第三章 區(qū)域離散化

3.1空間區(qū)域離散化（domaindiscretization）

實(shí)質(zhì)：用有限個(gè)離散的點(diǎn)代替原來的連續(xù)空間。

實(shí)施：計(jì)算區(qū)域劃分多個(gè)子區(qū)域（sub-domain）,定其節(jié)點(diǎn)位置及節(jié)點(diǎn)所代表的控制容積（controlvolume）。

4種幾何要素：網(wǎng)格線節(jié)點(diǎn)：分內(nèi)節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)?？刂迫莘e

界面(虛線表示)第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法xy邊界節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格線內(nèi)節(jié)點(diǎn)界面元體(控制容積)3.1空間區(qū)域離散化（domaindiscretization）3.1.1兩種區(qū)域離散化方法:

方法A（外節(jié)點(diǎn)法）：先節(jié)點(diǎn)，后界面（見下圖）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法xy邊界節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格線內(nèi)節(jié)點(diǎn)界面元體(控制容積)注意：子區(qū)域不是控制容積

方法B（內(nèi)接點(diǎn)法）：先界面，后節(jié)點(diǎn)（見下圖）

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

節(jié)點(diǎn)位于控制容積的中心邊界節(jié)點(diǎn)代表控制容積為零的元體第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法兩種方法的比較：(1)邊界節(jié)點(diǎn)所代表的控制容積不同，如圖2—3所示；(2)當(dāng)網(wǎng)格不均分時(shí)，節(jié)點(diǎn)位置不同，如圖2—4所示；第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法兩種方法的比較：（3）當(dāng)網(wǎng)格不均分時(shí)，界面位置不同，如圖2—5所示；第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3.1.2節(jié)點(diǎn)標(biāo)記方法和符號(hào)對(duì)一維網(wǎng)格：對(duì)均分網(wǎng)格：推導(dǎo)中：

程序中：

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法對(duì)二維網(wǎng)格：(δy)n(δy)s3.2獲得離散方程的方法:

控制容積平衡法控制容積積分法

3.2.1Taylor展開法及截?cái)嗾`差:

一維直角坐標(biāo)對(duì)流擴(kuò)散方程：

（a）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法Taylor展開法；多項(xiàng)式擬合法線性化:常物性；u已知或取前次迭代值。

n時(shí)刻，點(diǎn)i+1處Φ值對(duì)點(diǎn)i作Taylor展開：

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法(a)(b)(1)由（1）得：

?。海ň哂幸浑A截?cái)嗾`差）

微分差分（向前）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

點(diǎn)i-1處Φ值對(duì)點(diǎn)i作Taylor展開：

（2）可得：

向后差分（一階截差）

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法（1）（2）（1）-（2）可得：中心差分（二階截差）（1）+（2）可得：對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)取向前差分可得一維對(duì)流擴(kuò)散方程顯式：（前差）

（中心差）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法待求節(jié)點(diǎn)二階差分取向后差商可得隱式離散方程：

（后差）

（中心差）

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法(a)按每一時(shí)層的中間時(shí)刻的值來計(jì)算。Crank-Nicolson格式（克蘭克-尼克松格式）：第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

傳熱學(xué)中的偏微分方程大多只包含一階、二階導(dǎo)數(shù)，在表2-1中列出了一階、二階導(dǎo)數(shù)常用的幾種差分格式及相應(yīng)的截差等級(jí)。（p35）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3.2.2多項(xiàng)式擬合法：導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式也可以通過多項(xiàng)式的擬合來獲得。主要用于處理B.C.例：下圖，已知內(nèi)節(jié)點(diǎn)溫度，

1、已知，求qB；

2、已知qB，求

解：設(shè)

則，

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

由

解得：

1、（3）

2、由式（3）得：（4）

3、將代入式（4），可得：第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

（5）

（4）、（5）式均為邊界節(jié)點(diǎn)方程3.2.3控制容積平衡法：

例：二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

（顯式）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法WSNEP流入節(jié)點(diǎn)的熱流代數(shù)和等于該節(jié)點(diǎn)所代表的控制容積的內(nèi)能的變化率。（非穩(wěn)態(tài)）流入節(jié)點(diǎn)的熱流代數(shù)和等于0。（穩(wěn)態(tài)）3.2.4控制容積積分法：

三步：

1、將守恒型控制方程在控制容積中及△t內(nèi)對(duì)空間和時(shí)間積分；

2、選擇未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對(duì)空間及時(shí)間的分布曲線（型線，P40：圖2—8）

3、按選定的型線作出積分，并整理成關(guān)于節(jié)點(diǎn)上未知值的代數(shù)方程。例：第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法即如何從相鄰節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值來確定控制容積界面上被求函數(shù)值的插值方式。階梯式：同一控制容積中各處的值相等。第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法如果在整個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)均取初始時(shí)刻之值而僅在該步長(zhǎng)的結(jié)束時(shí)刻取終了之值，為顯式，反之為隱式。Crank-nichoson(C-N格式)則取初始與終了時(shí)刻的平均值作為該步長(zhǎng)的值。第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法階梯顯式分布第一項(xiàng)：例第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法（階梯顯式）分段線性分布第二項(xiàng)：第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第三項(xiàng)：（階梯顯式）(分段線性分布)第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法從而可得離散方程（常物性、均分網(wǎng)格)注意：型線選擇不同，離散方程形式不同。源項(xiàng)：t時(shí)刻,源項(xiàng)在控制容積中的平均值。（2—8））第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法從而可得離散方程（常物性、均分網(wǎng)格)（2—8）（2—6b）與式（2-6b）比較：第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法關(guān)于型線假設(shè)的進(jìn)一步討論1、在有限容積法中，選取型線的目的是：導(dǎo)出離散方程。型線的選?。嚎刂迫莘e界面上被求函數(shù)的插值方式.2、考慮實(shí)施的方便及所形成的離散方程具有滿意的數(shù)值特性，不必追求一致性（p42）。如：上述推導(dǎo)中：對(duì)流及擴(kuò)散項(xiàng)：分段線性分布擴(kuò)散項(xiàng)：階梯式分布，則根本導(dǎo)不出離散方程。第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3、型線對(duì)于離散方程的求解方法及結(jié)果有很大影響?？刂迫莘e積分法中，不同的差分格式：主要由于型線的不同所致。例如，非穩(wěn)態(tài)問題：變量對(duì)時(shí)間型線的不同→顯式、隱式等格式。對(duì)流問題：界面上型線不同→對(duì)流項(xiàng)的各種差分格式。如：對(duì)流項(xiàng)的中心差分，一階迎風(fēng)、混合格式、指數(shù)格式、乘方格式等。（第5章討論）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3.3離散方程的誤差與性能（p48）3.3.1相容性、收斂性與穩(wěn)定性:

相容：時(shí)間和空間的網(wǎng)格步長(zhǎng)

0，差分方程微分方程,收斂：步長(zhǎng)

0，離散誤差

0

[在網(wǎng)格的任一節(jié)點(diǎn)上，微分方程精確解與差分方程精確解（即在代數(shù)方程的求解過程中不引入舍入誤差的解）之差。同差分方程的截差有關(guān)。]數(shù)值解與微分方程精確解間的誤差=離散誤差+舍入誤差(任一節(jié)點(diǎn)上，數(shù)值解與差分方程精確解之差)誤差的主要來源：離散誤差（95%）。第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3.3.1相容性、收斂性與穩(wěn)定性:穩(wěn)定：一個(gè)初值問題的差分格式，如果可以確保在任一時(shí)層計(jì)算中所引入的誤差都不會(huì)在以后各時(shí)層的計(jì)算中被不斷地放大，以致變得無界，則稱此差分格式是穩(wěn)定的。P54：例3-2，不穩(wěn)定性例題，會(huì)出現(xiàn)解的振蕩，失去物理意義。第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

3.3.2離散方程的守恒特性:

1、定義：

如果對(duì)一個(gè)差分方程在定義域的任一有限空間內(nèi)作求和運(yùn)算（相當(dāng)于連續(xù)問題中對(duì)微分方程作積分），所得表達(dá)式滿足該區(qū)域上物理量守恒的關(guān)系時(shí)，則稱該差分格式具有守恒特性。

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法（P65、66例：證明了對(duì)流項(xiàng)中心差分具有守恒特性）第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法一維純對(duì)流方程:第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

3.3.2離散方程的守恒特性:微分方程守恒型；界面上的各物理量（Φ及有關(guān)物性）及Φ一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法連續(xù)指的是從界面兩側(cè)的兩個(gè)控制容積來寫出的該界面上的值是相等的。1、對(duì)流與擴(kuò)散現(xiàn)象在物理本質(zhì)上的區(qū)別擴(kuò)散是由于分子的不規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)所致。擴(kuò)散過程可以把發(fā)生在某一地點(diǎn)上的擾動(dòng)的影響向各個(gè)方向傳遞。對(duì)流是流體微團(tuán)宏觀的定向運(yùn)動(dòng)，帶有強(qiáng)烈的方向性。在對(duì)流的作用下，發(fā)生在某一地點(diǎn)上的擾動(dòng)只能向其下游方向傳遞而不會(huì)逆向傳播。第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3.3.3離散方程的遷移特性

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法2、擴(kuò)散項(xiàng)的中心差分可以將擾動(dòng)均勻地向四周傳遞證明：（a)為分析方便，假設(shè)開始時(shí)物理量的場(chǎng)已經(jīng)均勻化，

從某一時(shí)刻開始(如n時(shí)層)；在某一節(jié)點(diǎn)上突然有了一個(gè)擾動(dòng)，而其余各點(diǎn)上的擾動(dòng)均為零，如圖3—12(a)所示。

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法結(jié)論：擴(kuò)散項(xiàng)的中心差分可以將擾動(dòng)均勻地向四周傳遞.

第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法3、對(duì)流項(xiàng)離散格式的遷移性(transportiveproperty)（1）定義：

如果對(duì)流項(xiàng)的某種離散格式僅能使擾動(dòng)沿著流動(dòng)方向傳遞，則稱此離散格式具有遷移特性。（2）對(duì)流項(xiàng)的中心差分不具有遷移特性證明：第3章區(qū)域離散化及獲得離散方程的方法采用類似的分析法，對(duì)于節(jié)點(diǎn)（i+1）在（n+1）時(shí)層有其中：所以：對(duì)于節(jié)點(diǎn)（i-1）在（n+1）時(shí)層有其中：所以：結(jié)論：i點(diǎn)的擾動(dòng)同時(shí)向相反的兩個(gè)方向傳遞，對(duì)流項(xiàng)的中心差分不具有遷移特性。