平面向量的概念

平面向量的概念匯報(bào)人：XX2024-02-04XXREPORTING目錄平面向量基本概念平面向量運(yùn)算規(guī)則平面向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用平面向量線性組合與分解平面向量與三角形問(wèn)題PART01平面向量基本概念REPORTINGXX定義向量是有大小和方向的量，用有向線段表示。表示方法印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書寫時(shí)在字母頂上加一小箭頭“→”。如果給定向量的起點(diǎn)（A）和終點(diǎn)（B），可將向量記作AB（并于頂上加→）。在空間直角坐標(biāo)系中，也能把向量以數(shù)對(duì)形式表示。向量定義及表示方法向量的長(zhǎng)度（或大?。┙凶鱿蛄康哪?，記作|a|。模長(zhǎng)向量的方向由起點(diǎn)指向終點(diǎn)，是向量的重要屬性。方向向量模長(zhǎng)與方向長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0。零向量的方向是任意的。零向量單位向量相反向量模為1的向量稱為單位向量。與向量a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量叫做向量a的相反向量，記作-a。030201零向量、單位向量、相反向量

向量間關(guān)系：平行、共線、垂直平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共線）向量。共線向量平行于同一直線的一組向量是共線向量。垂直向量通常用符號(hào)“⊥”表示，若向量a與向量b垂直，則記作a⊥b。在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)向量垂直當(dāng)且僅當(dāng)它們的點(diǎn)積為零。PART02平面向量運(yùn)算規(guī)則REPORTINGXX將兩個(gè)向量首尾相接，從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)，所得向量即為它們的和。以兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，從兩個(gè)向量的公共起點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線向量即為它們的和。加法運(yùn)算：三角形法則與平行四邊形法則平行四邊形法則三角形法則共起點(diǎn)表示法將兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合，從被減向量的終點(diǎn)指向減向量的終點(diǎn)，所得向量即為它們的差。終點(diǎn)連線表示法將兩個(gè)向量的終點(diǎn)相連，從減向量的起點(diǎn)指向被減向量的起點(diǎn)，所得向量即為它們的差。減法運(yùn)算：共起點(diǎn)與終點(diǎn)連線表示將一個(gè)向量與一個(gè)實(shí)數(shù)相乘，得到一個(gè)新的向量，其方向與原向量相同或相反，模長(zhǎng)等于原向量的模長(zhǎng)與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值之積。數(shù)乘定義數(shù)乘運(yùn)算可以理解為對(duì)原向量進(jìn)行伸縮變換，當(dāng)實(shí)數(shù)大于1時(shí)，新向量比原向量長(zhǎng)；當(dāng)實(shí)數(shù)小于1時(shí)，新向量比原向量短；當(dāng)實(shí)數(shù)等于-1時(shí)，新向量與原向量方向相反，模長(zhǎng)相等。伸縮變換數(shù)乘運(yùn)算：伸縮變換原理零元與負(fù)元存在零向量0，使得a+0=a；對(duì)于任意向量a，存在負(fù)向量-a，使得a+(-a)=0。交換律向量加法滿足交換律，即a+b=b+a。結(jié)合律向量加法滿足結(jié)合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘運(yùn)算滿足結(jié)合律，即λ(μa)=(λμ)a。數(shù)乘分配律數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律，即(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb。向量線性運(yùn)算性質(zhì)總結(jié)PART03平面向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算REPORTINGXX在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)向量可以由起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定，表示為有向線段。起點(diǎn)與終點(diǎn)坐標(biāo)確定向量向量可以用其終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到，即若向量起點(diǎn)為(A(x_1,y_1))，終點(diǎn)為(B(x_2,y_2))，則該向量可表示為(vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1))。向量坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)系中向量表示方法向量加法01若向量(vec{a}=(x_1,y_1))，向量(vec=(x_2,y_2))，則向量加法滿足(vec{a}+vec=(x_1+x_2,y_1+y_2))。向量減法02向量減法可以看作是加上相反向量，即若向量(vec{a}=(x_1,y_1))，向量(vec=(x_2,y_2))，則向量減法滿足(vec{a}-vec=(x_1-x_2,y_1-y_2))。數(shù)乘向量03若向量(vec{a}=(x,y))，實(shí)數(shù)(lambda)，則數(shù)乘向量滿足(lambdavec{a}=(lambdax,lambday))。向量坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則：加法、減法、數(shù)乘向量模長(zhǎng)、方向角計(jì)算公式向量(vec{a}=(x,y))的模長(zhǎng)（或長(zhǎng)度）記作(|vec{a}|)，計(jì)算公式為(|vec{a}|=sqrt{x^2+y^2})。向量模長(zhǎng)在直角坐標(biāo)系中，向量與x軸正方向的夾角稱為方向角，記作(theta)，計(jì)算公式為(theta=arctan(frac{y}{x}))，其中(xneq0)，當(dāng)(x<0)時(shí)，需要根據(jù)(y)的正負(fù)判斷(theta)所在象限，進(jìn)而確定其準(zhǔn)確值。方向角兩點(diǎn)間距離公式及其應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)(A(x_1,y_1))，點(diǎn)(B(x_2,y_2))，則兩點(diǎn)間距離公式為(|AB|=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2})。應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式常用于求解向量的模長(zhǎng)，以及判斷點(diǎn)是否在線段或圓上等幾何問(wèn)題。PART04平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用REPORTINGXX數(shù)量積定義性質(zhì)一性質(zhì)二性質(zhì)三數(shù)量積定義及性質(zhì)01020304兩向量的數(shù)量積是一個(gè)標(biāo)量，等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。非負(fù)性，當(dāng)兩向量同向時(shí)，數(shù)量積取得最大值；反向時(shí)，取得最小值。分配律，即向量的數(shù)量積滿足分配律。與向量長(zhǎng)度的關(guān)系，數(shù)量積可以表示兩向量的長(zhǎng)度及它們之間的夾角余弦值的乘積。一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影長(zhǎng)度等于兩向量的數(shù)量積除以被投影向量的模。投影兩向量的夾角余弦值等于它們的數(shù)量積除以它們模的乘積，即cosθ=a·b/(|a||b|)。夾角余弦值數(shù)量積滿足交換律、分配律，以及與標(biāo)量的結(jié)合律。運(yùn)算規(guī)則數(shù)量積運(yùn)算規(guī)則：投影、夾角余弦值當(dāng)兩向量的數(shù)量積為零時(shí)，它們垂直。垂直關(guān)系當(dāng)兩向量的數(shù)量積等于它們模的乘積時(shí)，它們平行且同向；當(dāng)數(shù)量積等于它們模的乘積的相反數(shù)時(shí)，它們平行且反向。平行關(guān)系通過(guò)計(jì)算兩向量的夾角余弦值，可以判斷它們之間的夾角大小及位置關(guān)系。夾角關(guān)系用數(shù)量積判斷兩向量位置關(guān)系計(jì)算向量的模計(jì)算向量的夾角判斷向量的位置關(guān)系解決幾何問(wèn)題數(shù)量積在幾何問(wèn)題中應(yīng)用通過(guò)計(jì)算向量與自身的數(shù)量積，再開方得到向量的模。如上所述，利用數(shù)量積可以判斷兩向量是否垂直、平行等。利用數(shù)量積公式求出兩向量的夾角余弦值，進(jìn)而得到夾角大小。數(shù)量積在解決平面幾何問(wèn)題中具有廣泛應(yīng)用，如計(jì)算點(diǎn)到直線的距離、判斷點(diǎn)是否在直線上等。PART05平面向量線性組合與分解REPORTINGXX對(duì)于平面向量$vec{a}$和$vec$，以及實(shí)數(shù)$x$和$y$，稱向量$xvec{a}+yvec$為$vec{a}$和$vec$的線性組合。線性組合定義若存在不全為零的實(shí)數(shù)$x$和$y$使得$xvec{a}+yvec=vec{0}$，則稱$vec{a}$和$vec$線性相關(guān)；否則稱$vec{a}$和$vec$線性無(wú)關(guān)。線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)線性組合滿足交換律、結(jié)合律和分配律。線性組合的性質(zhì)線性組合概念及性質(zhì)VS如果$vec{a}$和$vec$不共線，則平面內(nèi)任一向量$vec{c}$都可以唯一地表示成$vec{a}$和$vec$的線性組合，即存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)$(x,y)$，使得$vec{c}=xvec{a}+yvec$。定理的幾何意義平面向量基本定理表明，不共線的兩個(gè)向量可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底。平面向量基本定理平面向量基本定理介紹03解決三角形問(wèn)題利用線性組合可以解決三角形中的各種問(wèn)題，如求角平分線、中線、高線等。01解決共線問(wèn)題利用線性組合可以判斷向量是否共線，進(jìn)而解決幾何中的共線問(wèn)題。02解決平行四邊形問(wèn)題利用線性組合可以方便地解決平行四邊形相關(guān)的問(wèn)題，如求對(duì)角線、判斷平行四邊形的形狀等。線性組合在幾何問(wèn)題中應(yīng)用平行四邊形法則對(duì)于任意向量$vec{c}$，可以構(gòu)造一個(gè)平行四邊形，使其兩條相鄰邊分別等于已知的向量$vec{a}$和$vec$，則$vec{c}$可以分解為$vec{a}$和$vec$的和或差。三角形法則對(duì)于任意向量$vec{c}$，可以構(gòu)造一個(gè)三角形，使其兩條邊分別等于已知的向量$vec{a}$和$vec$，則$vec{c}$可以分解為$vec{a}$和$vec$的和或差。正交分解法如果已知一組正交基底$(vec{e_1},vec{e_2})$，則任意向量$vec{c}$都可以唯一地表示成這組基底的線性組合，即$vec{c}=xvec{e_1}+yvec{e_2}$，其中$x$和$y$是實(shí)數(shù)。這種分解方法稱為正交分解法。平面向量分解方法PART06平面向量與三角形問(wèn)題REPORTINGXX垂心三角形三邊上的高線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的垂心，垂心與三角形的頂點(diǎn)連線垂直于對(duì)邊。重心三角形的三條中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的重心，重心將每條中線分為2:1的兩段。外心三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的外心，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。三角形重心、垂心、外心概念及性質(zhì)利用向量加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算，可以方便地表示三角形中的線段及線段之間的關(guān)系。通過(guò)向量的數(shù)量積運(yùn)算，可以求解三角形的角度、邊長(zhǎng)等問(wèn)題。利用向量的坐標(biāo)表示法，可以將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。利用平面向量解決三角形問(wèn)題三角形的重心可以用向量的加權(quán)平均來(lái)表示，即重心到頂點(diǎn)的向量等于各邊中點(diǎn)到對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的向量的平均。重心三角形的垂心與三角形的頂點(diǎn)連線構(gòu)成的向量與對(duì)應(yīng)邊的向量垂直。垂心三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的向量長(zhǎng)度相等，且兩兩之間的夾角為120度。外心三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，可以用向量的數(shù)量積來(lái)表示這一性質(zhì)。內(nèi)心三角形四心與平面向量關(guān)系探討S=1/2*