浙江省金華市卓越聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二年級上冊12月階段聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2023學(xué)年第一學(xué)期金華卓越聯(lián)盟12月階段聯(lián)考

高二年級數(shù)學(xué)試題

命題人：東陽二中呂夏雯陸琳琳；審題人：湯溪中學(xué)張擁軍

考生須知：

L本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘；

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、學(xué)號和姓名；考場號、座位號寫在指定位置；

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的，

1.準線方程為y=2的拋物線的標準方程是（）

A.x2=4yB.x2=—4y

C.%2=8yD.x2=-8^

2.直線1+和直線（3〃-1）%-@-1=0垂直，則〃=（）

1-1一1

A.1B.—C.1或一D.1或

222

3.已知在等比數(shù)列｛?！埃?，a4-a8=16,則既的值是（）

A.4B.-4C+4D.16

4.如圖，在三棱臺ABC—4用￡中，且=設(shè)AB=a,AC=〃,A&=c,點。在棱耳C上，滿

足BQ=2DCi，若AD=xa+y6+2c,則（）

11111

A.x——，y=一,,z=lB.x=一.,y=-,z=-

63632

11111

C.x——,,z=lD.x=一.,y=-,z=-

363'62

5.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，且52022〉0,邑023<0,則下列說法錯誤的是（）

A.<2ioi2<0B.fitfon>0

C.數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列D.｛Sa｝中5皿0最大

6.已知圓—2ax+y2=o(a＞。)，直線/：%+也〉=0,圓G上恰有3個點到直線/的距離等于1,則

圓G與圓G：(x—D?+(y—1)2=1的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

22

7.己知圓。：必+(丁—4)2=1上有一動點P，雙曲線--二=1的左焦點為廠，且雙曲線的右支上有一

97

動點Q，則\P^+\QF\的最小值為()

A.4V2-IB.472-5C.4/+7D.4夜+5

8.閱讀材料：空間直角坐標系。-孫z中，過點P(%o，%,Zo)且一個法向量為”=(a,〃,c)的平面a的方程為

a(x-xo)+Z?(y-yo)+c(z-zo)=O,閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面a的方程為

x—y+2z=l,點Q(3,—1,1),則點。到平面a距離為()

、5瓜「A/102

A.----?D.V--6-C.5-V--l-m--NJJ.-----

6210234

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合

題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知a=(—2,2,2)1=(1,2,—1),則下列說法正確的是()

A.a+Z?=(-1,4,1)B.a〃b

C.a±bD.cos(a,a-26)=V3

10.已知直線/：〃zx+?n+2)y—2帆一2=0(mwR),圓C:(x—1)2+(y—2)2=25,點尸為圓C上的任意

一點，下列說法正確的是()

A.直線/恒過定點(1,1)

B.直線/與圓C恒有兩個公共點

C.直線/被圓C截得最短弦長為2瓜

D.當(dāng)加=-1時，點P到直線/距離最大值是5+—

2

11.已知數(shù)列｛%｝,也｝滿足q+!出+!/++-??=bn(n&N*),S,是｛4｝的前九項和，下列說法正確

的是()

A.若4=/+”，則2/2；3〃

B.若仇=〃，則｛?｝為等差數(shù)列

C.若bn=n+l,則｛4｝為等差數(shù)列

口.若2=2",則"=(〃—1)2+2

12.已知拋物線C：V=4x的焦點為/，準線/與x軸交于點M，過〃的直線/與拋物線C相交于

4(%,%),5(%,%)兩點，點。是點A關(guān)于％軸的對稱點，則下列說法正確的是()

Aj%=-4B.41AH+忸周的最小值為10

C.B,F,D三點、共線D.MBMD>0

三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.

13.在空間直角坐標系?！獙Oz中，已知點M(3,—1,4),N(2,1,5),則|MN卜.

14.過點(0,0)作圓C:/+y2—4y+3=0的兩條切線，切點為A、8,則劣弧長.

15.如圖，已知正方形4穌。0。0的邊長為2,分別取邊并連接

形成正方形A4CQ1,繼續(xù)取邊2A,4片,4G，CR的中點&,與,c2,3，并連接形成正方形

多，。3,并連接形成正方形A333c303，,

A,B2C2D2,繼續(xù)取邊34,4與，生。2，。202的中點A，名，(

依此類推；記.44用的面積為q.AAB的面積為4，?,依此類推，一4_14功("￡”)的面積為

21023n,

an,右a1+%+Q3+%-]024，貝瞳__________.

------------,Do

D,/5

B7G)

22

16.設(shè)耳、鳥是橢圓C：工+與=1(?！?〉0)的左、右焦點，點尸,Q為橢圓C上的兩點，且滿足

ab~

NPF?Q=60,PR=2QF2,則橢圓C的離心率為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)如圖，在長方體ABC?！?4cA中，AB=2,AO=3,A4=4,點E,尸分別為棱

A3,的中點,

(1)求證：平面3B；

(2)求直線C1/與平面DEC1所成角的正弦值.

(11、

18.(本題滿分12分)已知數(shù)列｛4｝滿足a=1,點一,——(〃eN*)在直線2x—y+l=0上.

Ian/

(1)求證：數(shù)列＜(+1＞是等比數(shù)列，并求出｛4｝的通項公式；

(2)求滿足上＜4的"的取值構(gòu)成的集合.

635

19.(本題滿分12分)已知動點尸與兩個定點4(1,0),5(4,0)的距離的比是2.

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)直線/過點(2,1),且被曲線C截得的弦長為2百，求直線/的方程.

20.(本題滿分12分)已知等差數(shù)列｛4｝前“項和為S“，滿足。3=3,84=10.數(shù)列也｝滿足仇=2,

%2""+i,neN*

bna?

(1)求數(shù)列｛%｝,｛%｝的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝滿足Cn=(T)。"+2),“eN*,求數(shù)列｛%｝的前幾項和Tn.

。也+1

21.（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD,底面ABCD為正方形,

AB=PA=2,E,F分別為PB,PD的中點.

（1）求平面CEF與底面A5CD所成角的余弦值；

（2）求平面CEF與四棱錐P-A5CD表面的交線圍成的圖形的周長.

22.（本題滿分12分）已知雙曲線C的中心為坐標原點，上頂點為（0,2）,離心率為1

（1）求雙曲線C的漸近線方程；

（2）記雙曲線C的上、下頂點為A，4,尸為直線y=i上一點，直線尸4與雙曲線C交于另一點“，直線

尸4與雙曲線。交于另一點N,求證：直線過定點，并求出定點坐標.

2023學(xué)年第一學(xué)期金華卓越聯(lián)盟12月階段聯(lián)考

高二年級數(shù)學(xué)參考答案

命題人：東陽二中呂夏雯陸琳琳；審題人：湯溪中學(xué)張擁軍

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的

1.D【解析】g=2np=4,又拋物線開口向下，所以拋物線的方程為f=—8y,D正確.

2.C【解析】（3a—+a）=0=>a=1或。=：,C正確.

3.C【解析】=16,.二。6=±4，C正確.

4.A［解析］AD=+4。,AyD=^AiBi+^AxCi^.\AD=A\+gAg+g4G又

4月——tz,4G=—b,—c,AD——ciH—bcjA正確.

2263

5.D［解析］S2022=皿乂丁/）=1011（a1（）11+a1（）12）>0^?1011+tz1012>0

52023=2023（廣2023）=2023即“2<0n?1（）12<0,則q?！薄?

所以數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，｛S,,｝中/”最大Q正確.

6.B【解析】圓上3個點到直線的距離是1,則圓心到直線的距離應(yīng)是a-=1,則a=2,

2

圓G的圓心為（2,0），半徑是2,圓。2的圓心為（1，夜），半徑是1，貝U|C1G|=百，所以兩圓的位置關(guān)系

是相交.3正確.

7.D【解析】圓心。（0,4）,取雙曲線的左焦點心（4,0）,|PQ閆QC|—1,|QF|=6+|。閭，則

|pe|+|eF|>|ec|-i+（6+|e^|）=|ec|+|e^|+5>|c^|+5=4V2+5

??.I尸。1+1。月的最小值為40+5,。正確.

4/

\A\p/

\kPxQ/

X

8.A【解析】平面a的法向量〃=。,—1,2),在平面a上任取一點4(—1,0,1),則QA=(T,l,0),

An

,\Q'\55A/6A下施

d=?一?==----A正確.

\n\V66

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合

題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.ACD【解析】a+Z?=(-1,4,1),選項A正確，”選，選項8錯誤；

(―27l+22+2-(—l)=0.?.a，b選項C正確；

a-2b=(-4,-2,4)/.cosa,a-2b>=——=^~，選項D正確，正確答案是A.C.D

2,3?63

10.ABD【解析】直線/:m(x+y-2)+2y-2=0,所以恒過定點(1,1).選項A正確；

因為定點(1,1)在圓C內(nèi)，所以直線/與圓C恒有兩個公共點.選項B正確；

/被圓C截得的最短弦長20r萬=4痣，選項C錯誤；

當(dāng)m=—1時，/:尤―y=0,點P到直線/的距離的最大值是3+5=5+也，選項D正確.

62

正確答案是A.B.D

11.ABD【解析】當(dāng)/=/+〃,，則,%=〃+1,所以4=（2+〃+1）〃="一+3〃,選項A正確;

nn22

已知qH——%+—冊=n,當(dāng)〃=1時，q=l,

23n

當(dāng)〃22時，4H。2。3+-I------4T=〃-1，則一=1,，=1時也成立），所以｛%｝為

23n-1n

等差數(shù)列，選項B正確；

已知4H%=〃+1,當(dāng)〃=1時，%=2,

23n

所以不是等

當(dāng)〃22時，a｛+—a2+—a3++an_x=n,則=1時不成立）｛4｝

23'n-1n

差數(shù)列，選項c不正確；

已知1H—%—%+—=2"，當(dāng)〃=1時，。］=2,

23n

當(dāng)”之2時，^+—a2+—?3+H—匚。"_1=2"—1,則,a.=a“=〃?=1時不成立），所

2'3n-1n

2,n=l

以

4n-2n-',n>2,

當(dāng)”=1時，S]=2,

”=1時，％=2,S.=2+2?2i+3-2?++n-T-l

2S?=2-2+2-22++(〃-1)2-1+772

—S“=2+0+22+23+2"T—分2"=2+-H-2"=(1-H)-2,!-2

所以Sa=(n—l)-2"+2,n=l時也成立，選項。正確.

正確答案是A.B.D

12.CD【解析】設(shè)直線/：尤=7肛一1,聯(lián)立方程組

2

y=4x%+,2=4m

v,y9-4my+4=0,貝卜

x=my—1%%=4

選項A不正確；

22

——2LA-1

12-T'T-所以4|AF|+\BF\=4(%+1)+%+1=4玉+尤2+522,4卒2+5=9

當(dāng)且僅當(dāng)％=4玉=2時等號成立，所以4|4司+忸周的最小值為9,選項B不正確；

/、「y?=4x。f-y,+%=4m

。(冷―X)，設(shè)=+聯(lián)立方程組,y2-4ny-4t=0,貝ij12,所以,1,

[x=ny+t[=—4f

即直線BD過點尸，選項C正確；

對于D選項，MB=[X2+l,y2),A/D=(x1+1,-^),

MB?MD—/%+玉+/+1—X%=1+4加~—2+1+4=4ni^+4>0,選項D正確.

正確答案是C.D

三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.

13.76【解析】2W=(-1,2,l),.'.|iw|=71+4+1=76.

14.—【解析】圓C：必+⑶―2)2=1,

)L/.)/./,'il.

/COB=ZCOA=ZACB=—,故劣弧長AB=—.

633

15.10【解析】由題意可知三角形的面積構(gòu)成首項為工，公比為’的

22

等比數(shù)列，。1+。2+。3+Cln

2

16.31【解析】如圖，過耳作片河=?，?，連接班，因為防=2。耳,

所以/月Pg=NP6Q=60,設(shè)|。鳥|=/,則

\PF^2t,\MF^t\PF^2a-2t,\MF^2a-t,

22

在，Pg中，|PM|2+|P77|_|PM||P^|=|M^|,

8

即9戶+4a2—8at+4產(chǎn)一6at+6d=4a2-4at+11，化簡得5a=9t,\PF^\=^a,\PF:\=a

9-

r-r-，cJ100+64-802J21r；r-|s|-1*j-，、宓c121

所以r2c-----------1=------a，所以禺心率一=^—.

99a9

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.【解析】(1)方法一：因為尸是。。的中點，所以。尸=。夕1=a=。。=2,..。1/。1和,位＞。是等

腰直角三角形，所以=/CED=45,

C.F±CF,

因為3CJ_平面CDDCiCFu平面CDDg,所以3C，弓尸，

BC,CFu平面BCR二G尸1平面BCF

方法二：以。為原點，ZM所在直線為X軸，。。所在直線為y軸，所在直線為Z軸建立空間直角坐標

系，

C（0,3,0）,B（2,3,0）,F（0,0,2）,C1（0,2,4）,CB=（2,0,0）,CF=（0,-2,2）,C1F=（0,-2,-2）,

所以GF.CF=4—4=0,€；/.。8=0,;.。］尸，平面3。斤；

（2）。石=（3,1,0）,。。1=（0,2,4）,設(shè)平面DEG的法向量為〃=（羽y,z）,

則〈，所以取〃=（2,-6,3）,

DC】-n=2y+4z=0

又Gb=（O,—2,—2）,

..有/「在\尸"|6372

..sin0=cos（CF,n）=J-----：~~L=-------尸=-------.

'/T,司|利7-27214

直線CF與平面DEC1所成角的正弦值為述.

14

1,2"

——+1—+2

18.【解析】（1）由已知得1一=一2+1,.?.差一=告一=2,

%%—+1—+1

a“an

且/1=2/0,

所以數(shù)列1是等比數(shù)列,

[4J

?￡+1=2"，則%=

（2）因為,《為三工，所以5K2"—1<63,:.6<2”<64,

63"5632"-15

得log26<〃<6,又因為〃cN*，所以"的取值構(gòu)成的集合是｛3,4,5,6｝.

19.【解析】(1)設(shè)點F(匹y),則Jd)2+y2=2而_4)2+/,

化簡得好+/一10戈+21=0,所以動點p的軌跡C的方程為（x—5月+V=4；

（2）由（1）可知點P的軌跡C是以（5,0）為圓心，2為半徑的圓，可計算得圓心（5,0）到直線/的距離

d—14-3=1,

①當(dāng)直線/的斜率不存在時，圓心到直線/的距離是3,不符合條件，

②當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y—1=左（1—2）,即區(qū)—y—2左+1=0,

所以d=）^=l,化簡得9父+6左+1=^+1，解得左=0或左,

“2+14

所以直線/的方程是y=l或3x+4y—10=0.

,、ICL+2d=3

20.【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛?！埃墓顬椋?，（4：+61_10

解得q=1,d=La〃=n.

%

垣=2(〃+1),..中=2,且幺=2,所以

%是等比數(shù)列,

bnn饗1n

n

b

久=2〃,.??2=幾?2〃

n

（也可用累乘法求抄“｝的通項公式）

(工＞++1](-1)”(-l)n+1

(2)

n+1nn+l-H,,+1

n(n+l)-2[n-2(H+l)-2yn-T(+1)-2

1

(n+l)-2n+1

21.【解析】（1）以A為原點，以A3所在直線為x軸，AD所在直線為丁軸，AP所在直線為z軸建立空

間直角坐標系，

平面ABCD的法向量為加=（0,0,1）,

C(2,2,0),E(l,0,1),F(0,1,1),CE=(-1,-2,1),EF=(-1,1,0),設(shè)平面CEF的法向量為n=(x,y,z),所

CE-n--x-2y-\-