廣西壯族自治區(qū)柳州市機(jī)關(guān)幼兒園附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

廣西壯族自治區(qū)柳州市機(jī)關(guān)幼兒園附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列四個(gè)命題中的真命題是（

）A．經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)的直線一定可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示B．經(jīng)過任意兩個(gè)不同點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示C．不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程=1表示D．經(jīng)過點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程y=kx＋b表示參考答案：B2.如圖，為互相垂直的單位向量，向量可表示為A．2

B．3

C．2

D．3參考答案：C略3.無理數(shù)是實(shí)數(shù)，是無理數(shù)，所以是實(shí)數(shù).以上三段論推理（

）A.正確 B.推理形式不正確C.兩個(gè)“無理數(shù)”概念不一致 D.兩個(gè)“實(shí)數(shù)”概念不一致參考答案：A【分析】分析一個(gè)演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提，小前提和結(jié)論是否都正確，根據(jù)三個(gè)方面都正確，得到結(jié)論．【詳解】解：∵無理數(shù)是實(shí)數(shù)，是無理數(shù)，所以是實(shí)數(shù)．大前提：無理數(shù)是實(shí)數(shù)是正確的，小前提：是無理數(shù)是正確的，結(jié)論：是實(shí)數(shù)是正確的，∴這個(gè)推理是正確的，故選：A．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)簡單的演繹推理，這種問題不用進(jìn)行運(yùn)算，只要根據(jù)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，判斷這種說法是否正確，是一個(gè)基礎(chǔ)題．4.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖像如左圖所示，那么函數(shù)的圖像最有可能的是（

）

參考答案：A略5.若函數(shù)f(x)=則f(log43)等于()a.

b.3

c.

d.4參考答案：B∵log43∈［0,1］,∴f(x)=4log43=3.6.橢圓的焦點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，已知，則的面積為（

）A.12

B.9

C.8

D.10參考答案：A7.已知向量，向量，且，則實(shí)數(shù)等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D8.甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是被甲擊中的概率為（）A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75參考答案：D【考點(diǎn)】CM：條件概率與獨(dú)立事件．【分析】根據(jù)題意，記甲擊中目標(biāo)為事件A，乙擊中目標(biāo)為事件B，目標(biāo)被擊中為事件C，由相互獨(dú)立事件的概率公式，計(jì)算可得目標(biāo)被擊中的概率，進(jìn)而由條件概率的公式，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，記甲擊中目標(biāo)為事件A，乙擊中目標(biāo)為事件B，目標(biāo)被擊中為事件C，則P（C）=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.6）（1﹣0.5）=0.8；則目標(biāo)是被甲擊中的概率為P==0.75；故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的計(jì)算，是基礎(chǔ)題，注意認(rèn)清事件之間的關(guān)系，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式正確計(jì)算即可．9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A．（log2x）′= B．（x+）′=1+C．（cosx）′=sinx D．（）′=參考答案：A【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：=，=1﹣，（cosx）′=﹣sinx，=，可知：只有A正確．故選：A．10.若方程所表示的曲線為C，給出下列四個(gè)命題：①若C為橢圓，則1<t<4，且t≠；②若C為雙曲線，則t>4或t<1；③曲線C不可能是圓；④若C表示橢圓，且長軸在x軸上，則1<t<.其中正確的命題是________．(把所有正確命題的序號(hào)都填在橫線上)參考答案：①②略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，且，則m=_______.參考答案：2由題意可得解得.【名師點(diǎn)睛】（1）向量平行：，,.（2）向量垂直：.（3）向量的運(yùn)算：.12.橢圓的焦點(diǎn)F1F2，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知PF1⊥PF2，則△F1PF2的面積為．參考答案：9【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的定義．【分析】根據(jù)橢圓的定義，PF1+PF2=2a=10∵PF1⊥PF2，由勾股定理得，PF12+PF22=F1F22=4c2=4×（25﹣9）=64

整體求出PF1×PF2，面積可求．【解答】解：根據(jù)橢圓的定義，PF1+PF2=2a=10

①∵PF1⊥PF2，由勾股定理得，PF12+PF22=F1F22=4c2=4×（25﹣9）=64

②①2﹣②得2PF1×PF2=100﹣64=36∴s△F1PF2=PF1×PF2=×18=9故答案為：9．13.對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x和y，由測得的一組數(shù)據(jù)已求得回歸直線的斜率為6.5，且恒過(2,3)點(diǎn)，則這條回歸直線的方程為________．參考答案：

14.若函數(shù)在在[1,2]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：

[16,+∞)15.有n個(gè)元素的集合的3元子集共有20個(gè)，則=_______.參考答案：6【分析】在個(gè)元素中選取個(gè)元素共有種，解=20即可得解.【詳解】在個(gè)元素中選取個(gè)元素共有種，解=20得，故答案為6.【點(diǎn)睛】本題考查了組合數(shù)在集合中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16.設(shè)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式解集為_______．參考答案：(1,+∞)【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意求得，由此判斷出在上遞增，由此求解出不等式的解集.【詳解】令，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式可化為，則，解得：．【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.17.已知雙曲線，F(xiàn)1、F2分別為它的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，設(shè)|PF1|=7，則|PF2|的值為_

__參考答案：13三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=aex+bxlnx圖象上x=1處的切線方程為y=2ex﹣e．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a和b的值；（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f（x）﹣ex2的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a和b的值；（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=f（x）﹣ex2的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的極值和最值關(guān)系即可求g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=aex+blnx+bx=aex+blnx+b，則f′（1）=ae+b，∵f（x）=aex+bxlnx圖象上x=1處的切線方程為y=2ex﹣e．∴當(dāng)x=1時(shí)，y=2e﹣e=e，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，e），則切線斜率k=f′（1）=ae+b=2e，f（1）=ae+bln1=ae=e，得a=1，b=e；（Ⅱ）∵a=1，b=e，∴f（x）=ex+exlnx，x＞0，則函數(shù)g（x）=f（x）﹣ex2=ex+exlnx﹣ex2，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=ex+e（1+lnx）﹣2ex，①，則g″（x）=ex+﹣2e，②，令φ（x）=ex﹣ex，則φ′（x）=ex﹣e，由φ′（x）=ex﹣e=0得x=1，∴當(dāng)x＞1時(shí)，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）遞增，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ′（x）＜0，函數(shù)φ（x）遞減，即當(dāng)0＜x≤1時(shí)，φ（x）≥φ（1）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，φ（x）＞φ（1）=0，即對(duì)?x∈（0，+∞），都有φ（x）≥0，即ex≥ex＞0，③，由②③得當(dāng)x＞0時(shí)，g″（x）≥ex+﹣2e≥2﹣2e=0，∴函數(shù)y=g′（x）在（0，+∞）上遞增，∴當(dāng)0＜x≤1時(shí)，g′（x）≤g′（1）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞g′（1）=0，即函數(shù)y=g（x）在（0，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，g（x）≥g（1）=0，④，當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0，⑤，由④⑤得?x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）≥0，⑥，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，不等式⑥取等號(hào)，從而g（x）的最小值為0．19.已知圓C同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①與y軸相切；②在直線y=x上截得弦長為2；③圓心在直線x﹣3y=0上．求圓C的方程．參考答案：【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】設(shè)所求的圓C與y軸相切，又與直線y=x交于AB，由題設(shè)知圓心C（3a，a），R=3|a|，再由點(diǎn)到直線的距離公式和勾股定理能夠求出a的值，從而得到圓C的方程．【解答】解設(shè)所求的圓C與y軸相切，又與直線y=x交于AB，∵圓心C在直線x﹣3y=0上，∴圓心C（3a，a），又圓與y軸相切，∴R=3|a|．又圓心C到直線y﹣x=0的距離．在Rt△CBD中，，∴9a2﹣2a2=7．a(chǎn)2=1，a=±1，3a=±3．∴圓心的坐標(biāo)C分別為（3，1）和（﹣3，﹣1），故所求圓的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．20.（16分）某倉庫為了保持內(nèi)溫度，四周墻上裝有如圖所示的通風(fēng)設(shè)施，該設(shè)施的下部是等邊三角形ABC，其中AB=2米，上部是半圓，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，△EMN是通風(fēng)窗，（其余部分不通風(fēng)）MN是可以沿設(shè)施的邊框上下滑動(dòng)且保持與AB平行的伸縮桿（MN和AB不重合）．（1）設(shè)MN與C之間的距離為x米，試將△EMN的面積S表示成x的函數(shù)S=f（x）；（2）當(dāng)MN與C之間的距離為多少時(shí)，△EMN面積最大？并求出最大值．參考答案：考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值．專題：三角函數(shù)的求值．分析：（1）當(dāng)M、N分別在AC、BC上時(shí)，先求出MN=2，可得△EMN的面積S=f（x）=MN?（x﹣）的解析式．當(dāng)M、N都在半圓上時(shí)，先求得MN=2x?tan30°，可得f（x）=MN?（﹣x）的解析式．（2）對(duì)于S=f（x）=MN?（x﹣）=?（x﹣），利用基本不等式可得f（x）求得它的最大值；對(duì)于S=f（x）=MN?（﹣x）=x?（﹣x），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最大值，綜合可得結(jié)論．解答： 解：（1）由題意可得半圓的半徑等于1，等邊三角形ABC的高為，當(dāng)M、N分別在AC、BC上時(shí)，MN=2，＜x＜+1．△EMN的面積S=f（x）=MN?（x﹣）=?（x﹣）．當(dāng)M、N都在半圓上時(shí)，MN=2x?tan30°=x，△EMN的面積S=f（x）=MN?（﹣x）=x?（﹣x）．（2）對(duì)于S=f（x）=MN?（x﹣）=?（x﹣），利用基本不等式可得f（x））≤=，當(dāng)且僅當(dāng)1﹣=，即x=+時(shí)取等號(hào)．對(duì)于S=f（x）=MN?（﹣x）=x?（﹣x）．利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x=時(shí)，f（x）取得最大值為．綜上可得，當(dāng)x=+時(shí)，△EMN的面積S=f（x）取得最大值為．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．21.已知函數(shù)，對(duì)任意的x∈（0，+∞），滿足，其中a，b為常數(shù)．（1）若f（x）的圖象在x=1處切線過點(diǎn)（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求證：；（3）當(dāng)f（x）存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；53：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）由求得a=b，代入原函數(shù)求得則f′（1），再求出f（1）由直線方程點(diǎn)斜式求得切線方程，代入（0，﹣5）求得a=﹣2；（2）求出=，令g（x）=（0＜x＜1），利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，則由g（x）＞g（1）＞0得答案；（3）求出函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+的導(dǎo)函數(shù)，分析可知當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)a＞0時(shí)，由△＞0求得a的范圍．進(jìn)一步求得導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，分別為，則x1＜1，x2＞1，由f（x）在（x1，1）上遞增，得f（x1）＜f（1）=0，再由，可得存在，使得f（x0）=0，結(jié)合，f（1）=0，可得使f（x）存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）．【解答】（1）解：由，且，得，即，∴a=b．則f（x）=lnx﹣ax+，∴，則f′（1）=1﹣2a，又f（1）=0，∴f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y﹣0=（1﹣2a）（x﹣1），即y=（1﹣2a）x﹣1+2a．∵（0，﹣5）在切線上，∴﹣5=﹣1+2a，即a=﹣2；（2）證明：∵f（x）=lnx﹣ax+，∴=，令g（x）=（0＜x＜1），則=＜0．∴g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，∵x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞g（1）=2ln1﹣+2﹣ln2=．∴0＜a＜1時(shí)，；（3）由f（x）=lnx﹣ax+，得=．當(dāng)a=0時(shí)，，f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)a＜0時(shí)，，f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)a＞0時(shí)，由△=1﹣4a2＞0，得0．則當(dāng)x∈（0，），（）時(shí)，f