理求解動力學(xué)問題的三種方法：1、質(zhì)點運動微分方程；2、動力學(xué)普遍定理；3、達朗伯原理〔動靜法〕。 達朗伯原理提供了一種解決質(zhì)點系動力學(xué)問題的普遍方法，這種方法的特點是用靜力學(xué)中研究平衡問題的方法來研究動力學(xué)問題，因此又稱為動靜法?！?4—1慣性力·質(zhì)點的達朗伯原理一、慣性力、質(zhì)點的達朗伯原理設(shè)一質(zhì)點的質(zhì)量為m，在主動力F和約束反力FN

的作用下沿曲線AB運動。改寫成：FFNmABFRaFg質(zhì)點的動力學(xué)方程為：把括號中的項可以看成是一個力，稱為質(zhì)點的慣性力，記之為Fg， 慣性力的大小等于質(zhì)點質(zhì)量與加速度大小的乘積，方向與a

相反。于是：質(zhì)點的達郎伯原理：如果在質(zhì)點上除了真實的作用力以外，再假想地加上慣性力，那么這些力在形式上組成一平衡力系。二、關(guān)于理解慣性力和達朗伯原理的幾點說明：慣性力是假想地虛加在運動著的物體上的。實際上，物體上并沒有作用著這樣的慣性力，物體也不處于平衡狀態(tài)。但是，如果假想地把慣性力加在物體上，那么它處于形式上的平衡狀態(tài)。對慣性力的說明：〔1〕慣性力不是真實的作用力，沒有施力物體?！?〕物體的慣性力往往表現(xiàn)為：對企圖改變其運動狀態(tài)的施力物體的反作用。對達郎伯原理的說明：如：離心力；aFg和FN在水平直線運動的車廂中，掛一單擺，如圖示。擺錘重為P，當(dāng)列車作勻變速運動時，擺穩(wěn)定在與鉛直線成a

角的位置上，求車廂的加速度a。例ayx解：1、研究對象：擺錘M2、受力分析：3、列平衡方程，求a：先畫真實力；解得：所以：MaPFTFg再由加速度，畫慣性力§14—2質(zhì)點系的達朗伯原理設(shè)質(zhì)點系中的任意質(zhì)點的質(zhì)量為mi，加速度為ai，作用在其上的力有外力和內(nèi)力，如果再假想地加上它的慣性力Fgi，那么該質(zhì)點處于“平衡狀態(tài)”。即：質(zhì)點系的達朗伯原理：作用于質(zhì)點系的所有的外力和所有質(zhì)點的慣性力形式上組成平衡力系。(i=1,---------,n)ABmAgmBgOABmAgmBgO圖示系統(tǒng)，滑輪的半徑為r，質(zhì)量略去不計。兩重物的質(zhì)量分別為mA、mB。求重物的加速度和軸承處的約束反力。解：取兩重物組成質(zhì)點系。設(shè)重物的加速度為a。對系統(tǒng)進行受力分析，并虛加慣性力，其中：aFgBFgAFO列平衡方程：即：解得：§14—3剛體慣性力系的簡化應(yīng)用達朗伯原理求解剛體動力學(xué)問題時，需要對剛體內(nèi)每個質(zhì)點都加上它的慣性力，這就構(gòu)成了一個慣性力系。如果用靜力學(xué)中力系簡化的方法將慣性力加以簡化，對于解題就方便多了。 以下，分別對剛體做平動、繞定軸轉(zhuǎn)動和平面運動時的慣性力系進行簡化。一、剛體做平動即平動剛體的慣性力系構(gòu)成一個空間平行力系。因而它可以簡化為一個通過質(zhì)心的合力Fg。(與重力的情形相似)結(jié)論：對于做平動的剛體，虛加的慣性力是一個合力Fg=－MaC，并且是加在質(zhì)心上。C二、剛體做定軸轉(zhuǎn)動僅討論剛體具有質(zhì)量對稱平面且轉(zhuǎn)軸垂直于此平面的情形zwSOAA1A2FginFgitainaitmiainaitFginFgitwO 此時可先將剛體的空間慣性力系簡化為在對稱面內(nèi)的平面力系〔壓縮〕，再將此平面力系向O軸簡化。過S上的A點做直線A1A2//z軸，a1a2上各點的加速度乃至慣性力皆相同?？紤]圖形上的任意一點——質(zhì)點i：主矢：主矩：向轉(zhuǎn)軸簡化可得：CaCnaCtFgRnFgRtwOrCMgOmiaitFginFgitwOriain所以：因為：其中，M—整個剛體的質(zhì)量；JO—整個剛體對O軸的轉(zhuǎn)動慣量。

當(dāng)剛體有對稱平面且繞垂直于對稱面的軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化，得到一個在對稱面內(nèi)的一個力FgR和一個力偶MgO?！釉谵D(zhuǎn)軸上—加在剛體上“－”表示慣性力系的主矢FgR和對轉(zhuǎn)軸O的主矩MgO分別與剛體質(zhì)心的加速度aC的方向、剛體的角加速度的轉(zhuǎn)向相反。aCwC三、剛體做平面運動 此時，仍先將剛體的慣性力系簡化為在對稱平面內(nèi)的平面力系，然后再將此平面力系向質(zhì)心C點簡化。僅討論剛體具有質(zhì)量對稱平面且剛體平行于此平面運動的情形。FginmiaMCnaCaMCtFgitFgiC 假設(shè)轉(zhuǎn)軸恰好通過質(zhì)心，那么慣性力系簡化后，只得到一個慣性力偶矩?！ㄟ^質(zhì)心—加在剛體上

有對稱平面的剛體，平行于這個平面運動時，剛體的慣性力系向質(zhì)心簡化，可得到在對稱平面內(nèi)的一個力FgR和一個力偶MgC。aCwCFgRMgCCaCnaCtFgRnFgRtwOMgC討論：將剛體的定軸轉(zhuǎn)動視為平面運動的特殊情況，其慣性力系的簡化結(jié)果如何？CaCnaCtFgRnFgRtwOrCMgO可見，兩種簡化方式所得的結(jié)果是等效的。一．慣性力系與真實力系的關(guān)系二．慣性力系的簡化結(jié)果與真實力系的簡化結(jié)果間的關(guān)系 兩種力系向同一點O簡化，慣性力系簡化為主矢FgR和主矩MgO，真實力系也簡化為主矢FR和主矩MO，由其間的平衡關(guān)系可知FgR=-FR和MgO=-MO?？梢?，慣性力系的主矢和主矩分別與真實力系的主矢和主矩大小相等、方向〔或轉(zhuǎn)向〕相反。 由質(zhì)點系的達郎貝爾原理可知：作用于質(zhì)點系的真實外力系與慣性力系在形式上組成平衡力系。 與前面動力學(xué)中質(zhì)心運動定理、定軸轉(zhuǎn)動微分方程、相對質(zhì)心的動量矩定理等知識相聯(lián)系，可幫助理解和記憶剛體慣性力系的簡化結(jié)果。運動形式運動量動力學(xué)關(guān)系主矢主矩平動質(zhì)心加速角加速度：平面運動質(zhì)心加速角速度、角加速度定軸轉(zhuǎn)動角速度、角加速度aCaCABal1l2l3mg電動絞車安裝在梁上，梁的兩端擱在支座上，絞車與梁合重P。絞車與電機轉(zhuǎn)子固結(jié)在一起，轉(zhuǎn)動慣量為J。絞車以加速度a提升重物。重物質(zhì)量為m，絞盤半徑為R。求由于加速提升重物而對支座A、B的附加壓力。解：取梁、絞車和重物組成質(zhì)點系。受力如圖。FAFB由運動學(xué)可知：虛加慣性力：FgMg列平衡方程：上式中，前兩項為支座靜反力，后一項為附加動反力。由于加速提升重物而對支座產(chǎn)生的附加壓力等于附加動反力。解得：所以： 附加壓力〔或附加動反力〕決定于慣性力系，只求附加壓力時，列方程不必考慮重力。300OmgFsFNaFgMgC均質(zhì)圓輪沿斜面做純滾動。輪的質(zhì)量為m，半徑為R。求輪質(zhì)心的加速度、所受斜面的摩擦力。解：研究輪，其受力如圖。設(shè)輪質(zhì)心的加速度為a，則輪的角加速度為。虛加慣性力：列平衡方程：即：解得：平衡方程：假設(shè)選O點為矩心列平衡方程：該方程移項后便是：即：——相對質(zhì)心的動量矩定理達郎伯原理完全等價于動量定理和動量矩定理該方程移項后便是：即：——相對相對速度瞬心的動量矩定理該方程移項后便是：——質(zhì)心運動定理 在動靜法中，形式上的平衡方程，從外表上所表達的是真實作用力系與慣性力系間的平衡關(guān)系。但因為慣性力或慣性力偶矩是根據(jù)運動來確定的，或者說是以運動量來表示的，所以在本質(zhì)上平衡方程所揭露的是真實作用力與運動間的關(guān)系——動力學(xué)方程。 使用動靜法，在取別離體、列平衡方程的過程中，可以使用在處理靜力學(xué)問題中的所有技巧，例如可以取整個系統(tǒng)或局部系統(tǒng)為別離體、取任意的適宜矩心列寫平衡方程，方程的建立與求解方便、靈活。雖然這些方程在本質(zhì)上就是動力學(xué)的方程，但在很多情況下，僅根據(jù)一些根本的動力學(xué)定理卻很難直接列寫出如此豐富多樣而又靈活自如的方程。因此說，動靜法是一種值得認真掌握的好方法。ABCllmgFBxFByBCDaDFgMgB解：研究桿BC。畫受力圖，并虛加慣性力：設(shè)桿的角加速度為那么桿質(zhì)心的加速度為列方程：解得：畫受力圖，并虛加慣性力：列方程：解得：mgmgABCFAxFAyMAMgBFg研究整體。CO3ABqO1O2aCaBABqO1O2CFAFBmgyx解：邊長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)方板有兩個等長的細繩平行吊在天花板上，有一細繩AO3水平拉在墻上，如下圖。板處于平衡時，細繩AO1與鉛垂線的夾角為q〔q45o〕，試求細繩AO3被剪斷后的瞬時，板質(zhì)心加速度和細繩AO1和BO2的拉力。取方板為研究對象；受力分析；qFg因為方板平動，且在開始運動的初瞬時其質(zhì)心只有切向加速度，所以虛加慣性力：例：由此解出：列方程求TA、TB：ABqO1O2CFAFBmgyxqFg 圖示系統(tǒng)中，圓柱形磙子和塔輪的質(zhì)量均為m1=m2=200㎏，外徑均為R=1m，磙子的質(zhì)量集中于外緣，塔輪可視為均質(zhì)圓盤；塔輪的小輪半徑為r=0.5m，其上繞有細繩，所系重物的質(zhì)量為m3=200㎏。磙子做純滾動。求軸承處的約束反力。例：解題方法分析： 動靜法在本質(zhì)上是動量定理和動量矩定理的綜合，系統(tǒng)的各運動量以慣性力的形式表示出來，其靜力學(xué)的平衡方程在本質(zhì)上是描述了運動與外力之間的動力學(xué)關(guān)系。因此，兩種方法在解題中沒有本質(zhì)的區(qū)別——系統(tǒng)在多處受到約束，需拆開系統(tǒng)對每一剛體分別進行求解。這樣做運算量較大，不可取。 系統(tǒng)為理想約束的一自由度系統(tǒng)，便于使用動能定理進行運動的求解，再由求得的運動利用動靜法求約束力就容易了。m3gCm1gOB解：取磙子、塔輪、重物組成質(zhì)點系。系統(tǒng)的動能為：設(shè)某瞬時塔輪的角速度為：于是，磙子中心的速度和磙子的角速度分別為：而重物的速度為：vCvBm3gCm1gO由功率方程：主動力的功率為：可得：即：解得：aBm3gFB代入數(shù)據(jù)，可得：研究重物B，由牛頓第二定律：其中：解得：OMgOFCFOxFOyFB’m2g研究塔輪，分析其受力，并虛加慣性力。列平衡方程：解得：研究塔輪及重物B組成的系統(tǒng)，分析其受力，并虛加慣性力。aBOFgBMgOFOxFOym2gm3gFC列平衡方程：解得：或：P2AEIBFO2P1QQDO1圖示滑輪組中，定滑輪和動滑輪的重量均為Q，半徑均為R，可視為均質(zhì)圓盤。重物A重P1重物B重P2，且P1>P2+Q。求重物B的加速度及桿在固定端處的反力。aAaBvAvBvO2例：均質(zhì)圓盤在水平板上純滾動，質(zhì)量和半徑分別為m，r。質(zhì)量為2m的板與水平地面間的動滑動摩擦系數(shù)為fd，求圓盤的角加速度，質(zhì)心加速度和摩擦力。C以輪心為動點、板為動系，aCaB設(shè)板的加速度為aB，輪心加速度為aC，角加速度為CAMgFgCFgC=maC=m(aB-ra)Mg=JCa解：對輪C（1）CMgFgCBFBFgBFgB=2maB研究由輪和板組成的整體，分析受力、虛加慣性力、列方程：即：——〔2〕聯(lián)立方程〔1〕、〔2〕，求解，可得：作為比較，看下面的例子：此系統(tǒng)為單自度， 便于用動能定理求解 運動，然后再用動靜 法求力。如果完全采 用動靜法，求解較繁。zbAwBP解：桿的質(zhì)量線密度為：sdsdFg例：均質(zhì)桿AB長為l、重P，以等角速度w繞z軸轉(zhuǎn)動。求及A處的反力。xAyA即：解得：xyFTFT例：：R、r〔密度〕，w=常值；求：由轉(zhuǎn)動引起的動應(yīng)力〔輪緣上的動反力〕。動應(yīng)力：運動時產(chǎn)生的力，是由慣性力引起的，重力引起的不計，也不計輪輻的影響。dFgdmdqq不計輻條用積分算慣性力解：1、研究對象：半個輪；2、受力圖：外力：FT1、FT2，慣性力：A—截面積〔背向O〕ROw3、動靜法平衡方程：只需寫出即可。v—輪緣線速度應(yīng)力是單位面積上的力可見，快速轉(zhuǎn)動，s就大，必須引起重視。ABEMOCD 曲柄滑塊機構(gòu)如圖示，圓輪：r、J、M；滑槽ABD：m、f

S。求圓輪的轉(zhuǎn)動微分方程。例：x解：aearw單自由度系統(tǒng)，各構(gòu)件的運動存在一定的關(guān)系：沿x軸投影有：設(shè)輪的角加速度為，則槽桿ABD的加速度aG可表示為的函數(shù)。以銷釘C為動點、槽桿ABD為動系，做加速度分析：其中：所以：(1)分別取輪和構(gòu)件ABDE為別離體；進行受力分析，并虛加慣性力列方程：對桿ABDE：對圓盤：MOxwFCMgO即：ABECDFC’aGFgFNAFNCFSmg(2)(3)利用方程〔1〕、〔2〕的關(guān)系，由式〔3〕可得：即： 該系統(tǒng)為單自由度。顯然，使用達郎伯原理求解不如使用動能定理方便。動靜法在本質(zhì)上是動量法，適合于動量法求解的問題一定適合用動靜法。對于適合用能量法求解的問題，動靜法沒有優(yōu)勢。AAOBOC1aC1aAC2a2xABaAOa2yaCAlllFOxFOymgFgOMgOAOC1C2mgMg2Fg2yBFg2xC2mgFAxFAyMg2Fg2yABFg2x對整體:整理得：對AB：整理得：，各輪和重物的質(zhì)量以及及各輪的半徑，略去繩子的質(zhì)量和軸承處的摩擦，求大輪的角加速度。解題方法分析：〔1〕系統(tǒng)為單自由度、理想約束系統(tǒng)，便于用能量法求解?！?〕系統(tǒng)中，雖然構(gòu)件較多，但所受約束只有一處——鉸鏈支座，而且各構(gòu)件間的加速度關(guān)系較為直觀，因此使用動靜法求解也不麻煩?！?5—4繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體的軸承動反力 當(dāng)剛體高速轉(zhuǎn)動時，慣性力常常引起對軸承的附加動反力，有時其數(shù)值會相當(dāng)巨大，如不設(shè)法消除，容易造成軸系的損壞。因此，研究出現(xiàn)附加動反力的原因和防止出現(xiàn)附加壓力的條件，具有重要的工程意義。以下，通過一簡單例題，說明附加動反力的概念。 本節(jié)介紹工程中常見的一類問題：定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動反力。 設(shè)轉(zhuǎn)子的質(zhì)量m=20kg，由于材料、制造、安裝等原因造成偏心矩e=0.01cm，轉(zhuǎn)子安裝于軸的中部，轉(zhuǎn)軸垂直于轉(zhuǎn)子的對稱面。若轉(zhuǎn)子以勻轉(zhuǎn)速n=12000rpm轉(zhuǎn)動，求當(dāng)轉(zhuǎn)子的重心處于最低位置時軸承A、B的動反力。例：解：1、研究對象：2、受力分析：P、FA、FB轉(zhuǎn)子、軸系統(tǒng)3、慣性力：Fg4、列平衡方程：PnxzyeFAFBFg解得：將數(shù)據(jù)代入，得：如果只考慮重力〔主動力〕作用，那么軸承處的靜反力： 以上解答說明，軸承動反力由兩局部組成：一局部是由主動力系引起的反力，稱為靜反力〔靜平衡時的反力〕；另一局部是由轉(zhuǎn)動剛體的慣性力系引起的反力，稱為附加動反力。此題中的附加動反力為靜反力的16倍，要消除它，需要把轉(zhuǎn)子的質(zhì)心調(diào)整到轉(zhuǎn)軸上。軸系可在任意位置上靜止——靜平衡。動平衡：不出現(xiàn)附加動反力的現(xiàn)象。Om1gm2gChyjwxFgAFxFyM解：一、研究對象：電機整體；二、受力分析：主動力：m1g、m2g、Fx