角的平分線的性質(zhì) 省賽一等獎完整版

12.3角的平分線的性質(zhì)(xìngzhì)乘馬中學(xué)(zhōngxué)畢昌盛第一頁，共二十八頁。1、角平分線的概念(gàiniàn)從角的頂點出發(fā)的一條射線把角分成兩個(liǎnɡɡè)相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。oBCA12復(fù)習(xí)(fùxí)提問第二頁，共二十八頁。2、點到直線(zhíxiàn)距離:從直線外一點到這條直線的垂線(chuíxiàn)段的長度，叫做點到直線(zhíxiàn)的距離。OPAB線段的長度復(fù)習(xí)提問第三頁，共二十八頁。

不利用工具，請你將一張用紙片做的

角分成兩個相等(xiāngděng)的角。

你有什么辦法？AOBC活動1

再打開紙片，看看折痕(shéhén)與這個角有何關(guān)系？（對折(duìzhé)）情境問題第四頁，共二十八頁。1、如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC。將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明(shuōmíng)它的道理嗎?活動2情境(qíngjìng)問題ADBCE

如果前面活動(huódòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？第五頁，共二十八頁。2、證明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對應(yīng)邊相等(xiāngděng)）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）ADBCE第六頁，共二十八頁。根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣(zěnyàng)作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）OABCENOMCENM

探究體驗1第七頁，共二十八頁。

２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于ＭＮ的長為半徑作?。畠苫≡凇螦OB的內(nèi)部交于Ｃ．如何(rúhé)用尺規(guī)作角的平分線？AＢＯＭＮＣ作法(zuòfǎ)：１．以Ｏ為圓心，適當(dāng)(shìdàng)長為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射線OC．則射線ＯＣ即為所求．

第八頁，共二十八頁。1(一)如圖：將∠AOB對折，再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊)，然后展開，觀察兩次折疊形成(xíngchéng)的三條折痕你能得出什么結(jié)論？（二）操作測量：OC是∠AOB的平分線，點P是OC上的任意一點，取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次(sāncì)數(shù)據(jù)填入下表：你能得出什么結(jié)論？

探究體驗2做一做AOBBOADEAOBPED

PDPE123ＣP第九頁，共二十八頁。說說你的發(fā)現(xiàn)(fāxiàn)：AOBAOBCDEP（一）可以看出(kànchū)，第一條折痕OC是∠AOB_____第二次形成了____條折痕(shéhén)，分別為__________,它們是角平分線上的點P到∠AOB兩邊的_______這兩個距離_______平分線2PD、PE距離相等

探究體驗2做一做（二）觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：________PD=PEOOCP第十頁，共二十八頁。命題：在角平分線上的點到角的兩邊的距離(jùlí)相等題設(shè)：一個點在一個角的平分線上結(jié)論(jiélùn)：它到角的兩邊的距離相等已知：OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足(chuízú)分別是D、E.求證：PD=PE.AOBPED說一說第十一頁，共二十八頁。

已知：OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，

PD⊥OA于D，PE⊥OB于E求證(qiúzhèng):PD=PEAOBEDPC∵

PD⊥OA，PE⊥OB證明(zhèngmíng)：∴

∠PDO=∠PEO=90°在△POD和△PEO中

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∠PDO＝∠PEO∠AOC＝∠BOCOP=OP∴PD＝PE第十二頁，共二十八頁。如何(rúhé)證明幾何命題？：1、明確(míngquè)命題中的已知和求證；2、根據(jù)題意，畫出圖形(túxíng)，并用數(shù)學(xué)符號

表示已知和求證；3、經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，

寫出證明過程。第十三頁，共二十八頁。角平分線的性質(zhì)(xìngzhì)

定理：角的平分線上的點到角的兩邊(liǎngbiān)的距離相等利用性質(zhì)書寫(shūxiě)推理過程AOBPED12∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE(角平分線的性質(zhì))推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個。定理應(yīng)用所具備的條件：

（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；

（3）垂直距離。第十四頁，共二十八頁。∵

如圖，AD平分(píngfēn)∠BAC（已知）

∴

=

，()角平分線的性質(zhì)(xìngzhì)BDCD（×）你來判斷(pànduàn)

1第十五頁，共二十八頁?！?/p>

如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()角平分線的性質(zhì)(xìngzhì)BDCD（×）你來判斷(pànduàn)

2第十六頁，共二十八頁?！逜D平分(píngfēn)∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC角平分線的性質(zhì)(xìngzhì)√不必(bùbì)再證全等你來判斷3第十七頁，共二十八頁。例1：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P。求證：點P到三邊(sānbiān)AB，BC，CA的距離相等。BACPMN例題(lìtí)展示：第十八頁，共二十八頁。證明：過點P作PD，PE，PF分別(fēnbié)垂直于AB，BC，CA，垂足為D、E、F，BACPDEFMN∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC∴PD=PE同理PE=PF∴PD=PE=PF即點P到三邊(sānbiān)AB，BC，CA的距離相等第十九頁，共二十八頁。例2：在△OAB中，OE是∠

AOB的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足(chuízú)為C，D，求證：AC=BD。OABECD例題(lìtí)展示：第二十頁，共二十八頁。練習(xí)1：如圖，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分線ＢＤ與∠Ｃ的外角的平分線ＣＥ相交于點Ｐ．求證：點Ｐ到三邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在(suǒzài)直線的距離相等．ＡＢＣＤＥＰＢ學(xué)以致用(xuéyǐzhìyòng)第二十一頁，共二十八頁。練習(xí)(liànxí)2：已知△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求點D到AB的距離ABCDE學(xué)以致用(xuéyǐzhìyòng)第二十二頁，共二十八頁。練習(xí)(liànxí)3：如圖，在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF學(xué)以致用(xuéyǐzhìyòng)第二十三頁，共二十八頁。練習(xí)4：直線表示三條相互交叉的公路(gōnglù),現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處學(xué)以致用(xuéyǐzhìyòng)第二十四頁，共二十八頁。P1P2P3P4l1l2l3第二十五頁，共二十八頁。小結(jié)(xiǎojié)：1、本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要(zhǔyào)內(nèi)容？2、本節(jié)課是通過什么方式探究(tànjiū)角的平分線的性質(zhì)的？3、角的平分線的性質(zhì)為我們提供了證明什么的方法？在應(yīng)用這一性質(zhì)時要注意哪些問題？第二十六頁，共二十八頁。課后作業(yè)(zuòyè)教材(jiàocái)51頁1題

5題

52頁6題第二十七頁，共二十八頁。內(nèi)容(nèiróng)總結(jié)