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文檔簡介
廣西壯族自治區(qū)柳州市機關(guān)幼兒園附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.下列四個命題中的真命題是(
)A.經(jīng)過點P(x0,y0)的直線一定可以用方程y-y0=k(x-x0)表示B.經(jīng)過任意兩個不同點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示C.不經(jīng)過原點的直線都可以用方程=1表示D.經(jīng)過點A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示參考答案:B2.如圖,為互相垂直的單位向量,向量可表示為A.2
B.3
C.2
D.3參考答案:C略3.無理數(shù)是實數(shù),是無理數(shù),所以是實數(shù).以上三段論推理(
)A.正確 B.推理形式不正確C.兩個“無理數(shù)”概念不一致 D.兩個“實數(shù)”概念不一致參考答案:A【分析】分析一個演繹推理是否正確,主要觀察所給的大前提,小前提和結(jié)論是否都正確,根據(jù)三個方面都正確,得到結(jié)論.【詳解】解:∵無理數(shù)是實數(shù),是無理數(shù),所以是實數(shù).大前提:無理數(shù)是實數(shù)是正確的,小前提:是無理數(shù)是正確的,結(jié)論:是實數(shù)是正確的,∴這個推理是正確的,故選:A.【點睛】本題是一個簡單的演繹推理,這種問題不用進行運算,只要根據(jù)所學(xué)的知識點,判斷這種說法是否正確,是一個基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如左圖所示,那么函數(shù)的圖像最有可能的是(
)
參考答案:A略5.若函數(shù)f(x)=則f(log43)等于()a.
b.3
c.
d.4參考答案:B∵log43∈[0,1],∴f(x)=4log43=3.6.橢圓的焦點為橢圓上的一點,已知,則的面積為(
)A.12
B.9
C.8
D.10參考答案:A7.已知向量,向量,且,則實數(shù)等于(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D8.甲、乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次,命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標被擊中,則它是被甲擊中的概率為()A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75參考答案:D【考點】CM:條件概率與獨立事件.【分析】根據(jù)題意,記甲擊中目標為事件A,乙擊中目標為事件B,目標被擊中為事件C,由相互獨立事件的概率公式,計算可得目標被擊中的概率,進而由條件概率的公式,計算可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,記甲擊中目標為事件A,乙擊中目標為事件B,目標被擊中為事件C,則P(C)=1﹣P()P()=1﹣(1﹣0.6)(1﹣0.5)=0.8;則目標是被甲擊中的概率為P==0.75;故選D.【點評】本題考查條件概率的計算,是基礎(chǔ)題,注意認清事件之間的關(guān)系,結(jié)合條件概率的計算公式正確計算即可.9.下列求導(dǎo)運算正確的是()A.(log2x)′= B.(x+)′=1+C.(cosx)′=sinx D.()′=參考答案:A【考點】63:導(dǎo)數(shù)的運算.【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算法則即可得出.【解答】解:=,=1﹣,(cosx)′=﹣sinx,=,可知:只有A正確.故選:A.10.若方程所表示的曲線為C,給出下列四個命題:①若C為橢圓,則1<t<4,且t≠;②若C為雙曲線,則t>4或t<1;③曲線C不可能是圓;④若C表示橢圓,且長軸在x軸上,則1<t<.其中正確的命題是________.(把所有正確命題的序號都填在橫線上)參考答案:①②略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量,且,則m=_______.參考答案:2由題意可得解得.【名師點睛】(1)向量平行:,,.(2)向量垂直:.(3)向量的運算:.12.橢圓的焦點F1F2,P為橢圓上的一點,已知PF1⊥PF2,則△F1PF2的面積為.參考答案:9【考點】橢圓的簡單性質(zhì);橢圓的定義.【分析】根據(jù)橢圓的定義,PF1+PF2=2a=10∵PF1⊥PF2,由勾股定理得,PF12+PF22=F1F22=4c2=4×(25﹣9)=64
整體求出PF1×PF2,面積可求.【解答】解:根據(jù)橢圓的定義,PF1+PF2=2a=10
①∵PF1⊥PF2,由勾股定理得,PF12+PF22=F1F22=4c2=4×(25﹣9)=64
②①2﹣②得2PF1×PF2=100﹣64=36∴s△F1PF2=PF1×PF2=×18=9故答案為:9.13.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x和y,由測得的一組數(shù)據(jù)已求得回歸直線的斜率為6.5,且恒過(2,3)點,則這條回歸直線的方程為________.參考答案:
14.若函數(shù)在在[1,2]上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是
.參考答案:
[16,+∞)15.有n個元素的集合的3元子集共有20個,則=_______.參考答案:6【分析】在個元素中選取個元素共有種,解=20即可得解.【詳解】在個元素中選取個元素共有種,解=20得,故答案為6.【點睛】本題考查了組合數(shù)在集合中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16.設(shè)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),且滿足,則不等式解集為_______.參考答案:(1,+∞)【分析】構(gòu)造函數(shù),結(jié)合題意求得,由此判斷出在上遞增,由此求解出不等式的解集.【詳解】令,,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,不等式可化為,則,解得:.【點睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.17.已知雙曲線,F(xiàn)1、F2分別為它的左、右焦點,P為雙曲線上一點,設(shè)|PF1|=7,則|PF2|的值為_
__參考答案:13三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f(x)=aex+bxlnx圖象上x=1處的切線方程為y=2ex﹣e.(Ⅰ)求實數(shù)a和b的值;(Ⅱ)求函數(shù)g(x)=f(x)﹣ex2的最小值.參考答案:【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.【分析】(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系即可求實數(shù)a和b的值;(Ⅱ)求函數(shù)g(x)=f(x)﹣ex2的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,判斷函數(shù)的極值和最值關(guān)系即可求g(x)的最小值.【解答】解:(Ⅰ)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=aex+blnx+bx=aex+blnx+b,則f′(1)=ae+b,∵f(x)=aex+bxlnx圖象上x=1處的切線方程為y=2ex﹣e.∴當x=1時,y=2e﹣e=e,即切點坐標為(1,e),則切線斜率k=f′(1)=ae+b=2e,f(1)=ae+bln1=ae=e,得a=1,b=e;(Ⅱ)∵a=1,b=e,∴f(x)=ex+exlnx,x>0,則函數(shù)g(x)=f(x)﹣ex2=ex+exlnx﹣ex2,函數(shù)的定義域為(0,+∞),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′(x)=ex+e(1+lnx)﹣2ex,①,則g″(x)=ex+﹣2e,②,令φ(x)=ex﹣ex,則φ′(x)=ex﹣e,由φ′(x)=ex﹣e=0得x=1,∴當x>1時,φ′(x)>0,函數(shù)φ(x)遞增,當0<x<1時,φ′(x)<0,函數(shù)φ(x)遞減,即當0<x≤1時,φ(x)≥φ(1)=0,當x>1時,φ(x)>φ(1)=0,即對?x∈(0,+∞),都有φ(x)≥0,即ex≥ex>0,③,由②③得當x>0時,g″(x)≥ex+﹣2e≥2﹣2e=0,∴函數(shù)y=g′(x)在(0,+∞)上遞增,∴當0<x≤1時,g′(x)≤g′(1)=0,當x>1時,g′(x)>g′(1)=0,即函數(shù)y=g(x)在(0,1]上遞減,在[1,+∞)上遞增,當0<x≤1時,g(x)≥g(1)=0,④,當x>1時,g(x)>g(1)=0,⑤,由④⑤得?x∈(0,+∞),都有g(shù)(x)≥0,⑥,當且僅當x=1時,不等式⑥取等號,從而g(x)的最小值為0.19.已知圓C同時滿足下列三個條件:①與y軸相切;②在直線y=x上截得弦長為2;③圓心在直線x﹣3y=0上.求圓C的方程.參考答案:【考點】圓的標準方程.【分析】設(shè)所求的圓C與y軸相切,又與直線y=x交于AB,由題設(shè)知圓心C(3a,a),R=3|a|,再由點到直線的距離公式和勾股定理能夠求出a的值,從而得到圓C的方程.【解答】解設(shè)所求的圓C與y軸相切,又與直線y=x交于AB,∵圓心C在直線x﹣3y=0上,∴圓心C(3a,a),又圓與y軸相切,∴R=3|a|.又圓心C到直線y﹣x=0的距離.在Rt△CBD中,,∴9a2﹣2a2=7.a(chǎn)2=1,a=±1,3a=±3.∴圓心的坐標C分別為(3,1)和(﹣3,﹣1),故所求圓的方程為(x﹣3)2+(y﹣1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.20.(16分)某倉庫為了保持內(nèi)溫度,四周墻上裝有如圖所示的通風設(shè)施,該設(shè)施的下部是等邊三角形ABC,其中AB=2米,上部是半圓,點E為AB的中點,△EMN是通風窗,(其余部分不通風)MN是可以沿設(shè)施的邊框上下滑動且保持與AB平行的伸縮桿(MN和AB不重合).(1)設(shè)MN與C之間的距離為x米,試將△EMN的面積S表示成x的函數(shù)S=f(x);(2)當MN與C之間的距離為多少時,△EMN面積最大?并求出最大值.參考答案:考點:三角函數(shù)的最值.專題:三角函數(shù)的求值.分析:(1)當M、N分別在AC、BC上時,先求出MN=2,可得△EMN的面積S=f(x)=MN?(x﹣)的解析式.當M、N都在半圓上時,先求得MN=2x?tan30°,可得f(x)=MN?(﹣x)的解析式.(2)對于S=f(x)=MN?(x﹣)=?(x﹣),利用基本不等式可得f(x)求得它的最大值;對于S=f(x)=MN?(﹣x)=x?(﹣x),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f(x)的最大值,綜合可得結(jié)論.解答: 解:(1)由題意可得半圓的半徑等于1,等邊三角形ABC的高為,當M、N分別在AC、BC上時,MN=2,<x<+1.△EMN的面積S=f(x)=MN?(x﹣)=?(x﹣).當M、N都在半圓上時,MN=2x?tan30°=x,△EMN的面積S=f(x)=MN?(﹣x)=x?(﹣x).(2)對于S=f(x)=MN?(x﹣)=?(x﹣),利用基本不等式可得f(x))≤=,當且僅當1﹣=,即x=+時取等號.對于S=f(x)=MN?(﹣x)=x?(﹣x).利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得當x=時,f(x)取得最大值為.綜上可得,當x=+時,△EMN的面積S=f(x)取得最大值為.點評:本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系,基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.21.已知函數(shù),對任意的x∈(0,+∞),滿足,其中a,b為常數(shù).(1)若f(x)的圖象在x=1處切線過點(0,﹣5),求a的值;(2)已知0<a<1,求證:;(3)當f(x)存在三個不同的零點時,求a的取值范圍.參考答案:【考點】6H:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程;53:函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系;6K:導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用.【分析】(1)由求得a=b,代入原函數(shù)求得則f′(1),再求出f(1)由直線方程點斜式求得切線方程,代入(0,﹣5)求得a=﹣2;(2)求出=,令g(x)=(0<x<1),利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)在(0,1)上為減函數(shù),則由g(x)>g(1)>0得答案;(3)求出函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+的導(dǎo)函數(shù),分析可知當a≤0時,f′(x)>0,f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),不符合題意;當a>0時,由△>0求得a的范圍.進一步求得導(dǎo)函數(shù)的兩個零點,分別為,則x1<1,x2>1,由f(x)在(x1,1)上遞增,得f(x1)<f(1)=0,再由,可得存在,使得f(x0)=0,結(jié)合,f(1)=0,可得使f(x)存在三個不同的零點時的實數(shù)a的取值范圍是(0,).【解答】(1)解:由,且,得,即,∴a=b.則f(x)=lnx﹣ax+,∴,則f′(1)=1﹣2a,又f(1)=0,∴f(x)的圖象在x=1處的切線方程為y﹣0=(1﹣2a)(x﹣1),即y=(1﹣2a)x﹣1+2a.∵(0,﹣5)在切線上,∴﹣5=﹣1+2a,即a=﹣2;(2)證明:∵f(x)=lnx﹣ax+,∴=,令g(x)=(0<x<1),則=<0.∴g(x)在(0,1)上為減函數(shù),∵x∈(0,1)時,g(x)>g(1)=2ln1﹣+2﹣ln2=.∴0<a<1時,;(3)由f(x)=lnx﹣ax+,得=.當a=0時,,f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),不符合題意;當a<0時,,f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),不符合題意;當a>0時,由△=1﹣4a2>0,得0.則當x∈(0,),()時,f
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