2022-2023學(xué)年山東省淄博市金城中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年山東省淄博市金城中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.(－∞，－1]和[0,1] B.[－1,0]和[1，＋∞)C.[－1,1] D.(－∞，－1]和[1，＋∞)參考答案：A【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),求使得導(dǎo)函數(shù)小于的自變量的范圍進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間.【詳解】y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0，得單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(0，1).故答案為：A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)大于0，解得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的減區(qū)間；注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定要寫成區(qū)間的形式.2.已知結(jié)論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC的重心，則”，若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長都相等的四面體ABCD中，若△BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等，則=（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】F3：類比推理．【分析】類比平面幾何結(jié)論，推廣到空間，則有結(jié)論：“=3”．設(shè)正四面體ABCD邊長為1，易求得AM=，又O到四面體各面的距離都相等，所以O(shè)為四面體的內(nèi)切球的球心，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則有r=，可求得r即OM，從而可驗(yàn)證結(jié)果的正確性．【解答】解：推廣到空間，則有結(jié)論：“=3”．設(shè)正四面體ABCD邊長為1，易求得AM=，又O到四面體各面的距離都相等，所以O(shè)為四面體的內(nèi)切球的球心，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則有r=，可求得r即OM=，所以AO=AM﹣OM=，所以=3故答案為：33.已知直線ax+2y﹣1=0與直線（a﹣4）x﹣ay+1=0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．0 B．﹣4或2 C．0或6 D．﹣4參考答案：C【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直時(shí)，它們的斜率之積等于﹣1，解方程求得a的值．【解答】解：直線ax+2y﹣1=0與直線（a﹣4）x﹣ay+1=0垂直，a≠0時(shí)，它們的斜率之積等于﹣1，可得﹣×=﹣1，a=0時(shí)，直線y=和x=垂直，適合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直斜率之積等于﹣1，屬于基礎(chǔ)題．4.下列四個(gè)命題：①“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題②“全等三角形的面積相等”的否命題③“若k＞0，則方程x2+2x﹣k=0有實(shí)根”的逆否命題④“若ab≠0，則a≠0”的否命題其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)參考答案：C【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①，“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題為“三個(gè)內(nèi)角均為60°的三角形是等邊三角形”；②，“全等三角形的面積相等”的否命題為“不全等三角形的面積不相等“；③，“若k＞0，則方程x2+2x﹣k=0有實(shí)根”是真命題，其逆否命題一定是真命題；④，“若ab≠0，則a≠0”的否命題為：“若ab=0，則a=0”．【解答】解：對(duì)于①，“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題為“三個(gè)內(nèi)角均為60°的三角形是等邊三角形”，故①正確；對(duì)于②，“全等三角形的面積相等”的否命題為“不全等三角形的面積不相等”，故②錯(cuò)；對(duì)于③，“若k＞0，則方程x2+2x﹣k=0有實(shí)根”是真命題，其逆否命題一定是真命題，故③正確；對(duì)于④，“若ab≠0，則a≠0”的否命題為：“若ab=0，則a=0”，故④錯(cuò)；故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判定，涉及到了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．5.下列四個(gè)命題：①使用抽簽法，每個(gè)個(gè)體被抽中的機(jī)會(huì)相等；②將十進(jìn)制數(shù)化為二進(jìn)制數(shù)為；③利用秦九韶算法求多項(xiàng)式在的值時(shí)；④已知一個(gè)線性回歸方程是，則變量之間具有正相關(guān)關(guān)系．

其中真命題的個(gè)數(shù)是

（

）A．1

B.2

C．3

D．4參考答案：B6.設(shè)，那么(

) A．a(chǎn)a＜bb＜ba B．a(chǎn)a＜bb＜a C．a(chǎn)b＜ba＜aa D．a(chǎn)b＜aa＜ba參考答案：D考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=為減函數(shù)，結(jié)合已知可得：0＜a＜b＜1，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)g（x）=ax為減函數(shù)，函數(shù)h（x）=xa為增函數(shù)，可得答案．解答： 解：∵函數(shù)f（x）=為減函數(shù)，且，∴0＜a＜b＜1，∴函數(shù)g（x）=ax為減函數(shù)，即ab＜aa，函數(shù)h（x）=xa為增函數(shù)，即aa＜ba，故ab＜aa＜ba，故選：D點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵．7.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若a、b、c成等比數(shù)列，且,則等于

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B8.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)===2﹣i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（2，﹣1）在第四象限．故選：D．9.從裝有紅球、黑球和白球的口袋中摸出一個(gè)球，若摸出的球是紅球的概率是0.4，摸出的球是黑球的概率是0.25，那么摸出的球是白球的概率是（

）Ａ0.35Ｂ0.65Ｃ0.1Ｄ不能確定參考答案：A略10.下列四個(gè)命題中：①“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題；②“若k＞0，則方程x2+2x﹣k=0有實(shí)根”的逆否命題；③“全等三角形的面積相等”的否命題；④“若ab≠0，則a≠0”的否命題．其中真命題的序號(hào)是（）A．②、③ B．③、④ C．①、④ D．①、②參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①，逆命題：三個(gè)內(nèi)角均為60°的三角形是等邊三角形；②，原命題為真，其逆否命題與原命題同真假；③，“全等三角形的面積相等”的否命題：不全等三角形的不面積相等；④，“若ab=0，則a=0或b=0”．【解答】解：對(duì)于①“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°”的逆命題：三個(gè)內(nèi)角均為60°的三角形是等邊三角形，故為真命題；對(duì)于②，“若k＞0，則方程x2+2x﹣k=0的△=4+4k＞0，有實(shí)根”，∴原命題為真，其逆否命題與原命題同真假，故為真命題；對(duì)于③，“全等三角形的面積相等”的否命題：不全等三角形的不面積相等，故為假命題；對(duì)于④，“若ab≠0，則a≠0”的否命題：“若ab=0，則a=0”，故為假命題．故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的四種形式的轉(zhuǎn)換，及真假判定，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.拋物線的準(zhǔn)線方程是_____．參考答案：y=－1拋物線的方程為故其準(zhǔn)線方程為故答案為

12.設(shè)實(shí)數(shù)a＞﹣1，b＞0，且滿足ab+a+b=1，則的最大值為

．參考答案：6﹣4【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】由已知條件可得b=且﹣1＜a＜1，代入消元并變形可得=﹣[（a+3）+]+6，由基本不等式求最值的方法可得．【解答】解：∵a＞﹣1，b＞0，且滿足ab+a+b=1，∴（a+1）b=1﹣a，∴b=，由b=＞0可得﹣1＜a＜1，∴====﹣（a+3）﹣+6=﹣[（a+3）+]+6≤﹣2+6=6﹣4當(dāng)且僅當(dāng)（a+3）=即a=3﹣2時(shí)取等號(hào)，∵a=3﹣2滿足﹣1＜a＜1，∴的最大值為：6﹣4故答案為：6﹣4．13.如圖所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是

．參考答案：90°【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角．【分析】由題意設(shè)棱長為a，補(bǔ)正三棱柱ABC﹣A2B2C2，構(gòu)造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，從而求解．【解答】解：設(shè)棱長為a，補(bǔ)正三棱柱ABC﹣A2B2C2（如圖）．平移AB1至A2B，連接A2M，∠MBA2即為AB1與BM所成的角，在△A2BM中，A2B=a，BM==a，A2M==a，∴A2B2+BM2=A2M2，∴∠MBA2=90°．故答案為90°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了異面直線及其所成的角和勾股定理的應(yīng)用，計(jì)算比較復(fù)雜，要仔細(xì)的做．14.若雙曲線=1（a＞0）的一條漸近線方程為y=2x，則a=．參考答案：1【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線的漸近線方程，得到a的值即可．【解答】解：雙曲線=1（a＞0）的一條漸近線方程為y=2x，可得：，解得a=1．故答案為：1．15.甲、乙、丙、丁四人分別去買體育彩票各一張，恰有一人中獎(jiǎng)．他們的對(duì)話如下，甲說：“我沒中獎(jiǎng)”；乙說：“我也沒中獎(jiǎng)，丙中獎(jiǎng)了”；丙說：“我和丁都沒中獎(jiǎng)”；丁說：“乙說的是事實(shí)”．已知四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，由此可判斷中獎(jiǎng)的是

．參考答案：乙16..設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長分別為.若，則則角_________參考答案：略17.拋物線的準(zhǔn)線方程為

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）（本小題滿分5分）選修4-2：矩陣與變換已知矩陣,A的一個(gè)特征值，屬于λ的特征向量是.,求矩陣A與其逆矩陣.參考答案：解:（1）①由，得，解得，……3分A-1=…5分略

19.已知函數(shù)f（x）=（k＞0）．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)k=1時(shí)，若存在x＞0，使lnf（x）＞ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)k討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，g（x）=（x＞0），存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等價(jià)于a＜g（x）max，由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=，當(dāng)k＜0時(shí)，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，可得0＜x＜2∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，2）；當(dāng)k＞0時(shí)，令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜2∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，0），（2，+∞）；（2）當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=，x＞0，1nf（x）＞ax成立，等價(jià)于a＜，設(shè)g（x）=（x＞0）存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等價(jià)于a＜g（x）max，g′（x）=，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＜0∴g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．∴g（x）max=g（e）=﹣1，∴a＜﹣1．20.如圖,四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,E,F分別是AC,PB的中點(diǎn).求證：(1)EF∥平面PCD；(2)BD⊥平面PAC.參考答案：證明:(Ⅰ)連結(jié)BD,則E是BD的中點(diǎn).又F是PB的中點(diǎn),所以EF∥PD.

因?yàn)镋F?平面PCD,所以EF∥平面PCD.

……6分(Ⅱ)

∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.又PA⊥平面ABC，

∴PA⊥BD.又∴BD⊥平面PAC.

…12分略21.已知曲線

(為參數(shù)),

(為參數(shù))．(1)化的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;(2)若曲線和相交于兩點(diǎn),求．參考答案：(1),曲線表示經(jīng)過和兩點(diǎn)的直線;曲線表示以為圓心,1為半徑的圓．(2)曲線的左頂點(diǎn)為,則直線的參數(shù)方程為

(為參數(shù))將其代入曲線整理可得:,設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為,則．所以分析：本題主要考查的是直線和圓的參數(shù)方程與普通方程的互化以及直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.(1)消參即可把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程;(2)根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解．22.在如圖所示的多面體中，平面，平面，，且，是的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：．（Ⅱ）求平