第20講乘除法運算律和性質(zhì)

11三月2024第20講乘除法運算律和性質(zhì)我們在第1講中介紹了加、減法的運算律和性質(zhì)，利用它們可以簡化一些加、減法算式的計算。本講將介紹在巧算中常用的一些乘、除法的運算律和性質(zhì)，其目的也是使一些乘、除法計算得到簡化。1.乘法的運算律乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換兩個數(shù)的位置，其積不變。即a×b=b×a。其中，a，b為任意數(shù)。例如，35×120=120×35=4200。乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，可以先把前兩個數(shù)相乘后，再與后一個數(shù)相乘，或先把后兩個數(shù)相乘后，再與前一個數(shù)相乘，積不變。即a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。注意：(1)這兩個運算律中數(shù)的個數(shù)可以推廣到更多個的情形。即多個數(shù)連乘中，可以任意交換其中各數(shù)的位置，積不變；多個數(shù)連乘中，可以任意先把幾個數(shù)結(jié)合起來相乘后，再與其它數(shù)相乘，積不變。(2)這兩個運算律常一起并用。例如，并用的結(jié)果有a×b×c=b×(a×c)等。例1計算下列各題：(1)17×4×25；(2)125×19×8；(3)125×72；(4)25×125×16。分析：由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，運用乘法交換律和結(jié)合律，在計算中盡量先把25與4、把125與8或4結(jié)合起來相乘后，再與其它數(shù)相乘，以簡化計算。解：(2)125×19×8=(125×8)×19=1000×19=19000；(3)125×72=125×(8×9)=(125×8)×9=1000×9=9000；(4)25×125×16或=25×125×2×8=(25×2)×(125×8)=50×1000=50000，25×125×16=25×125×4×4=(25×4)×(125×4)=100×500=50000。乘法分配律：兩個數(shù)之和(或差)與一數(shù)相乘，可用此數(shù)先分別乘和(或差)中的各數(shù)，然后再把這兩個積相加(或減)。即(a+b)×c=a×c+b×c，(a-b)×c=a×c-b×c。例2計算下列各題：(1)125×(40+8)；(2)(100-4)×25；(3)2004×25；(4)125×792。解：(1)125×(40+8)=125×40+125×8=5000+1000=6000；(2)(100-4)×25=100×25-4×25=2500-100=2400；(3)2004×25=(2000+4)×25=2000×25+4×25=50000+100=50100；(4)125×792=125×(800-8)=125×800-125×8=(125×8)×100-1000=1000×100-1000=1000×(100-1)=99000。2.除法的運算律和性質(zhì)商不變性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)乘(或除)以同一個非零數(shù)，其商不變。即a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)例3計算：(1)425÷25；(2)3640÷70。解：(1)425÷25=(425×4)÷(25×4)=1700÷100=17；(2)3640÷70=(3640÷10)÷(70÷10)=364÷7=52。(2)兩數(shù)之和(或差)除以一個數(shù)，可以用這兩個數(shù)分別除以那個數(shù)，然后再求兩個商的和(或差)。即(a±b)÷c=a÷c±b÷c。例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2，(9-6)÷3=9÷3-6÷3。此性質(zhì)可以推廣到多個數(shù)之和(或差)的情形。例如(1000-688-136)÷8=1000÷8-688÷8-136÷8=125-86-17=22。(3)在連除中，可以交換除數(shù)的位置，商不變。即a÷b÷c=a÷c÷b。在這個性質(zhì)中，除數(shù)的個數(shù)可以推廣到更多個的情形。例如，168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……例4計算下列各題：(1)(182+325)÷13；(2)(2046-1059-735)÷3；(3)775÷25；(4)2275÷13÷5。解：(1)(182＋325)÷13=182÷13+325÷13=14+25=39；(2)(2046-1059-735)÷3=2046÷3-1059÷3-735÷3=682-353-245=84；(3)775÷25=(700+75)÷25=700÷25+75÷25=28+3=31；(4)2275÷13÷5=2275÷5÷13=455÷13=35。3.乘、除法混合運算的性質(zhì)(1)在乘、除混合運算中，被乘數(shù)、乘數(shù)或除數(shù)可以連同運算符號一起交換位置。例如，a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。(2)在乘、除混合運算中，去掉或添加括號的規(guī)則去括號情形：括號前是“×”時，去括號后，括號內(nèi)的乘、除符號不變。即a×(b×c)=a×b×c，a×(b÷c)=a×b÷c。括號前是“÷”時，去括號后，括號內(nèi)的“×”變?yōu)椤啊隆?，“÷”變?yōu)椤啊痢薄＜碼÷(b×c)=a÷b÷c，a÷(b÷c)=a÷b×c。添加括號情形：加括號時，括號前是“×”時，原符號不變；括號前是“÷”時，原符號“×”變?yōu)椤啊隆保啊隆弊優(yōu)椤啊痢?。即a×b×c=a×(b×c)，a×b÷c=a×(b÷c)，a÷b÷c=a÷(b×c)，a÷b×c=a÷(b÷c)。(3)兩個數(shù)之積除以兩個數(shù)之積，可以分別相除后再相乘。即(a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c)。上面的三個性質(zhì)都可以推廣到多個數(shù)的情形。例5計算下列各題：(1)136×5÷8=136÷8×5=17×5=85；(2)4032÷(8×9)=4032÷8÷9=504÷9=56；(3)125×(16÷10)=125×16÷10=256×4(4)2560÷(10÷4)=2560÷10×4＝1024；(5)2460÷5÷2=2460÷(5×2)=2460÷10=246；(6)527×15÷5=527×(15÷5)=527×3=1581；(7)(54×24)÷(9×4)=(54÷9)×(24÷4)=6×6=36。

用簡便方法計算下列各題。1.(1)12×4×25；(2)125×13×8；(3)125×56；(4)25×32×125。

1.(1)1200；(2)13000；(3)7000；(4)100000。

2.(1)125×(80+4)；(2)(100-8)×25；(3)180×125；(4)125×88。

2.(1)10500；(2)2300；(3)22500；(4)11000。

3.(1)1375÷25；(2)12880÷230。

3.(1)55；(2)56。

4.(1)(128+1088)÷8；(2)(1040-324-528)÷4；(3)1125÷125；(4)4505÷17÷5。

4.(1)152；(2)47；(3)9；(4)53。

5.(1)384×12÷8；(2)2352÷(7×