獨(dú)立性檢驗(yàn)（教學(xué)設(shè)計(jì)）（人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)）

.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 (1)統(tǒng)計(jì)最基本的思想：用樣本推斷總體，而估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是兩種基本而重要的推斷方法．在前面的學(xué)習(xí)中，主要學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)估計(jì)的推斷方法．例如，用樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別估計(jì)總體的均值和方差；用樣本相關(guān)系數(shù)估計(jì)兩個(gè)數(shù)值變量的相關(guān)系數(shù)，從而推斷這兩個(gè)變量線性關(guān)系的密切程度；利用最小二乘思想估計(jì)一元線性回歸模型中的參數(shù)等． (2)假設(shè)檢驗(yàn)：統(tǒng)計(jì)推斷的一種基本形式，其基本思想是根據(jù)觀察或試驗(yàn)的結(jié)果去檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)(零假設(shè))是否成立，即通過(guò)樣本的某個(gè)指標(biāo)對(duì)總體的某種屬性進(jìn)行推斷，推斷的結(jié)果是拒絕或接受零假設(shè)．獨(dú)立性檢驗(yàn)是假設(shè)檢驗(yàn)的一個(gè)特例． (3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本原理：根據(jù)觀測(cè)值與期望值的差異的大小作出推斷，這種差異由卡方統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行刻畫(huà)，其大小的標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)推理有關(guān)聯(lián)時(shí)犯錯(cuò)誤的概率確定． (4)獨(dú)立性檢驗(yàn)的依據(jù)是小概率原理：即小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生．在零假設(shè)成立的條件下，若一個(gè)不利于零假設(shè)的小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生了，則有理由拒絕零假設(shè)；若在一次試驗(yàn)中，此小概率事件沒(méi)有發(fā)生，則沒(méi)有充足的理由拒絕零假設(shè)，通常會(huì)接受零假設(shè)．課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例，理解2×2的統(tǒng)計(jì)意義;2.通過(guò)實(shí)例了解2×2列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用;3.會(huì)根據(jù)χ2的值判斷兩個(gè)分類(lèi)變量之間關(guān)系的強(qiáng)弱教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：2×2列聯(lián)表，獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想和方法．難點(diǎn)：卡方統(tǒng)計(jì)量的導(dǎo)出和意義，獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想和方法．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 (1)舊知回顧：在上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了列聯(lián)表，由隨機(jī)事件的穩(wěn)定性，了解并作出判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)聯(lián)，請(qǐng)同學(xué)們思考：用頻率推斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否獨(dú)立有什么缺點(diǎn)？ 前面我們通過(guò)列聯(lián)表整理成對(duì)分類(lèi)變量的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，并根據(jù)隨機(jī)事件頻率的穩(wěn)定性推斷兩個(gè)分類(lèi)變量之間是否有關(guān)聯(lián)．引導(dǎo)學(xué)生對(duì)頻率與概率的比較，由頻率具有隨機(jī)性，與概率之間存在差異；通過(guò)數(shù)據(jù)改變，由樣本容量較小時(shí)，犯錯(cuò)誤的概率較大．(2)問(wèn)題激發(fā)：有沒(méi)有更合理的推斷方法，同時(shí)也希望對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤推斷的概率一定的控制或估算？由概率知識(shí)分析，如果兩個(gè)事件的獨(dú)立，它們的充要條件是什么？ 我們需要更好的方法彌補(bǔ)因頻率的隨機(jī)性帶來(lái)判斷兩個(gè)分類(lèi)變量的不可靠性，改進(jìn)提高判斷的結(jié)論科學(xué)性與穩(wěn)定性．如何改進(jìn)提高，先回頭看獨(dú)立事件，我們已知道，事件與事件獨(dú)立的充要條件是，這與兩個(gè)分類(lèi)變量的頻率之間又有什么樣的聯(lián)系呢？對(duì)于隨機(jī)樣本而言，因?yàn)轭l率具有隨機(jī)性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，而且在樣本容量較小時(shí)，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)較大．因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時(shí)也希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算．考慮以為樣本空間的古典概型．我們將兩個(gè)分類(lèi)變量的列聯(lián)表抽象簡(jiǎn)化，以0，1分別表示事件發(fā)生的兩種結(jié)果，如下表所示，獨(dú)立的另一層含義，即我們需要了解事件與是否存在關(guān)聯(lián)？ 我們知道與不獨(dú)立，互為對(duì)立事件，與不獨(dú)立，互為對(duì)立事件． 我們需要判斷下面的假定關(guān)系：是否成立？設(shè)和為定義在上，取值于的成對(duì)分類(lèi)變量．我們希望判斷事件和之間是否有關(guān)聯(lián)．注意到和，和都是互為對(duì)立事件，與前面的討論類(lèi)似，我們需要判斷下面的假定關(guān)系是否成立，通常稱(chēng)為零假設(shè)或原假設(shè)．這里，表示從中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn)，該樣本點(diǎn)屬于的概率，而表示從中隨機(jī)選取一個(gè)樣本點(diǎn)，該樣本點(diǎn)屬于的概率．由條件概率的定義可知，零假設(shè)等價(jià)于或①注意到和為對(duì)立事件，于是，再由概率的性質(zhì)，我們有．由此推得①式等價(jià)于．因此，零假設(shè)等價(jià)于與獨(dú)立．根據(jù)已經(jīng)學(xué)過(guò)的概率知識(shí)，下面的四條性質(zhì)彼此等價(jià)：與獨(dú)立；與獨(dú)立；與獨(dú)立；與獨(dú)立．如果這些性質(zhì)成立，我們就稱(chēng)分類(lèi)變量和獨(dú)立，這相當(dāng)于下面四個(gè)等式成立：；；；．因此，我們可以用概率語(yǔ)言，將零假設(shè)改述為：：分類(lèi)變量和獨(dú)立．根據(jù)我們通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如表8.3-3所示．表8.3-3合計(jì)合計(jì)8.3-3是關(guān)于分類(lèi)變量和的抽樣數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件和的頻數(shù)；最后一列的前兩個(gè)數(shù)分別是事件和的頻數(shù)；中間的四個(gè)數(shù)是事件的頻數(shù)；右下角格中的數(shù)是樣本容量．對(duì)于隨機(jī)樣本，表8.3-3中的頻數(shù)a，b，c，d都是隨機(jī)變量，而表8.3-2中的響應(yīng)數(shù)據(jù)是這些隨機(jī)變量的一次觀測(cè)結(jié)果．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念思考：如何基于②中的四個(gè)等式及列聯(lián)表8.3-3中的數(shù)據(jù)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，對(duì)成對(duì)的分類(lèi)變量X和Y是否相互獨(dú)立作出推斷？在零假設(shè)成立的條件下，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，由②中的第一個(gè)等式，我們可以用概率和對(duì)應(yīng)的頻率的乘積估計(jì)概率，而把視為事件發(fā)生的頻數(shù)的期望值（或預(yù)期值）．這樣，該頻數(shù)的觀測(cè)值和應(yīng)該比較接近．綜合②中的四個(gè)式子，如果零假設(shè)成立，下面四個(gè)量的取值都不應(yīng)該太大：，，，．③反之，當(dāng)這些量的取值較大時(shí)，就可以推斷不成立．顯然，分別考慮③中的四個(gè)差的絕對(duì)值很困難．我們需要找到一個(gè)既合理又能夠計(jì)算分布的統(tǒng)計(jì)量，來(lái)推斷是否成立．一般來(lái)說(shuō)，若頻數(shù)的期望值較大，則③中相應(yīng)的差的絕對(duì)值也會(huì)較大；而若頻數(shù)的期望值較小，則③中相應(yīng)的差的絕對(duì)值也會(huì)較小．疑問(wèn)：有沒(méi)有更好的方式一次性將4個(gè)量全部考慮包含？ 于是，1900年，英國(guó)數(shù)學(xué)家卡方·皮爾遜在研究的基礎(chǔ)上，提出了如下統(tǒng)計(jì)量：為了合理地平衡這種影響，我們將四個(gè)差的絕對(duì)值取平方后分別除以相應(yīng)的期望值再求和，得到如下的統(tǒng)計(jì)量：．該表達(dá)式可化簡(jiǎn)為．（1）問(wèn)題4:那么,究竟χ2大到什么程度,可以推斷H0不成立呢?或者說(shuō),怎樣確定判斷χ2統(tǒng)計(jì)學(xué)家建議，用隨機(jī)變量取值的大小作為判斷零假設(shè)是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時(shí)推斷不成立，否則認(rèn)為成立．那么，究竟大到什么程度，可以推斷不成立呢？或者說(shuō)，怎樣確定判斷大小的標(biāo)準(zhǔn)呢？環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念 連續(xù)疑問(wèn)：卡方統(tǒng)計(jì)量有什么用呢？ 統(tǒng)計(jì)學(xué)家建議，用卡方的大小作為判斷零假設(shè)是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時(shí)推斷不成立，否則認(rèn)為成立．那么，究竟大到什么程度，可以推斷不成立呢？或者說(shuō)，怎樣確定判斷卡方大小的標(biāo)準(zhǔn)呢？根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中不大可能發(fā)生的規(guī)律，上面的想法可以通過(guò)確定一個(gè)與相矛盾的小概率事件來(lái)實(shí)現(xiàn)．在假定的條件下，對(duì)于有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，當(dāng)樣本容量充分大時(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家得到了的近似分布．忽略的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概率值，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)，使得下面關(guān)系成立：．我們稱(chēng)為的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷大小的標(biāo)準(zhǔn)．概率值越小，臨界值越大．當(dāng)總體很大時(shí)，抽樣有、無(wú)放回對(duì)的分布影響較?。虼?，在應(yīng)用中往往不嚴(yán)格要求抽樣必須是有放回的．由④式可知，只要把概率值取得充分小，在假設(shè)成立的情況下，事件是不大可能發(fā)生的．根據(jù)這個(gè)規(guī)律，如果該事件發(fā)生，我們就可以推斷不成立．不過(guò)這個(gè)推斷有可能犯錯(cuò)誤，但犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過(guò)．基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；當(dāng)時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立．這種利用的取值推斷分類(lèi)變量和是否獨(dú)立的方法稱(chēng)為獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立性檢驗(yàn)(testofindependence)．表8.3-4給出了獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值．表8.3-40.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828例如，對(duì)于小概率值，我們有如下的具體檢驗(yàn)規(guī)則：（1）當(dāng)時(shí)，我們推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05；（2）當(dāng)時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，即認(rèn)為和獨(dú)立．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例2依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析例1中的抽樣數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異？解：零假設(shè)為：分類(lèi)變量和相互獨(dú)立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率無(wú)差異．根據(jù)表8.3-2中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率沒(méi)有差異．思考：例1和例2都是基于同一組數(shù)據(jù)的分析，但卻得出了不同的結(jié)論，你能說(shuō)明其中的原因嗎？事實(shí)上，如前所述，例1只是根據(jù)一個(gè)樣本的兩個(gè)頻率間存在差異得出兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異的結(jié)論，并沒(méi)有考慮由樣本隨機(jī)性可能導(dǎo)致的錯(cuò)誤，所以那里的推斷依據(jù)不太充分．在例2中，我們用獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)零假設(shè)進(jìn)行了檢驗(yàn)．通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)小于所對(duì)應(yīng)的臨界值2.706，因此認(rèn)為沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，所以接受，推斷出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)優(yōu)秀率沒(méi)有顯著差異的結(jié)論．這個(gè)檢驗(yàn)結(jié)果意味著，抽樣數(shù)據(jù)中兩個(gè)頻率的差異很有可能是由樣本隨機(jī)性導(dǎo)致的．因此，只根據(jù)頻率的差異得出兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異的結(jié)論是不可靠的．由此可見(jiàn)，相對(duì)于簡(jiǎn)單比較兩個(gè)頻率的推斷，用獨(dú)立性檢驗(yàn)得到的結(jié)果更理性、更全面，理論依據(jù)也更充分．當(dāng)我們接受零假設(shè)時(shí)，也可能犯錯(cuò)誤．我們不知道犯錯(cuò)誤這類(lèi)錯(cuò)誤的概率的大小，但是知道，若越大，則越?。?某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良．采用有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法對(duì)治療情況進(jìn)行檢查，得到了如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名．試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好．解：零假設(shè)為：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒(méi)有差異．將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，如表8.3-5所示．表8.3-5單位：人療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為兩種療法效果沒(méi)有差異．觀察：在表8.3-5中，若對(duì)調(diào)兩種療法的位置或?qū)φ{(diào)兩種療效的位置，則表達(dá)式(1)中a，b，c，d的賦值都會(huì)相應(yīng)地改變．這樣做會(huì)影響取值的計(jì)算結(jié)果嗎？環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例4為研究吸煙是否與肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，調(diào)查了9965人，得到成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的分類(lèi)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如表8.3-6所示．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)．表8.3-6單位：人吸煙肺癌合計(jì)非肺癌患者肺癌患者非吸煙者7775427817吸煙者2099492148合計(jì)9874919965解：零假設(shè)為：吸煙與患肺癌之間無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001．根據(jù)表8.3-6中的數(shù)據(jù)計(jì)算，不吸煙者中不患肺癌和患肺癌的頻率分別為和；吸煙者中不患肺癌和患肺癌的頻率分別為和．由可見(jiàn)，在被調(diào)查者中，吸煙者患肺癌的頻率是不吸煙者患肺癌的頻率的4倍以上．于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為吸煙者患肺癌的概率明顯大于不吸煙者患肺癌的概率，即吸煙更容易引發(fā)肺癌．總結(jié)上面的例子，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題大致應(yīng)包括以下幾個(gè)主要環(huán)節(jié)：（1）提出零假設(shè)：和相互獨(dú)立，并給出在問(wèn)題中的解釋?zhuān)?）根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出列聯(lián)表，計(jì)算的值，并與臨界值比較．（3）根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論．（4）在和不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過(guò)比較相應(yīng)的頻率，分析和間的影響規(guī)律．注意，上述幾個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進(jìn)行調(diào)整例如，在有些時(shí)候，分類(lèi)變量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問(wèn)題中給定的．思考:獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想類(lèi)似于我們常用的反證法，你能指出二者之間的相同和不同之處嗎？簡(jiǎn)單地說(shuō)，反證法是在某種假設(shè)之下，推出一個(gè)矛盾結(jié)論，從而證明不成立；而獨(dú)立性檢驗(yàn)是在零假設(shè)之下，如果出現(xiàn)一個(gè)與相矛盾的小概率事件，就推斷不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于這個(gè)小概率．另外，在全部邏輯推理正確的情況下，反證法不會(huì)犯錯(cuò)誤，但獨(dú)立性檢驗(yàn)會(huì)犯隨機(jī)性錯(cuò)誤．獨(dú)立性檢驗(yàn)的本質(zhì)是比較觀測(cè)值與期望值之間的差異，由所代表的這種差異的大小是通過(guò)確定適當(dāng)?shù)男「怕手颠M(jìn)行判斷的．這是一種非常重要的推斷方法，不僅有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，也開(kāi)啟了人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界的一種新的思維方式．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本原理，小概率事件；(2)列聯(lián)表，卡方統(tǒng)計(jì)量，臨界值表；(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟：假設(shè)、計(jì)算、查表、下結(jié)論（4）知識(shí)清單：分類(lèi)變量．2×2列聯(lián)表．等高堆積條形圖．獨(dú)立性檢驗(yàn)，χ2公式．2.在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？(1)反證法思想.(2)常見(jiàn)誤區(qū)：對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理不理解，導(dǎo)致不會(huì)用χ2分析問(wèn)題．環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教材： 課本P135習(xí)題8.38題 通過(guò)課本例3的學(xué)習(xí)，了解到兩個(gè)分類(lèi)變量卡方統(tǒng)計(jì)量偏小的情況，對(duì)于原假設(shè)如何下結(jié)論．練習(xí)（第134頁(yè)）1．對(duì)于例3中的抽樣數(shù)據(jù)，采用小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好．1．【解析】根據(jù)題意，．依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即可以認(rèn)為兩種療法的效果有差異，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05．甲種療法未治愈和治愈的頻率分別是和，乙種療法未治愈和治愈的頻率分別是和，因此可以推斷乙種療法的效果比甲種療法好．2．根據(jù)同一抽查數(shù)據(jù)推斷兩個(gè)分類(lèi)變量之間是否有關(guān)聯(lián)，應(yīng)用不同的小概率值，是否會(huì)得出不同的結(jié)論？為什么？2．【解析】可能會(huì)得出不同的結(jié)論．對(duì)同一抽樣數(shù)據(jù)，計(jì)算出來(lái)的的值是確定的．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，基于不同的小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則，對(duì)應(yīng)不同的臨界值，其與的大小關(guān)系可能不同，相當(dāng)于檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生變化，因此結(jié)論可能會(huì)不同．3．為考察某種藥物A對(duì)預(yù)防疾病B的效果，進(jìn)行了動(dòng)物試驗(yàn)，根據(jù)105個(gè)有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬褐凰幬顰疾病B合計(jì)未患病患病未服用291544服用471461合計(jì)7629105依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析藥物對(duì)預(yù)防疾病的有效性．3．【解析】零假設(shè)為：藥物A與預(yù)防疾病B無(wú)關(guān)聯(lián)，即藥物A對(duì)預(yù)防疾病B沒(méi)有效果．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到．根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立．因此可以認(rèn)為藥物A對(duì)預(yù)防疾病B沒(méi)有效果．4．從某學(xué)校獲取了容量為400的有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，將所得數(shù)學(xué)和語(yǔ)文期末考試成績(jī)的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)整理如下：?jiǎn)挝唬喝藬?shù)學(xué)成績(jī)語(yǔ)文成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀優(yōu)秀不優(yōu)秀21261273優(yōu)秀5473127合計(jì)266134400依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)？4．【解析】零假設(shè)為：數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)獨(dú)立，即數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)沒(méi)有關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到．根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可以推斷不成立，即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀的人中語(yǔ)文成績(jī)不優(yōu)秀和優(yōu)秀的頻率分別為和；數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人中語(yǔ)文成績(jī)不優(yōu)秀和優(yōu)秀的頻率分別為和．由此可以看出，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的頻率明顯高于數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀的人中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的頻率．根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人其語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率較大．習(xí)題8.3（第135頁(yè)）復(fù)習(xí)鞏固1．為什么必須基于成對(duì)樣本數(shù)據(jù)推斷兩個(gè)分類(lèi)變量之間是否有關(guān)聯(lián)？1．【解析】我們要研究的問(wèn)題是同一個(gè)總體的兩個(gè)分類(lèi)變量之間是否有關(guān)聯(lián)，成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)是來(lái)自于對(duì)同一個(gè)總體的兩個(gè)分類(lèi)變量的觀測(cè)，只有成對(duì)樣本數(shù)據(jù)才能反映兩個(gè)分類(lèi)變量之間是否有關(guān)聯(lián)，以及關(guān)聯(lián)的方式和程度．2．為什么獨(dú)立性檢驗(yàn)方法不適用于普查數(shù)據(jù)？2．【解析】利用普查數(shù)據(jù)可以準(zhǔn)確地判斷兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián)，不需要進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)．3．等高堆積條形圖在兩個(gè)分類(lèi)變量之間關(guān)聯(lián)性的研究中能夠起到什么作用？3．【解析】可以更加直觀地反映兩個(gè)分類(lèi)變量之間是否具有關(guān)聯(lián)性．4．對(duì)于已經(jīng)獲取的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)結(jié)論“兩個(gè)變量之間有關(guān)聯(lián)”的實(shí)際含義是什么？檢驗(yàn)結(jié)論“兩個(gè)變量之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)”的實(shí)際含義又是什么？4．【解析】檢驗(yàn)結(jié)論“兩個(gè)變量之間有關(guān)聯(lián)”是“兩個(gè)變量不獨(dú)立”的另一種說(shuō)法，指在零假設(shè)“兩個(gè)變量獨(dú)立”之下，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)顯示在一次試驗(yàn)中某個(gè)不利于這個(gè)假設(shè)的小概率事件發(fā)生了，由此推斷零假設(shè)不成立，從而得出“兩個(gè)變量不獨(dú)立”的檢驗(yàn)結(jié)論．檢驗(yàn)結(jié)論“兩個(gè)變量之間沒(méi)有關(guān)聯(lián)”是“兩個(gè)變量獨(dú)立”的另一種說(shuō)法，指在零假設(shè)“兩個(gè)變量獨(dú)立”之下，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)顯示在一次試驗(yàn)中某個(gè)不利于這個(gè)假設(shè)的小概率事件沒(méi)有發(fā)生，因此不能推斷零假設(shè)不成立，按照通常的習(xí)慣接受零假設(shè)，即得出“兩個(gè)變量獨(dú)立”的檢驗(yàn)結(jié)論．5．為了研究高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高是否大于170cm的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查了某中學(xué)所有高三年級(jí)的學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝诵詣e身高合計(jì)低于170cm不低于170cm女811697男2875103合計(jì)10991200請(qǐng)畫(huà)出列聯(lián)表的等高堆積條形圖，判斷該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高是否有關(guān)聯(lián)．如果結(jié)論是性別與身高有關(guān)聯(lián)，請(qǐng)解釋它們之間如何相互影響．5．【解析】根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，女生中身高低于170cm與不低于170cm的比率分別為和，男生中身高低于170cm與不低于170cm的比率分別為和，等高堆積條形圖如圖所示．可以發(fā)現(xiàn)在男生和女生中，身高低于170cm和不低于170cm的比率存在明顯差異，可以判斷該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)，而且男生高于女生．6．第5題中的身高變量是數(shù)值型變量還是分類(lèi)變量？為什么？6．【解析】分類(lèi)變量．因?yàn)榈?題中的身高變量只有兩個(gè)不同的取值(低于170cm和不低于170cm)，用于區(qū)分兩類(lèi)不同的身高現(xiàn)象．7．從第5題的高三學(xué)生中獲取容量為40的有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，由樣本數(shù)據(jù)整理得到如下列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝诵詣e身高合計(jì)低于170cm不低于170cm女14721男81119合計(jì)221840（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)？解釋所得結(jié)論的實(shí)際含義．（2）得到的結(jié)論與第5題的一致嗎？如果不一致，你認(rèn)為原因是什么．7．【解析】（1）零假設(shè)為：性別與身高沒(méi)有關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到．根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高沒(méi)有關(guān)聯(lián)．（2）不一致．原因是根據(jù)全面調(diào)查數(shù)據(jù)作判斷，其結(jié)論是確定且準(zhǔn)確的．而根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作推斷，會(huì)因?yàn)殡S機(jī)性導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)不具代表性，從而不能得出和全面調(diào)查一致的結(jié)論．8．調(diào)查某醫(yī)院一段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間和性別的關(guān)聯(lián)性，得到如下的列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝诵詣e出生時(shí)間合計(jì)晚上白天女243155男82634合計(jì)325789依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與出生時(shí)間有關(guān)聯(lián)？解釋所得結(jié)論的實(shí)際含義．8．【解析】零假設(shè)為：性別與出生時(shí)間沒(méi)有關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到．根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可以推斷不成立，即認(rèn)為性別與出生時(shí)間有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1．女?huà)氤錾跁娚虾桶滋斓念l率分別為和；男嬰出生在晩上和白天的頻率分別為和．由此可見(jiàn)男嬰出生在白天的頻率明顯高于女?huà)氤錾诎滋斓念l率．根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以推斷男嬰出生在白天的概率比女?huà)氤錾诎滋斓母怕蚀螅?．對(duì)例1列聯(lián)表8.3-2中的數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們已經(jīng)知道獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是學(xué)校和成績(jī)無(wú)關(guān)．如果表8.3-2中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷學(xué)校和數(shù)學(xué)成績(jī)之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請(qǐng)你試著解釋其中的原因．9．【解析】在例1中將表8.3-2中所有的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間存在差異．與例2中的結(jié)論不一樣，原因是每個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來(lái)的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化．復(fù)習(xí)參考題8（第138頁(yè)）1．變量x與y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示，據(jù)此可以判斷變量x與y之間（）A．很可能存在負(fù)相關(guān) B．一定存在正相關(guān)C．很可能存在正相關(guān) D．一定不存在負(fù)相關(guān)1．【答案】C【解析】由散點(diǎn)圖知，以后的函數(shù)值，隨著x的變大而變大，所以呈正相關(guān)性；而的函數(shù)值增加緩慢，或者數(shù)據(jù)不足以說(shuō)明一定是增加的，故x與y的關(guān)系是很可能存在正相關(guān)．故選：C2．對(duì)于變量Y和變量x的成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，用一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，對(duì)應(yīng)的殘差如下圖所示，模型誤差（）A．滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)B．不滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)C．不滿足一元線性回歸模型的假設(shè)D．不滿足一元線性回歸模型的和的假設(shè)【答案】C【解析】用一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，根據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差圖，殘差的均值可能成立，但明顯殘差的軸上方的數(shù)據(jù)更分散，不滿足一元線性回歸模型，正確的只有C．故選：C．3．根據(jù)分類(lèi)變量x與y的觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（）A．變量x與y不獨(dú)立B．變量x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05C．變量x與y獨(dú)立D．變量x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.053．【答案】D【解析】時(shí)，，所以在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.05時(shí)變量x與獨(dú)立．故選：D0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8284．8.3節(jié)例4中推斷吸煙與患肺癌是有關(guān)聯(lián)的，能用一元線性回歸模型建立它們之間的關(guān)系嗎？為什么？4．【解析】不能．因?yàn)槲鼰熀突挤伟┦欠诸?lèi)變量，一元線性回歸模型主要是刻畫(huà)數(shù)值變量之間的關(guān)系．觀察吸煙和患肺癌的散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論有多少個(gè)觀測(cè)，在圖中最多只有4個(gè)點(diǎn)，沒(méi)有線性趨勢(shì)．5．根據(jù)8.1.2節(jié)例3中的數(shù)據(jù)，建立臂展關(guān)于身高的經(jīng)驗(yàn)回歸模型，畫(huà)出殘差圖，描述殘差圖的特點(diǎn)．5．由例3知臂展與身高正線性相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫(huà)．用表示臂展，表示身高，利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算，可得臂展關(guān)于身高的經(jīng)驗(yàn)回歸模型為．殘差圖如圖所示．身高/cm臂展/cm預(yù)測(cè)值/cm殘差/cm身高/cm臂展/cm預(yù)測(cè)值/cm殘差/cm173169167.831800.20179170173.86-3.86176166170.85-4.85175172169.842.16176165170.85-5.85179177173.863843.16182174176.87-2.87169162163.81-1.81173166167.83-1.83184189178.8810.12180174174.87-0.86169164163.810.19170169164.82487-6.87169166163.812.19171164165.82-1.82177176171.85485185-1.85173165167.83-2.83178174172.861831841.16殘差圖中除身高為184cm的觀測(cè)（第19個(gè)觀測(cè))，其他點(diǎn)大致均勻分布在橫軸兩側(cè)，說(shuō)明模型擬合較好．第19個(gè)觀測(cè)的殘差比較大，建議檢查一下該數(shù)據(jù)在測(cè)量和記錄過(guò)程中是否有誤．6．下表是1896~2016年男子三級(jí)跳遠(yuǎn)奧運(yùn)會(huì)冠軍的成績(jī)，請(qǐng)分析這組數(shù)據(jù)，能用一元線性回歸模型刻畫(huà)這組數(shù)據(jù)嗎？年份成績(jī)/m年份成績(jī)/m年份成績(jī)/m年份成績(jī)/m189613.71192815.21196416.85199218.17190014.47193215.72196817.39199618.09190414.35193616.00197217.35200017.71190814.92194815.40197617.29200417.79191214.64195216.22198017.35200817.67192014.50195616.35198417.25201217.81192415.53196016.81198817.61201617.866．【解析】先畫(huà)三級(jí)跳遠(yuǎn)成績(jī)與年份之間的散點(diǎn)圖，如圖(1)所示．觀察散點(diǎn)圖，可以看到隨著年份的增大，成績(jī)有增加的趨勢(shì)，因此可以考慮用一元線性回歸模型刻畫(huà)．利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算，可得成績(jī)關(guān)于年份的經(jīng)驗(yàn)回歸模型為，擬合圖見(jiàn)圖(2)．殘差圖如圖(3)所示．殘差圖中的點(diǎn)大致均勻分布在軸兩側(cè)，且決定系數(shù)，說(shuō)明模型擬合較好，因此能使用一元線性回歸模型刻畫(huà)這組數(shù)據(jù)．年份成績(jī)/m預(yù)測(cè)值/m殘差/m年份成績(jī)/m預(yù)測(cè)值/m殘差/m189613.7114.27-0.56196416.8516.640.21190014.4714.410.06196817.3916.780.61190414.3514.55-0.20197217.3516.920.43190814.9214.690.23197617.2917.060.23191214.6414.83-0.19198017.3517.200.15192014.515.11-0.61198417.2517.34-0.09192415.5315.250.28198817.6117.480.13192815.2115.39-0.18199218.1717.620.55193215.7215.530.19199618.0917.760.3319361615.670.33200017.7117.90-0.19194815.416.09-0.69200417.7918.04-0.25195216.2216.220.00200817.6718.18-0.51195616.3516.36-0.01201217.8118.32-0.51196016.8116.500.31201617.8618.46-0.607．車(chē)胎凹槽深度是影響汽車(chē)剎車(chē)的因素，汽車(chē)行駛會(huì)導(dǎo)致輪胎胎面磨損．某實(shí)驗(yàn)室通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)建立車(chē)胎凹槽深度和汽車(chē)行駛里程的關(guān)系，并解釋模型的含義．行駛里程/萬(wàn)km0.000.641.291.932.573.223.864.515.15輪胎凹槽深度/mm10.028.377.396.485.825.204.554.163.827．先畫(huà)輪胎凹槽深度與行駛里程之間的散點(diǎn)圖，如圖(1)所示．觀察散點(diǎn)圖，可以看到隨著行駛里程的增加，輪胎凹橧深度有減小的趨勢(shì)，因此可以考慮用一元線性回歸模型建模．利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算，可得輪胎凹槽深度關(guān)于行駛里程的經(jīng)驗(yàn)回歸模型為，擬合圖如圖(2)所示．該模型的決定系數(shù)為0.952，殘差圖如圖(3)所示．從殘差圖可以看到，殘差與行駛里程有非線性關(guān)系，因此考慮在模型中引入行駛里程的非線性變換．考慮對(duì)行駛里程作對(duì)數(shù)變換，引入中間值m，令