專題03冪指數(shù)與對數(shù)講義-上海市高一數(shù)學(xué)寒假專題

【原卷版】專題03冪、指數(shù)與對數(shù)重難點(diǎn)題型1:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算【典例】計(jì)算：【說明】指數(shù)冪與根式運(yùn)算的技巧1、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算技巧①運(yùn)算順序：有括號的，先算括號里面的，無括號的先做指數(shù)運(yùn)算.②指數(shù)的處理：負(fù)指數(shù)先化為正指數(shù).底數(shù)互為倒數(shù)③底數(shù)的處理：底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定冪的符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)，然后再把底數(shù)盡可能用冪的形式表示.2、根式運(yùn)算技巧①各根式尤其是根指數(shù)不同時(shí)要先化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再運(yùn)算.②多重根式可以從內(nèi)向外逐層變換為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；【即練】計(jì)算：重難點(diǎn)題型2:指數(shù)冪的運(yùn)算【典例】計(jì)算：(－1.8)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－2·eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))2)－eq\f(1,\r(0.01))＋eq\r(93)；【說明】1、指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加．②運(yùn)算的先后順序．2、運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)；【即練】計(jì)算：(a>0，b>0)．重難點(diǎn)題型3:有關(guān)指數(shù)冪的條件求值問題【典例】已知=3，求的值【說明】條件求值問題；條件求值問題的常用方法1、整體代入：從已知條件中解出所含字母的值，然后再代入求值，這種方法一般是不可取的，而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件的聯(lián)系，進(jìn)而整體代入求值.2、求值后代入：所求結(jié)果涉及的某些部分，可以作為一個整體先求出其值，然后再代入求最終結(jié)果.【即練】若，求的值．重難點(diǎn)題型4:對對數(shù)的概念的理解【典例】使對數(shù)log2a－2(10－4a)有意義的a的取值范圍是________．【說明】根據(jù)對數(shù)的定義，應(yīng)滿足底數(shù)大于0且不為1，真數(shù)大于0，列不等式組即可；【即練】使logeq\s\do10(x2＋1)(－3x＋6)有意義的x的取值范圍是________．重難點(diǎn)題型5:指數(shù)式與對數(shù)式的靈活互化【典例】下列指數(shù)式與對數(shù)式的互化正確的序號是______________①N＝a2與logNa＝2；②logeq\s\do8(\r(2))4＝4與(eq\r(2))4＝4；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(－3)＝64與log64eq\f(1,4)＝－eq\f(1,3)；④logxeq\r(7,y)＝z與xz＝y(tǒng)eq\s\up8(eq\f(1,7)).【說明】1、并非所有指數(shù)式都可以直接化為對數(shù)式，如(－3)2＝9就不能直接寫成log(－3)9＝2，只有a>0，a≠1，N>0時(shí)，才有ax＝N?x＝logaN.2、對數(shù)式logaN＝b是由指數(shù)式ab＝N變化得來的，兩式底數(shù)相同，對數(shù)式中的真數(shù)N就是指數(shù)式中的冪的值，而對數(shù)值b是指數(shù)式中的冪指數(shù)，對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系如圖：【即練】設(shè)a＝log37，b＝log328，則32a－b＝________.重難點(diǎn)題型6:對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【典例】計(jì)算下列各式的值：(1)lg2＋lg5；(2)log535＋2logeq\s\do8(\f(1,2))eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514；(3)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.【說明】1、對于同底的對數(shù)的化簡要用的方法：(1)“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)；(2)“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成兩對數(shù)的和(差)；2、注意對數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，如loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N；3、化簡的式子中有多重對數(shù)符號時(shí)，應(yīng)自內(nèi)向外逐層化簡求值；【即練】計(jì)算下列各式的值：（1）eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；（2）lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2；（3）2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5eq\s\up8(log53).重難點(diǎn)題型7:換底公式及其應(yīng)用【典例】已知x，y，z為正數(shù)，3x＝4y＝6z,2x＝py.①求p；②證明：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).【說明】1、換底公式即將底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化成底數(shù)相同的對數(shù)，從而進(jìn)行化簡、計(jì)算或證明．換底公式應(yīng)用時(shí)，一般換成以10為底的常用對數(shù)，或以e為底的自然對數(shù)，但也應(yīng)該結(jié)合已知條件來確定．2、換底公式推導(dǎo)出的兩個恒等式：（1）logeq\s\do8(am)Nn＝eq\f(n,m)logaN；（2）logab·logba＝1，要注意熟練應(yīng)用；【即練】已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則c的值為________．重難點(diǎn)題型8:解指數(shù)、對數(shù)方程【典例】解方程：log2(log3(log4x))＝0【說明】解指數(shù)、對數(shù)方程時(shí)應(yīng)注意：1、將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題；2、利用冪的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算求解；3、x的取值范圍是否在指對數(shù)式的互化中發(fā)生了改變；尤其是對數(shù)中底數(shù)和真數(shù)的范圍限制；【即練】已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求logeq\s\do10(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))的值．重難點(diǎn)題型9:指數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【典例】某滅活疫苗的有效保存時(shí)間T(單位：小時(shí)h)與儲藏的溫度t(單位：℃)滿足的函數(shù)關(guān)系為T＝ekt＋b(k，b為常數(shù)，其中e＝2.71828…)，超過有效保存時(shí)間，疫苗將不能使用.若在0℃時(shí)的有效保存時(shí)間是1080h，在10℃時(shí)的有效保存時(shí)間是120h，則該疫苗在15℃時(shí)的有效保存時(shí)間為()A．15h B．30hC．40h D．60h【即練】果農(nóng)采摘水果，采摘下來的水果會慢慢失去新鮮度.已知某種水果失去新鮮度h與其采摘后時(shí)間t(天)滿足的函數(shù)關(guān)系式為h＝m·at.若采摘后10天，這種水果失去的新鮮度為10%，采摘后20天，這種水果失去的新鮮度為20%.那么采摘下來的這種水果多長時(shí)間后失去40%新鮮度()A.25天 B.30天C.35天 D.40天重難點(diǎn)題型10:對數(shù)運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例】某工廠，今年年初生產(chǎn)總值為a億元，如果年平均增長8%，那么經(jīng)過多少年，該工廠生產(chǎn)總值是今年的2倍？(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg1.08≈0.0334，精確到1年)【即練】法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森是研究素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位，人們將“2p－1(p為素?cái)?shù))”形式的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”，目前僅發(fā)現(xiàn)51個“梅森素?cái)?shù)”，可以估計(jì)，267－1這個“梅森素?cái)?shù)”的位數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301)()A．19B．20C．21D．221、設(shè)a＝lg2，b＝lg3，用設(shè)a、b表示log12102、計(jì)算：π0＋2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up6(\f(1,2))＋log23－log26＝________.3、已知2a＝5，log83＝b，則4a－3b＝4、若log23×log36m×log96＝eq\f(1,2)，則實(shí)數(shù)m的值為5、已知aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2)＝3，則a＋a－1＝________；a2＋a－2＝________.6、已知eq\f(1,logm3)＝p，9p＝n，其中m＞0且m≠1，n＞0且n≠1，若2m－n＝0，則p的值為7、若代數(shù)式eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，則eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,（x－2）4)＝()A．2 B．3C．2x－1 D．x－28、瑞典著名物理化學(xué)家阿倫尼烏斯通過大量實(shí)驗(yàn)獲得了化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)隨溫度變化的實(shí)測數(shù)據(jù)，利用回歸分析的方法得出著名的阿倫尼烏斯方程：k＝Ae－eq\f(Ea,RT)，其中k為反應(yīng)速率常數(shù)，R為摩爾氣體常量，T為熱力學(xué)溫度，Ea為反應(yīng)活化能，A(A＞0)為阿倫尼烏斯常數(shù).對于某一化學(xué)反應(yīng)，若熱力學(xué)溫度分別為T1和T2時(shí)，反應(yīng)速率常數(shù)分別為k1和k2(此過程中R與Ea的值保持不變)，經(jīng)計(jì)算－eq\f(Ea,RT1)＝M，若T2＝2T1，則lneq\f(k1,k2)＝()A．eq\f(M,2)B．MC．eq\r(M)D．2M9、設(shè)0<x<1，a>0且a≠1.試比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小．10、已知函數(shù)f(x)＝3x，且f(a)＝2，g(x)＝3ax－4x.（1）求g(x)的解析式；（2）當(dāng)x∈[－2,1]時(shí)，求g(x)的值域．【解析版】專題03冪、指數(shù)與對數(shù)重難點(diǎn)題型1:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算【典例】計(jì)算：【精析】【提示】注意遵守指數(shù)冪運(yùn)算法則；將各個根式化成指數(shù)冪的形式，按照冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算；【答案】；【解析】；【說明】指數(shù)冪與根式運(yùn)算的技巧1、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算技巧①運(yùn)算順序：有括號的，先算括號里面的，無括號的先做指數(shù)運(yùn)算.②指數(shù)的處理：負(fù)指數(shù)先化為正指數(shù).底數(shù)互為倒數(shù)③底數(shù)的處理：底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定冪的符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)，然后再把底數(shù)盡可能用冪的形式表示.2、根式運(yùn)算技巧①各根式尤其是根指數(shù)不同時(shí)要先化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再運(yùn)算.②多重根式可以從內(nèi)向外逐層變換為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；【即練】計(jì)算：【答案】；【解析】重難點(diǎn)題型2:指數(shù)冪的運(yùn)算【典例】計(jì)算：(－1.8)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－2·eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))2)－eq\f(1,\r(0.01))＋eq\r(93)；【精析】【答案】19.【解析】(－1.8)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－2·eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))2)－eq\f(1,\r(0.01))＋eq\r(93)＝1＋＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2－10＋33＝1＋1－10＋27＝19；【說明】1、指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加．②運(yùn)算的先后順序．2、運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)；【即練】計(jì)算：(a>0，b>0)．【答案】eq\f(4,25)；【解析】＝＝2×eq\f(1,100)×8＝eq\f(4,25)；重難點(diǎn)題型3:有關(guān)指數(shù)冪的條件求值問題【典例】已知=3，求的值【精析】【提示】注意結(jié)合題設(shè)進(jìn)行代數(shù)變形，盡量考慮整體計(jì)算；，【答案】9【解析】由，得，即x+2+x1=9．∴x+x1=7．兩邊再平方得：x2+2+x2=49，∴x2+x2=47．∴=．【說明】條件求值問題；條件求值問題的常用方法1、整體代入：從已知條件中解出所含字母的值，然后再代入求值，這種方法一般是不可取的，而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件的聯(lián)系，進(jìn)而整體代入求值.2、求值后代入：所求結(jié)果涉及的某些部分，可以作為一個整體先求出其值，然后再代入求最終結(jié)果.【即練】若，求的值．【答案】．【解析】若，則，，故．重難點(diǎn)題型4:對對數(shù)的概念的理解【典例】使對數(shù)log2a－2(10－4a)有意義的a的取值范圍是________．【精析】【提示】根據(jù)對數(shù)中底數(shù)和真數(shù)的取值范圍求解；【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,2)))；【解析】要使log2a－2(10－4a)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－2>0，,2a－2≠1，,10－4a>0))?1<a<eq\f(3,2)或eq\f(3,2)<a<eq\f(5,2)；【說明】根據(jù)對數(shù)的定義，應(yīng)滿足底數(shù)大于0且不為1，真數(shù)大于0，列不等式組即可；【即練】使logeq\s\do10(x2＋1)(－3x＋6)有意義的x的取值范圍是________．【答案】{x|x<2且x≠0}；【解析】令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1≠1，,－3x＋6>0))?x<2且x≠0；重難點(diǎn)題型5:指數(shù)式與對數(shù)式的靈活互化【典例】下列指數(shù)式與對數(shù)式的互化正確的序號是______________①N＝a2與logNa＝2；②logeq\s\do8(\r(2))4＝4與(eq\r(2))4＝4；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(－3)＝64與log64eq\f(1,4)＝－eq\f(1,3)；④logxeq\r(7,y)＝z與xz＝y(tǒng)eq\s\up8(eq\f(1,7)).【精析】【答案】②④；【解析】①N＝a2?logaN＝2(a>0且a≠1)；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up8(－3)＝64?logeq\s\do10(\f(1,4))64＝－3；【說明】1、并非所有指數(shù)式都可以直接化為對數(shù)式，如(－3)2＝9就不能直接寫成log(－3)9＝2，只有a>0，a≠1，N>0時(shí)，才有ax＝N?x＝logaN.2、對數(shù)式logaN＝b是由指數(shù)式ab＝N變化得來的，兩式底數(shù)相同，對數(shù)式中的真數(shù)N就是指數(shù)式中的冪的值，而對數(shù)值b是指數(shù)式中的冪指數(shù)，對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系如圖：【即練】設(shè)a＝log37，b＝log328，則32a－b＝________.【答案】eq\f(7,4)；【解析】由題知3a＝7,3b＝28，∴32a－b＝eq\f(32a,3b)＝eq\f(3a2,3b)＝eq\f(72,28)＝eq\f(7,4)；重難點(diǎn)題型6:對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【典例】計(jì)算下列各式的值：(1)lg2＋lg5；(2)log535＋2logeq\s\do8(\f(1,2))eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514；(3)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.【精析】【提示】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，先將式子轉(zhuǎn)化為只含有一種或幾種真數(shù)的形式再進(jìn)行計(jì)算；【解析】(1)lg2＋lg5＝lg(2×5)＝lg10＝1.(2)原式＝log5eq\f(35×50,14)＋2logeq\s\do8(\f(1,2))2eq\s\up16(eq\f(1,2))＝log553－1＝2.(3)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2·32)]÷log64＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6\f(6,3)))eq\s\up8(2)＋log62log62＋log632))÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2·3)＝1.【說明】1、對于同底的對數(shù)的化簡要用的方法：(1)“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)；(2)“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成兩對數(shù)的和(差)；2、注意對數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，如loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N；3、化簡的式子中有多重對數(shù)符號時(shí)，應(yīng)自內(nèi)向外逐層化簡求值；【即練】計(jì)算下列各式的值：（1）eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；（2）lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2；（3）2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5eq\s\up8(log53).【解析】（1）方法1：原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).方法2：原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg(eq\r(2)·eq\r(5))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).（2）原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3；（3）原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1；重難點(diǎn)題型7:換底公式及其應(yīng)用【典例】已知x，y，z為正數(shù)，3x＝4y＝6z,2x＝py.①求p；②證明：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).【精析】【提示】用換底公式統(tǒng)一底數(shù)再求解；【解析】①設(shè)3x＝4y＝6z＝k(k＞1)，則x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py，得2log3k＝plog4k，解得p＝2log34＝4log32.②證明：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,log6k)－eq\f(1,log3k)＝logk6－logk3＝logk2，而eq\f(1,2y)＝eq\f(1,2log4k)＝eq\f(1,2)logk4＝logk2.故eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).【說明】1、換底公式即將底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化成底數(shù)相同的對數(shù)，從而進(jìn)行化簡、計(jì)算或證明．換底公式應(yīng)用時(shí)，一般換成以10為底的常用對數(shù)，或以e為底的自然對數(shù)，但也應(yīng)該結(jié)合已知條件來確定．2、換底公式推導(dǎo)出的兩個恒等式：（1）logeq\s\do8(am)Nn＝eq\f(n,m)logaN；（2）logab·logba＝1，要注意熟練應(yīng)用；【即練】已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則c的值為________．【答案】eq\r(15)；【解析】由3a＝5b＝c，得a＝log3c，b＝log5c，所以eq\f(1,a)＝logc3，eq\f(1,b)＝logc5.又eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝eq\r(15)；重難點(diǎn)題型8:解指數(shù)、對數(shù)方程【典例】解方程：log2(log3(log4x))＝0【精析】【提示】利用對數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化來求解；【答案】64；【解析】∵log2(log3(log4x))＝0，∴l(xiāng)og3(log4x)＝20＝1，∴l(xiāng)og4x＝31＝3，∴x＝43＝64；【說明】解指數(shù)、對數(shù)方程時(shí)應(yīng)注意：1、將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題；2、利用冪的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算求解；3、x的取值范圍是否在指對數(shù)式的互化中發(fā)生了改變；尤其是對數(shù)中底數(shù)和真數(shù)的范圍限制；【即練】已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求logeq\s\do10(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))的值．【提示】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到x，y的關(guān)系式，解方程即可．【解析】lgx＋lgy＝lg(xy)＝2lg(x－2y)＝lg(x－2y)2，由題知，xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))eq\s\up8(2)－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＋4＝0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)－4))＝0，故eq\f(x,y)＝1或4.又當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x－2y＝－y<0，故舍去，∴eq\f(x,y)＝4.∴l(xiāng)ogeq\s\do10(\f(1,2))eq\f(x,y)＝logeq\s\do10(\f(1,2))4＝－2.重難點(diǎn)題型9:指數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【典例】某滅活疫苗的有效保存時(shí)間T(單位：小時(shí)h)與儲藏的溫度t(單位：℃)滿足的函數(shù)關(guān)系為T＝ekt＋b(k，b為常數(shù)，其中e＝2.71828…)，超過有效保存時(shí)間，疫苗將不能使用.若在0℃時(shí)的有效保存時(shí)間是1080h，在10℃時(shí)的有效保存時(shí)間是120h，則該疫苗在15℃時(shí)的有效保存時(shí)間為()A．15h B．30hC．40h D．60h【精析】【答案】C；【解析】由題意知1080＝eb，120＝e10k＋b＝e10k·eb，所以e10k＝(e5k)2＝eq\f(120,1080)＝eq\f(1,9)，所以e5k＝eq\f(1,3)，所以e15k＝eq\f(1,27)，所以e15k＋b＝e15k·eb＝eq\f(1,27)×1080＝40(h).【即練】果農(nóng)采摘水果，采摘下來的水果會慢慢失去新鮮度.已知某種水果失去新鮮度h與其采摘后時(shí)間t(天)滿足的函數(shù)關(guān)系式為h＝m·at.若采摘后10天，這種水果失去的新鮮度為10%，采摘后20天，這種水果失去的新鮮度為20%.那么采摘下來的這種水果多長時(shí)間后失去40%新鮮度()A.25天 B.30天C.35天 D.40天【答案】B【解析】依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10%＝m·a10，,20%＝m·a20，))解得m＝eq\f(1,20)，a10＝2，當(dāng)h＝40%時(shí)，40%＝eq\f(1,20)·at，即40%＝eq\f(1,20)·a10·at－10，解得at－10＝4＝(a10)2＝a20，于是得t－10＝20，解得t＝30(天)，所以采摘下來的這種水果30天后失去40%新鮮度；重難點(diǎn)題型10:對數(shù)運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例】某工廠，今年年初生產(chǎn)總值為a億元，如果年平均增長8%，那么經(jīng)過多少年，該工廠生產(chǎn)總值是今年的2倍？(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg1.08≈0.0334，精確到1年)【精析】【提示】認(rèn)真分析題意，找出其中各量之間的關(guān)系，列出式子，并利用對數(shù)運(yùn)算求解；【解析】設(shè)經(jīng)過x年，該工廠生產(chǎn)總值是今年的2倍．經(jīng)過1年，總產(chǎn)值為a(1＋8%)，經(jīng)過2年，總產(chǎn)值為a(1＋8%)2，……經(jīng)過x年，總產(chǎn)值為a(1＋8%)x.由題意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2，兩邊取常用對數(shù)，得lg1.08x＝lg2，則x＝eq\f(lg2,lg1.08)≈eq\f(0.3010,0.0334)≈9(年)．答：約經(jīng)過9年，該工廠生產(chǎn)總值是今年的2倍．【即練】法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森是研究素?cái)?shù)的數(shù)學(xué)家中成就很高的一位，人們將“2p－1(p為素?cái)?shù))”形式的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”，目前僅發(fā)現(xiàn)51個“梅森素?cái)?shù)”，可以估計(jì)，267－1這個“梅森素?cái)?shù)”的位數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301)()A．19B．20C．21D．22【答案】C【解析】依題意，lg(267－1)≈lg267＝67lg2≈67×0.301＝20.167，∴267－1≈1020.167.∴267－1這個“梅森素?cái)?shù)”的位數(shù)為21位.1、設(shè)a＝lg2，b＝lg3，用設(shè)a、b表示log1210【答案】eq\f(1,2a＋b)；【解析】log1210＝eq\f(1,lg12)＝eq\f(1,lg3＋2lg2)＝eq\f(1,2a＋b).；2、計(jì)算：π0＋2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up6(\f(1,2))＋log23－log26＝________.【答案】eq\f(3,8)【解析】原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up6(\f(1,2))＋log23－log22－log23＝1＋eq\f(1,4)×eq\f(3,2)－1＝eq\f(3,8).3、已知2a＝5，log83＝b，則4a－3b＝【答案】eq\f(25,9)；【解析】因?yàn)?a＝5，b＝log83，即23b＝3，所以4a－3b＝eq\f(4a,43b)＝eq\f(（2a）2,（23b）2)＝eq\f(52,32)＝eq\f(25,9).4、若log23×log36m×log96＝eq\f(1,2)，則實(shí)數(shù)m的值為【答案】4；【解析】∵log23×log36m×log96＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lgm,lg36)×eq\f(lg6,lg9)＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lgm,2lg6)×eq\f(lg6,2lg3)＝eq\f(lgm,4lg2)＝eq\f(1,4)log2m＝eq\f(1,2)，∴l(xiāng)og2m＝2，∴m＝4.5、已知aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2)＝3，則a＋a－1＝________；a2＋a－2＝________.【答案】7；47；【解析】由aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2)＝3，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7，則a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47.6、已知eq\f(1,logm3)＝p，9p＝n，其中m＞0且m≠1，n＞0且n≠1，若2m－n＝0，則p的值為【答案】log32；【解析】因?yàn)閑q\f(1,logm3)＝p，所以log3m＝p，得m＝3p，所以2m－n＝2×3p－9p＝2×3p－(3p)2＝0；即3p(2－3p)＝0.因?yàn)?p≠0，所以3p＝2，解得p＝log32；7、若代數(shù)式eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，則eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,（x－2）4)＝()A．2 B．3C．2x－1 D．x－2【答案】B【解析】由eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,2－x≥