2024年高中物理新教材同步 必修第二冊(cè) 第5章 專題強(qiáng)化　運(yùn)動(dòng)的合成與分解應(yīng)用實(shí)例

專題強(qiáng)化運(yùn)動(dòng)的合成與分解應(yīng)用實(shí)例[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.能利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的知識(shí)，分析小船渡河問題(重點(diǎn))。2.會(huì)分析小船渡河問題的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，會(huì)求渡河的最短時(shí)間和最短位移(重難點(diǎn))。3.能利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的知識(shí)，分析關(guān)聯(lián)速度問題(重點(diǎn))。4.掌握常見的繩關(guān)聯(lián)模型和桿關(guān)聯(lián)模型的速度分解的方法(重點(diǎn))。一、小船渡河模型如圖所示為一條寬為d的大河，小明駕著小船從A點(diǎn)出發(fā)，欲將一批貨物運(yùn)送到對(duì)岸。已知河水流速為v水，小船在靜水中的航速為v船。(1)渡河過程中，小船參與了哪兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)？(2)怎么求解小船渡河過程所用的時(shí)間？小船如何渡河時(shí)間最短？最短時(shí)間為多少？此時(shí)渡河位移為多大？(3)小船如何渡河才能使渡河位移最??？最小位移為多大？(4)小船渡河時(shí)間的長(zhǎng)短與水流速度是否有關(guān)？答案(1)①船相對(duì)水的運(yùn)動(dòng)(即船在靜水中的運(yùn)動(dòng))。②船隨水漂流的運(yùn)動(dòng)。(2)由于水流速度始終沿河岸方向，不能提供指向河岸的分速度，用河的寬度除以垂直于河岸方向的速度得出過河時(shí)間。因此若要渡河時(shí)間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可。由圖可知，tmin＝eq\f(d,v船)，此時(shí)船渡河的位移大小x＝eq\f(d,sinθ)，位移方向滿足tanθ＝eq\f(v船,v水)。(3)情況一：v水<v船最短的位移為河寬d，此時(shí)合速度垂直河岸。船頭與上游河岸夾角θ滿足：v船cosθ＝v水，如圖所示。渡河所用時(shí)間t＝eq\f(d,v船sinθ)。情況二：v水>v船如圖所示，以v水矢量的末端為圓心，以v船的大小為半徑作圓，當(dāng)合速度的方向與圓相切時(shí)，合速度的方向與河岸的夾角最大(設(shè)為α)，此時(shí)航程最短。由圖可知sinα＝eq\f(v船,v水)，最短位移為x＝eq\f(d,sinα)＝eq\f(v水,v船)d。此時(shí)船頭指向應(yīng)與上游河岸成θ′角，且cosθ′＝eq\f(v船,v水)。(4)無關(guān)。例1(2022·商洛市高一期末)某地進(jìn)行抗洪搶險(xiǎn)演練時(shí)，把一布娃娃放在一木盆(視為質(zhì)點(diǎn))中隨河水流動(dòng)，搶險(xiǎn)戰(zhàn)士發(fā)現(xiàn)這一情況時(shí)，搶險(xiǎn)船(視為質(zhì)點(diǎn))和木盆的連線與河岸垂直，木盆到兩岸的距離相等，兩河岸平行，如圖所示。搶險(xiǎn)船在靜水中的速度為5m/s，河寬為300m，河水流速為3m/s，不計(jì)戰(zhàn)士的反應(yīng)時(shí)間和船的發(fā)動(dòng)時(shí)間，則最短的救援時(shí)間(船到達(dá)木盆的時(shí)間)為()A．30s B．60sC．75s D．100s答案A解析船與木盆在水中都隨水一起向下游運(yùn)動(dòng)，向下游運(yùn)動(dòng)的速度相等，所以若要救援的時(shí)間最短，則船頭的方向始終指向木盆。所以最短的時(shí)間為tmin＝eq\f(\f(d,2),v船)＝eq\f(150,5)s＝30s，故選A。例2小船要橫渡一條200m寬的河，水流速度為3m/s，船在靜水中的航速是5m/s，求：(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)(1)當(dāng)小船的船頭始終正對(duì)對(duì)岸行駛時(shí)，它將在何時(shí)、何處到達(dá)對(duì)岸？(2)要使小船到達(dá)河的正對(duì)岸，應(yīng)如何行駛？多長(zhǎng)時(shí)間能到達(dá)對(duì)岸？(3)如果水流速度變?yōu)?0m/s，要使小船航程最短，應(yīng)如何航行？答案(1)40s正對(duì)岸下游120m處(2)船頭指向與河岸的上游成53°角50s(3)船頭指向與河岸的上游成60°角解析(1)當(dāng)小船的船頭始終正對(duì)對(duì)岸行駛時(shí)，小船垂直河岸的速度即為小船在靜水中的行駛速度，且在這一方向上，小船做勻速運(yùn)動(dòng)，故渡河時(shí)間t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,5)s＝40s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40m＝120m，即小船經(jīng)過40s，在正對(duì)岸下游120m處靠岸。(2)要使小船到達(dá)河的正對(duì)岸，則v水、v船的合運(yùn)動(dòng)v合應(yīng)垂直于河岸，如圖甲所示，則v合＝eq\r(v船2－v水2)＝4m/s，經(jīng)歷時(shí)間t′＝eq\f(d,v合)＝eq\f(200,4)s＝50s又cosθ＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(3,5)＝0.6，即船頭指向與河岸的上游成53°角。(3)如果水流速度變?yōu)?0m/s，如圖乙所示，要使小船航程最短，應(yīng)使v合′的方向垂直于v船，故船頭應(yīng)偏向上游，與河岸成θ′角，有cosθ′＝eq\f(v船,v水′)＝eq\f(1,2)，解得θ′＝60°，即船頭指向與河岸的上游成60°角。二、關(guān)聯(lián)速度模型如圖所示，岸上的小車A以速度v勻速向左運(yùn)動(dòng)，用繩跨過光滑輕質(zhì)定滑輪和小船B相連。(1)在相等的時(shí)間內(nèi)，小車A和小船B運(yùn)動(dòng)的位移相等嗎？(2)小車A和小船B某一時(shí)刻的速度大小相等嗎？如果不相等，哪個(gè)速度大？(3)從運(yùn)動(dòng)的合成與分解的角度看，小船上P點(diǎn)的速度可以分解為哪兩個(gè)分速度？(4)若某時(shí)刻連接船的繩與水平方向的夾角為α，則船的速度是多大？答案(1)不相等。如圖，船的位移x船大于車的位移x車＝l1－l2。(2)不相等，船的速度大于車的速度。(3)如圖，P點(diǎn)速度可以分解為沿繩方向的分速度和垂直于繩方向的分速度。(4)由v＝v船cosα得v船＝eq\f(v,cosα)。1．分析繩(桿)關(guān)聯(lián)速度問題時(shí)，需要注意：應(yīng)該分解物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度，即合速度。分解方法：將物體的實(shí)際速度分解為垂直于繩(桿)和沿繩(桿)的兩個(gè)分量。2．常見的速度分解模型情景圖示定量結(jié)論v＝v∥＝v物cosθv物′＝v∥＝v物cosθv∥＝v∥′即v物cosθ＝v物′cosαv∥＝v∥′即v物cosα＝v物′cosβ例3(2022·綿陽市高一期末)如圖所示，汽車通過繩子繞過定滑輪連接重物M一起運(yùn)動(dòng)，不計(jì)滑輪摩擦和繩子質(zhì)量，已知汽車以v勻速向左運(yùn)動(dòng)，繩子與水平方向夾角為θ，重物M的速度用vM表示。則()A．重物做勻速運(yùn)動(dòng)B．重物做勻變速運(yùn)動(dòng)C．vM＝vcosθD．v＝vMcosθ答案C解析將汽車的速度分解為沿繩子方向的分速度和垂直于繩子方向的分速度，則有vM＝vcosθ，由于運(yùn)動(dòng)過程θ減小，cosθ增大，則重物M的速度vM增大，重物M做加速運(yùn)動(dòng)。假設(shè)繩子足夠長(zhǎng)，經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間，θ趨近于0°，cosθ趨近于1，vM趨近于v，可知重物并不是做勻加速運(yùn)動(dòng)，C正確，A、B、D錯(cuò)誤。例4(2022·大連市第八中學(xué)高一檢測(cè))在固定斜面體上放置物體B，B物體用繩子通過定滑輪與物體A相連，A穿在光滑的豎直桿上，當(dāng)B以速度v0勻速沿斜面體下滑時(shí)，使物體A到達(dá)如圖所示位置，繩與豎直桿的夾角為θ，連接B的繩子始終與斜面體平行，則物體A上升的速度是()A．v0sinθB.eq\f(v0,sinθ)C．v0cosθD.eq\f(v0,cosθ)答案D解析將A的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向的兩個(gè)分速度，如圖所示，根據(jù)平行四邊形定則得v0＝vcosθ，解得v＝eq\f(v0,cosθ)，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。例5(多選)(2022·邢臺(tái)市高一月考)甲、乙兩光滑小球(均可視為質(zhì)點(diǎn))用輕直桿連接，乙球處于粗糙水平地面上，甲球緊靠在粗糙的豎直墻壁上，初始時(shí)輕桿豎直，桿長(zhǎng)為4m。施加微小的擾動(dòng)使得乙球沿水平地面向右滑動(dòng)，當(dāng)乙球距離起點(diǎn)3m時(shí)，在如圖位置，下列說法正確的是()A．甲、乙兩球的速度大小之比為eq\r(7)∶3B．甲、乙兩球的速度大小之比為3eq\r(7)∶7C．甲球即將落地時(shí)，乙球的速度與甲球的速度大小相等D．甲球即將落地時(shí)，乙球的速度為零答案BD解析設(shè)此時(shí)輕桿與豎直方向的夾角為θ，則v1在沿桿方向的分量為v1∥＝v1cosθ，v2在沿桿方向的分量為v2∥＝v2sinθ，而v1∥＝v2∥，題圖所示位置時(shí)，有cosθ＝eq\f(\r(7),4)，sinθ＝eq\f(3,4)，解得此時(shí)甲、乙兩球的速度大小之比為eq\f(v1,v2)＝eq\f(3\r(7),7)，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)甲球即將落地時(shí)，有θ＝90°，此時(shí)甲球的速度達(dá)到最大，而乙球的速度為零，故C錯(cuò)誤，D正確。專題強(qiáng)化練考點(diǎn)一小船渡河模型1．(多選)下列選項(xiàng)圖中的實(shí)線為河岸，河水的流動(dòng)方向如圖中v的箭頭所示，虛線為小船從河岸M駛向?qū)Π禢的實(shí)際航線。則其中可能正確的是()答案AB2．(2023·海南高一期末)南渡江是海南省最大的河流，水流湍急，流量巨大。救援人員為了營(yíng)救在對(duì)岸落水的兒童，立即駕駛救援艇出發(fā)。已知該救援艇在靜水中的航行速度大小為12.5m/s，該段水流速度大小為3.5m/s，救援人員以最短時(shí)間過江用時(shí)12s。則()A．河流寬度為150mB．河流寬度為192mC．船以最短時(shí)間過江時(shí)，在正對(duì)岸靠岸D．船以最短時(shí)間過江時(shí)，在正對(duì)岸下游50m處靠岸答案A解析河流寬度為d＝v船tmin＝12.5×12m＝150m，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；船以最短時(shí)間過江時(shí)，沿水流方向的位移為x＝v水tmin＝3.5×12m＝42m，即在正對(duì)岸下游42m處靠岸，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。3．(多選)(2022·張家口市高一期末)在一次渡河的實(shí)戰(zhàn)演練中，指揮部要求紅、藍(lán)兩個(gè)隊(duì)按不同的要求渡過一條寬為200m的河道，假設(shè)河中水流是均勻的，水的流動(dòng)速度為3m/s，戰(zhàn)士用的船在靜水中的速度為5m/s，現(xiàn)要求紅隊(duì)以最短時(shí)間到達(dá)對(duì)岸，藍(lán)隊(duì)到達(dá)正對(duì)岸，忽略船啟動(dòng)及減速的時(shí)間，下列說法中正確的是()A．藍(lán)隊(duì)要到達(dá)正對(duì)岸應(yīng)使船頭方向朝著正對(duì)岸劃船B．紅隊(duì)要以最短時(shí)間到達(dá)對(duì)岸應(yīng)使船頭朝著正對(duì)岸劃船C．藍(lán)隊(duì)完成任務(wù)到達(dá)對(duì)岸用時(shí)40sD．紅隊(duì)完成任務(wù)到達(dá)對(duì)岸的最短時(shí)間為40s答案BD解析藍(lán)隊(duì)要到達(dá)正對(duì)岸，則合速度方向應(yīng)該指向正對(duì)岸，則應(yīng)使船頭方向朝著對(duì)岸偏上游方向劃船，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；紅隊(duì)要以最短時(shí)間到達(dá)對(duì)岸，則船頭應(yīng)該指向正對(duì)岸，即應(yīng)使船頭朝著正對(duì)岸劃船，選項(xiàng)B正確；藍(lán)隊(duì)完成任務(wù)到達(dá)對(duì)岸用時(shí)t1＝eq\f(d,v合)＝eq\f(d,\r(v船2－v水2))＝eq\f(200,\r(52－32))s＝50s，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；紅隊(duì)完成任務(wù)到達(dá)對(duì)岸的最短時(shí)間為t2＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,5)s＝40s，選項(xiàng)D正確?？键c(diǎn)二關(guān)聯(lián)速度模型4.用跨過定滑輪的繩把湖中小船向右拉到岸邊的過程中，如圖所示，如果保持繩子的速度v不變，則小船的速度()A．不變 B．逐漸增大C．逐漸減小 D．先增大后減小答案B解析小船的速度v船＝eq\f(v,cosθ)，θ為繩與水平面的夾角，隨著θ增大，cosθ減小，故小船的速度逐漸增大，B對(duì)。5.如圖所示，一個(gè)長(zhǎng)直輕桿兩端分別固定小球A和B，豎直放置，兩球質(zhì)量均為m，兩球半徑忽略不計(jì)，桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。由于微小的擾動(dòng)，A球沿豎直光滑槽向下運(yùn)動(dòng)，B球沿水平光滑槽向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)桿與豎直方向的夾角為θ時(shí)(圖中未畫出)，關(guān)于兩球速度vA和vB的關(guān)系，下列說法正確的是()A．若θ＝30°，則A、B兩球的速度大小相等B．若θ＝60°，則A、B兩球的速度大小相等C．vA＝vBtanθD．vA＝vBsinθ答案C解析當(dāng)桿與豎直方向的夾角為θ時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解可知(如圖所示)，沿桿方向兩分速度大小相等，vAcosθ＝vBsinθ，即vA＝vBtanθ，故C正確，D錯(cuò)誤。當(dāng)θ＝45°時(shí)，vA＝vB，故A、B錯(cuò)誤。6.如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內(nèi)的水平軌道，軌道上有兩個(gè)物體A和B，它們通過一根繞過光滑輕質(zhì)定滑輪O的不可伸長(zhǎng)的輕繩相連接，物體A以速率vA＝10m/s勻速運(yùn)動(dòng)，在繩與軌道成30°角時(shí)，物體B的速度大小vB為()A．5m/s B.eq\f(5\r(3),3)m/sC．20m/s D.eq\f(20\r(3),3)m/s答案D解析物體B的速度可分解為如圖所示的兩個(gè)分速度，由圖可知vB∥＝vBcos30°，由于繩不可伸長(zhǎng)，有vB∥＝vA，故vA＝vBcos30°，所以vB＝eq\f(vA,cos30°)＝eq\f(20\r(3),3)m/s，故選D。7．(2023·武強(qiáng)中學(xué)高一期中)如圖甲所示，小球A與小球B用跨搭在一半球形容器壁上邊緣的輕繩相連接，半球形容器壁的上邊緣是光滑的，小球A位于半球形容器的內(nèi)壁靠近上邊緣處，小球B位于半球形容器外，將小球A由靜止釋放牽引小球B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球A運(yùn)動(dòng)至半球形容器底部時(shí)(如圖乙所示)，小球B的速度是v，則此時(shí)A的速度為()A．vB．2vC.eq\r(2)vD.eq\f(\r(2),2)v答案C解析將小球A的速度分解為沿輕繩方向的速度和垂直輕繩方向的速度，則沿輕繩方向的速度等于小球B的速度v，則由速度的分解可得vAcos45°＝v，解得vA＝eq\r(2)v，故選C。8．(2022·三明市高一期末)下列選項(xiàng)圖中，若渡河區(qū)域內(nèi)的河岸平直，水流速度方向處處與河岸平行，越靠近河中央，水流速度越大。設(shè)木船相對(duì)靜水的速度大小恒定。以最短的時(shí)間過河，則木船在出發(fā)點(diǎn)P與登陸點(diǎn)Q之間的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是()答案D解析以最短的時(shí)間過河，則木船的船頭垂直于河岸，木船渡河同時(shí)參與了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，垂直河岸的分運(yùn)動(dòng)和平行河岸的分運(yùn)動(dòng)，其中垂直河岸的分速度等于木船相對(duì)靜水的速度，保持不變；平行河岸的分速度等于水速，根據(jù)題意可知平行河岸的分速度先增大后減小，故木船的加速度先平行于河岸向右，后平行于河岸向左，木船做曲線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)加速度方向指向軌跡的凹側(cè)可知，D正確，A、B、C錯(cuò)誤。9．如圖所示，有人在河面上方20m的岸上用跨過定滑輪的長(zhǎng)繩拴住小船，開始時(shí)繩與水面的夾角為30°。人以恒定的速率v＝3m/s拉繩，使小船靠岸，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，那么()A．5s時(shí)繩與水面的夾角為60°B．5s時(shí)小船前進(jìn)了15mC．5s時(shí)小船的速率為5m/sD．5s時(shí)小船到岸邊距離為10m答案C解析5s內(nèi)人前進(jìn)的距離s＝vt＝3×5m＝15m,5s時(shí)定滑輪到船的距離l′＝eq\f(h,sin30°)－15m＝25m，設(shè)5s時(shí)拉船的繩與水平方向夾角為θ，則sinθ＝eq\f(20,25)＝eq\f(4,5)，由此可知，θ＝53°，cosθ＝eq\f(v,v船)，解得v船＝5m/s，小船到岸邊的距離s′＝eq\f(20m,tanθ)＝15m，則5s時(shí)小船前進(jìn)的距離為s1＝eq\f(h,tan30°)－s′＝(20eq\r(3)－15)m，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確。10．(2022·遂寧市綠然國(guó)際學(xué)校高一月考)一小船渡河，河寬d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)若船在靜水中的速度為v2＝5m/s。①欲使船在最短的時(shí)間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長(zhǎng)時(shí)間？位移大小是多少？②欲使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長(zhǎng)時(shí)間？位移大小是多少？(2)若船在靜水中的速度v2′＝1.5m/s，要使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長(zhǎng)時(shí)間？位移大小是多少？答案(1)①船頭應(yīng)朝垂直河岸方向36s90eq\r(5)m②船頭與上游河岸成60°角24eq\r(3)s180m(2)船頭應(yīng)朝上游與河岸成53°角方向150s300m解析(1)若v2＝5m/s，船速大于水速。①欲使船在最短時(shí)間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝垂直河岸方向；當(dāng)船頭垂直河岸時(shí)，如圖甲所示tmin＝eq\f(d,v2)＝eq\f(180,5)s＝36sv合＝eq\r(v12＋v22)＝eq