江西省重點中學(xué)協(xié)作體2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（教師版）

江西省重點中學(xué)協(xié)作體高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘，試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.己知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出后利用交集的定義可求.【詳解】,而，故，故選：B2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第三象限，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，且復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第三象限，則對應(yīng)的點也在第三象限.故選：C3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，利用導(dǎo)數(shù)可證不等式成立，故可判斷，故可得三者大小關(guān)系.【詳解】，設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，故即，所以，故，故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計算即得.【詳解】由，得，即，所以故選：A5.已知雙曲線的左，右焦點分別為，點M為關(guān)于漸近線的對稱點．若，且的面積為8，則C的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用點到直線的距離公式、勾股定理結(jié)合三角形面積公式可解.【詳解】記與漸近線相交于點N，由題可知，ON為的中位線，且，所以，因為焦點到漸近線的距離，所以，，則，又，即，聯(lián)立解得，所以C的方程為.故選：C6.如圖，正六邊形的邊長為，半徑為1的圓O的圓心為正六邊形的中心，若點M在正六邊形的邊上運動，動點A，B在圓O上運動且關(guān)于圓心O對稱，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的運算化簡，可得，再由的范圍，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，當(dāng)與正六邊形的邊垂直時，，當(dāng)點運動到正六邊形的頂點時，，所以，則，即.故選：B7.中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯(lián)正式確認(rèn)為世界足球運動的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺的中央，訴說中國傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚中華傳統(tǒng)文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊（分別記為“甲隊”“乙隊”“丙隊”“丁隊”）進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進(jìn)行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平場得1分，負(fù)一場得0分．若每場比賽中兩隊勝、平、負(fù)的概率均為，則在比賽結(jié)束時丙隊在輸了第一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)丙是最高分可得丙余下兩場比賽全贏，再就甲乙、甲丁的輸贏（丙的第一場對手若為甲）分類討論后可得正確的選項.【詳解】三隊中選一隊與丙比賽，丙輸，，例如是丙甲，若丙與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則丙只得4分，這時，甲乙、甲丁兩場比賽中甲只能輸，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于4分，不合題意，在甲輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意.若丙全贏（概率是）時，丙得6分，其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分，這時甲乙，甲丁兩場比賽中甲不能贏，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于6分，（1）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲一平一輸，則一平一輸?shù)母怕适牵缙揭?，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率是，（2）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲兩場均平，概率是，乙丁這場比賽無論結(jié)論如何均符合題意，（3）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲都輸，概率是，乙丁這場比賽只能平，概率是.綜上，概率為，D正確．故選：D.8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，記，且，為偶函數(shù)，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】對兩邊同時求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的周期和偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，，所以，對兩邊同時求導(dǎo)，得，所以有所以函數(shù)的周期為，在中，令，所以，因此，因為為偶函數(shù)，所以有，，由可得：，所以，故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是對兩邊同時求導(dǎo)，再利用賦值法進(jìn)行求解.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分．若只有2個正確選項，每選對一個得3分；若只有3個正確選項，每選對一個得2分．9.下列說法正確的是（）A.用簡單隨機(jī)抽樣從含有50個個體的總體中抽取一個容量為10的樣本，個體被抽到的概率是0.2B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5C.數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位數(shù)是17D.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為16【答案】AD【解析】【分析】利用概率對于即可判斷A；根據(jù)平均數(shù)求得的值，然后利用方差公式求解即可判斷B；根據(jù)百分位數(shù)的求法即可判斷C；利用方差公式求解即可判斷D.【詳解】對于A，一個總體含有50個個體，某個個體被抽到的概率為，以簡單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個容量為10的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為，故A正確；對于B，數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)是4，，這組數(shù)據(jù)的方差是，故B錯誤；對于C，8個數(shù)據(jù)50百分為，第50百分位數(shù)為，故C錯誤；對于D，依題意，，則，所以數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為16，D正確；故選：AD.10.已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)a的取值可能是（）A. B. C.1 D.2【答案】BCD【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式判斷對稱性，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，根據(jù)對稱性和單調(diào)性得出答案.【詳解】因為，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.當(dāng)時，為增函數(shù)；令，則，時，，，所以，所以為增函數(shù)，所以當(dāng)時，為增函數(shù).由對稱性可知，當(dāng)時，為減函數(shù).因為恒成立，所以恒成立，即，解得.故選：BCD.11.已知正方體的棱長為1，M是棱的中點．P是平面上的動點(如圖)，則下列說法正確的是（）A.若點P在線段上，則平面B.平面平面C.若，則動點P的軌跡為拋物線D.以的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，三棱錐體積的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】利用面面平行證線面平行可判定A項；利用線面垂直證面面垂直可判定B項；利用平面截圓錐的結(jié)論可判定C項；先確定A的軌跡，取中點分別為N，Q，可證平面平面，利用空間位置關(guān)系確定動點A距離底的最值即可判定D項.【詳解】對于A項，如圖所示，連接對應(yīng)面對角線，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知：，平面，平面，∴平面，同理可知平面，又平面，∴平面平面，又，∴平面，∴平面，故A正確;對于B項，易知面，面，則，又平面，∴平面，而平面，∴，同理，又平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面，故B正確;對于C項，因為為定直線，是定角，到的距離為定值，所以時，在以為旋轉(zhuǎn)軸，到的距離為半徑的圓錐上，又平面，故平面截圓錐的軌跡為雙曲線的一支，即C錯誤；對于D項，設(shè)中點分別為N，Q，則點A的運動軌跡是平面內(nèi)以N為圓心，為半徑的圓(如圖)，

易知平面，∴平面，∵平面，∴平面平面，而，設(shè)與圓的交點分別為E，F(xiàn)(點E位于點F，Q之間，如上圖所示)，易知當(dāng)點A分別位于點E，F(xiàn)時，點A到平面的距離分別取到最小值和最大值，且距離的最小值，距離的最大值，∵的面積，故選項D正確．綜上，正確選項為ABD．故選：ABD【點睛】本題難點在判定CD選項，C項需要利用平面截圓錐曲線（不過圓錐頂點）來判定即可（當(dāng)且僅當(dāng)平面平行于圓錐底面時截圓錐所得圖形為圓，慢慢傾斜平面至與圓錐母線平行之前截圓錐得圖形均為橢圓，當(dāng)且僅當(dāng)平面與圓錐的母線平行時所截圖形為拋物線，再傾斜平面直至與圓錐的軸平行時所截圖形均為雙曲線的一支）；D項需要先確定旋轉(zhuǎn)過程中A的軌跡，再判定A到面的距離最值.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.的展開式中的系數(shù)為___________．【答案】【解析】【分析】利用二項式定理展開式的通項公式可求答案.【詳解】二項式的展開式通項公式為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此展開式中含的項為，故所求系數(shù)為.故答案為：24.13.已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】將變形為，利用均值不等式求的最小值即可求解.【詳解】因為，所以，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以，實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是首先得到，進(jìn)一步結(jié)合乘“1”法即可順利得解.14.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：且中，則B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為____．【答案】【解析】【分析】記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為D，集合C的子集為E，集合D中含有奇數(shù)個元素的子集為F，則所有元素之和為奇數(shù)的集合B可看成，然后可解.【詳解】由斐波那契數(shù)列規(guī)律可知，集合中的元素有674個偶數(shù)，1350個奇數(shù)，記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為D，集合C的子集為E，集合D中含有奇數(shù)個元素的子集為F，則所有元素之和為奇數(shù)的集合B可看成，顯然集合E共有個，集合F共有個，所以所有元素之和為奇數(shù)的集合B共有個，又集合A的非空子集共有個，所以B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是將集合分拆成所有偶數(shù)組成的集合及所有奇數(shù)組成的集合，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求出含有奇數(shù)個奇數(shù)組成的集合個數(shù).四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，已知內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且的面積為，點D是線段上靠近點B的一個三等分點，．（1）若，求c；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得，再結(jié)合余弦定理從而可求解.（2）由利用向量可得，并結(jié)合得，再由，從而可求解.【小問1詳解】由題可得：，故又，即，，即在中，根據(jù)余弦定理得即，即，【小問2詳解】，，即又，①又②，由①②得：16.如圖，三棱錐中，．（1）證明：平面平面；（2）若是線段上的點，且，求二面角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）在中求和邊的高，進(jìn)而判斷≌，最后證明邊的高即為面的垂線，證明結(jié)論即可；（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出面和的法向量，求出兩個法向量夾角的余弦值后，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求二面角的正切值即可.【小問1詳解】證明：在中，，所以，過點作于點，連接，則，因為，所以≌，得，又所以，得，又，，，平面，平面，所以平面，因為平面，平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知，兩兩垂直，如圖以O(shè)為原點建立坐標(biāo)系，，因為，得，設(shè)是平面一個法向量，則，得，而是平面ABC的一個法向量，兩個法向量夾角的余弦值為：設(shè)二面角平面角的大小為，結(jié)合圖形得：，，，所以二面角的正切值為.17.已知橢圓的左右頂點分別為A、B，點C在E上，點分別為直線上的點.（1）求的值；（2）設(shè)直線與橢圓E的另一個交點為D，求證：直線經(jīng)過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）解法一：設(shè)，根據(jù)斜率公式得，然后根據(jù)點C在橢圓上化簡即可求解；解法二：設(shè)，利用三點共線的向量形式求得，，結(jié)合點C在橢圓上化簡即可求解；（2）解法一：聯(lián)立直線MA與橢圓E方程，利用韋達(dá)定理得，同理得點的坐標(biāo)為，分類討論求得直線的方程，即可求得直線經(jīng)過的定點；解法二：設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓E方程，結(jié)合韋達(dá)定理利用求得，從而求得直線經(jīng)過的定點.【小問1詳解】解法一：設(shè)，由題可知，，又，由，在上，則，，.解法二：設(shè)，則，∵A、C、M三點共線，∴，同理：，∴，又曲線E上，∴，代入上式得：.【小問2詳解】解法一：由題可知，直線MA的方程為：，聯(lián)立方程可得：，=45>0，，，又，，，同理可得點的坐標(biāo)為，（i）當(dāng)直線垂直于x軸時，，即，，，此時直線的方程為；（ii）當(dāng)直線不垂直于x軸時，，故直線的方程為，令，則，整理得，此時直線經(jīng)過定點綜上，直線經(jīng)過定點.解法二：由，又，∴，由題可得直線顯然不與x軸平行，設(shè)直線的方程為：，由得，，又，由得或（舍去），∴直線：，∴直線經(jīng)過定點.18.設(shè)是一個二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為，其中，令，稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列，與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式；現(xiàn)有個球等可能的放入編號為的三個盒子中，記落入第1號盒子中的球的個數(shù)為，落入第2號盒子中的球的個數(shù)為．（1）當(dāng)時，求的聯(lián)合分布列，并寫成分布表的形式；（2）設(shè)且，求的值．（參考公式：若，則）【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）的取值為0，1，2，的取值為0，1，2，分別計算概率即可；（2）計算得，則，最后利用二項分布的期望公式即可得到答案.【小問1詳解】若，的取值為0，1，2，的取值為0，1，2，則，