物理世界中最美麗的公式

世界上最美麗的公式1.馬克士威的電磁學(xué)方程式

(電的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律，以及經(jīng)他修正過的安培定律)力學(xué)的基礎(chǔ)由牛頓建立，同樣，電磁學(xué)的基本在“馬克士威的方程式”，解開此方程式才能進(jìn)入電磁學(xué)。由于此方程式先預(yù)知了電磁波的存在，然后才發(fā)現(xiàn)電磁波確實(shí)存在。馬克士威于1831年生于英國愛丁堡，數(shù)學(xué)天才加上敏銳的物理直覺，使他很快成為一位卓越的物理學(xué)家。而馬克士威去世的那一年，就是愛因斯坦出生之年。馬克士威最重要的貢獻(xiàn)，當(dāng)然是他所提出的一組電磁學(xué)方程組——它由四個(gè)偏微分方程式組成(亦可轉(zhuǎn)換成積分方程式)，每個(gè)方程式對(duì)應(yīng)一個(gè)重要的電磁學(xué)定律。有意思的是各定律皆非他所發(fā)現(xiàn)，卻是他將四個(gè)定律放在一起，并整理成形式統(tǒng)一的數(shù)學(xué)式———電的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律，以及經(jīng)他修正過的安培定律。原則上，宇宙間任何的電磁現(xiàn)象，皆為這四個(gè)定律所涵蓋。在提出這組完美的方程組之后，馬克士威進(jìn)一步在這些數(shù)學(xué)式中尋找新的物理現(xiàn)象，竟以紙筆推算出電磁波的存在，甚至連波速都算了出來。這個(gè)理論中的波速竟然和當(dāng)時(shí)已知的光速非常接近，因此他做出一個(gè)大膽的假設(shè)：電磁波是真正存在的物理實(shí)體，而可見光是電磁波的一個(gè)特例。遺憾的是，他有生之年未能見證電磁波存在的客觀證據(jù)。直到1887年，赫茲在實(shí)驗(yàn)室制造并測(cè)得電磁波，量到電磁波的波長與波速。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與馬克士威的預(yù)測(cè)完全符合。進(jìn)入二十世紀(jì)后，電磁波的每個(gè)波段(包括無線長波、無線短波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X射線、γ射線)都找到了實(shí)用價(jià)值，成為人類不可一日或缺的伙伴。我們當(dāng)時(shí)學(xué)的時(shí)候，翻譯成麥克斯韋。馬克士威這種發(fā)音更像是港澳臺(tái)那邊的方式，一聽就不由得想到鳳凰臺(tái)的普通話。其實(shí)就是maxwell了。慚愧，當(dāng)初學(xué)電磁波不怎么仔細(xì)，考的分不低，底子卻不牢固，完全想不起來怎么回事了。2.尤拉的自然對(duì)數(shù)底公式

(大約等于2.71828的自然對(duì)數(shù)的底——e)尤拉被稱為數(shù)字界的莎士比亞，他是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，也是各領(lǐng)域(包含數(shù)學(xué)中理論與應(yīng)用的所有分支及力學(xué)、光學(xué)、音響學(xué)、水利、天文、化學(xué)、醫(yī)藥等)最多著作的學(xué)者。數(shù)學(xué)史上稱十八世紀(jì)為“尤拉時(shí)代”。尤拉出生于瑞士，31歲喪失了右眼的視力，59歲雙眼失明，但他性格樂觀，有驚人的記憶力及集中力，使他在13個(gè)小孩子吵鬧的環(huán)境中仍能精確思考復(fù)雜問題。尤拉一生謙遜，從沒有用自己的名字給他發(fā)現(xiàn)的東西命名。只有那個(gè)大約等于2.71828的自然對(duì)數(shù)的底，被他命名為e。但因他對(duì)數(shù)學(xué)廣泛的貢獻(xiàn)，因此在許多數(shù)學(xué)分支中，反而經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。我們現(xiàn)在習(xí)以為常的數(shù)學(xué)符號(hào)很多都是尤拉所發(fā)明介紹的，例如：函數(shù)符號(hào)f(x)、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虛數(shù)i等。高中教師常用一則自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e笑話，幫助學(xué)生記憶一個(gè)很特別的微分公式：在一家精神病院里，有個(gè)病患整天對(duì)著別人說，“我微分你、我微分你。”也不知為什么，這些病患都有一點(diǎn)簡(jiǎn)單的微積分概念，總以為有一天自己會(huì)像一般多項(xiàng)式函數(shù)般，被微分到變成零而消失，因此對(duì)他避之不及，然而某天他卻遇上了一個(gè)不為所動(dòng)的人，他很意外，而這個(gè)人淡淡地對(duì)他說，“我是e的x次方。”這個(gè)微分公式就是：e不論對(duì)x微分幾次，結(jié)果都還是e！難怪?jǐn)?shù)學(xué)系學(xué)生會(huì)用e比喻堅(jiān)定不移的愛情！相對(duì)于π是希臘文字中圓周第一個(gè)字母，e的由來較不為人熟知。有人甚至認(rèn)為：尤拉取自己名字的第一個(gè)字母作為自然對(duì)數(shù)。而尤拉選擇e的理由較為人所接受的說法有二：一為在a，b，c，d等四個(gè)常被使用的字母后面，第一個(gè)尚未被經(jīng)常使用的字母就是e，所以，他很自然地選了這個(gè)符號(hào)，代表自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；一為e是指數(shù)的第一個(gè)字母，雖然你或許會(huì)懷疑瑞士人尤拉的母語不是英文，可事實(shí)上法文、德文的指數(shù)都是它。偉大的歐拉（Euler）老先生，從高數(shù)一開始，到今天早上的波速方程，處處都有你的名字。歐拉方程，歐拉場(chǎng)論。要說最恨的人，除了Monk,Stokes，差不多就數(shù)你了雖然您很謙虛的不用自己的名字命名，仍然有無數(shù)的追隨者害您遭受不白之冤。3.牛頓的力學(xué)第二定律

(加速度a與力F成正比，而與物體的質(zhì)量里成反比，即a=F/m或F=ma；力越大，加速度也越大；質(zhì)量越大，加速度就越小)牛頓是發(fā)現(xiàn)萬有引力的第一人，一直領(lǐng)導(dǎo)整個(gè)物理界，直到愛因斯坦的理論出現(xiàn)。他還被稱為歷史上最偉大的“應(yīng)用”數(shù)學(xué)家。牛頓運(yùn)動(dòng)定律是力學(xué)領(lǐng)域的偉大發(fā)現(xiàn)。力學(xué)就是說明物體運(yùn)動(dòng)的科學(xué)，其最重要的問題是物體在類似情況下如何運(yùn)動(dòng)。牛頓第二定律解決了這個(gè)問題；該定律被看作是古典物理學(xué)中最重要的基本定律。它也是牛頓力學(xué)的核心定律。牛頓第二定律定量地描述了力能使物體的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生變化。它說明速度的時(shí)間變化率(即加速度a與力F成正比，而與物體的質(zhì)量里成反比，即a=F/m或F=ma；力越大，加速度也越大；質(zhì)量越大，加速度就越小，力與加速度都既有量值又有方向。加速度由力引起，方向與力相同；如果有幾個(gè)力作用在物體上，就由合力產(chǎn)生加速度。)第二定律的重要在于，動(dòng)力的所有基本方程都可由它通過微積分推導(dǎo)出來。牛頓運(yùn)動(dòng)定律廣泛用于科學(xué)和動(dòng)力學(xué)問題上。當(dāng)牛頓（Newton）簡(jiǎn)單的方程F＝ma，引入專業(yè)課程上變成這種形式，你還能認(rèn)出他來么？4.畢達(dá)哥拉斯定理

(即勾股定理)若一直角形的兩股為a，b斜邊為c，則有a^2＋b^2=c^2。我們都很熟悉這個(gè)性質(zhì)，人們相信是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)格拉斯約公元前560年—公元前480年發(fā)現(xiàn)的，因此把它叫做畢氏定理。畢氏定理也可以用幾何的形式來解釋，那就是直角三角形直角邊上的兩個(gè)正方形的面積和等于斜邊上正方形的面積。希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德在編著《幾何原本》時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以把其稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開了。還好，這個(gè)定理沒給我造成太多麻煩5.愛因斯坦質(zhì)能互換定律

(E=mc^2)阿爾伯特·愛因斯坦，這個(gè)當(dāng)年被校長認(rèn)為“干什么都不會(huì)有作為”的笨學(xué)生，經(jīng)過艱苦的努力，成了現(xiàn)代物理學(xué)的創(chuàng)始人和奠基人，成了20世紀(jì)最偉大的自然科學(xué)家、物理學(xué)革命的旗手。愛因斯坦發(fā)現(xiàn)，能量和質(zhì)量是可以互換的，換一種說法，功可以按E=mc公式被轉(zhuǎn)化為質(zhì)量。由于能量是最單一最本源的存在，所以可以說物質(zhì)是能量的另一種表現(xiàn)形式。質(zhì)能互換定理：物質(zhì)是能量的另一種表現(xiàn)形式，是能量在強(qiáng)相互作用下產(chǎn)生的，物質(zhì)在一定的條件下可以完全釋放出來，這就是質(zhì)能互換定律。愛因斯坦發(fā)現(xiàn)了質(zhì)能互換定律。人們既可以利用這個(gè)定律開發(fā)原子能來造福人類，也可以利用這個(gè)定律制造原子彈來毀滅人類不是做這方面工作的，也許隔壁搞等離子物理的老師更能理解吧6.量子力學(xué)的薛定諤波動(dòng)方程式在20世紀(jì)的20年代，世界物理學(xué)界新秀輩出，德布羅意和薛定諤是他們的代表。埃爾溫·薛定諤是奧地利物理學(xué)家，1887年生于維也納。薛定諤從德布羅意思想中得到啟發(fā)：既然電子既是粒子，又是波，那么原子世界必定服從一個(gè)既能描述粒子運(yùn)動(dòng)，又能描述波的運(yùn)動(dòng)的方程式，它深刻反映出原子世界的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，人們稱之為“薛定諤方程”。有了薛定諤方程，玻爾理論中解釋不清的現(xiàn)象——電子的運(yùn)動(dòng)軌跡得到了合理解釋。電子并不是只能呆在某些軌道上。在薛定諤方程中，電子能呆在原子世界內(nèi)任何地方，只是出現(xiàn)在軌道上的可能性要大得多。這樣一來，電子不像繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的行星，而是像環(huán)繞在高山頂尖四周的一片云彩?！半娮釉啤陛^密的地方就是電子容易出現(xiàn)的地方……薛定諤方程是世界原子物理學(xué)文獻(xiàn)中應(yīng)用最廣泛、影響最大的公式。由于對(duì)量子力學(xué)的杰出貢獻(xiàn)，薛定諤獲得1933年諾貝爾物理獎(jiǎng)。初看以為是物理上的，不過我第一次接觸這個(gè)方程，卻是在化學(xué)課本上。至今還記得那位留美女博士的染發(fā)劑，實(shí)在是很有個(gè)性，以至于我暗自猜測(cè)是不是她自己配的7.最基本的數(shù)學(xué)公式“1+1=2”注意，并不是腦筋急轉(zhuǎn)彎，而是實(shí)實(shí)在在的算術(shù)等式。一個(gè)小學(xué)一年級(jí)就能解的題目。恰恰是如此簡(jiǎn)單的式子，叩開了我們認(rèn)識(shí)數(shù)字世界的大門。每當(dāng)看到1+1=2，我總有種不名言狀的溫馨感。8.德布羅意的物質(zhì)波方程式

(如能量為hv=mc2,波長為入=h/p=h/mv)德布羅意是法國貴族的后裔，生于1892年。他善于從歷史的觀點(diǎn)出發(fā)研究自然科學(xué)問題，其最杰出的貢獻(xiàn)就是在思考光學(xué)史的時(shí)候提出了物質(zhì)波的思想。從這一思想出發(fā)，德布羅意仔細(xì)考慮了愛因斯坦的相對(duì)論和光量子概念，并把問題倒過來考慮。他提出了一個(gè)嶄新的現(xiàn)點(diǎn)：電子不僅是一個(gè)粒子，也是一種波，它還有“波長”。這一觀點(diǎn)后來為兩個(gè)美國物理學(xué)家證實(shí)，他們?cè)谝淮螌?shí)驗(yàn)事故中意外發(fā)現(xiàn)了電子產(chǎn)生的衍射，而衍射是典型的波動(dòng)特性。德布羅意由于在物質(zhì)的波動(dòng)性方面做出了杰出貢獻(xiàn)而獲得了1929年諾貝爾物理學(xué)。德布羅意按照光的二重性之間相互關(guān)系的樣子推出了波動(dòng)方程式：“如能量為hv=mc2,波長為入=h/p=h/mv”。這就是德布羅意公式。具有這種頻率的波就是德布羅意波。后來玻恩建議給它取個(gè)更恰當(dāng)?shù)拿郑簬茁什?。肯定是學(xué)過，不過很久的事情，幾乎忘干凈。雖然現(xiàn)在也是跟波，波速，波長，能量打交道，但是有本質(zhì)的區(qū)別。忽然想到今天上午老師提到的：即使是最為細(xì)致精確的離散，跟連續(xù)相比也有質(zhì)的不同。9.傅立葉轉(zhuǎn)換

(FFT：FastFouierTransform)上世紀(jì)60年代，電子計(jì)算器的技術(shù)也達(dá)到一定的水準(zhǔn)，足以快速處理大量資料。1965年，Cooler和Tukey發(fā)表“一個(gè)復(fù)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)之機(jī)械計(jì)算算法則”論文，改進(jìn)了離散傅立葉轉(zhuǎn)換的演算，提出了快速傅立葉轉(zhuǎn)換(FFT：FastFouierTransform)算法。它的價(jià)值在于使用更快的計(jì)算方式來節(jié)省計(jì)算器的時(shí)間，降低了數(shù)字訊號(hào)處理中乘法的運(yùn)算量，使得更多更復(fù)雜的訊號(hào)得以快速的處理，改善了數(shù)字訊號(hào)不能實(shí)時(shí)處理的問題，為數(shù)字訊號(hào)的實(shí)時(shí)處理帶來了希望，因此，快速傅立葉轉(zhuǎn)換FFT是數(shù)字訊號(hào)處理發(fā)展史上的一個(gè)重要里程碑。數(shù)字訊號(hào)處理從此隨著數(shù)字電子計(jì)算器和集成電路的發(fā)展結(jié)合，這就是數(shù)字訊號(hào)處理器的前身。快速傅立葉變換，唔，去年這個(gè)時(shí)候還用過來著10.圓周公式

(L=2πr)大家在小學(xué)時(shí)就學(xué)過兩個(gè)著名的公式：圓的周長L=2πr；圓的面積S=πr^2(r為圓的半徑，π為圓周率)。探求圓周的長與圓的面積，是早期數(shù)學(xué)發(fā)源地之一。古今中外，為了計(jì)算越來越好的近似值，一代代的數(shù)學(xué)家為這個(gè)神秘的數(shù)貢獻(xiàn)了無數(shù)的時(shí)間與心血。19世紀(jì)后，計(jì)算圓周率的世界紀(jì)錄頻頻創(chuàng)新。進(jìn)入20世紀(jì)，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)明，圓周率的計(jì)算突飛猛進(jìn)。借助于超級(jí)計(jì)算機(jī)，人們已經(jīng)得到了圓周率的2061億位精度。德國的Ludolph幾乎耗盡了一生的時(shí)間，于1609年得到了圓周率的35位精度值，以至于圓周率在德國被稱為Ludolph數(shù)。把圓周率的數(shù)值算得這么精確，實(shí)際意義并不大?，F(xiàn)代科技領(lǐng)域使用的圓周率值，有十幾位已經(jīng)足夠了。如果用35位精度的圓周率值，來計(jì)算一個(gè)能把太陽系包起來的一個(gè)圓的周長，誤差還不到質(zhì)子直徑的百萬分之一?，F(xiàn)在的人計(jì)算圓周率，多數(shù)是為了驗(yàn)證計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力，還有就是為了興趣。還有家長殘忍的要求小孩子背誦圓周率，看誰背得多。有這功夫，背啥不好，詩詞歌賦，哪個(gè)不比這個(gè)有韻味。不愿背文學(xué)，背樂譜也行啊。11.哈勃定律方程式

(V=Hr)近代最重要的天文學(xué)家哈勃觀測(cè)各種星系，發(fā)現(xiàn)距離我們?cè)竭h(yuǎn)的星系，遠(yuǎn)離我們的速度就越快。這就是著名的哈勃定律。哈勃一生對(duì)天文學(xué)有三大貢獻(xiàn)：一是證實(shí)了許多小而暗的星云其實(shí)是“別的”銀河系，一下把我們的宇宙擴(kuò)展了億萬倍深遠(yuǎn)；二是把“星云分類”，這套分類法在今天仍被普遍采用；第三個(gè)貢獻(xiàn)就是發(fā)現(xiàn)了哈勃定律。許多人以為哈勃是發(fā)現(xiàn)宇宙在膨脹、發(fā)現(xiàn)“星云”高速奔離的第一人，其實(shí)，和哈勃同期稍早的史萊佛已經(jīng)由光譜中觀測(cè)，得知許多“星云”各以不同速度離我們而去。但史萊佛并沒有把“星云”奔離的速度和其距離找出關(guān)系，加以量化。哈勃做到了這一點(diǎn)。哈勃定律的方程式是V=Hr，V是星球向外飛離的速度，r是星球離地球的距離，而H是哈勃常數(shù)。根據(jù)這個(gè)定理，我們可以計(jì)算宇宙膨脹了多久，“因?yàn)樾乔虻墓獠◤?qiáng)弱，和它離開地球的距離有直接關(guān)系，因此，科學(xué)家便可計(jì)算星球離開地球的距離，從而得知哈勃常數(shù)的數(shù)字，進(jìn)一步更計(jì)算出宇宙的年齡?！倍?shù)也可以稱為宇宙膨脹系數(shù)。最近，哈勃望遠(yuǎn)鏡的研究人員，透過遙遠(yuǎn)的星系里的造父變星來決定星系的距離，并且統(tǒng)計(jì)出哈勃常數(shù)約為：每增加百萬秒差距的距離，膨脹秒速增加70公里(70km/sec/mpc)，誤差10%，換算成宇宙年齡為120億年。這個(gè)方程嘛，完全沒接觸過12.理想氣體方程式

(pV=nRT)一般氣體，在密度不太高、壓強(qiáng)不太大(與大氣壓比較)和溫度不太低(與室溫比較)的實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)，遵守玻意耳定律、蓋·呂薩克和查理定律。而實(shí)際上在任何情況下都服從上述三條理論定律的氣體是沒有的。人們把實(shí)際氣體抽象化，提出理想氣體的概念，認(rèn)為理想氣體能無條件地服從這三條定律。在這種情況下，理想氣體的狀態(tài)函數(shù)p、V、T之間的關(guān)系即理想氣體的狀態(tài)方程：當(dāng)物質(zhì)的量為n的理想氣體處于平衡態(tài)時(shí)，它的狀態(tài)方程就是：pV=nRT。其中包括了氣體的三個(gè)狀態(tài)量：p—壓強(qiáng)；V—體積；T—?dú)怏w的熱力學(xué)溫度。只有理想氣體才完全遵守這個(gè)關(guān)系式。而對(duì)于真