統(tǒng)計、概率、離散型隨機變量及其分布列-2023年高考數(shù)學考試（新高考）（解析版）

專題14統(tǒng)計及統(tǒng)計案例、概率、隨機變量及其分布列

匆偌臺新

一、互斥事件與對立事件關系模糊致錯

?.某省高考實行新方案.新高考規(guī)定：語文、數(shù)學、英語是必考科目，考生還需從思

想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6個等級考試科目中選取3個作為選考科目.某考

生己經確定物理作為自己的選考科目，然后只需從剩下的5個等級考試科目中再選擇2個組

成自己的選考方案，則該考生“選擇思想政治、化學”和“選擇生物、地理”為()

A.相互獨立事件B.對立事件

C.不是互斥事件D.互斥事件但不是對立事件

【錯解】選B,該考生“選擇思想政治、化學”和“選擇生物、地理”不能同時發(fā)生，所以該考

生“選擇思想政治、化學'’和"選擇生物、地理”是對立事件.

【錯因】混淆互斥事件與對立事件概念

【正解】選D,該考生“選擇思想政治、化學”和“選擇生物、地理”不能同時發(fā)生，但能同時

不發(fā)

生，所以該考生“選擇思想政治、化學''和"選擇生物、地理''為互斥事件但不是對立事

件.

2、某城市有兩種報紙甲報與乙報供居民們訂閱。記A=“只訂甲報”，B=“至少訂一種報”,

C="至多訂一種報"，D=“不訂甲報”，E="一種報也不訂”。判斷下列事件是不是互斥事件？

如果是互斥事件，再判斷是不是對立事件。

①A與C；②B與E；③B與D；④B與C；⑤E與C

【錯解】選①或③或④或⑤

【錯因】兩類事件的概念不清。

【正解】“互斥事件”和“對立事件”都是就兩個事件而言的，互斥事件是指事件A與事件B

在一次實驗中不會同時發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B在一次實驗中有且

只有一個發(fā)生，因此，對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件,

本題中“至少訂一種報，，與“一種報也不訂，，不可能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，所以

選②。

二、使用概率加法公式忽略成立條件致錯

3、拋擲一均勻的正方體玩具(各面分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6),事件4表示“朝上一面

的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過3"，求P(AUB).

313111

【錯解】因為P(A)=巖=],AB)=%=],所以P(AUB)=P(A)+P(8)=2+]=l.

【錯因】事件A、8不是互斥事件,使用加法公式錯誤.注意，在應用公式P(AUB)=P(A)+

P(B)求解概率問題時,一定要注意分析事件是否互斥,若事件不互斥,可以轉化為互斥事件,再

用公式.

【正解】將AUB分成出現(xiàn)“1、2、3”與“5”這兩個事件,記出現(xiàn)“1、2、3”為事件C,出現(xiàn)“5”為

31?

事件。,則C與。兩事件互斥,所以P(AU8)=P(CU￡))=P(C)+P(￡>)=j+χ=g.

三、求古典概型的概率基本事件重復或遺漏致錯

3.已知函數(shù)yU)=∣√*+αr2+b2χ+l,若α∈{l,2,3},?∈{0,1,2},則該函數(shù)有兩個極值

點的概率為()

A.∣B.∣

CfD2

【錯解】選C,.尸(X)=X2+2αt+爐，由題意知方程∕'(x)=0有兩個相異實根，

J=(2a)2—4?2>0,即4>6,有a=l,b=0;a=2,b—1:a—3,6=0,1,2,

62

-=-

共有5種，總的情況有3X3=9種,93

【錯因】a=2,b=l或0,有兩種情況，錯解中遺漏了一種情況。

【正解】選Bf'(x)=x2+20x÷?2,由題意知方程/'(X)=O有兩個相異實根，

J=(2tz)2-4?2>0,即α>Z?,有α=l,b=0;a=2,?=0,l：a=3,?=0,l,2,

共有6種，總的情況有3X3=9種，所以所求概率為E=?

4、從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點,則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概

率等于()

?1ClC1

ATOB.oQC.7OD.?7

【錯解】選A或B或C

【錯因】用列舉法列舉基本事件時因重復或遺漏而錯誤

【正解】如圖所示,從正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選4個頂點,可以看作隨

機選2個頂點,剩下的4個頂點構成四邊形,有(AB),(AC),(A,。),(AE),

(AF),(B,C),(β,E>),(β,E),(B,F),(C,∕)),(C,E),(C,F),(Z),E),(E>,F)

(瓦廠)共15種.若要構成矩形,只要選相對頂點即可,有(AD),(B,E),(C,/),

共3種,故其概率為??=g.

5、箱子中有6件產品,其中4件正品,2件次品,每次隨機取出1件檢驗,直到把所有次品

檢驗出停止,則檢驗4次停止檢驗的概率為

【錯解】P=

K5

【錯因】忽略前4次全是正品的情況.

-,CAS+M4

【rτ止τf解is】1Pp=C-=—.

M15

四、對條件概率概念理解不透致錯

6.已知盒中裝有3只螺口燈泡與9只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口向下放

置，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只且不放回，則在他第1次抽到螺口燈

泡的條件下，第2次抽到卡口燈泡的概率為()

1997

A?4B?44C?TΓD?9

【錯解】選B,共有12只燈泡，電工師傅每次從中任取一只且不放回，共有12x11種，則

笫1次抽到螺口燈泡，第2次抽到卡口燈泡，共有3x9種，則在他第1次抽到螺口

燈泡的條件下，第2次抽到卡口燈泡的概率為尸=±2_=2。

12×1I44

【錯因】沒有理解條件概率，錯解中誤當成古典概型去求。注意，條件概率：設A,B是條

件S下的兩個隨機事件，P(A)>0,則稱在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率

P(AB)

為條件概率，記作P(BIA),P(BIA)=麗’其中P(AB)表示事件A與事件B同時發(fā)

生構造的事件.

【正解】選C,設事件A為第1次抽到螺口燈泡，事件3為第2次抽到卡口燈泡，則在第1

3義9

P(AB}12×119

次抽到螺口燈泡的條件下，第2次抽到卡口燈泡的概率尸(8|A)=然2=?-=蓋

r?∕?)Il

n

7.第一個袋中有黑、白球各2只，第二個袋中有黑、白球各3只.先從第一個袋中任

取一球放入第二個袋中，再從第二個袋中任取一球，則兩次均取到白球的概率為()

1241

A.γB.γC.γD.2

【錯解】選D,若從第一個袋中取的的是白球，則R=Jxd,若從第一個能中取的的

127

是黑球，則B=Lχ3,則兩次均取到白球的概率為e+B=Lχ3+Lχ3=L

227,227272

【錯因】對條件概率概念理解不透致錯。

14

【正解】選B記Ai表示第，次取到白球(i=l,2),則P(AI)=P(A2∣Aι)=]?由乘法公

I42

式，得P(AIA2)=P(AI)P(A2∣AI)=2×γ=y.

8、假定生男生女是等可能的，某家庭有3個孩子，其中有1名女孩，則其至少有1個

男孩的概率為.

【錯解1】此家庭有3個孩子共有(男，男，女)，(女，女，男)，(男，男，男)，(女，女，

21

女)4種可能，故其中有1名女孩條件下至少有1個男孩的概率為1=

42

【錯因】基本事件空間認識有誤，此家庭中3個孩子出生有先后順序，應包含8種可能；同

時條件概率求解時若采用縮小事件空間用古典概型求解時事件總數(shù)應為7,而不是

8.因為(男，男，男)中不包含其中有1個女孩.

【正解】此家庭共有3個孩子，包含基本事件有(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女,

男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)

其中至少有1個女孩共有7種可能，其中至少有1個男孩有6種可能，故其概率為

6

7-

【錯解2】記事件A表示“其中有1名女孩”，B表示"至少有1個男孩”，

3

-

83

則=-=-

P(BlA)77

-

8

【錯因】其中有1名女孩共有6種可能，即至少有1名是女孩，錯解中誤理解為有且只有I

名女孩.

6

【正解2】P(B∣A)=∣=∣.

8

五、求離散型隨機變量分布列時忽視所有事件概率和為1致錯

8、若隨機變量X滿足P(X=/)=-??(i=1,2,3,4),則P(x＞√5)=—.

【錯解】因為P(X=i)=/1j,所以網尤＞6)=尸(X=3)+P(X=4)

--a1-a=—8tz=—2a.

12206015

【錯因】沒有求出α的值

【正解】因為滿足/3(*=。=7:(，=1,2,3,4),所以/_+，_+，_+—乙

',z(z+l)v,1×22×33×44x5

=￥_=1,所以4=3，所以網》＞6)=2(*=3)+尸(*=4)=

-a---a---S-a--2--a=—I

122060156,

9、某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內最多有四次參加考試

的機會，一旦某次考試通過，便可領取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第四次

為止。如果李明決定參加駕照考試，設他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9?

求在一年內李明參加駕照考試的次數(shù)X的分布列。

【錯解】隨機變量X可取1,2,3,4,則P(X=I)=O.6,p(X=2)=0.4X0.7=0.28,

p(X=3)=0.4×O.3×O.8=0.096,p(X=4)=0.4×().3×0.2X0.9=0.0216,

.?.李明參加駕照考試的次數(shù)X的分布列為

~x~1234

P"(λ280.0960.0216-

【錯因】因為0.6+0.28+0.96+0.0216≠l,主要是對事件“X=4”不理解，“X=4”表示李

明前3次均沒通過，而第四次可能通過也有可能不通過。

【正解】隨機變量X可取1,2,3,4,則P(X=D=O.6,p(X=2)=0.4X().7=0.28,

p(χ=3)=().4×().3×().8=0.096,p(X=4)=0.4X0.3X0.2X(0.9+0.1)=0.0216,

.?.李明參加駕照考試的次數(shù)X的分布列為

~Y~1234

P~06^(λ280.0960.024

六、混淆超幾何分布和二項分布的概念致錯

10、某工廠進行產品質量抽測，兩位員工隨機從生產線上各抽取數(shù)量相同的一批產品，

已知在兩人抽取的一批產品中均有5件次品，員工A從這一批產品中有放回地隨機抽取3

件產品，員工B從這一批產品中無放回地隨機抽取3件產品.設員工A抽取到的3件產品

中次品數(shù)量為X,員工8抽取到的3件產品中次品數(shù)量為匕k=0,1,2,3.則下列判斷

正確的是()

A.隨機變量X服從超幾何分布B.隨機變量Y服從超幾何分布

C.P(X=k)<P(Y=k)D.E(X)=E(F)

【錯解】AD,對于A,B選項，由超幾何分布的概念可知A正確;

對于D選項，該批產品有M件，則E(X)=3?2吟,

<3E=<kC匯C=15(M-I)(M-2)=_15

?Cl,~hCM(MT(M-2)M因此D正確:

對于C選項，假若C正確可得E(X)<E(y),則D錯誤，矛盾！故C錯誤.

【錯因】由超幾何分布和二項分布的概念可知"有放回''是二項分布，“無放回”是超幾何分布,

故A錯，B對。

【正解】由超幾何分布的概念可知B正確；對于D選項，該批產品有M件，則

5153kC=C；=SkCK=15(M-I)(M-2)="

E(X)=3?-=—,E(Y)=YCl,^?^Λ∕(M-1)(Λ∕-2)^Λ∕'

?=1

因此D正確;

對于C選項，假若C正確可得E(X)<E(y),則D錯誤，矛盾！故C錯誤.

11、某農場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種

乙)進行田間試驗.現(xiàn)在在總共8小塊地中，隨機選4小塊地種植品種甲，另外4小塊地種

植品種乙，種植完成后若隨機選出4塊地，其中種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X,求

P(X=2).

【錯解】根據(jù)題意可知X服從二項分布，每塊地種甲的概率為故X~8(4,0?5),

p(χ=2)=Ci×0.52×0.52=-.

8

【錯因】產生錯誤的主要原因是沒有真正掌握二項分布與超幾何分布的概念而將它們混為一

談，本題中選地種植甲或乙品種是“不重復”試驗，故X應服從超幾何分布.

【正解】X可能的取值為0,1,2,3,4,且P(X=2)=普=H

七、分不清獨立重復試驗與相互獨立事件致錯

21

12、甲、乙兩人各射擊1次，擊中目標的概率分別是,和主假設兩人擊中目標與否相互

之間沒有影響，每人各次擊中目標與否相互之間也沒有影響，若兩人各射擊4次，則甲恰好

有2次擊中目標且乙恰好有3次擊中目標的概率為

【錯解】設事件A表示“4次射擊中甲恰好有2次擊中目標”，事件8表示“4次射擊中乙

恰好

有3次擊中目標”，由題意知事件4與8相互獨立,

所以P(AB)=P(A)P(B)=02×G)-??

【錯因】獨立重復試驗與相互獨立事件混淆

【正解】設事件4表示“4次射擊中甲恰好有2次擊中目標”，事件8表示“4次射擊中乙

恰好

有3次擊中目標”，由題意知事件4與8相互獨立,

所以P(A8)=P(A)P(B)=GX(l)×β)2×c^×G)3×2=?

八、獨立性檢驗問題中對犬的值理解不準確致錯

13.通過隨機詢問IlO名不同的大學生是否愛好某項運動，得到了如下的列聯(lián)表.參照

附表，能得到的正確結論是()

男女合計

愛好402060

不愛好203050

合計6050110

______Mad-be)?______

(a+i>)(c÷√)(α+c)(?+d)'

a0.050.0100.001

Xa3.8416.63510.828

A.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”

B.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”

C,在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”

D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”

【錯解】C

【錯因】不理解K?的含義

八w皿卬-TR,110×(40×30-20×20)2

【正解】選A由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可付1-=6()X50×60×50≈7.822>6.635=xo.oιo,

故有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”.故選A.

14、在研究吸煙是否對患肺癌有影響的案例中,通過對列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進行處理,計算得到

隨機變量K?的觀測值2a56.632.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,下面說法正確

的是O下面臨界值表供參考

P(K2≥Z°)0.0250.0100.0050.001

k。5.0246.6357.87910.828

A.由于隨機變量K2的觀測值k>10.828,所以“吸煙與患肺癌有關系”,并且這個結論犯錯誤

的概率不超過0.001

B.由于隨機變量K'的觀測值%>10.828,所以“吸煙與患肺癌有關系”,并且這個結論犯錯誤

的概率不低干0.001

C.由于隨機變量K2的觀測值k>10.828,所以“吸煙與患肺癌緣有關系”,并且這個結論犯錯

誤的概率不超①0.001

D.由于隨機變量K2的觀測值k>10.828,所以“吸煙與患肺癌律有關系”,并且這個結論犯錯

誤的概率不低于0.001

【錯解】B

【錯因】不理解K2的含義

【正解】由題意知,通過對列聯(lián)表的數(shù)據(jù)進行處理,計算得到隨機變量K2的觀測值

k≈56.632,其中?≈56.632>10.828,所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為“吸

煙與患肺癌有關系”.故選A.

九.對于綜合性問題事件分拆混亂致錯

15、某課程考核分理論與實驗兩部分進行,每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，

兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”.甲,乙,丙三人在理論考核中合格的概率分

別為0.9,0.8,0.7,在實驗考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之間沒有

影響.

(1)求甲,乙,丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；

(2)求這三人該課程考核都合格的概率.(結果保留三位小數(shù))

【錯解】(1)設甲,乙,丙至少兩人合格為事件A,

P(A)=O.9x0.8x0.3+0.9x0.2x0.7+0.1x0.8x0.7=0.402.

(2)設三人都合格為事件8,P(B)=0.9x0.8x0.7=0.504.

【錯因】事件分拆錯誤.“至少兩人合格''要分析為“甲乙合格丙不合格”“甲丙合格乙不合

格”“乙丙合格甲不合格”“甲乙丙都合格''四個事件之和：三人課程考核合格要寫成

六個獨立事件的積.

【正解】記“甲理論考核合格”為事件4,“乙理論考核合格”為事件上,“丙理論考核合格”為事

件4,記了為4的對立事件,i=1,2,3.記“甲實驗考核合格”為事件乙實驗考核合

格”為事件B2,“丙實驗考核合格”為事件B、.

(1)記“理論考核中至少有兩人合格”為事件C,

P(C)=P(A自243÷A∣A.2A3+A∣A2A3÷A?A2A3)—P(A∣A2A3)÷P(Λ∣A2A3)

+P(AiAA)=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7=

+P(^AΓA2A3)23

0.902.

(2)記“三人該課程考核都合格”為事件D

P(O)=P[(481)?(4282)?(A383)]=P(481)?P(A282)?P(A383)=().9xO.8xO.8xO.7xO.7x().9

=0.254016≈0.254.

所以這三人該課程考核都合格的概率約為0.254.

務布發(fā)通關

L一個射手進行射擊，記事件A="脫靶”，4=“中靶"，A="中靶環(huán)數(shù)大于4”，

則在上述事件中，互斥而不對立的事件是()

A.Al與A2B.A1與A3

c.A2與4D.以上都不對

【答案】B

【解析】射手進行射擊時，事件A="脫靶”，A2=“中靶"，4="中靶環(huán)數(shù)大于4”，

事件A與A2不可能同時發(fā)生，并且必有一個發(fā)生，即事件Al與是互斥且對立，A不是;

事件A與A不可能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，即事件A與4是互斥不對立，B是；事

件A2與4可以同時發(fā)生，即事件為與不互斥不對立，C不是，顯然D不正確.故選：B.

2.某校要從高一、高二、高三共2023名學生中選取50名組成志愿團，若先用簡單隨機抽

樣的方法從2023名學生中剔除23名，再從剩下的2000名學生中按分層隨機抽樣的方法抽

取50名，則每名學生入選的可能性（）

A.都相等且為翡B.都相等且為小

C.不完全相等D.均不相等

【答案】A

【解析】根據(jù)簡單隨機抽樣及分層隨機抽樣的定義可得，每個個體被抽到的概率都相等，所

以每個個體被抽到的概率都等于端

3.為評估一種農作物的種植效果，選了〃塊地作試驗田.這"塊地的畝產量（單位：kg）分

別為X”及，…，X"，下面給出的指標中可以用來評估這種農作物畝產量穩(wěn)定程度的是（）

A.X?,X2,???,X"的平均數(shù)B.XI，X2，…，X"的標準差

C.?i,X2,???,X”的最大值D.X∣,X2，…，X”的中位數(shù)

【答案】B

【解析】評估這種農作物畝產量穩(wěn)定程度的指標是標準差.

4.從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率

分布直方圖如圖所示.在這些用戶中，用電量落在區(qū)間［∣50,250）內的戶數(shù)為（）

【答案】B

【解析】由頻率分布直方圖的性質，可得

（0.∞24+0.∞36+0.∞60+X+0.（X）24+O.（X）12）×50=l,

解得X=0.0044,所以用電量落在區(qū)間［150,250)內的頻率為(0.0060+0.(X)44)x50=0.52,

用電量落在區(qū)間［150,250)內的戶數(shù)為IOOXo.52=52戶.故選C.

5.(多選)某籃球職業(yè)聯(lián)賽中，運動員甲在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表(不包含

罰球)：

投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)

1005518

記該運動員在一次投籃中，“投中兩分球”為事件A,“投中三分球”為事件8,“沒

投中”為事件C,用頻率估計概率，則下述結論正確的是()

A.P(A)=O.55B.P(B)=O.18

C.P(O=O.27D.P(B+O=0?55

【答案】ABC

【解析】由題意可知，P(A)=麗=0.55,尸(8)=麗=0.18,事件“A+B”與事件C為對立

事件，且事件A,B,C互斥，所以P(C)=I-P(4+B)=I-P(A)—P(8)=0.27,所以P(8+

C)=P(B)+P(C)=0.45.

6.某校為了解學生體能素質，隨機抽取了50名學生，進行體能測試.并將這50名學生成績

整理得如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖.下列結論中不正確的是()

A.這50名學生中成績在［80,100］內的人數(shù)占比為20%

B.這50名學生中成績在［60,80)內的人數(shù)有26人

C.這50名學生成績的中位數(shù)為70

D.這50名學生的平均成績［=68.2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值做代表)

【答案】C

【解析】根據(jù)此頻率分布直方圖，成績在［80,100］內的頻率為(0.008+0.012)X10=0.20,所

以A正確；這50名學生中成績在［60,80)內的人數(shù)為(0.032+0.020)x10x50=26,所以B∣E

確；根據(jù)此頻率分布直方圖，(0.008+0.02)X10=0.28<0.5,

(0.∞8+0.02+0.032)X10=0.6>0.5,可得這50名學生成績的中位數(shù)?60,70),所以C錯誤

；根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，可得：

x=45×0.08+55×0.2+65×0.32+75×0.2+85×0.12+95×0.08=68.2,^τWD正確.

7.德國心理學家艾賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，遺忘在學習之后立即開始，而且遺忘的進程并不

是均勻的.最初遺忘速度很快，以后逐漸減慢.他認為“保持和遺忘是時間的函數(shù)”.他用

無意義音節(jié)（由若干音節(jié)字母組成、能夠讀出、但無內容意義即不是詞的音節(jié)）作為記憶材料,

用節(jié)省法計算保持和遺忘的數(shù)量，并根據(jù)實驗結果繪成描述遺忘進程的曲線，即著名的艾賓

浩斯遺忘曲線（如圖所示）.若一名學生背了100個英語單詞，一天后，該學生在這100個英

語單詞中隨機聽寫2個英語單詞，以頻率代替概率，不考慮其他因素，則該學生恰有1個單

詞不會的概率大約為（）

艾賓浩斯遺忘曲線

t記憶的百分比

100%

44%---、4小時后忘記56%

26%____忘記74%

91%____:_____________________________

：：個月后忘記79%

∩∣-----------------■----------------1------------------------?

1小1天后1個學習后經

時后月后過的時間

A.0.43B.0.39C.0.26D.0.15

【答案】B

【解析】根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線，得100個英語單詞一天后忘記了74個，還記得26個，則

該學生恰有1個單詞不會的概率P=平斗-0.39.故選B.

Cioo

8.某地市在一次測試中，高三學生數(shù)學成績J服從正態(tài)分布N（80,b2）,已知

P（60<?<80）=03,若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進行分析，則應從100分以下的

試卷中應抽?。ǎ?/p>

A.20份B.60份C.80份D.90份

【答案】C

【詳解】因為々~N（80,〃），所以，

<lθθ）=0.5+P（80<§<100）=0.5+P（60<4<80）=0.8,

因此，應從100分以下的試卷中應抽取IOoXO.8=80份.

9.某種包裝的大米質量4（單位：kg）服從正態(tài)分布4~N（10,σ?2）,根據(jù)檢測結果可知

P（9.98≤^≤10.02）=0.98,某公司購買該種包裝的大米3000袋.大米質量在10?02kg以上

的袋數(shù)大約為（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【詳解】因大米質量JΛ∕(10,σ2),且尸(9.98≤J≤10.02)=0.98,則

尸e>κλ02)=匕"暨等幽=0.01,

所以大米質量在10?02kg以上的袋數(shù)大約為3000x0.01=30.

10.第一個袋中有黑、白球各2只，第二個袋中有黑、白球各3只.先從第一個袋中任

取一球放入第二個袋中，再從第二個袋中任取一球，則兩次均取到白球的概率為()

A.yB.yC.yD./

【答案】B

14

【解析】記Ai表示第，次取到白球(i=1,2),則P(Al)=P(AZIAD='.由乘法公式，

142

得P(AiA2)=P(Ai)P(A^Ai)=2×j=γ

11.甲乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝''制，甲在每局比賽中獲勝的概

率均為二3，各局比賽結果相互獨立且沒有平局，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進行了三局

4

的概率為()

A.-B.-C.ID.-

3535

【答案】A

【詳解】設甲獲得冠軍為A,比賽進行了三局為3,則P(A)=(1j+C??∣?(l33_27

4=32

9

3

P(AB)=C'2--(?-=所以P(8∣A)=也絲=券=，

432P(A)273

32

所以在甲獲得冠軍的情況下，比賽進行了三局的概率為§.

12.甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑

球，先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以A，&和A3表示由甲口袋取出的球是紅

球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球

的事件，則下列結論中正確的是()

A.P(8∣4)=?B.事件A與事件B相互獨立

1?

C.p(4網=5D.P(B)?-

【答案】D

QQ4

【詳解】由題意得P(8∣A?)=3+3；4+廣A'所以A錯誤；因為P(BlA)=5,

P(B)=P(A)P(MA)+P(4)P(B闖+「(4)尸@4)=會(+3*+3哈瑞，所

以P(B)≠P(B∣A,),即P(B)P(A)NP(%),故事件事件A與事件B不相互獨立，所以B

錯誤，D正確；

53

尸⑷上需=笑群L嚶備所以C錯誤：

10

13.已知兩個隨機變量X,Y,其中X~B(5,￡|,Y~N(μ,σ-](σ>0),若E(X)=E(Y),且

P(M<1)=0.3,貝”(y<—I)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.1

【答案】A

【詳解】由題設E(X)=E(Y)=5xg=l,即M=I,又P(M<1)=P(T<y<l)=0.3,故

P(y<-l)=0.5-0.3=0.2.

14.有歌唱道：“江西是個好地方，山清水秀好風光.”現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來到江西

旅游，準備從廬山、三清山、龍虎山和明月山四個著名旅游景點中隨機選擇一個景點游玩,

記事件A為“甲和乙至少一人選擇廬山”，事件B為“甲和乙選擇的景點不同”，則尸(陰A)

7?7

A.γ^B.gC.γD.γ

【答案】D

【解析】由題意知事件A“甲和乙至少一人選擇廬山”包含w(Λ)=C∣α+l=7種情況，事

件AB“甲和乙選擇的景點不同，且至少一人選擇廬山"包含"(48)=CIe{=6種情況，所以

6

P(BIA)=

n(A)7-

15.兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)(與>',)(?y2),,(毛，yn),下列說法錯

誤的是()

A.落在回歸直線方程上的樣本點越多，回歸直線方程擬合效果越好

B.相關系數(shù)卜I越接近1,變量X,y相關性越強

C.相關指數(shù)/?2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差

D.若X表示女大學生的身高，y表示體重，則K≈0.65表示女大學生的身高解釋了65%的

體重變化

【答案】A

【詳解】對于A：回歸直線方程擬合效果的強弱是由相關指數(shù)K或相關系數(shù)M判定，故不

正確；

對于B：根據(jù)相關系數(shù)H越接近1,變量相關性越強，故正確；

對于C：相關指數(shù)K越小，殘差平方和越大，效果越差，故正確；

對于D：根據(jù)片的實際意義可得，/=0.65表示女大學生的身高解釋了65%的體面變化，

故正確；

16.下列說法正確的序號是（）

①在回歸直線方程9=0?8x-12中，當解釋變量X每增加一個單位時，預報變量9平均增加

0.8個單位；

②利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使得它（》-法；-。尸最小的原理；

n

③已知X,y是兩個分類變量，若它們的隨機變量K?的觀測值女越大，貝『'X與y有關系”

的把握程度越小；

④在一組樣本數(shù)據(jù)（町yj,（?,y2）,...,（?,y,1）（M≥2,X?,χi,...,X,不全相等）的

散點圖中，若所有樣本α,y）G=l,2,〃）都在直線y=-；x+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性

相關系數(shù)為

A.①@B.①②C.②④D.③④

【答案】B

【詳解】對于①，在回歸直線方程3>=0.8x-12中，當解釋變量X每增加一個單位時，預

報變量亍平均增加0.8個單位，故①正確；

對于②，用離差的平方和，即:Q=t（y-9,）2=t（χ-α-如『作為總離差，并使之達到最

f=l/=I

??；這樣回歸直線就是所有直線中Q取最小值的那一條。由于平方乂叫二乘方，所以這種使

“離差平方和為最小”的方法叫做最小二乘法：所以利用最小二乘法求回歸直線方程，就是使

得￡（必一如-“）2最小的原理；故②正確；

n

對于③，對分類變量X與y,對它們的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，貝Ι卜X

與y有關系”的把握程度越小，故③錯誤；

對于④，相關系數(shù)反映的是兩變量之間線性相關程度的強弱，與回歸直線斜率無關，題中樣

本數(shù)據(jù)的線性相關系數(shù)為τ,故④錯誤.

17.已知由樣本數(shù)據(jù)點集合{（X,?,y）∣i=i,2,…，〃},求得的回歸直線方程為3=1?5X+0.5,

且元=3,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)據(jù)點（1.3,2.1）和（4.7,7.9）誤差較大，去除后重新求得的回歸

直線/的斜率為1.2,則（）

A.變量X與N具有正相關關系B.去除后的回歸方程為9=l?2x+1.6

C.去除后）'的估計值增加速度變慢D.去除后相應于樣本點（2,3.75）的殘差為005

【答案】AC

【詳解】因為重新求得的回歸方程/的斜率為1.2,故變量X與y具有正相關關系，故選項A

正確；將元=3代入回歸直線方程為9=L5X+0.5,解得y=5,則樣本中心為（3,5）,去掉

13+4721+79

兩個數(shù)據(jù)點032』)和(4.7,7.9)后,由于τ=3,τ=5'故樣本中心還是(3,5),

又因為去除后重新求得的回歸直線/的斜率為1.2,所以5=3χl.2+a,解得α=1.4,

所以去除后的回歸方程為9=l?2x+1.4,故選項B不正確；因為L5>L2,所以去除后y的

估計值增加速度變慢，故選項C正確：因為5=l?2x2+l?4=3.8,所以

y-y=3.75-3.8=-0.05,故選項D不正確.

18.一箱中裝有6個同樣大小的紅球，編號為1,2,3,4,5,6,還有4個同樣大小的黃

球，編號為7,8,9,10.現(xiàn)從箱中任取4個球，下列變量服從超幾何分布的是（）

A.X表示取出的最小號碼

B.若有放回的取球時，X表示取出的最大號碼

C.取出一個紅球記2分，取一個黃球記1分，X表示取出的4個球的總得分

D.若有放回的取球時，X表示取出的黃球個數(shù)

【答案】C

【解析】超幾何分布的概念為：設總體有N個，其中含有M個不合格品。若從中隨機不放

回抽取〃個產品，則不合格品的個數(shù)X是一個離散隨機變量，若">M,則可能取0,1,2

M,

由古典方法可以求得X=Z的概率是:P(X=氏)=g∕),JI=O,1,2,M假如n<M,

則X可能取0,1,2…，"；此時求得X=化的概率是:P(X=Z)=一MC蘆.,火=0,1,2,n根

據(jù)超幾何分布的定義，可知ABD均不合要求，C對。A選項，X可能取值為1,2,34,5,6,7,

P(X=7)=:=+，P(X=6)暗喘,P(X=5)=mP(X=W,

P(X=3)=fb?P(X=2)=mq,P(X=I)=3=|,

JooJo??Jo?

X的分布列為:

X1234567

24?2121

P

51562121Iθ52W

B選項，若有放回的取球時，X表示取出的最大號碼，則X的取值可能為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

P(X=I)=Cj?,P(X=2)=C;

SF)必+明?+啕階%4

p(χ=4)=C閶(涉端除％田闔+C儒〉

L,故不滿足超幾何分布；

C選項，X表示取出的4個球的總得分，則X的取值可能為4,5,6,7,8,

p(χ=4)=與=，，P(X=5)=^^=3=且，P(X=6)=≤?=^^=3,

7,,

'C：。210'C：021035'