2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)《復(fù)數(shù)、立體幾何初步》測試卷及答案解析

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)《復(fù)數(shù)、立體幾何初步》

選擇題（共12小題）

1.（2022春?福州期中）已知α,?∈R,ub≠Q(mào)n是“復(fù)數(shù)α+核為虛數(shù)”的（）

A.必要非充分條件

B.充分非必要條件

C.充要條件

D.既非充分條件也非必要條件

2.（2021秋?福州期末）己知z=3-4i,則團(tuán)+zi=（）

A.1+3/B.8-4zC.9+3/D.20+3/

3.（2022春?倉山區(qū)校級期中）已知復(fù)數(shù)Z滿足z（l+2i）=∣4+3z∣,（其中，為虛數(shù)單位），

則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）

A.1B.iC.-2D.-2i

4（2019秋?福州期末）設(shè)復(fù)數(shù)z=t（2-力,貝！IlZI=（）

A.√3B.√5C.3D.5

5.（2017秋?鼓樓區(qū)校級月考）三棱錐P-4BC中，平面N8C,ACLBC,AC=BC=I,

PA=M,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.5πB."/2兀C.20πD.4π

6.（2020秋?鼓樓區(qū)校級月考）陀螺指的是繞一個支點(diǎn)高速轉(zhuǎn)動的幾何體，是中國民間最早

的娛樂工具之一.傳統(tǒng)陀螺大致是木或鐵制的倒圓錐形，玩法是用鞭子抽.中國是陀螺

的老家，從中國山西夏縣新石器時代的遺址中，就發(fā)掘了石制的陀螺.如圖，一個倒置

的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱，其中總高度為8cm,圓柱部分高度為

6cm,已知該陀螺由密度為0.7g∕c/的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為70g,則最接近此陀螺

圓柱底面半徑的長度為（）

A.2.2cmB.2AcmC.2.6cmD.2,Scm

第1頁（共31頁）

7.（2021春?平潭縣校級期末）已知圓錐的底面半徑為&,其側(cè)面展開圖為一個半圓，則

該圓錐的母線長為（）

A.2B.2√2C.4D.4√2

8.（2021春?羅源縣期中）軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的底面積是

側(cè)面積的（）

A.?B.?C.?D.亞

4322

9.（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）表面積為324π的球，其內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形的直

棱柱）的高是14,則這個正四棱柱的表面積等于（）

A.567B.576C.240D.49π

10.（2021春?福清市期中）已知圓柱的高為2,它的兩個底面的圓周在直徑為2√E的同一

個球的球面上，則圓柱的表面積為（）

A.4√5∏B.（8+6√3）πC.10√3πD.（10+4√5）π

11.（2020秋?福州期末）將一個邊長為"的正方形鐵片的四角截去四個邊長相等的小正方

形，做成一個無蓋方盒.若該方盒的體積為2,則。的最小值為（）

A.1B.2C.3D.3料

12.（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）已知正方體48。-48。。棱長為2,M,N,尸分別是棱

AA?AB、8C的中點(diǎn)，則平面MNP截正方體所得的多邊形的周長為（）

A.2√2+√6B.4√2C.6√2D.2√21

—.填空題（共4小題）

13.（2021秋?倉山區(qū)校級期中）如圖，OE是邊長為6的正三角形/8C的一條中位線，將

△4。E沿直線DE翻折至44OE,當(dāng)三棱錐4-CE。的體積最大時，四棱錐Ni-BCDE

外接球。的表面積為；過EC的中點(diǎn)M作球。的截面，則所得截面圓面積的最

小值是.

第2頁（共31頁）

14.（2021?福州一模）在三棱錐尸-NBC中，側(cè)面以C與底面48C垂直，NB4C=90°,

NPe4=30°,/8=3,R4=2.則三棱錐尸-48C的外接球的表面積為.

15.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，已知平面四邊形/8C。中，4∕8O是邊長為2的正

三角形，BClCD,以8。為棱折成直二面角Z-8。-C,若折疊后4B,C,。四點(diǎn)在

同一球面上，則該球的體積為.

16.（2021?福州模擬）已知三棱錐展∕3C,VA=VC=遙，4B=BC=1,AC=√2＞二面角

V-AC-8的余弦值為二，則該三棱錐的外接球的體積為.

3

Ξ.解答題（共5小題）

17.（2022春?項(xiàng)城市校級月考）當(dāng)實(shí)數(shù)。取何值時，在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z=（〃，-4〃?）+（加2

-w-6），對應(yīng)點(diǎn)滿足下列條件？

（1）在第三象限：

（2）在虛軸上；

（3）在直線X-Vt?3=0上.

18.（2016春?連江縣校級期中）已知復(fù)數(shù)Z=（?2-3?-4）+（?-1）Z（A∈R）:

（1）若復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求左的取值范圍；

（2）若復(fù)數(shù)z?氾R,求復(fù)數(shù)Z的模團(tuán)?

19.（2021秋?倉山區(qū)校級期中）如圖，已知三棱柱/8C-381。，點(diǎn)。為棱18的中點(diǎn).

（1）求證：BCi〃平面4CO；

（2）若A∕8C是等邊三角形，且∕8=44ι=2,乙4ι∕8=60°,平面44山出_1平面/8C,

求三棱錐小-88∣C的體積.

第3頁（共31頁）

20.(2021春?平潭縣校級期末)如圖，已知四棱錐尸-18。中，Rl，平面ZBCZ),底面

NBCO為平行四邊形，NABC=60°,BC=245=2,E為線段PZ)的中點(diǎn)，且RI=√ξ,

平面ABE與棱PC相交于點(diǎn)F.

(1)求證：AB//EF-,

(2)求證：AFLPD.

21.(2021春?福州期末)如圖，在三棱錐力-8CD中，ABlAD,BCLBD,平面/8。_1平

面BCD.

(1)求證：ADVACi

(2)已知。E=2E∕,DF=IFC,則棱5。上是否存在點(diǎn)G,使得平面E尸G〃平面/8C?

若存在，確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請說明理由.

C

第4頁(共31頁)

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)《復(fù)數(shù)、立體幾何初步》

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題）

1.（2022春?福州期中）己知α,hER,ub≠Q(mào),,是"復(fù)數(shù)α+6i為虛數(shù)”的（）

A.必要非充分條件

B.充分非必要條件

C.充要條件

D.既非充分條件也非必要條件

【考點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)；充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】對應(yīng)思想：轉(zhuǎn)化法；簡易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義以及虛數(shù)的定義判斷即可.

【解答】解：a,bER,若b/0,則復(fù)數(shù)是虛數(shù)，是充分條件，

反之，若復(fù)數(shù)。+方為虛數(shù)，則是必要條件，

Λab≠O,'是"復(fù)數(shù)α+加是虛數(shù)”的充分必要條件,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了充分必要條件和虛數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題.

2.（2021秋?福州期末）已知z=3-4i,則∣z∣+zi=（）

A.1+3/B.8-4/C.9+3/D.20+3/

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想：綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，求出團(tuán)和力的值，計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，z=3-4i,則團(tuán)=√9+16=5,

zi—（3-4i）ι=4+3r,

貝IJlZl+zi=9+33

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，注意復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2022春?倉山區(qū)校級期中）已知復(fù)數(shù)Z滿足z（l+2i）=∣4+3i∣,（其中。為虛數(shù)單位）,

則復(fù)數(shù)Z的虛部為（)

第5頁（共31頁）

A.1B.iC.-2D.-2i

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】推導(dǎo)出z=l-2i,由此能求出復(fù)數(shù)Z的虛部.

【解答】解：???復(fù)數(shù)Z滿足Z(l+2i)=∣4+3∕∣,

?..=∣4+3i∣=5=5(l-2i)=5(l-2i)-],2/>

l+2il+2i(l+2i)(l-2i)]_夏2，

.?.復(fù)數(shù)Z的虛部為-2.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的虛部求法，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

4.(2019秋?福州期末)設(shè)復(fù)數(shù)z=i(2-j),則IZI=()

A.√3B.√5C.3D.5

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】整體思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則進(jìn)行化簡即可.

【解答】解：?.?z=i(2-力=2i+l,

則IZl=?/1+4=代.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算，比較基礎(chǔ).

5.(2017秋?鼓樓區(qū)校級月考)三棱錐P-ZBC中，為，平面∕8C,ACLBC,AC=BC=L

PA=M,則該三棱錐外接球的表面積為()

A.5πB.√2πC.20πD.4π

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】空間位置關(guān)系與距離；球.

【分析】根據(jù)題意，證出8C，平面以C,PB是三棱錐P-/8C的外接球直徑.利用勾

股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出P8=√甘，得外接球半徑R=近_,從而得到所求外接球的表面

2

積

【解答】解：孫，平面45C,ACVBC,

平面PAC,PB是三棱錐P-ABC的外接球直徑；

第6頁(共31頁)

?.?Rt△尸"1中，AB=a,PA=y∕3

ΛP5=√5＞可得外接球半徑R=L58=近_

22

外接球的表面積S=4πR2=5π

故選：A.

【點(diǎn)評】本題在特殊三棱錐中求外接球的表面積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、

勾股定理和球的表面積公式等知識，屬于中檔題.

6.（2020秋?鼓樓區(qū)校級月考）陀螺指的是繞一個支點(diǎn)高速轉(zhuǎn)動的幾何體，是中國民間最早

的娛樂工具之一.傳統(tǒng)陀螺大致是木或鐵制的倒圓錐形，玩法是用鞭子抽.中國是陀螺

的老家，從中國山西夏縣新石器時代的遺址中，就發(fā)掘了石制的陀螺.如圖，一個倒置

的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱，其中總高度為8cm,圓柱部分高度為

6cm,已知該陀螺由密度為0.7g∕c加的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為70g,則最接近此陀螺

圓柱底面半徑的長度為（）

A.2.2cmB.2AcmC.2.6cmD.2.Scm

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.

【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；立體幾何；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先結(jié)合密度和質(zhì)量求得該陀螺的體積，設(shè)底面半徑為廠，根據(jù)總體積建立關(guān)于r

的方程，解得即可得結(jié)果.

第7頁（共31頁）

【解答】解：由題可得該陀螺的總體積為衛(wèi)=100~c1∏3,設(shè)圓柱底面半徑為r，

0.7

22xs22cm

則可得πr×6+^-πr×（8-6）=1001解得r=J^---

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查圓錐與圓柱的體積公式，考查直觀想象的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2021春?平潭縣校級期末）已知圓錐的底面半徑為√5,其側(cè)面展開圖為一個半圓，則

該圓錐的母線長為（）

A.2B.2√2C.4D.4√2

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)母線長為/,利用圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即

為側(cè)面展開圖半圓的半徑，列出方程，求解即可.

【解答】解：由題意，設(shè)母線長為/,

因?yàn)閳A錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半

徑，

貝情2兀?讓=冗?1，解得1=2√L

所以該圓錐的母線長為簿.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐底面周長即為側(cè)面展

開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，考查了邏輯推理能力與運(yùn)

算能力和空間思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2021春?羅源縣期中）軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的底面積是

側(cè)面積的（）

A.?B.?C.?D.叵

4322

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.

【專題】數(shù)形結(jié)合：綜合法：立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出圓錐的母線與底面半徑的關(guān)系，代入底面積和側(cè)面積

公式得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)等邊圓錐的底面半徑為廠，則圓錐的母線為2r,

第8頁（共31頁）

.S底面積=冗r2.=1

S惻面積冗r?2r2,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查圓錐的側(cè)面積與底面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）表面積為324n的球，其內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形的直

棱柱）的高是14,則這個正四棱柱的表面積等于（）

A.567B.576C.240D.49π

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】計(jì)算球的半徑，根據(jù)正四棱柱的體對角線等于球的直徑求出棱柱的底面邊長，

再計(jì)算表面積.

【解答】解：設(shè)球的半徑為廠，則4πa=324m解得r=9,

設(shè)正四棱柱的底面邊長為α,則正四棱柱的體對角線為點(diǎn)予彳=2『=18，

解得α=8,

正四棱柱的表面積為S=2X82+4X8X14=576,

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了球與棱柱的位置關(guān)系，幾何體的體積與表面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.（2021春?福清市期中）已知圓柱的高為2,它的兩個底面的圓周在直徑為2后的同一

個球的球面上，則圓柱的表面積為（）

A.4代兀B.（8+6√3）πC.10√3∏D.（ιo+4√5）π

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.

【專題】整體思想；綜合法；立體幾何；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)球的半徑為尺，圓柱的底面所在的圓的半徑為，?，由勾股定理可求出r的值，

而圓柱的表面積S=2TO?2+2X如r,代入r的值即可得解.

【解答】解：設(shè)球的半徑為R=√E,圓柱的底面所在的圓的半徑為r,

則r=^R2-（y×2）2=√5?

所以圓柱的表面積S=2πr2+2X2π∕?=lO7τ+4J^π=（10+4Λ∕^）π.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查圓柱與球的簡單計(jì)算，考查學(xué)生的空間立體感和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)

第9頁（共31頁）

題.

11?(2020秋?福州期末)將一個邊長為"的正方形鐵片的四角截去四個邊長相等的小正方

形，做成一個無蓋方盒.若該方盒的體積為2,則。的最小值為()

A.IB.2C.3D.3料

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)建模.

【分析】設(shè)截去的四個小正方形的邊長為X,則無蓋方盒底面是邊長為α-2x的正方形，

高為X,求出方盒的體積/(x)的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，從而得到

V(x)maχ=v(-∣-)=^-≥2-求出。的范圍，即可得到答案.

【解答】解：設(shè)截去的四個小正方形的邊長為X,則無蓋方盒底面是邊長為α-2x的正方

形，高為X,

所以方盒的體積為V(X)=(a-2x)2χ=4χ3-4aχ2+a%,x€(0>?),

則V'(x)=12χ2-8ax+a2=(2χ-a)(6χ-a)>X€(0,?),

令V'(X)=0,解得XΛ,^,,

x=2x6

當(dāng)0<x<3M,V'(X)>0,所以/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)包<x<Wj∣寸，V'(X)<0,所以V(x)單調(diào)遞減，

62

93

故V(x)max=V(?)與^'

若該方盒的體積為2,

n3

則有V(x)max=V(?)號>2，

解得

所以。的最小值為3.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)在實(shí)際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用，涉及了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的應(yīng)

用、正方體體積公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，從中抽出數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，

屬于中檔題.

12.(2022春?鼓樓區(qū)校級期中)已知正方體∕5CZ)-48'CZ7棱長為2,M,N,尸分別是棱

AA?AB.8C的中點(diǎn)，則平面MNP截正方體所得的多邊形的周長為()

第10頁(共31頁)

A.2√2+√6B.4√2C.6√2D.2√21

【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論.

【專題】作圖題；直觀想象.

【分析】利用平面基本性質(zhì)作出正方體中的截面圖，再由正方體的特征判斷截面的性質(zhì),

即可求周長.

【解答】解：過直線MN與射線"A1,B'8分別交于1,J,作射線"交于CC',夕

C于G,H,

連接/H交/'D',C'D1于E,F,如下圖示：

所以六邊形MNPGFE即為面MNP截正方體所得的多邊形,

又M,N,P分別是棱44'、AB、BC的中點(diǎn)，易知：G,F,E均為中點(diǎn),

所以截面為正六邊形，故周長為6&.

【點(diǎn)評】本題考查的是空間圖形截面圖的面積，根據(jù)平面的性質(zhì)，作出正方體的截面是

本題的關(guān)鍵.

二.填空題（共4小題）

13.（2021秋?倉山區(qū)校級期中）如圖，OE是邊長為6的正三角形Z5C的一條中位線，將

△4。E沿直線。E翻折至a∕∣AE,當(dāng)三棱錐小-CED的體積最大時，四棱錐4-BCDE

外接球。的表面積為39π；過EC的中點(diǎn)"作球。的截面，則所得截面圓面積的最

小值是_空匚.

4

第11頁（共31頁）

【考點(diǎn)】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；球；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意確定當(dāng)平面小OEL平面BCZ）E時，三棱錐NLCED的體積最大，作出

圖形，依次確定4∕∣DE的外接圓的圓心Oi,四邊形BCZ）E的外接圓的圓心02,再確定

四棱錐4-8CDE的外接球的球心0,求解外接球的半徑，即可求出外接球的表面積；

以EC為直徑的球0的截面圓的面積最小，求出此時截面圓的面積即可.

【解答】解：由題意可知，當(dāng)平面小。EL平面8。E時，三棱錐小-CEO的體積最大,

如圖所示，

取。E的中點(diǎn)G,連接小G,則△小。E的外接圓的圓心Oi位于小G且靠近點(diǎn)G的三等

分點(diǎn)處，

設(shè)BC的中點(diǎn)為。2，連接3E,OiD,則GB=QC=O2。=。2￡=3,

所以02為四邊形BCDE的外接圓的圓心，

過Oi作平面小。E的垂線，過。2作平面BCOE的垂線，

則兩垂線的交點(diǎn)即為四棱錐/1-BCDE的外接球的球心O,

連結(jié)O2G,則四邊形。O∣,G2。為矩形，Oo2=O?G=至,

2

連結(jié)OE,在RtZ?002E中，0￡2=0022+02岳2=（亨）2+32=號，

所以四棱錐Ai-BCDE外接球O的表面積為4W?2=39n；

由題意可知，以EC為直徑的球O的截面圓的面積最小，

22

所以最小值為連）2π=ECiπ=BC?iπ=6-3π巫.

'2'4444

故答案為：39π;212L.

4

第12頁（共31頁）

【點(diǎn)評】本題考查了錐體的外接球問題，屬于探索創(chuàng)新情況，綜合性問題，解題的關(guān)鍵

是確定球心的位置，確定球的半徑，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

14.（2021?福州一模）在三棱錐尸-NBC中，側(cè)面以C與底面48C垂直，NBAC=90°,

NPC∕=30°,4B=3,P4=2.則三棱錐尸-46C的外接球的表面積為25ττ.

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離：邏輯推理；直

觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】畫出幾何體的直觀圖，求解三角形為C的外接圓的半徑，然后求解外接球的半

徑，進(jìn)而求出三棱錐P-NBC外接球的表面積.

【解答】解：：在三棱錐p-18C中，側(cè)面以C與底面Z8C垂直，NBZC=90°,

.?.8N，平面∕MC,ZPCA=30°,PA=2.

設(shè)△/?C的外接圓的半徑為廠，外接圓圓心為0,

則——FHo=2〃解得r=2,

sin30

過。作平面PAC,則QOJLXAB,

2

外接球的半徑為R,球心為。，

R=Jr2+\AB）2=J⑵2+、）2=）

；?外接球的表面積為4πΛ2=25π.

故答案為：25π.

C

第13頁（共31頁）

【點(diǎn)評】本題考查三棱錐外接球問題，解題的關(guān)鍵是找球心，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算

的核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

15.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，已知平面四邊形/8C。中，4∕8O是邊長為2的正

三角形，BCLCD,以8。為棱折成直二面角/-8。-C,若折疊后4B,C,。四點(diǎn)在

J

同一球面上，則該球的體積為3VlL

27

C

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離：邏輯推理；直觀想象；數(shù)

學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意可知，A,B,C,。頂點(diǎn)在同一個球面上，4∕8D的中點(diǎn)就是球心，求

出球的半徑，即可得到球的體積.

【解答】解：平面四邊形/8CD中，AB=AD=BD=2,BCLCD,以8。為棱折成直二

面角/-8。-C,若折疊后Z,B,C,Z）四點(diǎn)在同一球面上，E為80的中點(diǎn)，底面三角

形BCO的外心，直二面角力-8。-C,所以aZBD的外心就是Z,B,C,。四點(diǎn)在同一

球面上的球的球心，

球的半徑為：2X近_*2=2叵；

323_

所以球的體積為：=LX（呼_尸=絲祟二

故答案為：32百兀

27

C

【點(diǎn)評】本題是中檔題，考查四面體的外接球的體積的求法，找出外接球的球心，是解

第14頁（共31頁）

題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，空間想象能力.

16.（2021?福州模擬）已知三棱錐展VA=VC=√5>4B=BC=1,AC=&，二面角

/-4C-8的余弦值為二，則該三棱錐的外接球的體積為_娓』

3

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；球；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)據(jù)分析.

【分析】作出圖形，取NC中點(diǎn)，可判斷得到NPMB就是二面角P-4C-8的平面角，

進(jìn)而利用二面角的余弦值可求出摩的長，則可判斷得到/"8與NNCB都是直角，所

以可知三棱錐的外接球球心是VB的中點(diǎn)，即可求得其外接球的體積.

【解答】解：如圖，取ZC中點(diǎn)為連結(jié)％M,BM,

"?,VA=VC=√5>AB=BC=I,

：.VMLAC,BMYAC,

N就是二面角P-/C-8的平面角，

???AM=2T,

ΛV≡2=H4B≡2=I?4

.?+?-vβ21

??COSNVMB=7≡7="=

2×√?×√?

???VB=√6>

所以以2+4g2=FCS2,V（^+BCi^VB2,/勿8與NrC8都是直角，

所以該三棱錐的外接球球心是VB的中點(diǎn)，

B

【點(diǎn)評】本題考查三棱錐的外接球體積，考查直線和平面的位置關(guān)系，確定三棱錐的外

第15頁（共31頁）

接球的球心是關(guān)鍵，屬于中檔題.

三.解答題(共5小題)

22

17.(2022春?項(xiàng)城市校級月考)當(dāng)實(shí)數(shù)。取何值時，在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)Z=(∕W-4W)+(W

-w-6)/對應(yīng)點(diǎn)滿足下列條件？

(1)在第三象限；

(2)在虛軸上；

(3)在直線χ-y+3=0上.

【考點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù).

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

(分析】復(fù)數(shù)z=(m2-4∕n)+(m2-m-6)i,對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為Z(w2-4m,m2-m-6).

(1)點(diǎn)Z在第三象限，則.m2-4m<0,解得即可.

m2-m-6≤0

(2)點(diǎn)Z在虛軸上，則<m如1°,或〃/-4加=加2-加-6=0,解得用即可.

、m2-m-6≠0

(3)點(diǎn)Z在直線X-y+3=0上，貝IJ(m2-4w)-Gn2-w-6)÷3=0,解出即可.

【解答】解：復(fù)數(shù)Z=(∕w2-4/7?)÷(w2-/W-6)i,對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為Z(∕772-4∕n,m2-

-6).

⑴點(diǎn)Z在第三象限,則.m2-4m<0,解得［θ<m<4λo<w<3

2

m-m-6≤O∣t-2<m<3

f2

m

(2)點(diǎn)Z在虛軸上，貝∣J<4m°；或加2_4An=陽2-掰_6=o

、m2-m-6≠O

解得加=0,或加=4；無解；

因此〃2=0,或加=4.

(3)點(diǎn)Z在直線X->3=0上，貝IJ(∕W2-4W)-(加2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,

??m~~3?

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、復(fù)數(shù)相等、幾何意義、方程與不等式的解法，考

查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

18.(2016春?連江縣校級期中)已知復(fù)數(shù)Z=(A2-3?-4)+(A-1)z(?∈R):

(1)若復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求A的取值范圍；

(2)若復(fù)數(shù)z?i∈R,求復(fù)數(shù)Z的模∣z∣?

第16頁(共31頁)

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】（1）利用復(fù)數(shù)所在象限，列出不等式組，求解即可；

（2）化簡復(fù)數(shù)為α+6i的形式，通過復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，求出4,然后求解復(fù)數(shù)的模.

【解答】解：⑴依題意得：∣k2-3k-4?°...￡分）

k-l>O

f-i<<4

得,八kK'*../分）

k>l

/.1<?<4???（6分）

（2）z,i-（F-3?-4）Z-（4-1）…（9分）

XVZ?Z∈RΛΛ2-3k-4=0-（10分）

.".k=-1或A=4

當(dāng)*=-1時,Z=-2i,Λ∣z∣=2

當(dāng)《=4時，z=3i,.?.∣z∣=3…（12分）.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力.

19.（2021秋?倉山區(qū)校級期中）如圖，已知三棱柱力BC-mBiCj,點(diǎn)。為棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面4CO；

（2）若a∕8C是等邊三角形，且∕8=44ι=2,/ZιN8=60°,平面44i8i8_L平面N8C,

求三棱錐小-88C的體積.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）連接/Cl交小C于易知M為/。的中點(diǎn)，。為48中點(diǎn)，則0加為4

ZBCi的中位線，進(jìn)而可得8Ci〃OM,由此可得證；

（2）利用面面垂直的性質(zhì)可得。CL平面/U山出，再根據(jù)題設(shè)條件求出各棱長，由

第17頁（共31頁）

C=VC-ABB代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

VΛA?_DBBD?UL?Λ∣DD?

【解答】解：（1）證明：連接4。交小C于連接。M,

由三棱柱∕8C-48∣Cι知，四邊形∕CCι∕ι為平行四邊形，M為/。的中點(diǎn)，

又O為AB中點(diǎn)，：.BCi〃OM,

又OMu平面小C。，BClC平面/C。，

.?.2?！ㄆ矫嫘。?。；

（2）：平面44∣8ι8J＞平面/8C,平面44ι8ι8∩平面∕8C=∕3,OCVAB,OCU平面

ABC,

，。C，平面441818,

又BC是等邊三角形,且48=2,二0C=√ξ,

?.78=44ι=2,ZA?AB=60a,

：.A?B=AχBχ^l,s???^?Λ×2×2×?=√3>

Λ=

VA1-BB1CVC-A1BB14≡ΔA1BB1'θC=?×√3×√3=I-

【點(diǎn)評】本題考查線面平行的判定以及線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)等知識點(diǎn)，考

查利用等體積法求三棱錐的體積，考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

20.（2021春?平潭縣校級期末）如圖，已知四棱錐尸788中，口，平面Z8CD,底面

/8Cz）為平行四邊形，NNBC=60°,BC=2AB=2,E為線段PZ）的中點(diǎn)，且以=我,

平面ABE與棱PC相交于點(diǎn)F.

（1）求證：AB〃EF；

(2)求證：AFVPD.

第18頁（共31頁）

【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理.

【分析】（1）首先證明/8〃面尸CZ）,再由線面平行的性質(zhì)即可得證；

（2）首先由余弦定理求出/C,即可得到再由線面垂直的性質(zhì)定理與判定定

理得到面以C,即可得到ZBJ_/凡從而得到CDJ_/尸，即可得到ZFJ_面尸C。，

即可得證.

【解答】證明：（1）因?yàn)榈酌媪CQ為平行四邊形，所以

因?yàn)?EC面尸CD,EFU面PcID,所以48〃面PCz）,

X≡ABFECltSPCD=-EF,ABu面ABFE,所以/8〃￡尸；

（2）由（I）AB//EF,E為線段PO的中點(diǎn)，所以尸為尸C的中點(diǎn)，

因?yàn)镹∕8C=60°,BC=2AE=2,

由余弦定理可得ZC2=Z82+8C2-IAB-BCCOSAABC,

BPAC2=]+4-2×1×2×A=3,解得ZC=我，

2

所以AB2+AC2=BC2,即ABkAC,

又PA=M,所以/∕<LPC,

因?yàn)樵耞L平面N8C。，/Bu平面/8CZ）,所以以_L/8,

因?yàn)橐浴迁MC=4,PA,∕4C?SPAC,所以N8_L面R4C,

因?yàn)?Fu面R4C,所以/B,/凡又.ABH3,所以COJ_/尸，

因?yàn)槭珻∩8=C,PC,CD??PCD,所以力尸J"面尸CO,

因?yàn)镻z）U面尸8,所以NELPD

【點(diǎn)評】本題考查空間中線線、線面的位置關(guān)系，主要是平行和垂直的判定和性質(zhì)，考

查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于中檔題.

21.（2021春?福州期末）如圖，在三棱錐/-8Co中，ABLAD,BCLBD,平面/80，平

第19頁（共31頁）

面BCD.

(1)求證：ADVAC-,

(2)已知DE=2E4,DF=2FC,則棱2。上是否存在點(diǎn)G,使得平面EEG〃平面N8C?

若存在，確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請說明理由.

【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；平面與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)推導(dǎo)出BC，平面∕8Z),BCVAD,ABLAD,從而L平面ZBG由此能

證明AO_LZU

(2)存在點(diǎn)G,滿足。G=2G8時，推導(dǎo)出EG〃/8,從而EG〃平面Z8C,同理可得

/G〃平面Z8C,進(jìn)而平面E尸G〃平面/8C.由此能證明存在點(diǎn)G,滿足。G=2G8時，

使得平面EFG〃平面/8C.

【解答】解：(1)證明：因?yàn)槠矫?8。，平面88,

平面/8。C平面88=80,BCu平面BCD,BClBD,

所以8C，平面48。，

因?yàn)镹Du平面/8。，所以8。L4。，

Y.ABLAD,而48Γ∣8C=3,∕8u平面”C,5C?jFffiABC,

所以/Z)_L平面28C.

又因?yàn)?Cu平面/8C,所以

(2)存在點(diǎn)G,滿足Z)G=2G8時，使得平面EFG〃平面Z8C.

理由如下：

第20頁(共31頁)

在平面N8。內(nèi)，因?yàn)椤=2E4,DG=2GB,即更

GBEA

所以EG〃⑷3.

又因?yàn)镋GU平面/8C,/8U平面/8C,所以EG〃平面/8C,

同理可得尸G〃平面/8C.

又EGn/G=G,EGU平面E尸G,又尸GU平面E尸G,

故平面EFG〃平面48C.

故存在點(diǎn)G,滿足。G=2G2時，使得平面EFG〃平面N8C.

【點(diǎn)評】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間

想象能力、邏輯推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查直觀想象、邏輯

推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，是中檔題.

第21頁（共31頁）

考點(diǎn)卡片

1.充分條件、必要條件、充要條件

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1、判斷：當(dāng)命題“若P則4”為真時，可表示為p=q,稱P為4的充分條件，4是P的必

要條件.事實(shí)上，與“0=夕”等價的逆否命題是它的意義是：若g不成立，

則P一定不成立.這就是說，q對于P是必不可少的，所以說q是P的必要條件.例如：p：

x>2；q：x>0.顯然x€p,則Xeq.等價于X掰，則x即一定成立.

2、充要條件：如果既有“p=g"，又有％=""，則稱條件P是4成立的充要條件，或稱條

件4是P成立的充要條件，記作“pog”.P與4互為充要條件.

【解題方法點(diǎn)撥】

充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與

必要條件，缺一不可.證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件,

必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系.判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反

例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若pnq為真命題且q=p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若p=q為假命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；

③若pnq為真命題且qnp為真命題，則命題P是命題q的充要條件；

④若pnq為假命題且qnp為假命題，則命題P是命題q的即不充分也不必要條件.

⑤判斷命題P與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷

命題p與命題q的關(guān)系.

【命題方向】

充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而

幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點(diǎn)都相關(guān)，

所以命題的范圍特別廣.

2.虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)

第22頁（共31頁）

【虛數(shù)單位，?的概念】

i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，i2=-1,所以i是-1的平方根.我們把α+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，

把a(bǔ)=0且的數(shù)叫做純虛數(shù)，a≠O,且6=0叫做實(shí)數(shù).復(fù)數(shù)的模為Ma2+b2?

【復(fù)數(shù)的運(yùn)算】

①復(fù)數(shù)的加法，若M=α+加，N=c+di,那么〃+N=(α+c)+(b+4)3即實(shí)部與實(shí)部相加，

虛部與虛部相加.

②復(fù)數(shù)的乘法，若M=a+bi,N=c+di,那么Λ∕?N=(ac-bd)+(ad+bc)i,與多項(xiàng)式乘

法類似，只不過要加上i.

【例題解析】

b

例：定義運(yùn)算IaLad-bc,則符合條件1T=4+2i的復(fù)數(shù)Z為.

Icd∣zzi

解：根據(jù)定義，可知l×z∕-(-1)Xz=4+2i,即z(l+Z)=4+2/,.?z=4+2i=(4+2i)(IT)

1+i(1+i)(1-i)

=皿=3-Z.

2

這個題很好地反應(yīng)了復(fù)數(shù)的一般考法，也就是考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算能力，其中常常用到復(fù)數(shù)與復(fù)

數(shù)相除.這個題的第一步先把復(fù)數(shù)當(dāng)做一個整體進(jìn)行運(yùn)算，第二部相除，思路就是把分母變

成實(shí)數(shù)，方法就是乘以它的共軻復(fù)數(shù)(虛數(shù)前面的符號變?yōu)橄喾醇仁?.處理這種方法外，

有的時候還需要設(shè)出復(fù)數(shù)的形式為。+萬，然后在求出α和6,這種類型的題一般用待定系數(shù)

法.

【復(fù)數(shù)的概念】形如α+6i(.,?∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中0,6分別是它的實(shí)部和虛部.若b

=0,則α+6i為實(shí)數(shù)：若則α+bi為虛數(shù)；若。=0,b≠0,則α+歷為純虛數(shù).

2、復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+dioa=c,b=d(0,b,c,"∈R)?

3、共加復(fù)數(shù)：4+bi與c+di共轎=4=c,b+d=0(〃，b,c,d∈R).

4、復(fù)數(shù)的模：位的長度叫做復(fù)數(shù)z=α+加的模，記作團(tuán)或|“+如，即團(tuán)=∣α+叩=L2+b2?

3.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

【知識點(diǎn)的知識】

1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法

建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.在復(fù)平面內(nèi)，X軸叫做實(shí)軸，V軸叫

做虛軸，X軸的單位是1,y軸的單位是3實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)(0,0),

第23頁(共31頁)

對應(yīng)復(fù)數(shù)0?即復(fù)數(shù)z=α+4?f復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z(α,b)f平面向量位.

2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對應(yīng)關(guān)系外，還要注意：

(1)閭=IZ-Ol=α(α>0)表示復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；

(2)IZ-ZOl表示復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)Zo對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.

3、復(fù)數(shù)中的解題策略：

(1)證明復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的策略：

(J)z=α+bieR=b=O(α,∕>ER)；(?)zeR=Z=z.

(2)證明復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的策略：

①z="+bi為純虛數(shù)