2022-2023學(xué)年高二下數(shù)學(xué)：隨機(jī)變量及其分布（附答案解析）

2022-2023學(xué)年高二下數(shù)學(xué)：隨機(jī)變量及其分布

一.選擇題（共8小題）

1.（2021春?河西區(qū)期中）已知隨機(jī)變量的分布列如表:

X012

P0.2ab

若E(X)=I,則。(X)=()

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.6

2.（2021秋?徐州期中）某單位招聘員工，先對應(yīng)聘者的簡歷進(jìn)行評分，評分達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面

試環(huán)節(jié).現(xiàn)有1000人應(yīng)聘，他們的簡歷評分X服從正態(tài)分布N（60,IO2）,若80分及

以上為達(dá)標(biāo)，則估計(jì)進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)為（）

（附：若隨機(jī)變量X~N（μ,。2）,則P（μ-。VXVμ+o）=0.6827,P（μ-2oVX

<μ+2。）QO.9545,P（μ-3。<%<μ+3ɑ）Qo.9973.）

A.12B.23C.46D.159

3.（2021秋?孝感期中）在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽.假

設(shè)每局比賽中甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,已知比賽規(guī)則是3局2勝制，

則乙獲得冠軍的概率為（）

A.0.288B.0.352C.0.648D.0.256

4.（2021秋?常州期中）某個(gè)班級有55名學(xué)生，其中男生35名，女生20名，男生中有20

名團(tuán)員，女生中有12名團(tuán)員.在該班中隨機(jī)選取一名學(xué)生，如果選到的是團(tuán)員，那么選

到的是男生的概率為（）

A.?B.?C..l?D.A

118557

5.（2020春?鼓樓區(qū)校級期末）某地7個(gè)貧困村中有3個(gè)村是深度貧困，現(xiàn)從中任意選3個(gè)

村，下列事件中概率等于反的是（）

7

A.至少有1個(gè)深度貧困村B.有1個(gè)或2個(gè)深度貧困村

C.有2個(gè)或3個(gè)深度貧困村D.恰有2個(gè)深度貧困村

6.（2021春?邯鄲期中）隨機(jī)變量聊概率分布列為p（g=k）=ck—1,2,3,4,

k(k+2)

其中C是常數(shù)，則P（ξ≤2）的值為（）

第1頁（共21頁）

7.（2019秋?上城區(qū)校級期中）設(shè)O<p<l,隨機(jī)變量￡的分布列為

ξ0I2

PE4-3PE

__I__4__?__

那么，當(dāng)P在（0,1）內(nèi)增大時(shí)，D（ξ）的變化是（）

A.減小B.增大

C.先減小后增大D.先增大后減小

8.（2021春?福建期中）假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1-p,且各引擎

是否有故障是獨(dú)立的，已知4引擎飛機(jī)中至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行;

2引擎飛機(jī)要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才可以成功飛行.要使4引擎飛機(jī)更安全，則

每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率的取值范圍是（）

A.（2,1）B.（?,I）C.（0,?）D.（0,2）

3333

二.填空題（共4小題）

9.（2021春?浙江期中）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8（小p）,若E（X）=40,D（X）

=20,,P=.

10.（2021秋?青羊區(qū)校級期中）已知某品牌電子元件的使用壽命X（單位：天）服從正態(tài)

分布N（98,64）.

（1）一個(gè)該品牌電子元件的使用壽命超過100天的概率為;

（2）由三個(gè)該品牌的電子元件組成的一條電路（如圖所示）在100天后仍能正常工作（要

求K能正常工作，A,8中至少有一個(gè)能正常工作，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)

立）的概率為.

（參考公式：若X~N（μ,。2）,則尸（μ-0.25o<X≤μ+0.25o）=0.2.）

A

B

11.（2021春?蓮池區(qū)校級期中）已知7件產(chǎn)品中有5件合格品，2件次品.為找出這2件次

品，每次任取一件檢驗(yàn)，檢驗(yàn)后不放回，則第一次和第二次都檢驗(yàn)出次品的概率

為:恰好在第一次檢驗(yàn)出正品而在第四次檢驗(yàn)出最后一件次品的概率

第2頁（共21頁）

為.

12.（2020?天心區(qū)校級模擬）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，

3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以小，a和用表示由甲

罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以8表示由乙罐取

出的球是紅球的事件.則下列結(jié)論中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.

①P（B）=2；

5

②P（8］?。?卷；

③事件B與事件小相互獨(dú)立；

④/1，A2>43是兩兩互斥的事件.

≡.解答題（共4小題）

13.（2022?寶雞模擬）“X病毒”給人類社會(huì)帶來了極大的危害，我國政府和人民認(rèn)識(shí)到對

抗“X病毒”是一項(xiàng)長期而艱巨的任務(wù)，為了加強(qiáng)后備力量的培養(yǎng)，某地政府組織衛(wèi)生、

學(xué)校等部門，開展了一次“X病毒”檢測練兵活動(dòng).活動(dòng)組織者把3份不同的“X病毒”

咽拭子隨機(jī)分到3個(gè)組，并根據(jù)份額，增加不含“X病毒”的正常咽拭子，使每組有20

份咽拭子.規(guī)定每組先混合檢測，即將20份咽拭子分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若結(jié)果為

陰性，則這20份咽拭子全為陰性，只需檢驗(yàn)一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確

這2份咽拭子究竟哪份為陽性，就需要對這20份再逐一檢驗(yàn)，此時(shí)這20份咽拭子的檢

驗(yàn)次數(shù)總共為21次.三組樣本檢驗(yàn)規(guī)則相同，每次檢測費(fèi)為60元.

（1）求檢測次數(shù)為23次的概率；

（2）設(shè)本次活動(dòng)檢測總費(fèi)用為y元，求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望.

14.（2019?深圳一模）某健身機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了去年該機(jī)構(gòu)所有消費(fèi)者的消費(fèi)金額（單位：元），

如圖所示：

（1）將去年的消費(fèi)金額超過3200元的消費(fèi)者稱為“健身達(dá)人”，現(xiàn)從所有“健身達(dá)人”

第3頁（共21頁）

中隨機(jī)抽取2人，求至少有1位消費(fèi)者，其去年的消費(fèi)金額超過4000元的概率;

（2）針對這些消費(fèi)者，該健身機(jī)構(gòu)今年欲實(shí)施入會(huì)制，詳情如表：

會(huì)員等級消費(fèi)金額

普通會(huì)員2000

銀卡會(huì)員2700

金卡會(huì)員3200

預(yù)計(jì)去年消費(fèi)金額在（0,1600］內(nèi)的消費(fèi)者今年都將會(huì)申請辦理普通會(huì)員，消費(fèi)金額在

（1600,3200］內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請辦理銀卡會(huì)員，消費(fèi)金額在（3200,4800］內(nèi)的消費(fèi)

者都將會(huì)申請辦理金卡會(huì)員.消費(fèi)者在申請辦理會(huì)員時(shí)，需一次性繳清相應(yīng)等級的消費(fèi)

金額.

該健身機(jī)構(gòu)在今年底將針對這些消費(fèi)者舉辦消費(fèi)返利活動(dòng)，現(xiàn)有如下兩種預(yù)設(shè)方案：

方案1：按分層抽樣從普通會(huì)員，銀卡會(huì)員，金卡會(huì)員中總共抽取25位“幸運(yùn)之星”給

予獎(jiǎng)勵(lì)：普通會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì)500元；銀卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人

獎(jiǎng)勵(lì)600元；金卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì)800元.

方案2：每位會(huì)員均可參加摸獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：從一個(gè)裝有3個(gè)白球、2個(gè)紅球（球

只有顏色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一個(gè)球.若摸到紅球的總數(shù)

為2,則可獲得200元獎(jiǎng)勵(lì)金；若摸到紅球的總數(shù)為3,則可獲得300元獎(jiǎng)勵(lì)金；其他情

況不給予獎(jiǎng)勵(lì).規(guī)定每位普通會(huì)員均可參加1次摸獎(jiǎng)游戲；每位銀卡會(huì)員均可參加2次

摸獎(jiǎng)游戲；每位金卡會(huì)員均可參加3次摸獎(jiǎng)游戲（每次摸獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立）.

以方案2的獎(jiǎng)勵(lì)金的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，請你預(yù)測哪一種方案投資較少？并說明理由.

15.（2020?新課標(biāo)I）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：

累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰：比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者

與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩

余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.

經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為工.

2

（1）求甲連勝四場的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率.

第4頁（共21頁）

16.（2021?日照模擬）已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書館閱覽室共有994個(gè)座位，假

設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨(dú)立的，且每個(gè)學(xué)生在每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的概率

均為0.1.

（1）將每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為X,求X的期望和方差；

（2）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布5（〃，p）,那

么當(dāng)“比較大時(shí)，可視為X服從正態(tài)分布N（μ,。2）.任意正態(tài)分布都可變換為標(biāo)準(zhǔn)正

態(tài)分布（μ=0且。=1的正態(tài)分布），如果隨機(jī)變量Y~N（μ,σ2）,那么令Z=±1L,

σ

則可以證明Z~N（0,1）.當(dāng)Z~N（0,1）時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)α,記①（α）=P（ZVa）.

已知如表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對應(yīng)的概率值.例如當(dāng)

α=0.16時(shí),由于0.16=0.1+0.06,則先在表的最左列找到數(shù)字0.1（位于第三行），然后

在表的最上行找到數(shù)字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是

Φ（0.16）的值.

（i）求在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率；

（ii）若要使在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位夠用的概率高于0.7,則至少需要添加多少個(gè)座

位？

a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.00.5000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.5359

0.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.5753

0.20.57930.58340.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.6141

0.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.6517

0.40.65540.65910.6280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.6879

0.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.7224

第5頁（共21頁）

2022-2023學(xué)年高二下數(shù)學(xué)：隨機(jī)變量及其分布

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

1.(2021春?河西區(qū)期中)已知隨機(jī)變量的分布列如表:

X012

P0.2ab

若E(X)=I,則。(X)=()

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.6

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由分布列的性質(zhì)，可得α+b=0.8,再根據(jù)期望公式，可推得α+2b=l,聯(lián)立兩

個(gè)方程，解得α=0.6,6=0.2,再運(yùn)用方差公式，即可求解.

【解答】解：由分布列的性質(zhì)，可得0.2+α+b=l,解得α+Z>=0.8①，

'：E(Ar)=1,

Λ0×0.2+l×α+2×?=l,即α+2b=l②，

聯(lián)立①②解得α=0.6,6=0.2,

D(X)=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布的性質(zhì)，以及期望和方差公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2021秋?徐州期中)某單位招聘員工，先對應(yīng)聘者的簡歷進(jìn)行評分，評分達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面

試環(huán)節(jié).現(xiàn)有1000人應(yīng)聘，他們的簡歷評分X服從正態(tài)分布N(60,102),若80分及

以上為達(dá)標(biāo)，則估計(jì)進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)為()

(附：若隨機(jī)變量X~N(μ,。2),則尸(μ-。<X<μ+o)=0.6827,P(μ-2σ<χ

<μ+2。)Qo.9545,P(μ-3o<X<μ+3σ)?=0.9973.)

A.12B.23C.46D.159

【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.

【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意求出P(%>80)=P(X?60+20)的值，乘以IOOO得答案.

第6頁(共21頁)

【解答】解：?.?χ服從正態(tài)分布N（60,1（）2）,

：.P（X280）=P（X》60+20）=l-°?9545=OQ2275,

2

則估計(jì)進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)為IOoOXO.02275=22.75^23人.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查運(yùn)算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

3.（2021秋?孝感期中）在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽.假

設(shè)每局比賽中甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,已知比賽規(guī)則是3局2勝制，

則乙獲得冠軍的概率為（）

A.0.288B.0.352C.0.648D.0.256

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】乙獲得冠軍的情況有2種：①乙連勝2局，②前2局乙1勝1負(fù)，第3局乙勝，

由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出乙獲得冠軍的概率.

【解答】解：每局比賽中甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,

比賽規(guī)則是3局2勝制，則乙獲得冠軍的情況有2種：

①乙連勝2局，概率為Pl=O.42=0.16,

②前2局乙1勝1負(fù)，第3局乙勝，概率為尸2=以*°.4X0.6X0.4=°」92，

.?.乙獲得冠軍的概率為：

P=0.16+0.192=0.352.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公

式等基礎(chǔ)知識(shí)不，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

4.（2021秋?常州期中）某個(gè)班級有55名學(xué)生，其中男生35名，女生20名，男生中有20

名團(tuán)員，女生中有12名團(tuán)員.在該班中隨機(jī)選取一名學(xué)生，如果選到的是團(tuán)員，那么選

到的是男生的概率為（）

【考點(diǎn)】條件概率與獨(dú)立事件.

第7頁（共21頁）

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.

【解答】解：設(shè)事件4為選到的是團(tuán)員，事件8為選到的是男生,

根據(jù)題意可得，PCA)=Wo±12.衛(wèi),p(AB)=空」,

55555511

故尸(B?A)=Fl(AB)二里①

P(A)328

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查條件概率的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2020春?鼓樓區(qū)校級期末）某地7個(gè)貧困村中有3個(gè)村是深度貧困，現(xiàn)從中任意選3個(gè)

村，下列事件中概率等于且的是（）

7

A.至少有1個(gè)深度貧困村B.有1個(gè)或2個(gè)深度貧困村

C.有2個(gè)或3個(gè)深度貧困村D.恰有2個(gè)深度貧困村

【考點(diǎn)】超幾何分布.

【專題】應(yīng)用題：對應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計(jì)：數(shù)據(jù)分析.

【分析】用X表示這3個(gè)村莊中深度貧困村數(shù)，則X服從超幾何分布，計(jì)算對應(yīng)的概率

值即可得出結(jié)論.

【解答】解：用X表示這3個(gè)村莊中深度貧困村數(shù)，則X服從超幾何分布，

pkp3-k

所以P（X=k）=-3怖-，

C

計(jì)算P(X=O)

P2p1

C4C318

P(X=I)=二二"

C335

Cr*41Cr*3212

P(X=2)n=---，

C335

∩0∩3

υ4υ31

P(X=3)≡z二...，

「335

所以P(X=1)+P(X=2)*,

第8頁（共21頁）

即有1個(gè)或2個(gè)深度貧困村的概率為旦.

7

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了超幾何分布的概率計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

6.(2021春?邯鄲期中)隨機(jī)變量J的概率分布列為p(k=1，2,3,4,

其中C是常數(shù)，則P(ξ≤2)的值為()

A.2B.?C.AD.我

34568

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用隨機(jī)變量概率之和為1,列式求出C的值，然后由概率公式求解即可.

【解答】解：由題意，隨機(jī)變量S的概率分布列為p(g=k)nCk=1,2,3,4,

k(k+2)

r∏∣∣cccccz.111111lλcvz17.

1×32×43×54×62^3243546^215

解得30

C=Tr

所以P(ξ<2)=P(ξ=1)+P(ξ=2)Wx(―^―H)=^×-=^-?

Lis乙)174×32X4，172468

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了隨機(jī)變量概率之和為1的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量概率公式的理解與

應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2019秋?上城區(qū)校級期中)設(shè)0<pVl,隨機(jī)變量己的分布列為

ξO12

P_P4-3PE

_______?_______4__?__

那么，當(dāng)P在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，D(ξ)的變化是()

A.減小B.增大

C.先減小后增大D.先增大后減小

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】計(jì)算出E(ξ)>E(ξ2),根據(jù)。(ξ)=E(ξ2)-E2(ξ)將。(ξ)表示成關(guān)于

P的函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可.

第9頁(共21頁)

【解答】解：依題意，E(ξ)=l-*p+p=l+±,

2

E(ξ)=1-3riι+4><E=l+??,

4p24

所以")=￡(產(chǎn))一/⑴=ι+*aTP)2=一看p2+%

是關(guān)于P的開口向下的拋物線，對稱軸為p=6,

所以當(dāng)Pe(0,1)時(shí)，D(ξ)單調(diào)遞增，

即當(dāng)P在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，D(ξ)增大，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔

題.

8.(2021春?福建期中)假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1-p,且各引擎

是否有故障是獨(dú)立的，已知4引擎飛機(jī)中至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；

2引擎飛機(jī)要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才可以成功飛行.要使4引擎飛機(jī)更安全，則

每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率的取值范圍是()

A.(2,1)B.(?,I)C.(0,?)D.(0,2)

3333

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】4引擎飛機(jī)成功飛行的概率為P1=c%3(]-p)+p4,2引擎飛機(jī)成功飛行的概

率為P2=p2,由C*?(1-0)+∕>p2,能求出每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概

率的取值范圍.

【解答】解：4引擎飛機(jī)成功飛行的概率為P=C%3(IP)+p4f

2引擎飛機(jī)成功飛行的概率為Pi=P1,

要使Cy(I-P)+p4>p2,必有?k<p<?,

解得o<ι-p<2,

3

每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率的取值范圍是(0,2).

3

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查概率的運(yùn)算，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

第10頁(共21頁)

求解能力，是基礎(chǔ)題.

二.填空題（共4小題）

9.（2021春?浙江期中）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8（小p）,若E（X）=40,D（X）

=20,n—80>Q--?-

-2-

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算公式求解即可.

【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8（〃，p）,

又E（X）=40,D（X）=20,

/,cfn=80

所以（np-4°,解得1.

1np（I-P）=20P節(jié)

故答案為：80；A.

2

【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

10.（2021秋?青羊區(qū)校級期中）已知某品牌電子元件的使用壽命X（單位：天）服從正態(tài)

分布N（98,64）.

（1）一個(gè)該品牌電子元件的使用壽命超過100天的概率為0.4:

（2）由三個(gè)該品牌的電子元件組成的一條電路（如圖所示）在100天后仍能正常工作（要

求K能正常工作，A,8中至少有一個(gè)能正常工作，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)

立）的概率為_倒—.

125

（參考公式：若X~N（μ,。2）,則尸（μ-0.25。<X≤μ+0.25o）=0.2.）

A

^r4±F-∣

【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：定義法：概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理.

【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解P（X>100）,由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

求解電路能正常工作的概率.

第11頁（共21頁）

【解答】解：由題意可知，μ=98,O=8,

所以尸(X>100)=I-P--O?25°jX<U+O.25°)=o.)

由題意，要使電路能正常工作的概率為尸=2χ2χ2+2X(I-Z)xZ+2x2x(1

55555555

-2)=32

5125

故答案為：04?.

125

【點(diǎn)評】本題考查了正態(tài)分布曲線的應(yīng)用，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，解題

的關(guān)鍵是掌握正態(tài)分布曲線的對稱性，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.(2021春?蓮池區(qū)校級期中)已知7件產(chǎn)品中有5件合格品，2件次品.為找出這2件次

品，每次任取一件檢驗(yàn)，檢驗(yàn)后不放回，則第一次和第二次都檢驗(yàn)出次品的概率為

工_；恰好在第一次檢驗(yàn)出正品而在第四次檢驗(yàn)出最后一件次品的概率為_至-

2121

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出第一次和第二次都檢驗(yàn)出次品的概率；

恰好在第一次檢驗(yàn)出正品而在第四次檢驗(yàn)出最后一件次品，有兩種可能：正次正次，正

正次次，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出結(jié)果.

【解答】解：第一次和第二次都檢驗(yàn)出次品的概率為尸I=2χL=L,

7621

恰好在第一次檢驗(yàn)出正品而在第四次檢驗(yàn)出最后一件次品，有兩種可能：正次正次，正

正次次，

概率為22=互×-X匡XuSX匡χ2X」=互.

7654765121

故答案為：?,_L.

2121

【點(diǎn)評】本題考查概率的運(yùn)算，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公

式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

12.(2020?天心區(qū)校級模擬)甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球,

3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以小，/2和用表示由甲

罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取

出的球是紅球的事件.則下列結(jié)論中正確的是.②⑷(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)).

第12頁(共21頁)

①P(8)=2;

5

②P(8∣4)=導(dǎo)

③事件B與事件4相互獨(dú)立；

④小，念，力3是兩兩互斥的事件.

【考點(diǎn)】條件概率與獨(dú)立事件；互斥事件與對立事件.

【專題】概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】由題意小，A2,加是兩兩互斥的事件，由條件概率公式求出尸(陰山)，P(B)

=P(小8)+P(AzB)+P(.A3B),對照四個(gè)命題進(jìn)行判斷找出正確命題，選出正確選項(xiàng).

【解答】解：由題意4,A2,小是兩兩互斥的事件，P(小)=-L=L,P(A2)=2

10210

=XP(出)

510

1XJ_

P(用小)=P(ElA!)_=-211=旦由此知，②正確；

P(AI)111

2

P(SU2)=±,P(8|/3)=—;

1111

而尸(B)=P(4B)+P(A2B)+P(A3B)=P(Ai)P(BMl)+尸(心)P(/加)+P

(用)P(BM3)=工X-L+J^X-L+_Lx_￡=_L.由此知①③不正確；

211511101122

Aι,A2,43是兩兩互斥的事件，由此知④正確；

對照四個(gè)命題知②④正確；

故答案為：0(4).

【點(diǎn)評】本題考查相互獨(dú)立事件，解題的關(guān)鍵是理解題設(shè)中的各個(gè)事件，且熟練掌握了

相互獨(dú)立事件的概率簡潔公式，條件概率的求法，本題較復(fù)雜，正確理解事件的內(nèi)蘊(yùn)是

解題的突破點(diǎn).

三.解答題(共4小題)

13.(2022?寶雞模擬)“X病毒”給人類社會(huì)帶來了極大的危害，我國政府和人民認(rèn)識(shí)到對

抗“X病毒”是一項(xiàng)長期而艱巨的任務(wù)，為了加強(qiáng)后備力量的培養(yǎng)，某地政府組織衛(wèi)生、

學(xué)校等部門，開展了一次“X病毒”檢測練兵活動(dòng).活動(dòng)組織者把3份不同的“X病毒”

咽拭子隨機(jī)分到3個(gè)組，并根據(jù)份額，增加不含“X病毒”的正常咽拭子，使每組有20

份咽拭子.規(guī)定每組先混合檢測，即將20份咽拭子分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若結(jié)果為

第13頁(共21頁)

陰性，則這20份咽拭子全為陰性，只需檢驗(yàn)一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確

這2份咽拭子究竟哪份為陽性，就需要對這20份再逐一檢驗(yàn)，此時(shí)這20份咽拭子的檢

驗(yàn)次數(shù)總共為21次.三組樣本檢驗(yàn)規(guī)則相同，每次檢測費(fèi)為60元.

（1）求檢測次數(shù)為23次的概率；

（2）設(shè)本次活動(dòng)檢測總費(fèi)用為Y元，求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）3份不同的“X病毒”被分到三個(gè)組的情況有3X3X3=27種，檢查次數(shù)為

23次，說明3份不同的“X病毒”被分到同一組，分到同一組的情況有3種情況，再結(jié)

合古典概型的概率公式，即可求解.

（2）由題意可得，Y所有可能取值為1380,2580,3780,分別求出對應(yīng)的概率，即可得

丫的分布列，并結(jié)合期望公式，即可求解.

【解答】解：（1）3份不同的“X病毒”被分到三個(gè)組的情況有3X3X3=27種，

檢查次數(shù)為23次，說明3份不同的“X病毒”被分到同一組，分到同一組的情況有3種

情況，

故檢測次數(shù)為23次的概率為a-L

279

（2）由題意可得，y所有可能取值為1380,2580,3780,

p（y=i380）

279

9??2

P（7=2580）=「2X_￡=_￡,

“273

??2

P（r=3780）=-L=±-,

279

故y的分布列為:

Y138025803780

P?22

9^____________石?____

故E（%）=1380×?+2580×?+3780×

yOye

【點(diǎn)評】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要學(xué)生熟練掌握期望公式，屬

于中檔題.

第14頁（共21頁）

14.（2019?深圳一模）某健身機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了去年該機(jī)構(gòu)所有消費(fèi)者的消費(fèi)金額（單位：元）,

如圖所示：

（1）將去年的消費(fèi)金額超過3200元的消費(fèi)者稱為“健身達(dá)人”，現(xiàn)從所有“健身達(dá)人”

中隨機(jī)抽取2人，求至少有1位消費(fèi)者，其去年的消費(fèi)金額超過4000元的概率；

（2）針對這些消費(fèi)者，該健身機(jī)構(gòu)今年欲實(shí)施入會(huì)制，詳情如表：

會(huì)員等級消費(fèi)金額

普通會(huì)員2000

銀卡會(huì)員2700

金卡會(huì)員3200

預(yù)計(jì)去年消費(fèi)金額在（0，1600］內(nèi)的消費(fèi)者今年都將會(huì)申請辦理普通會(huì)員，消費(fèi)金額在

（1600,3200］內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請辦理銀卡會(huì)員，消費(fèi)金額在（3200,4800］內(nèi)的消費(fèi)

者都將會(huì)申請辦理金卡會(huì)員.消費(fèi)者在申請辦理會(huì)員時(shí)，需一次性繳清相應(yīng)等級的消費(fèi)

金額.

該健身機(jī)構(gòu)在今年底將針對這些消費(fèi)者舉辦消費(fèi)返利活動(dòng)，現(xiàn)有如下兩種預(yù)設(shè)方案：

方案1：按分層抽樣從普通會(huì)員，銀卡會(huì)員，金卡會(huì)員中總共抽取25位“幸運(yùn)之星”給

予獎(jiǎng)勵(lì)：普通會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì)5（）0元；銀卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人

獎(jiǎng)勵(lì)600元；金卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì)800元.

方案2：每位會(huì)員均可參加摸獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：從一個(gè)裝有3個(gè)白球、2個(gè)紅球（球

只有顏色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一個(gè)球.若摸到紅球的總數(shù)

為2,則可獲得200元獎(jiǎng)勵(lì)金；若摸到紅球的總數(shù)為3,則可獲得300元獎(jiǎng)勵(lì)金；其他情

況不給予獎(jiǎng)勵(lì).規(guī)定每位普通會(huì)員均可參加1次摸獎(jiǎng)游戲；每位銀卡會(huì)員均可參加2次

摸獎(jiǎng)游戲；每位金卡會(huì)員均可參加3次摸獎(jiǎng)游戲（每次摸獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立）.

以方案2的獎(jiǎng)勵(lì)金的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，請你預(yù)測哪一種方案投資較少？并說明理由.

第15頁（共21頁）

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖.

【專題】應(yīng)用題：對應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】(1)根據(jù)題意計(jì)算隨機(jī)抽取的2人中去年消費(fèi)金額超過4000元的概率值；

(2)計(jì)算方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額H和方案2獎(jiǎng)勵(lì)的總金額比較大小即可.

【解答】解：(1)隨機(jī)抽取的2人中，去年的消費(fèi)金額超過4000元的消費(fèi)者有X人,

則X的可能取值為0,1,2；

「11「2

：.P(X2l)=P(X=I)+P(X=2)=—?-=lθ.+-3-=l?-:

CC333333

222

C819

X

J

2Z

（或尸（X21）=I-P（X=O）=1C33

1r

即去年的消費(fèi)金額超過4000元的概率為」旦；

33

(2)方案1：按分層抽樣從普通會(huì)員，銀卡會(huì)員，金卡會(huì)員中總共抽取25位“幸運(yùn)之星”,

則“幸運(yùn)之星”中的普通會(huì)員，銀卡會(huì)員，金卡會(huì)員的人數(shù)分別為空X25=7,3-X

100100

25=15,-1.2.×25=3,

100

按照方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額為a=7X500+15X600+3X800=14900(元)：

方案2：設(shè)η表示參加一次摸獎(jiǎng)游戲所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金，貝∣Jη的可能取值為0,200,300；

由摸到紅球的概率為P=EI=2

2.

5

P（η=200）.3=36

5^^125^,

P（η=3OO）=/（看）=8

^125^,

η的分布列為:

η0200300

P81368

岳岳

數(shù)學(xué)期望為En=OX&14200xB-+300X_L_=76.8（元）,

125125125

按照方案2獎(jiǎng)勵(lì)的總金額為

第16頁(共21頁)

&=(28+2×60+3×12)×76.8=14131.2(元)，

由日＞。知，方案2投資較少.

【點(diǎn)評】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題.

15.(2020?新課標(biāo)I)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：

累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰：比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者

與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩

余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.

經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為

2

(1)求甲連勝四場的概率；

(2)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】計(jì)算題；分類討論；分類法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)甲連勝四場只能是前四場全勝，由此能求出甲連勝四場的概率.

(2)根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場比賽，至多需要進(jìn)行五場比賽，比賽四場結(jié)束，共有

三種情況，甲連勝四場比賽，乙連勝四場比賽，丙上場后連勝三場，由此能求出需要進(jìn)

行五場比賽的概率.

(3)設(shè)/為甲輸，8為乙輸，C為丙輸，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事

件概率加法公式能求出丙最終獲勝的概率.

【解答】解：(I)甲連勝四場只能是前四場全勝，P=(1)4=A.

216

(2)根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場比賽，至多需要進(jìn)行五場比賽，

比賽四場結(jié)束，共有三種情況，

甲連勝四場的概率為」乙連勝四場比賽的概率為二一

1616

內(nèi)上場后連勝三場的概率為上，

8

.?.需要進(jìn)行第五場比賽的概率為：P=I-2--?--I=3.

161684

(3)設(shè)力為甲輸，8為乙輸，C為丙輸，則丙最終獲勝的概率為：

P=P(ABAB)+P(BABA)+P(ABACB)+P(BABCA)+P(ABCAB)+P(ABCBA)+P

(BACAB)+P(BACB4)+P(ACABB)+P(ACBAB)+P(BCABA)+P(BCBAA)

第17頁(共21頁)

=(?)4×2+(?)5×10

22

=J_

^16^'

【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式和互斥事件概率加法公

式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

16.(2021?日照模擬)已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書館閱覽室共有994個(gè)座位，假

設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨(dú)立的，且每個(gè)學(xué)生在每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的概率

均為0.1.

(1)將每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為X