第七章 方差分析

樣本平均數(shù)的假設(shè)檢驗u檢驗t檢驗?zāi)乘a(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對魚的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚20尾，投喂不同的飼料，經(jīng)1個月以后，各組魚的增重(g)結(jié)果列于下表。重復(fù)飼料A1A2A3A413192482212702279257236308331826827329042842792492455359262258286311.8262.8247.4279.8表6-1不同飼料飼喂魚增重的數(shù)據(jù)(g)20個樣本4個平均數(shù)(2)試驗誤差不統(tǒng)一，誤差估計的精確性和檢驗的靈敏性低。t檢驗：C42

＝6次6個標(biāo)準(zhǔn)誤(1)檢驗過程煩瑣。判斷兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的差異顯著性6次都接受Hoα錯誤(3)推斷的可靠性低，檢驗時犯α錯誤概率大。t檢驗自由度較小P=(0.95)6＝0.735P＝1-0.735＝0.265將所有這些組數(shù)據(jù)放在一起，一次比較就對所有各組平均數(shù)間是否有差異作出判斷。方差分析，又稱為變量分析，是英國著名統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的。方差分析是對兩個或多個樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗的方法。方差分析(Analysisofvariance，ANOVA)方差分析的基本原理1單因素方差分析2二因素方差分析3方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換4第六章方差分析三、數(shù)學(xué)模型一、相關(guān)術(shù)語四、平方和與自由度的分解五、統(tǒng)計假設(shè)的顯著性檢驗-----F檢驗六、多重比較二、方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理一、相關(guān)術(shù)語（一）試驗因素試驗中所研究的影響試驗指標(biāo)的原因或原因組合稱為試驗因素。試驗因素也稱為處理因素，簡稱為因素或因子。為衡量試驗結(jié)果的好壞和處理效應(yīng)的高低，在實驗中具體測定的性狀或觀測的項目稱為試驗指標(biāo)。例如日增重、酶活性、產(chǎn)量等。（一）試驗因素在試驗中可以人為調(diào)控的因素在試驗中不能人為調(diào)控的因素可控因素（固定因素）非控因素（隨機(jī)因素）試驗因素常用大寫字母A、B、C、…等來表示。因素的水平不能嚴(yán)格控制，或水平能控制，其效應(yīng)為隨機(jī)變量；重復(fù)時可得到相同的結(jié)果。因素的水平可準(zhǔn)確控制，且水平固定后，其效應(yīng)也固定；重復(fù)時不易得到相同的結(jié)果。每個試驗因素的不同狀態(tài)（處理的某種特定狀態(tài)或數(shù)量上的差別）稱為因素水平，簡稱為水平。（二）因素水平因素是一個抽象的概念，水平是一個較為具體的概念。溫度酶活性15℃、20℃、25℃、30℃水平用代表該因素的字母加下標(biāo)1、2、3、…等來表示。如A1、A2、A3、…，B1、B2、B3、…等。一、相關(guān)術(shù)語（三）試驗處理試驗處理常稱為處理，指對受試對象給予的某種外部干預(yù)（或措施），是試驗中實施的因子水平的一個組合。單因素處理多因素處理一、相關(guān)術(shù)語一個4種不同配合飼料對魚的飼喂試驗，實施在試驗單位上的具體項目就是飼喂某一種飼料。試驗因素的一個水平考察在該因素不同水平值上性狀量值的變化規(guī)律，找出最佳水平或估計其總體變異。兩個或兩個試驗因素的一個水平組合考察反應(yīng)量在各因素不同水平、水平組合上的變化規(guī)律，找出水平的最佳組合或估計總體變異。因素處理目的舉例3種播種密度對4個小麥品種的產(chǎn)量的影響研究，試驗共有3×4=12個水平組合。其它單因素處理多因素處理可以同時研究主效應(yīng)、交互作用

（四）試驗誤差試驗誤差是指試驗中由于無法控制的因素所引起的差異，簡稱為誤差。一、相關(guān)術(shù)語（五）試驗單位（六）重復(fù)在實驗中能接受不同試驗處理的獨立的試驗載體，即根據(jù)研究目的而確定的觀測總體。在試驗中，將一個處理實施在兩個或兩個以上的試驗單位上。處理實施的試驗單位數(shù)即處理的重復(fù)數(shù)。重復(fù)飼料A1A2A3A413192482212702279257236308331826827329042842792492455359262258286311.8262.8247.4279.8表-1不同飼料飼喂魚增重的數(shù)據(jù)(g)試驗指標(biāo)單因素水平重復(fù)觀測值差異基本思想：將測量數(shù)據(jù)的總變異按照變異原因不同分解為處理效應(yīng)和試驗誤差，并作出其數(shù)量估計。

處理效應(yīng)誤差效應(yīng)二、方差分析基本思想比較處理效應(yīng)和誤差效應(yīng)在總變異中所占的比例。處理效應(yīng)試驗誤差相差不大，說明試驗處理對指標(biāo)影響不大。相差較大，即處理效應(yīng)比試驗誤差大得多，說明試驗處理影響是很大的，不可忽視。表-2每組具n個觀測值的k組樣本符號表三、數(shù)學(xué)模型處理A1A2…Ai…Ak重復(fù)x11x21…xi1…xk1x12x22…xi2…xk2………………x1jx2j…xij…xkj………………x1nx2n…xin…xkn總和Ti.T1.T2.…Ti.…Tk.T..=∑xij平均xi.x1.x2.xi.xk.x..第i個處理的第j個觀測值第i個處理n個觀測值的和全部觀測值的和第i個處理的平均數(shù)全部觀測值的總平均數(shù)表-2每組具n個觀測值的k組樣本符號表三、數(shù)學(xué)模型處理A1A2…Ai…Ak重復(fù)x11x21…xi1…xk1x12x22…xi2…xk2………………x1jx2j…xij…xkj………………x1nx2n…xin…xkn總和Ti.T1.T2.…Ti.…Tk.T..=∑xij平均xi.x1.x2.xi.xk.x..第i個處理觀測值總體平均數(shù)試驗誤差三、數(shù)學(xué)模型第i個處理的效應(yīng)，即處理i對試驗結(jié)果產(chǎn)生的影響固定模型隨機(jī)模型混合模型固定模型各處理的效應(yīng)值τi

是固定值，它是由固定因素所引起的效應(yīng)。實驗因素的各水平是根據(jù)試驗?zāi)康氖孪戎饔^選定的而不是隨機(jī)選定的。在固定模型中，除去隨機(jī)誤差之后的每個處理所產(chǎn)生的效應(yīng)是固定的，試驗重復(fù)時會得到相同的結(jié)果。方差分析所得到的結(jié)論只適合于選定的那幾個水平，并不能將其結(jié)論擴(kuò)展到未加考慮的其它水平上。各處理的效應(yīng)值τi不是固定的數(shù)值，而是由隨機(jī)因素所引起的效應(yīng)。τi

是一個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體中的隨機(jī)變量。選取4窩動物，每窩均有4只幼仔，分析不同窩出生的幼仔體重是否顯著。從美國經(jīng)進(jìn)的黑核桃品種在不同緯度生態(tài)條件下試種，觀察該品種對不同地理條件的適應(yīng)情況。隨機(jī)模型在隨機(jī)模型中，水平確定之后其處理所產(chǎn)生的效應(yīng)并不是固定的，試驗重復(fù)時也很難得到相同的結(jié)果。方差分析所得到的結(jié)論，可以推廣到這個因素的所有水平上。隨機(jī)模型在多因素試驗中，既有固定效應(yīng)的試驗因素，又有隨機(jī)效應(yīng)的試驗因素，則屬于混合模型．混合模型為推斷全國6～7歲孩的身長發(fā)育狀況，隨機(jī)抽取3個省，每個省分為城市和農(nóng)村兩類地區(qū)，各抽取20例數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。這其中城市與農(nóng)村兩個水平組成的地區(qū)屬于固定效應(yīng)型，由于省份的三個水平是通過抽樣確定的，屬于隨機(jī)效應(yīng)型。在實際應(yīng)用中，固定模型應(yīng)用最多，隨機(jī)模型和混合模型相對較少。觀測值變異處理間的變異處理內(nèi)的變異方差總平方和總自由度處理間處理內(nèi)處理間處理內(nèi)四、平方和與自由度的分解四、平方和與自由度的分解（一）平方和分解0每一處理n個觀測值離均差平方和累加k個處理的離均差平方和累加總平方和SST處理內(nèi)平方和SSe處理間平方和SStC（矯正數(shù)）四、平方和與自由度的分解（二）自由度分解重復(fù)飼料A1A2A3A413192482212702279257236308331826827329042842792492455359262258286總和1559131412371399平均數(shù)311.8262.8247.4279.8表-1不同飼料飼喂魚增重的數(shù)據(jù)(g)k=4n=5nk=20(1)平方和計算(2)自由度計算(3)方差計算五、顯著性檢驗－－－F檢驗1提出假設(shè)2確定顯著性水平3計算統(tǒng)計量4統(tǒng)計推斷否定Ho，接受HA,說明不同飼料飼喂魚的增重差異是極顯著的，用不同的飼料飼喂，增重是不同的。在方差分析中，通常將變異來源、平方和、自由度、均方和F值整理成一張方差分析表。在實際進(jìn)行方差分析時，只須計算出各項平方和與自由度，各項均方的計算及F檢驗可在方差分析表上進(jìn)行。變異來源dfSSs2FF0.05F0.01飼料間311435.353811.7837.1323.245.29飼料內(nèi)168551.60534.475總變異1919986.95**表中的F值應(yīng)與相應(yīng)的被檢驗因素齊行。表-3不同飼料飼喂魚增重的方差分析表統(tǒng)計上把多個平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。六、多重比較最小顯著差數(shù)法(LSD法)最小顯著極差法(LSR法)LSD法(leastsignificantdifference)在F檢驗顯著的前提下，先計算出顯著水平為α的最小顯著差數(shù)LSDα，然后將任意兩個處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對值與其比較。在α水平上差異顯著在α水平上差異不顯著LSD檢驗均數(shù)差值標(biāo)準(zhǔn)誤誤差方差兩組數(shù)據(jù)誤差均方的自由度tα自由度被比較的兩個均數(shù)t檢驗LSD法(1)計算最小顯著差數(shù)

LSDα；(2)列出平均數(shù)的多重比較表，比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列；(3)將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與LSDα

比較，作出統(tǒng)計推斷。方法步驟(xi)飼料平均數(shù)差異顯著性(xi.-247.4)(xi.-262.8)(xi.-279.8)A1311.864.4**49.0**32.0*A4279.832.4*17.0A2262.815.4A3247.4表-44種飼料飼喂魚增重差異顯著性表梯形表示法（三角形法）飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8A4279.8A2262.8A3247.4字母標(biāo)記法(1)全部平均數(shù)從大到小依次排列;abbcABAB(2)在最大的平均數(shù)上標(biāo)字母a，將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)相比，凡相差不顯著的標(biāo)a，直至某個與之相差顯著的則標(biāo)以字母b;(3)以該標(biāo)有b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與各個比它大的平均數(shù)比較，凡差數(shù)差異不顯著的在字母a的右邊加標(biāo)字母b;(4)以標(biāo)b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)與以下未曾標(biāo)有字母的平均數(shù)比較，凡差數(shù)不顯著的繼續(xù)標(biāo)以字母b，直至差異顯著的平均數(shù)標(biāo)以字母c，再與上面的平均數(shù)比較;(5)重復(fù)進(jìn)行，直至最小的平均數(shù)有了標(biāo)記字母，并與上面的平均數(shù)比較后為止。(6)差異極顯著標(biāo)記方法同上，用大寫字母標(biāo)記。cB(xi)飼料平均數(shù)差異顯著性(xi.-247.4)(xi.-262.8)(xi.-279.8)A1311.864.4**49.0**32.0*A4279.832.4*17.0A2262.815.4A3247.4飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8aAA4279.8bABA2262.8bcBA3247.4cB平均數(shù)間有一個相同字母的即為差異不顯著，凡無相同字母的即為差異顯著。小寫拉丁字母表示顯著水平α=0.05，大寫拉丁字母表示顯著水平α=0.01。LSR法(leastsignificantranges)LSR法采用不同平均數(shù)間用不同的顯著差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)據(jù)(秩次距)k的不同而采用不同的檢驗尺度。這種在顯著水平α上依秩次距k的不同而采用不同的檢驗尺度的顯著性檢驗方法稱為最小顯著極差法。SSR檢驗q檢驗新復(fù)極差檢驗(newmultiplerangetest)SSR檢驗(theshortestsignificantranges)鄧肯(Duncan)法Duncan多范圍檢驗法（Duncanmultiplerangetest）(1)按相比較的樣本容量計算平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤(2)查SSR表，自由度dfe，所含平均數(shù)個數(shù)M(3)將各平均數(shù)按大小順序排列，用各個M值的LSRα進(jìn)行檢驗。附表6(P268)新復(fù)極差檢驗SSR值表dfM（檢驗極差的平均數(shù)個數(shù)）2345616(0.05)3.003.143.243.303.3416(0.01)4.134.314.424.514.57表-64種飼料飼喂魚增重試驗LSR值（SSR檢驗）M234LSR0.0531.0232.4733.50LSR0.0142.7044.5745.70表-64種飼料飼喂魚增重試驗LSR值（SSR檢驗）M234LSR0.0531.0232.4733.50LSR0.0142.7044.5745.70飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8A4279.8A2262.8A3247.4abbcABABcB表-54種飼料飼喂魚增重試驗(LSD檢驗）飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8A4279.8A2262.8A3247.4abbbABABB表-74種飼料飼喂魚增重試驗(SSR檢驗）q檢驗q檢驗法也稱為Student-Newman-Keuls(SNK)檢驗，是以統(tǒng)計量q的概率分布為基礎(chǔ)的。附表7(P269)q值表dfM（檢驗極差的平均數(shù)個數(shù)）2345616(0.05)3.003.654.054.344.5616(0.01)4.134.785.195.495.72表-84種飼料飼喂魚增重試驗LSR值（q檢驗）M234LSR0.0531.0237.7441.88LSR0.0142.7049.4353.66飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8A4279.8A2262.8A3247.4abbbAAABB表-94種飼料飼喂魚增重試驗(q檢驗）BLSR值（q檢驗）M234LSR0.0531.0237.7441.88LSR0.0142.7049.4353.66LSR值（SSR檢驗）M234LSR0.0531.0232.4733.50LSR0.0142.7044.5745.70k=2,三種方法顯著尺度是相同的。k>2,三種方法顯著尺度不相同。精度要求高的試驗精度要求一般的試驗各個處理平均數(shù)與對照相比的試驗q檢驗SSR檢驗LSD檢驗犯α錯誤的概率LSD檢驗SSR檢驗q檢驗>>方差分析步驟定義總平方和與自由度的分解；(2)列方差分析表，進(jìn)行F檢驗；(3)若F檢驗顯著，進(jìn)行多重比較（注明方法）方差分析是對兩個或多個樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗的方法。它是將測量數(shù)據(jù)的總變異按照變異來源分解為處理效應(yīng)和試驗誤差，并作出其數(shù)量估計。例7.2

測定東北、內(nèi)蒙古、河北、安徽、貴州5個地區(qū)黃鼬冬季針毛的長度，每個地區(qū)隨機(jī)抽取4個樣本，測定的結(jié)果如下表所示，比較其差異顯著性。地區(qū)東北內(nèi)蒙古河北安徽貴州132.029.225.523.322.3232.827.426.125.122.5331.226.325.825.122.9430.426.726.725.523.7表-10不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長度(mm)第二節(jié)單因素方差分析(1)平方和計算(2)自由度計算(3)方差計算(4)F檢驗變異來源dfSSs2FF0.05F0.01地區(qū)間4173.7143.42850.1483.064.89地區(qū)內(nèi)1512.990.866總變異19186.70**表-11不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長度方差分析表地區(qū)平均數(shù)差異顯著性

0.050.01東北31.60內(nèi)蒙古27.40河北26.03安徽24.75貴州22.85表-12不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長度顯著性比較(LSD檢驗）abbccdABBCCDD第三節(jié)二因素方差分析兩個因素共同影響試驗指標(biāo)的試驗處理。主效各試驗因素的相對獨立作用稱為該因素的主效應(yīng)，簡稱為主效。它是由于因素水平的改變而造成因素效應(yīng)的改變?；プ骰プ餍?yīng)是由于兩個或多個試驗因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng)。某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同，則二因素間存在交互作用，簡稱互作。有重復(fù)觀測值的二因素方差分析A因素i水平，B因素j水平，第k次重復(fù)觀測值總平均值A(chǔ)因素i水平的效應(yīng)B因素j水平的效應(yīng)A因素i水平和B因素j水平的交互作用隨機(jī)誤差（1）平方和的分解為：A因素a水平，B因素有b水平，每一重復(fù)都包括ab次實驗，設(shè)試驗重復(fù)n次。abnSSt（3）各項的方差分別為（2）自由度的分解為（4）F檢驗αi、βj、(αβ)ij

和εijk是相互獨立的隨機(jī)變量。αi，βj及(αβ)ij

均為固定效應(yīng)。固定模型隨機(jī)模型（以A為固定因素，Ｂ為隨機(jī)因素為例）A和B的效應(yīng)為非可加性，αi

為固定效應(yīng)，βj及(αβ)ij

為隨機(jī)效應(yīng)。混合模型例7.5

為了研究某種昆蟲滯育期長短與環(huán)境的關(guān)系，在給定的溫度和光照條件下在實驗室培養(yǎng)，每一處理記錄4只昆蟲的滯育天數(shù)，結(jié)果列于表中，是對該材料進(jìn)行方差分析。光照（A）溫度（B）250C300C350C5h·d-1143138120107101100808389931017610h·d-1961037891796183598076616715h·d-1798396986071786467587183表-19不同溫度及光照條件下某種昆蟲滯育天數(shù)由于溫度和光照條件都是人為控制的，為固定因素，可依固定因素分析。將表-19中數(shù)字均減去80，整理得下表光照（Ａ）標(biāo)本號溫度（B）250C300C350C5h·d-112346358402721200391321－4271188443910h·d-112341623－211－1－193－210－4－19－13－2648－38－3615h·d-11234－131618－20－9－2－16－13－22－93－5236－47－41272