河南省焦作市縣級(jí)重點(diǎn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

2021—2022學(xué)年上學(xué)期期中考試試題高二理科數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題只有一項(xiàng)符合題目要求）1.下列命題中，正確的是（）A.經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面B.分別在兩個(gè)平面的兩條直線一定是異面直線C.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線D.垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，來(lái)判斷A是否正確；根據(jù)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系不確定，來(lái)判斷B是否正確；根據(jù)垂直于同一平面的兩直線平行，來(lái)判斷C是否正確；根據(jù)垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交或異面，來(lái)判斷D是否正確．【詳解】解：對(duì)A，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，平面不唯一，∴A錯(cuò)誤；對(duì)B，分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系不確定，∴B錯(cuò)誤；對(duì)C，根據(jù)垂直于同一平面的兩直線平行，∴C正確；對(duì)D，垂直于同一平面的兩平面的位置關(guān)系是平行、相交，∴D錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了空間直線與直線的位置關(guān)系及線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力.2.正方體中，異面直線與所成角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先連接，，根據(jù)得到或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，再計(jì)算其大小即可.【詳解】連接，，如圖所示：因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，在中，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何法求異面直線所成角，屬于簡(jiǎn)單題.3.若直線：與直線：互相垂直，則的值為（）A. B. C.或 D.1或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可.【詳解】解：因?yàn)橹本€：與直線：互相垂直，所以，解得或.故選：D4.若圓錐的軸截面是等邊三角形，則它的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由題圓錐的軸截面是等邊三角形，可設(shè)邊長(zhǎng)為，則底面圓的半徑為，圓錐的母線長(zhǎng)為，即圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的半徑為，設(shè)側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為，則．考點(diǎn)：弧度制下的扇形的圓心角算法.5.正六棱錐底邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱與底面所成的角為45°，則它的斜高等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖所示的正六棱錐中，可得即為側(cè)棱與底面所成角，由此可求出側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而求出斜高.【詳解】如圖，正六棱錐底面中心為，是BC中點(diǎn)，可知即為斜高，因?yàn)榈酌媸钦呅?，，可知底面，即為?cè)棱與底面所成角，，,.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線面角計(jì)算相關(guān)長(zhǎng)度，屬于基礎(chǔ)題.6.直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程，再根據(jù)直線不經(jīng)過(guò)第二象限，由求解.【詳解】直線方程可化為：，因?yàn)橹本€不經(jīng)過(guò)第二象限，所以，解得，所以的取值范圍為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的方程及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是（）A.36 B.18 C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑，判斷直線與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】解：因?yàn)閳A，即，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差為，故選：D.8.在中，角，，對(duì)邊分別為，，，若，則為A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【詳解】余弦定理得代入原式得解得則形狀為等腰或直角三角形,選D.點(diǎn)睛：判斷三角形形狀的方法①化邊：通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．②化角：通過(guò)三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用這個(gè)結(jié)論．9.已知空間中不同直線、和不同平面、，下面四個(gè)結(jié)論：①若、互為異面直線，，，，，則；②若，，，則；③若，，則；④若，，，則.其中正確的是（）A.①② B.②③ C.③④ D.①③【答案】D【解析】【分析】由線面和面面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可得解．【詳解】解：對(duì)于①，由面面平行的判定定理可得，若、互為異面直線，，，則或相交，又因?yàn)?，，則，故①正確；對(duì)于②，若，，，則或，相交，故②錯(cuò)誤，對(duì)于③，若，，則；故③正確，對(duì)于④，若，，，則或，故④錯(cuò)誤，綜上可得：正確的是①③，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．10.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋魧④姀狞c(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)到圓心的距離減去半徑即為最短.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，的中點(diǎn)為，故解得，要使從點(diǎn)A到軍營(yíng)總路程最短，即為點(diǎn)到軍營(yíng)最短的距離，“將軍飲馬”的最短總路程為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化問(wèn)題、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立出數(shù)學(xué)模型，從而解決問(wèn)題.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別取棱、、、、的中點(diǎn)、、、、，證明平面平面，從而動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域是平面，再求面積得解.【詳解】如圖，分別取棱、、、、的中點(diǎn)、、、、，則，，，平面平面，點(diǎn)在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，若平面，動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域是平面，正方體的棱長(zhǎng)為1，，，到的距離，動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積：．故選．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．12.如圖，矩形中，，E為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻轉(zhuǎn)成（平面）.若M、O分別為線段、的中點(diǎn)，則在翻轉(zhuǎn)過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.與平面垂直的直線必與直線垂直；B.異面直線與所成角是定值；C.一定存在某個(gè)位置，使；D.三棱錐外接球半徑與棱的長(zhǎng)之比為定值；【答案】C【解析】【分析】對(duì)A，由面面平行可知正確；對(duì)B，取的中點(diǎn)為，作出異面直線所成的角，并證明為定值；對(duì)C，利用反證法證明，與已知矛盾；對(duì)D，確定為三棱錐的外接球球心，即可得證.【詳解】取中點(diǎn)，連接.為的中點(diǎn)，.又為的中點(diǎn)，且，∴四邊形為平行四邊形，，∴平面平面平面，∴與平面垂直的直線必與直線垂直，故A正確.取的中點(diǎn)為，連接，則且，∴四邊形是平行四邊形，，為異面直線與所成的角.設(shè)，則，，，故異面直線與所成的角為定值，故B正確.連接.為等腰直角三角形且為斜邊中點(diǎn)，.若，則平面，又，.又平面，，與已知矛盾，故C錯(cuò)誤.，為三棱錐外接球球心，又為定值，故D正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的翻折問(wèn)題、異面直線所成角、外接球等問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意翻折前后的不變量.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為，半徑為4的扇形，則這個(gè)圓錐的表面積是_____________【答案】【解析】【詳解】因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為，半徑設(shè)為，則為4的扇形，則扇形面積為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則底面積則這個(gè)圓錐的表面積是底面積加上側(cè)面積，和為，故答案為：14.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出圓心坐標(biāo)與半徑，再寫(xiě)出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)直線與圓的關(guān)系得到方程，解得即可.【詳解】解：圓，即，所以圓心為，半徑，拋物線的準(zhǔn)線為，由題意可知，解得或（舍去）.故答案為：15.已知為雙曲線的上焦點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且平行于軸.若的斜率為，則的離心率為_(kāi)__________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式求得的斜率，從而求得的等量關(guān)系，即可求得離心率.【詳解】對(duì)雙曲線：，其上頂點(diǎn)，令，則，解得（舍）或，故可得，因?yàn)榈男甭蕿?，故可得，整理得，即，解得（舍）或，即雙曲線的離心率為.故答案為：.16.棱長(zhǎng)為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，過(guò)、、作正方體的截面，則截面的面積是_________．【答案】【解析】【分析】連接，設(shè)截面交棱于點(diǎn)，連接、，利用面面平行的性質(zhì)分析可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，且四邊形為等腰梯形，計(jì)算出該四邊形的各邊長(zhǎng)及高，利用梯形的面積公式可求得截面的面積.【詳解】連接，設(shè)截面交棱于點(diǎn)，連接、，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，，則，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，由勾股定理可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，過(guò)點(diǎn)、分別在平面內(nèi)作、，垂足分別為點(diǎn)、，由等腰梯形的性質(zhì)可得，，又因?yàn)椋?，，所以，，因?yàn)椋?，，則四邊形為矩形，所以，，所以，，則，因此，截面面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：（1）直接法：截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；（2）平行線法；截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；（3）延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)：截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＋a5＝12，a4＋a8＝0.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列{bn}滿足b1＝8，b2＝a1＋a2＋a3，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．【答案】（1）an＝2n12；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出和的值即可.（2）根據(jù)（1）的條件求出b2＝24，b1＝8，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍1＋a5＝2a3＝12，a4＋a8＝2a6＝0，所以，所以，解得，所以an＝10＋2(n1)＝2n12.【小問(wèn)2詳解】設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，因?yàn)閎2＝a1＋a2＋a3＝24，b1＝8，所以－8q＝－24，即q＝3，因此.18.中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊為、、，.（1）求角的大??；（2）若、、成等差數(shù)列，且，求邊長(zhǎng)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由三角形的面積公式可求得的值，由已知可得，利用余弦定理可得出關(guān)于的等式，即可求得邊的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，，則，可得，，，因此，.【小問(wèn)2詳解】解：，可得，因?yàn)椤?、成等差?shù)列，則，由余弦定理可得，解得.19.已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng);（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【詳解】本試題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等基本知識(shí)．（Ⅰ）由題設(shè)知公差由成等比數(shù)列得解得（舍去），故的通項(xiàng)（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得點(diǎn)評(píng)：本試題題目條件給的比較清晰，直接．只要抓住概念就可以很好的解決．20.如圖，已知四邊形中，，，，且，求四邊形的面積．【答案】.【解析】【分析】在中由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，再利用四邊形的面積，結(jié)合三角形面積公式可得答案.【詳解】在中，由，，，可得．在中，由，，，可得又，故．所以四邊形的面積=【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.21.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且an＋1＝(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)bn＝－，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）2－.【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式，得到，推出，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）先由（1）求出，即bn＝，再錯(cuò)位相減法，即可求出數(shù)列的和.【小問(wèn)1詳解】（1）證明：因?yàn)閍n＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝－＝，又a1－≠0，所以數(shù)列為以－＝為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得＝＋，所以bn＝，所以Sn＝＋＋＋…＋，①所以Sn＝＋＋…＋＋，②①－②得，Sn＝＋＋…＋－＝－，解得Sn＝2－.22.如圖，漁船甲位于