2022年云南省昆明市云大附中高二數學理測試題含解析

2022年云南省昆明市云大附中高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.α，β表示兩個不同的平面，l表示既不在α內也不在β內的直線，存在以下三種情況：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β．若以其中兩個為條件，另一個為結論，構成命題，其中正確命題的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C【考點】空間中直線與直線之間的位置關系；空間中直線與平面之間的位置關系．【專題】探究型；空間位置關系與距離．【分析】分別利用線面垂直的性質及面面垂直的判定、面面垂直的性質及線面平行的判定，即可得到結論．【解答】解：∵α、β表示平面，l表示不在α內也不在β內的直線，①l⊥α，②l∥β，③α⊥β，∴以①②作為條件，③作為結論，即若l⊥α，l∥β，根據線面垂直的性質及面面垂直的判定，可得α⊥β，故是真命題；以①③作為條件，②作為結論，即若l⊥α，α⊥β，根據面面垂直的性質及線面平行的判定，可得l∥β，故是真命題；以②③作為條件，①作為結論，即若l∥β，α⊥β，則l⊥α，或l與α相交，故是假命題．故選C．【點評】本題考查線面垂直、面面垂直的判定與性質，考查學生的推理能力，屬于中檔題．2.若函數是上的單調函數，則實數的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C3.直線x﹣y+1=0的傾斜角為（）A．﹣45° B．﹣30° C．45° D．135°參考答案：C【考點】直線的傾斜角．【分析】把已知直線的方程變形后，找出直線的斜率，根據直線斜率與傾斜角的關系，即直線的斜率等于傾斜角的正切值，得到傾斜角的正切值，由傾斜角的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出傾斜角的度數．【解答】解：由直線x﹣y+1=0變形得：y=x+1所以該直線的斜率k=1，設直線的傾斜角為α，即tanα=1，∵α∈[0，180°），∴α=45°．故選C．4.函數的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中m，n均大于0，則的最小值為（）A.2 B.4 C.8 D.16參考答案：C試題分析：根據對數函數的性質先求出A的坐標，代入直線方程可得m、n的關系，再利用1的代換結合均值不等式求解即可．解：∵x=﹣2時，y=loga1﹣1=﹣1，∴函數y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵點A在直線mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，=（）（2m+n）=2+++2≥4+2?=8，當且僅當m=，n=時取等號．故選C．考點：基本不等式在最值問題中的應用．5.觀察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根據上述規(guī)律，13+23+33+43+53+63=（）A．192 B．202 C．212 D．222參考答案：C【考點】歸納推理；等差數列與等比數列的綜合．【分析】解答此類的方法是從特殊的前幾個式子進行分析找出規(guī)律．觀察前幾個式子的變化規(guī)律，發(fā)現每一個等式左邊為立方和，右邊為平方的形式，且左邊的底數在增加，右邊的底數也在增加．從中找規(guī)律性即可．【解答】解：∵所給等式左邊的底數依次分別為1，2；1，2，3；1，2，3，4；右邊的底數依次分別為3，6，10，（注意：這里3+3=6，6+4=10），∴由底數內在規(guī)律可知：第五個等式左邊的底數為1，2，3，4，5，6，右邊的底數為10+5+6=21．又左邊為立方和，右邊為平方的形式，故有13+23+33+43+53+63=212．故選C．6.已知橢圓的對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點和兩個焦點的連線構成一個正三角形，且焦點到橢圓上的點的最短距離為，則橢圓的方程為（

）A.

B.或C.

D.或參考答案：D略7.不等式x2+ax+4＜0的解集為空集，則a的取值范圍是（）A．[﹣4，4] B．（﹣4，4） C．（﹣∞，﹣4）]∪[4，+∞]） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）參考答案：A【考點】一元二次不等式的解法．【分析】利用一元二次函數圖象，分析不等式解集為空集的條件，再求解即可．【解答】解：∵不等式x2+ax+4＜0的解集為空集，∴△=a2﹣16≤0?﹣4≤a≤4．故選A【點評】本題考查一元二次不等式的解集．8.若△ABC的個頂點坐標A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周長為18，則頂點C的軌跡方程為（）A． B．（y≠0）C．（y≠0） D．（y≠0）參考答案：D【考點】與直線有關的動點軌跡方程；橢圓的標準方程．【分析】由△ABC的個頂點坐標A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周長為18，得頂點C到A、B的距離和為定值10＞8，由橢圓定義可知，頂點C的軌跡為橢圓，且求得橢圓的長軸長及焦距，則答案可求．【解答】解：∵A（﹣4，0）、B（4，0），∴|AB|=8，又△ABC的周長為18，∴|BC|+|AC|=10．∴頂點C的軌跡是一個以A、B為焦點的橢圓，則a=5，c=4，b2=a2﹣c2=25﹣16=9，∴頂點C的軌跡方程為．故選：D．9.直線y=x+1被橢圓=1所截得的弦的中點坐標是(

)A.(,).

B.(,).

C.(–,).

D.(–,–).參考答案：C略10.甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東的方向，兩船相距海里，乙船正在向北行駛，若甲船的速度是乙船的倍，則甲船應取北偏東方向前進，才能盡快追上乙船，此時（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（本大題12分）在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，求直線AM與CN所成角的余弦值參考答案：直線AM和CN所成角的余弦值為12.若復數z滿足z(1+i)=1-i(i是虛數單位),則其共軛復數=.參考答案：i略13.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x=

噸.參考答案：2014.已知，且，那么__________．參考答案：-10【分析】函數y＝ax5+bx3+sinx為奇函數，從而可以求出f（2）【詳解】f（x）+f（-x）=0得函數y＝ax5+bx3+sinx為奇函數，∴f（2）＝-10．故答案為-10．【點睛】考查奇函數的定義，奇函數滿足f（﹣x）+f（x）＝0，是基礎題

15.一個容量為20的樣本數據，分組后，組距和頻數如下：［10，20)，2；［20，30)，3；［30，40)，4；［40，50)，5；［50，60)，4；［60，70］，2．則樣本數據在區(qū)間［50，+∞)上的頻率為

▲

.參考答案：略16.已知每條棱長都為3的直平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，長為2的線段MN的一個端點M在DD1上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動.則MN中點P的軌跡與直平行六面體的表面所圍成的較小的幾何體的體積為_____

______.參考答案：17.已知，其中、為實數，則

.參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在一次數學考試中，第21題和第22題為選做題，規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題．設每位考生選做每一題的可能性均為．（1）求甲、乙兩名學生選做同一道題的概率；（2）設4名考生中選做第22題的學生個數為，求的概率分布及數學期望．參考答案：解：（1）設事件表示“甲選做第21題”，事件表示“乙選做第21題”，則甲、乙兩名學生選做同一道題的事件為“”，

…………2分∴=.………6分（2）隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4，且～，

…………8分∴，

…………10分∴變量的分布列為：01234

…12分

(或).

………14分略19.如圖，P是直線x=4上一動點，以P為圓心的圓Γ經定點B（1，0），直線l是圓Γ在點B處的切線，過A（﹣1，0）作圓Γ的兩條切線分別與l交于E，F兩點．（1）求證：|EA|+|EB|為定值；（2）設直線l交直線x=4于點Q，證明：|EB|?|FQ|=|BF|?|EQ|．參考答案：【分析】（1）設AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點為N，則EM=EB，可得|EA|+|EB|=|AM|====4；（2）確定E，F均在橢圓=1上，設直線EF的方程為x=my+1（m≠0），聯立，E，B，F，Q在同一條直線上，|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等價于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2，利用韋達定理，即可證明結論．【解答】證明：（1）設AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點為N，則EM=EB，∴|EA|+|EB|=|AM|====4為定值；（2）同理|FA|+|FB|=4，∴E，F均在橢圓=1上，設直線EF的方程為x=my+1（m≠0），令x=4，yQ=，直線與橢圓方程聯立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，設E（x1，y1），F（x2，y2），則y1+y2=﹣，y1y2=﹣∵E，B，F，Q在同一條直線上，∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等價于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2，∴2y1y2=（y1+y2）?，代入y1+y2=﹣，y1y2=﹣成立，∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|．20.參考答案：解：（1）直線的參數方程為，即．

………………3分曲線C的普通方程為

………………6分

（2）把直線代入，

得，……8分，………………10分

則點到兩點的距離之積為．………………12分

略21.已知函數f（x）=ax3+bx2的圖象經過點M（1，4），且在x=﹣2取得極值．（1）求實數a，b的值；（2）若函數f（x）在區(qū)間（m，m+1）上單調遞增，求m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）將M的坐標代入f（x）的解析式，得到關于a，b的一個等式；求出導函數，根據f′（1）=﹣2，列出關于a，b的另一個等式，解方程組，求出a，b的值．（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函數的單調遞增區(qū)間，據題意知（m，m+1）?（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），列出端點的大小，求出m的范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的圖象經過點M（1，4），∴a+b=4

①式f′（x）=3ax2+2bx，則f′（﹣2）=0，即﹣6a+2b=0

②式由①②式解得a=1，b=3；（2）f（x）=x3+3x2，f′（x）=3x2+6x，令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，∵函數f（x）在區(qū)間（m，m+1）上單調遞增∴（m，m+1）?（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3．22.(本題滿分10分)已知如圖，是邊長為1的正三角形，⊥平面，且，點關于平面的對稱點為，連線交面于點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求線段