第07講 兩個基本計(jì)數(shù)原理（七大題型）（原卷版）

第07講兩個基本計(jì)數(shù)原理【題型歸納目錄】【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：分類加法計(jì)數(shù)原理（也稱加法原理）1、分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有類辦法．在第1類辦法中有種不同方法，在第2類辦法中有種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同方法，那么完成這件事共有種不同的方法．2、加法原理的特點(diǎn)是：①完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成n類；②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；③把每一類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．知識點(diǎn)詮釋：使用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對這件事確定一個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，第二步是確定各類的方法數(shù)，第三步是取和．知識點(diǎn)二、分步乘法計(jì)數(shù)原理1、分步乘法計(jì)數(shù)原理“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，就是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟，要完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算完成．2、乘法原理的特點(diǎn)：①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可；②完成每一步有若干種方法；③把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．知識點(diǎn)詮釋：使用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對完成這件事進(jìn)行分步，第二步是確定各步的方法數(shù)，第三步是求積．知識點(diǎn)三、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別：1、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別：兩個原理的區(qū)別在于一個和分類有關(guān)，一個和分步有關(guān)．完成一件事的方法種數(shù)若需“分類”思考，則這n類辦法是相互獨(dú)立的，且無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事，則用加法原理；若完成某件事需分n個步驟，這n個步驟相互依存，具有連續(xù)性，當(dāng)且僅當(dāng)這n個步驟依次都完成后，這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數(shù)需用乘法原理計(jì)算．知識點(diǎn)四、分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用1、利用兩個基本原理解決具體問題時的思考程序：（1）首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？（2）然后考慮如何完成？主要有三種類型①分類或分步．②先分類，再在每一類里再分步．③先分步，再在每一步里再分類，等等．（3）最后考慮每一類或每一步的不同方法數(shù)是多少？【典型例題】題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理【例1】（2024·安徽·銅陵市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高二階段練習(xí)）從名女同學(xué)和名男同學(xué)中，選出人主持某次主題班會，不同的選法種數(shù)為______．【變式1-1】（2024·廣東梅州·高二?？茧A段練習(xí)）從名女同學(xué)和名男同學(xué)中任選人主持本班的某次專題班會，則不同的選法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·山東臨沂·高二?？茧A段練習(xí)）集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【變式1-3】（2024·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）踢球時甲?乙?丙三人互相傳遞，由甲開始傳球，經(jīng)過3次傳遞后，球又被傳回到甲，則不同的傳遞方式共有（

）A．6種 B．8種 C．2種 D．4種題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理【例2】（2024·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校開設(shè)了游泳、武術(shù)和籃球課程，甲、乙、丙、丁4位同學(xué)每人從中任選門課程參加，則不同的選法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【變式2-1】（2024·河南周口·高二校聯(lián)考期中）360的不同正因數(shù)的個數(shù)為（

）A．24 B．36 C．48 D．42【變式2-2】（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）若3名學(xué)生報(bào)名參加天文?計(jì)算機(jī)?文學(xué)?美術(shù)這4個興趣小組，每人選1組，則不同的報(bào)名方式有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種題型三：兩個原理的對比應(yīng)用【例3】（2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）同一個宿舍的8名同學(xué)被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，丙同學(xué)不去，其他人根據(jù)個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（

）A．32種 B．128種 C．64種 D．256種【變式3-1】（2024·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線上有三個不同的點(diǎn)，且，直線上有五個不同的點(diǎn)，且，，且，間的距離為1，則由這些點(diǎn)構(gòu)成的面積為1的三角形的個數(shù)為（

）A．6 B．14 C．17 D．25【變式3-2】（2024·高二單元測試）一雜技團(tuán)有8名會表演魔術(shù)或口技的演員，其中有6人會表演口技，有5人會表演魔術(shù)，現(xiàn)從這8人中選出2人上臺表演，1人表演口技，1人表演魔術(shù)，則不同的安排方法有種．【變式3-3】（2024·高二課時練習(xí)）直線l的方程為，若從0，1，3，5，7，8這6個數(shù)字中每次取兩個不同的數(shù)作為A，B的值，則可表示條不同的直線．題型四：涂色問題【例4】（2024·高二課時練習(xí)）如圖，將一個四棱錐的每一個頂點(diǎn)染上1種顏色，并使同一條棱上的兩個端點(diǎn)異色．如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法數(shù)為（

）

A．240 B．300C．420 D．480【變式4-1】（2024·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在替工5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）

A．120 B．420 C．300 D．以上都不對【變式4-2】（2024·湖北武漢·高二武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）?？计谀┤鐖D，現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（

）

A．120 B．180 C．221 D．300【變式4-3】（2024·山東濟(jì)南·高二統(tǒng)考期中）某公園設(shè)計(jì)了如圖所示的觀賞花壇，現(xiàn)有郁金香、瑪格麗特、小月季、小杜鵑四種不同的花可供采購，要求相鄰區(qū)域種不同種類的花，則不同的種植方案個數(shù)為（

）A．24 B．36 C．48 D．96【變式4-4】（2024·全國·高二課時練習(xí)）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分，如圖所示．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（

）．A．80種 B．120種 C．160種 D．240種題型五：數(shù)字排位問題【例5】（2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“四位合六數(shù)”（如1203、1005均是四位合六數(shù)），則在“四位合六數(shù)”中首位為1的不同的“四位合六數(shù)”共有個．【變式5-1】（2024·浙江臺州·高二臺州市書生中學(xué)校聯(lián)考期中）如果一個三位正整數(shù)如“”滿足，且，則稱這樣的三位數(shù)為凹數(shù)（如201，325等），那么由數(shù)字0，1，2，3，4，5能組成個無重復(fù)數(shù)字的凹數(shù).【變式5-2】（2024·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）在一個三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如“102”，“546”為“駝峰數(shù)”．由數(shù)字1，2，3，4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有個，其中偶數(shù)有個．【變式5-3】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）由數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有個.題型六：占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇【例6】（2024·全國·高三專題練習(xí)）有六名同學(xué)報(bào)名參加三個智力項(xiàng)目，每項(xiàng)必報(bào)且限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有________種不同的報(bào)名方法．【變式6-1】（2024·北京市景山學(xué)校通州校區(qū)高二期中）5位同學(xué)報(bào)名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個小組，則不同的報(bào)名方法有_______種.（用具體數(shù)字作答）【變式6-2】（2024·重慶市合川實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）加工某個零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，從中選3人每人做一道工序，則選法有______種.題型七：列舉法【例7】（2024·全國·高二課時練習(xí)）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2130是“六合數(shù)”），則其中首位為2的“六合數(shù)”共有（

）．A．18個 B．15個 C．12個 D．9個【變式7-1】（2024·全國·高二單元測試）若一個、均為非負(fù)整數(shù)的有序數(shù)對，在做的加法時，各位均不進(jìn)位，則稱為“簡單的有序?qū)崝?shù)對”，稱為有序?qū)崝?shù)對之值，則值為2004的“簡單的有序?qū)崝?shù)對”的個數(shù)是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25【變式7-2】（2024·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備編號為的四道試題，編號為的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號和自己的編號都不同的情況共有（

）A．9種 B．10種 C．11種 D．12種【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·江西新余·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色給矩形，，，涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．72種2．（2024·湖南長沙·高二長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）用這五個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．18 B．24 C．30 D．483．（2024·河南·高二河南大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┌?個不同的小球放入4個不同的盒子中，共有（

）種方法.A．81 B．64 C．12 D．74．（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？计谥校┘?、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2024·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）

A．240 B．360 C．480 D．6006．（2024·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）2022年北京冬奧會的順利召開，激發(fā)了大家對冰雪運(yùn)動的興趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺滑雪這四項(xiàng)運(yùn)動中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則不同的選法共有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種7．（2024·安徽安慶·高二安慶一中?？计谥校┈F(xiàn)有10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（

）A．15種 B．31種 C．24種 D．23種8．（2024·高二課時練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是（

）A．18 B．36C．72 D．48二、多選題9．（2024·甘肅白銀·高二?？计谀┯梅N不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（

）

A． B．C． D．10．（2024·遼寧沈陽·高二校考階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）A．在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同B．在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事C．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成D．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法可以相同11．（2024·高二課時練習(xí)）(多選)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，則x·y的值可?。?/p>

）A．－8 B．－12C．11 D．2412．（2024·吉林長春·高二?？茧A段練習(xí)）高二年級安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個社區(qū)進(jìn)行暑期社會實(shí)踐活動，每位同學(xué)只能選擇一個社區(qū)進(jìn)行活動，且多個同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進(jìn)行活動，下列說法正確的有（

）A．所有可能的方法有種B．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種C．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種D．如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種三、填空題13．（2024·甘肅白銀·高二校考期末）星期二下午的3節(jié)課排物理?化學(xué)和自習(xí)課各一節(jié)，要求第一節(jié)不排自習(xí)課，那么不同的排課方法種數(shù)為．（用數(shù)字作答）．14．（2024·全國·高二隨堂練習(xí)）某社區(qū)年終活動設(shè)置抽獎環(huán)節(jié)，方案如下：準(zhǔn)備足夠多的寫有“和諧”、“和睦”、“復(fù)興”的卡片，參與者隨機(jī)逐一抽取四張，若集齊三種卡片就獲獎.王大爺按規(guī)定參與抽獎，則他直到第四次抽取出卡片才確定獲獎的不同情況種數(shù)為.15．（2024·上?！じ叨？茧A段練習(xí)）正整數(shù)240的正約數(shù)有