6.3二項(xiàng)式定理（原卷版）

6.3二項(xiàng)式定理考法一二項(xiàng)式的展開式【例11】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）求的展開式．【例12】（2023·黑龍江）（

）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【一隅三反】1．（2023·甘肅）若對，恒成立，其中，則（

）A． B．0 C．2 D．32．（2023·安徽安慶）如果，則.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（1）求的展開式（2）求的展開式；（3）化簡．考法二二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)【例21】（2024·四川綿陽）的展開式中，x的系數(shù)為（

）A． B． C．5 D．10【例22】．（2024·湖南）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【例23】（2024·云南）寫出展開式中的一個(gè)有理項(xiàng)為.【一隅三反】1．（2024·河南）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．672 B． C． D．53762．（2024安徽）展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·模擬預(yù)測）的展開式中，有理項(xiàng)是第項(xiàng)．考法三兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的系數(shù)【例31】（2024·廣東廣州）在展開式中的系數(shù)為（

）A． B．0 C．1 D．2【例32】（2023·全國·模擬預(yù)測）的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．1 C． D．【一隅三反】1．（2023·湖北）若的展開式中的的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)（

）A．8 B．7 C．9 D．102．（2024·廣東·）的展開式中的系數(shù)為.3．（2024·山東濱州）的展開式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）考法四三項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)【例41】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．721 B．61 C．181 D．59【例42】（2023·廣東廣州）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【一隅三反】1（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為．2．（2024·福建）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．70 D．723．（2023上·河北唐山）的展開式中的系數(shù)為（

）A．208 B． C．217 D．考法五（二項(xiàng)式）系數(shù)的最值【例51】（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是（

）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng)C．第5項(xiàng) D．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)【例52】（2023·四川雅安）的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)【一隅三反】1．（2022·重慶）（多選）若的展開式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)2．（2024·海南）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為和，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．3．（2023·上海嘉定）已知的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為．4．（2023·上海）二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為．考法六（二項(xiàng)式）系數(shù)和賦值法【例61】（2023·廣東佛山）（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．【例62】（2023·廣東佛山）（多選）若，其中為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·河北）（多選）若，則（

）A．B．C．D．2．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）（多選）的展開式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則以下判斷正確的是（

）A．第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 B．所有奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為C． D．3．（2024·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）（多選）若，其中為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．C． D．考法七余數(shù)與小數(shù)【例71】（2023下·河南鄭州·高二校聯(lián)考期中）除以所得的余數(shù)是.【例72】．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）將精確到0.01的近似值是．【一隅三反】1．（2023安徽）1.028的近似值是.(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)2．（2023上·河北）除以1000的余數(shù)是．3．（2023下·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）今天是星期日，經(jīng)過7天后還是星期日，那么經(jīng)過天后是（

）A．星期日 B．星期一 C．星期三 D．星期四4.（2024·甘肅武威）干支紀(jì)年是中國古代的一種紀(jì)年法.分別排出十天干與十二地支如下：天干：甲

乙

丙

丁

戊

己

庚

辛

壬

癸地支：子

丑

寅

卯

辰

巳

午

未

申

酉

戌

亥把天干與地支按以下方法依次配對：把第一個(gè)天干“甲”與第一個(gè)地支“子”配出“甲子”，把第二個(gè)天干“乙”與第二個(gè)地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，則再從第一個(gè)天干開始循環(huán)使用.已知2023年是癸卯年，則年以后是年.考法八楊輝三角的應(yīng)用【例8】（2023·廣東廣州）（多選）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.該表蘊(yùn)含著許多的數(shù)學(xué)規(guī)律，下列結(jié)論正確的是（

）第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行1

6

15

20

15

6

1……

……A．B．，，，C．從左往右逐行數(shù)，第項(xiàng)在第行第個(gè)D．第行到第行的所有數(shù)字之和為【一隅三反】1．（2023·山東青島·高二校聯(lián)考期中）（多選）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．第2023行的第1012個(gè)和第1013個(gè)數(shù)最大C．第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第7個(gè)數(shù)D．第34行中從左到右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)之比為2：32．（2024上·江西·高二校聯(lián)考期末）楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為（

）A． B． C． D．3．（2023上·湖北）如圖，“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右．現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，該數(shù)大于2023的概率為（

）A． B． C． D．單選題1．（2023·四川南充）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．60 C．210 D．2．（2023·河北）若，則（）A．1 B．0 C． D．3．（2024上海）二項(xiàng)式的展開式中，其中是有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有（）A．4項(xiàng) B．7項(xiàng) C．5項(xiàng) D．6項(xiàng)4．（2023安徽?。┰诘恼归_式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．75．（2023安徽）展開式中的系數(shù)為（）A．15 B．20 C．30 D．356．（2023下·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）的展開式中，的系數(shù)為（

）A．20 B． C． D．157．（2023云南）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的是第（）項(xiàng)A．3 B．4 C．5 D．68．（2023·江西贛州·）在的展開式中，下列說法不正確的是（

）A．不存在常數(shù)項(xiàng) B．所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32C．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1多選題9．（2024·遼寧遼陽）若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該展開式中共有6項(xiàng) B．各項(xiàng)系數(shù)之和為1C．常數(shù)項(xiàng)為 D．只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大10．（2023·遼寧朝陽）已知2，n，8成等差數(shù)列，則在的展開式中，下列說法正確的是（

）A．二項(xiàng)式系數(shù)之和為32 B．各項(xiàng)系數(shù)之和為1C．常數(shù)項(xiàng)為40 D．展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為80x11．（2022上·遼寧本溪·高二?？计谀┤?，則（

）A． B．C． D．12．（2023下·河北滄州·高二統(tǒng)考期中）已知，則（

）A． B．C． D．填空題13．（2023下·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）已知，則的值為．14．（2023下·山西呂梁·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）被4除的余數(shù)為.15．（2023·北京）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）16．（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）展開式中各項(xiàng)的系數(shù)可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角，其性質(zhì)是以下各行每個(gè)數(shù)是它正上方和左?右兩邊三個(gè)數(shù)的和（不足3個(gè)數(shù)時(shí)，用0補(bǔ)上），則的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為.解答題17．（2023·廣東梅州）在二項(xiàng)式的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；(3)所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；(4)系數(shù)絕對值之和.18．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）（1）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）若的展開式中的系數(shù)為，求a的值；（3）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（4）若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，求展開式中的系數(shù)．19．（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）從①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是；②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，再解決補(bǔ)充完整的題目．已知（），且的二項(xiàng)展開式中，____．(1)求的值；(2)①求二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)；②求的值．20．（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）在的展開式中，把叫做三項(xiàng)式的次系數(shù)列．(1)求的值；(2)根據(jù)二項(xiàng)式定理，將等式的兩邊分別展開，可得左右兩邊的系數(shù)對應(yīng)相等，如，利用上述思想方法，求的值．21．（2023北京）在中，把叫做三項(xiàng)式系數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，寫出三項(xiàng)式系數(shù)的值；（2）的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)可用楊輝三角表示，如圖：第1行

1

1第2行