提高專題2利用導(dǎo)數(shù)探求參數(shù)的范圍問題講義-高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

提高專題2利用導(dǎo)數(shù)探求參數(shù)的范圍問題探究探究一與單調(diào)性有關(guān)的參數(shù)問題【方法儲備】考點(diǎn)一：函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)求參數(shù)的范圍1.數(shù)形結(jié)合：對于基本初等函數(shù)、分段函數(shù)，可結(jié)合函數(shù)圖象列不等式，求參數(shù)的取值范圍；2.借助導(dǎo)數(shù)：轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在這個區(qū)間上恒大于等于0或者恒小于等于0，借助不等式恒成立的解法即可求出參數(shù)的范圍.考點(diǎn)二：含參分類討論求函數(shù)單調(diào)性區(qū)間討論的角度：=1\*GB3①討論最高次冪的系數(shù)是否為0；=2\*GB3②討論導(dǎo)函數(shù)是否有變號零點(diǎn)；=3\*GB3③若導(dǎo)函數(shù)有變號零點(diǎn)，討論變化零點(diǎn)是否在函數(shù)定義域或指定區(qū)間內(nèi)；=4\*GB3④討論導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn)之間的大小關(guān)系．【典例精講】例1.(2023·江西省南昌市月考)若函數(shù)f(x)=(x2-cx+5)ex在區(qū)間[12A.(-∞,2] B.(-∞,4] C.(-∞,8] D.[-2,4]例2.(2023·湖南省長沙市月考)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+x

(1)若函數(shù)f(x)在(2)討論函數(shù)h(x)=2lnx-2ax-f(x)【拓展提升】練11(2023·湖北省黃石市模擬)已知函數(shù)f(x)=x2，g(x)=2a|x-1|，a為常數(shù)．若對于任意x1，x2∈[0,2]，且x1<x2，都有練12(2023·福建省福州市月考)已知函數(shù)f(x)=e2x-4aex+(4a-2)x(a<1)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=0時，方程探究探究二與極值、最值有關(guān)的參數(shù)問題【方法儲備】考點(diǎn)一：已知極值（點(diǎn)）求參數(shù)已知函數(shù)的極值求參數(shù)，往往是通過列方程來求解：1.求參數(shù)的值：=1\*GB3①導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值等于0；=2\*GB3②極值也是函數(shù)值，函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值等于極值；2.驗(yàn)證：極值點(diǎn)都是導(dǎo)函數(shù)方程的解，但導(dǎo)函數(shù)方程的解不一定是極值點(diǎn)，要使導(dǎo)函數(shù)方程的解是極值點(diǎn)，必須滿足函數(shù)在這個解左右兩邊的單調(diào)性正好相反，因此求出參數(shù)后，需帶入原函數(shù)驗(yàn)證.考點(diǎn)二：已知極值點(diǎn)個數(shù)求參轉(zhuǎn)化為已知導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn)個數(shù)求參，即求導(dǎo)后討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)來求解.考點(diǎn)三：已知函數(shù)的最值求參一般先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值（含參數(shù)），根據(jù)最值列方程組或不等式組求參數(shù)的范圍.不等式恒成立問題，利用參變分離法求參數(shù)范圍時，要構(gòu)造新函數(shù)求最值從而求出參數(shù)的范圍.【典例精講】

例3.(2023·吉林省長春市模擬)若函數(shù)fx=xx-c2在x=3處有極小值，則c的值為

．例4.(2023·浙江省嘉興市模擬)已知函數(shù)fx=mex-x24例5.(2023·江蘇省南京市月考)已知函數(shù)f(x)=x-a-1ex-1(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)的最小值為-12，求a【拓展提升】練21(2023·廣東省廣州市月考)已知x1，x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2，(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若x1練22(2023·江西省贛州市模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx+x,g(x)=12ax2+ax,h(x)=mxex-1．

(1)討論F(x)=g(x)-f(x)的單調(diào)性；

(2)若不等式h(x)≥f(x)對任意探究探究三與零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)問題【方法儲備】考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)問題中的參數(shù)求解1.圖象法：常用于直線與f(x)(分段函數(shù)、周期函數(shù)、對稱型函數(shù))的交點(diǎn)問題；2.導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，配合零點(diǎn)存在定理，逐個單調(diào)區(qū)間判斷零點(diǎn)；3.分離常數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；4.嵌套函數(shù)：=1\*GB3①換元解套：轉(zhuǎn)化為t=gx與y=ft的零點(diǎn)；=2\*GB3②依次解方程，令ft=0，求t，代入t=gx求出的值或判斷圖象交點(diǎn)個數(shù).【典例精講】例6.(2023·安徽省合肥市期末)若曲線y=lnxx與y=kx2-12僅有1個公共點(diǎn)，則k例7.(2023·江蘇省揚(yáng)州市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=xex(1)若a=e，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出f(x)的最值；(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【拓展提升】練31(2023·湖北省武漢市模擬)已知函數(shù)f(x)對于任意x∈R，都有f(x)=f(2-x)，且當(dāng)x≤1時，f(x)=lnx,0<x≤1ex,x≤0.若函數(shù)g(x)=m|x|-2-f(x)恰有3個零點(diǎn)，則m的取值范圍是練32(2023·湖北省襄陽市模擬)（多選）已知關(guān)于x的方程xex-a=0有兩個不等的實(shí)根x1,x2，且xA.-e-1<a<0 B.x1+x【答案解析】例1.解：若函數(shù)f(x)=(x2-cx+5)ex在區(qū)間[12,4]上單調(diào)遞增，

則f'(x)=[x2+(2-c)x+(5-c)]ex≥0在區(qū)間[12,4]上恒成立，

即x2+(2-c)x+(5-c)≥0在區(qū)間[12,4]上恒成立，

即c≤例2.解：(1)函數(shù)f(x)在1,2上單調(diào)遞減，則等價于

f'(x)=1x-2ax+1≤0對于x∈1,2恒成立，即2a≥1x2+1x

記y=1x2+1x，x∈1,2，則y=(1x+12)2-14，

由x∈1,2可得1x∈12,1，所以當(dāng)1x=1即x=1時，ymax=2，

故2a≥2?a≥1；

(2)h(x)=lnx+ax2-(2a+1)x的定義域?yàn)?0,+∞)，

h'(x)=1x+2ax-(2a+1)=2ax2-(2a+1)x+1x=(2ax-1)(x-1)x

，

若a≤0，當(dāng)0<x<1時h'(x)>0，

當(dāng)x>1時h'(x)<0，練11.解：對于任意x1,x2∈[0,2]，且x1<x2，都有f(x1)-f(x2)<g(x1)-g(x2)，

即f(x1)-g(x1)<f(x2)-g(x2)，

令F(x)=f(x)-g(x)=x2-2a|x-1|，即F(x1)<F(x2)，

只需F(x)在[0,2]單調(diào)遞增即可，當(dāng)x=1時，練12.解：(1)f'(x)=2e2x-4aex+4a-2=2(ex-1)[ex-(2a-1)]，

當(dāng)2a-1≤0，即a≤12時，ex-(2a-1)>0，

令f'(x)>0，解得：x>0，f(x)在(0,+∞)遞增，

令f'(x)<0，解得：x<0，f(x)在(-∞,0)遞減，

當(dāng)12<a<1時，0<2a-1<1，

令f'(x)>0，解得：x>0或x<ln(2a-1)，

f(x)在(-∞,ln(2a-1))，(0,+∞)遞增，

令f'(x)<0，解得：ln(2a-1)<x<0，f(x)在(ln(2a-1),0)=1\*GB3①當(dāng)b=0時，g(x)=e2x>0，方程無實(shí)數(shù)根，=2\*GB3②當(dāng)b<0時，g'(x)>0，g(x)在(0,+∞)遞增，

令x1∈(0,ln(-b))且x1<e-4，b<-1，則ex1<-b，

∴g(x1)=e2x1-bln=3\*GB3③當(dāng)b>0時，令h(x)=2xe2x-b，則h'(x)=2(2x+1)e2x，

當(dāng)x>0時，h'(x)>0，h(x)在(0,+∞)遞增，

∵h(yuǎn)(0)=-b<0，h(b2)=beb-b=b(eb-1)>0，

∴h(x)在(0,+∞)上有且只有1個零點(diǎn)，設(shè)為x0，則b=2x0e2x0，

故當(dāng)x∈(0,x0)時，h(x)<0，g'(x)<0，g(x)遞減，

當(dāng)x∈(x0,+∞)時，h(x)>0，g'(x)>0，g(x)遞增，

∴g(x)min=g(x0)=e2x0-blnx0-b2=b2x0-blnx0-b2，

令φ(x)=b2x-blnx-12b(x>0)，則φ'(x)=-b

例3.解：因?yàn)閒(x)=x(x-c)2，所以f'(x)=(x-c)(3x-c)，

又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x(x-c)2在x=3處有極小值，

所以f'(3)=(3-c)(9-c)=0，解得c=3或c=9，

當(dāng)c=3時，f'(x)=(x-3)(3x-3)，

所以x>3時，f'(x)>0；1<x<3時，f'(x)<0，

所以函數(shù)f(x)在x=3處取得極小值；

當(dāng)c=9時，f'(x)=(x-9)(3x-9)，

所以3<x<9時，f'(x)<0；x<3時，f'(x)>0，

所以函數(shù)f(x)在x=3處取得極大值，不合題意，舍去．

綜上可得c=3．例4.解：f'(x)=mex-12x，

若函數(shù)f(x)=mex-x24有兩個極值點(diǎn)，即f'(x)=mex-12x=0有兩個不同實(shí)根，

即m=x2ex有兩不同實(shí)根，令g(x)=x2ex，則y=m和g(x)=x2ex在R上有2個交點(diǎn)，

例5.解：(1)當(dāng)a=1時，f(x)=x-2f'(x)=(x-1)ex-1-x+1=(x-1)(ex-1-1)，

函數(shù)y=x-1和y=ex-1-1都為增函數(shù)且有共同的零點(diǎn)(2)當(dāng)a≤0時，x∈(0,1)時,f'(x)<0,x∈(1,+∞)時,f當(dāng)0<a<1時，x∈(0,a)時因?yàn)閒(x)最小值為-12=f(1)，所以f(0)≥f(1)得a≤當(dāng)a=1時，由(1)可知f(x)單調(diào)遞增，則當(dāng)x>0時f(x)無最小值，不合題意；當(dāng)a>1時，x∈(0,1)時,f綜上可得，a的最大值e2-1練21.解：

f'(x)=2(axlna-ex)

至少要有兩個零點(diǎn)

x=x1

和

x=x2

，

構(gòu)造函數(shù)

h(x)=f'(x)=2(axlna-ex)

，對其求導(dǎo)，

h'(x)=2ax(lna)2-2e

，

(1)

若

a>1

此時若有

x=x1

和

x=x2

分別是函數(shù)

f(x)=2ax則

x1>x2

，不符合題意；

(2)

若

0<a<1

，則

h'(x)

在

R

上單調(diào)遞減，此時若

h'(x0)=0

，

則

f'(x)

在

(-∞,x0)

上單調(diào)遞增，在

(x0,+∞)

上單調(diào)遞減，

令

h'(x0)=0

，則

ax0=e(ln練22.解：(1)F(x)=12ax=1\*GB3①當(dāng)a≤0時，F(xiàn)'(x)<0，此時F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；=2\*GB3②當(dāng)a>0時，可知當(dāng)x∈(0,1a)時，F(xiàn)'(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(1a,+∞)時，F(xiàn)'(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)a≤0時，F(xiàn)(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，F(xiàn)(x)在(0,1a)上單調(diào)遞減，在(1a,+∞)上單調(diào)遞增；

(2)依題意，mxex-1≥lnx+x在(0,+∞)上恒成立，即m≥lnx+x+1xex在(0,+∞)上恒成立，

設(shè)G(x)=lnx+x+1xex，x>0，則G'(x)=(x+1)(-lnx-x)x2ex，

令p(x)=-lnx-x，x>0，則p'(x)=-1x-1<0，

∴p(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，且p(1e)=1-1e>0,p(1)=-1<0，

故存在x0例6.解：由題意可得：lnxx=kx2-12只有一個解(x>0)，

即k=lnxx3+12x2只有一個解．

令g(x)=lnxx3+12x2(x>0)，

原問題等價于y=k與y=g(x)只有一個交點(diǎn)．

因?yàn)間'(x)=1-3lnxx4-1x3=1-3lnx-xx4，

因?yàn)槔?.解：(1)易知函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，

當(dāng)a=e時帶入f(x)可得f(x)=xex-ex-elnx+e，

f'(x)=(x+1)ex-e-ex=(x+1)(ex-ex)，

當(dāng)x∈(0,1)時，f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時，f'(x)>0，

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

由此可得，f(x)的最小值為f(1)=e-e-eln1+e=e，無最大值;

(2)f(x)=xex-ax-alnx+a=xex-a(lnex+lnt(0,(g(t)+-g'(t)單調(diào)遞增單調(diào)遞減又g(e2)=1e2，x→+∞時，g(x)→0，x→0時，f(x)→-∞，

因此f(x)練31.解：由f(x)=f(2-x)對任意x∈R都成立，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，

作出函數(shù)f(x)在(-∞,1]上的圖象，

再作出這部分圖象關(guān)于直線x=1對稱的圖象，得函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示：

令g(x)=0，得f(x)=m|x|-2，令h(x)=m|x|-2，

則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個數(shù)即函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=h(x)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，

因?yàn)閔(-x)=h(x)，所以y=h(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且恒過定點(diǎn)(0,-2)，

當(dāng)函數(shù)y=h(x)的圖象過點(diǎn)A(2,1)時，m=32，

過點(diǎn)(0,-2)作函數(shù)y=ln

x(0<x<1)的圖象的切線，

設(shè)切點(diǎn)為(x0,ln

x0)處的切線方程為y-ln?x0=1x0(x-x0)，

又切線過點(diǎn)(0,-2)，所以x0=1e，

所以切線的斜率為練32.解：方程xex-a=0因?yàn)榉匠蘹ex-a=0所以y=a與y=xe令f(x)=xex，則令f'(x)