幾何模型-共頂點旋轉2023年九年級數學中考復習

幾何模型一共頂點旋轉九年級數學中考復習

1.【問題呈現】

如圖1,ΔABC和AADE都是等邊三角形，連接比＞,CE.求證：BD=CE.

【類比探究】

如圖2,ΔA8C和ΔADE都是等腰直角三角形，NABC=NADE=90。.連接5￡),CE.請直

接寫出處的值.

CE

【拓展提升】

ADΛΓiQ

如圖3,ΔABC和AADE都是直角三角形，NABC=NAD石=90。，且——=——=三.連接如，

BCDE4

CE.

(1)求生的值；

CE

(2)延長CE交8。于點尸，交AB于點G.求SinNBFC的值.

2.閱讀理解：有一組對角互余的四邊形稱為對余四邊形.

(1)若四邊形ΛBCD是對余四邊形，ZA=60o.ZB=I30。，求/。的度數.

問題探究：

(2)在四邊形A8CD中，AB=AC,N84C=90。.

①如圖1,點E為BC邊上一點，AE=4),若四邊形ABED為對余四邊形,求證：BE=CDi

②如圖2,若BC=20,CD=√2,AO=G+1,試判斷四邊形ASCO是否為對余四邊形,

并說明理由；

③如圖2,若四邊形ABa)是對余四邊形，當BD=6,4)=4時，求Ce)的長.

3.我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則

稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.

(1)如圖1,已知格點(小正方形的頂點)：。(0,0)、A(3,0)、8(0,4),若〃為格點，請直

接畫出所有以OA、OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB；

(2)如圖2,將ΔABC繞頂點8按順時針方向旋轉60。，得到,連接4)、DC,

ZDCB=30°,求證：DC2+BC2=AC2,即四邊形ABCD是勾股四邊形；

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，ΔB8為等邊三角形，AB=6,AD=8,NZMB=30。，

求AC長.

圖1圖2圖3

4.兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點，并將它們的底角頂點分別對應

連接起來得到兩個全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形.如圖1，在“手拉

手''圖形中，AB=AC,AD-AE,ZBAC=ZDAE,連結比>,CE,則ΔABDwΔACE.

(1)請證明圖1的結論成立；

(2)如圖2,AABC和ΔAEf)是等邊三角形，連接班),EC交于點O,求NBoC的度數;

(3)如圖3,AB=BC,ZABC=ZBL>C=60°,試探究NA與NC的數量關系.

圖3

5.【閱讀材料】小高同學發(fā)現這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的

頂點的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小高把具有這個規(guī)律

的圖形稱為“手拉手”圖形.

【材料理解】（1）如圖1,在“手拉手”圖形中，小高發(fā)現若NSAC=NZME,AB=AC,

AD=AE,則ΔABΓ>=ΔACE.請證明小高的發(fā)現.

【深入探究】（2）如圖2,ZBAC=ZDAE^90o,AB=AC,AD=AE,試探索線段8,

BD,4）之間滿足的等量關系，并證明結論；

【延伸應用】（3）①如圖3,在四邊形ABCD中，BD=CD,AB=BE,ZABE=NBDC=60。，

/4與NBED的數量關系為：—（直接寫出答案，不需要說明理由）；

②如圖4,在四邊形ABCD中，ZABC=ZACB=ZADC=45°.若比>=3,CD=X,則AD

的長為—（直接寫出答案，不需要說明理由）.

圖3圖4

6.如圖1,在ΔABC中，AC=BC,NC=90。.點。是AC上一點，過。作。E//AB,交

3C于點￡.

(1)證明：AD=BE;

(2)如圖2,將E繞點C逆時針旋轉，旋轉角為α(0。和J180°),

①線段4)與3E是否仍然相等？請說明理由；

②如圖3,C戶為ACDE中DE邊上的高，當點A,D,E■在同一直線上，寫出線段AE,

CF,BE之間的數量關系，并說明理由；

③設4C=7,CD=3,ACDE繞點C逆時針旋轉過程中，直接寫出線段AD的取值范圍.

7?【問題發(fā)現】

(1)如圖1所示，ΔABC和AADE均為正三角形，B、D、E三點共線.猜想線段8￡)、

CE之間的數量關系為;ABEC=°;

【類比探究】

(2)如圖2所示，AABC和ΔAZ)E均為等腰直角三角形，ZACB=ZAED=9Qo,AC=BC,

AE=DE,B、D、E三點共線，線段龐;、AC交于點尸.此時，線段比＞、CE之間的

數量關系是什么？請寫出證明過程并求出NBEC的度數；

【拓展延伸】

(3)如圖3所示，在ΔA8C中，ZBAC=90o,ZB=30o,fiC=8,OE為ΔABC的中位線，

將ΔAZ)E繞點A順時針方向旋轉，當。E所在直線經過點B時，請直接寫出CE的長.

圖1S3

8.己知點O是ΔABC內一點，連接Q4,OB,將AfiAO繞點3順時針旋轉.

（1）如圖①，若AABC是等邊三角形，￠24=5,OB=I2,ΔBAO旋轉后得到ΔBCD,連接

OC,OD.已知OC=I3.

①求O/）的長；

②求ZAoB的大小.

（2）如圖②，若ΔABC是等腰直角三角形，NABC=90。，ΔδAO旋轉后得到ΔBC。，點A,

O,。恰好在同一條直線上，若Q4=2,OB=3,則OC=—（直接寫出答案即可）.

DD

圖①圖②

9.問題解決：如圖1,P是等邊ΔABC內一點，且R4=3,PB=4,PC=5,若將Δ∕%C

繞點A逆時針旋轉后，得到△PAB,則點P與P之間的距離為PP,=,ZAPB=一度.

類比探究：如圖2,點P是正方形ABCr）內一點，∕?=1,PB=2,PC=3.你能求出NAP3

的度數嗎？寫出完整的解答過程.

遷移運用：如圖3,若點P是正方形ABa＞外一點，PA=5,PB=2,ZAPB=45。,則

PC=—.（直接寫出答案）

10.四邊形ADBC是由等邊AABC和頂角為120。的等腰ΔABD拼成，將一個60。角的頂點放

在點。處，將60。角繞。點旋轉，該60。角兩邊分別交直線BC,AC于點"、N,交直線

AB于點、F,E.

(1)當點N分別在邊8C,C4上時(如圖1),直接寫出8M,AN,MV之間的數量

關系；

(2)當點M,N分別在邊3C,C4的延長線上時(如圖2),猜想線段a0,AN,MN之

間有何數量關系？請進行證明；

(3)在(2)的條件下，若AC=4,AE=3,請你求出身0的長.

圖1圖2

11.如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，如圖1,等腰AABC與等腰

AADE中，ZBAC=ZDAE=a,AB=AC,AD=他，我們把它們構成的這個圖形叫做“手

拉手模型”.

（1）【模型探究】

如圖1,線段3。與線段CE存在怎樣的數量關系？請證明你的結論.

（2）【應用模型】

如圖2,等腰直角三角形ABC中，Zβ4C=90o,8C=2√5，點P是3C邊的中點，直線MV

經過點尸，且"PB=30。，點。是直線MN上的動點，將線段4）繞點A順時針旋轉90。,

得到線段AE,連結。E.

①如圖3,當點E落在BC邊上時，求CE.

②直接寫出在點O運動過程中，點C和點E之間的最短距離.

12.如圖1,兩個等腰直角三角形ΔABC和ΔADE,ZBAC=ZDAE=90°,這個就是手拉手

模型，在這個模型中易得到ΔABD三ΔACE?

(1)如圖2,已知AABC,以AB,AC為邊分別向AABC外作等邊ΔASD和等邊AACE,

并連接BE,CD,

求證：BE=CD-,

(2)小剛同學發(fā)現，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在A4BC中AB>AC,

OE//3C,將三角形ADE旋轉一定的角度(如圖3),連接CE和瓦>,求證：ΔABD^>ΔACE；

ΔR1

(3)如圖4,四邊形A8CE＞中，ZABD=90°,ZADB=NDCB,—=-,CD=2,8C=6.請

BD2

在圖構造小剛發(fā)現的手拉手模型求AC的

長

13.在學習全等三角形的知識時，數學興趣小組發(fā)現這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂

角相等的等腰三角形構成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形.興趣小組

成員經過研討給出定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此

圖形為“手拉手全等模型”.因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱

為“手拉手模型”.

（1）如圖1,ΔAfiC與ΔAZ）E都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且NfiAC=NZME,

則有≤.

（2）如圖2,已知ΔABC,以A3、AC為邊分別向外作等邊ΔA8E）和等邊ΔACE,并連接

BE,CD,則ZBOQ=°.

（3）如圖3,在兩個等腰直角三角形ΔABC和ΔADE中，AB=AC,AE=AD,

ABAC=ZDAE=90°,連接班）,CE,交于點P,請判斷皮）和CE的關系，并說明理由.

14.央視科教頻道播放的《被數學選中的人》節(jié)目中說到，“數學區(qū)別于其它學科最主要的

特征是抽象與推理”.幾何學習尤其需要我們從復雜的問題中進行抽象，形成一些基本幾何

模型，用類比等方法，進行再探究、推理，以解決新的問題.

(1)【模型探究】如圖1,ΔA8C和ΔAf)E中，AB=AC,AO=AE,且N84C=ND4E,

連接鹿，CD.這一圖形稱“手拉手模型”.

求證A4BE三ΔACZ),請你完善下列過程.

證明：ZBAC=ZDAE,

:.NBAC-Zl=NDAE-/1()①.

即N2=N3.

AR=AC

在AABE和AACD中，()②

()③

.?.MBE=ΔACD()④.

(2)【模型指引】如圖2,AABC中，AB=AC,ZBAC=40°,以B為端點引一條與腰AC

相交的射線，在射線上取點￡),使NAr>8=NACB,求NBDC的度數.

小亮同學通過觀察，聯(lián)想到手拉手模型，在6。上找一點E,使AE=AZ>,最后使問題得到

解決.請你幫他寫出解答過程.

⑶【拓展延伸】如圖3,AABC中，AB=AC,NBAC為任意角度,若射線皮)不與腰AC

相交，而是從端點8向右下方延伸.仍在射線上取點D,使4M>8=NAC3,試判斷NfiAC

與的C有何數量關系？并寫出簡要說明.

15.在學習全等三角形知識時，數學興趣小組發(fā)現這樣一個模型：模型是由兩個頂角相等且

有公共頂角頂點的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點連接起來，則在相對位置

變化的過程中，始終存在一對全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”.這個數學

興趣小組進行了如下操作：

(1)如圖1、兩個等腰直角三角形ΔABC和ΔAZ)E中，AB=AC,AE=AD,

ABAC=ZDAE=90°,連接CE,兩線交于點P,和ΔAQ全等的三角形是,BD

和CE的數量關系是—.

(2)如圖2,點P是線段AB上的動點，分別以AP,BP為邊在AB的同側作正方形APCD

與正方形PBEF,連接Z)E分別交線段BC,PC于點M,N.

①求Nf>Λ∕C的度數；

②連接AC交Z)E于點H,直接寫出里的值.

BC

(3)如圖3,已知點C為線段AE上一點，AE=Scm,AABC和ACDE為AE同側的兩個等

邊三角形,連接BE交Q于N,連接AD交BC于M,連接MN,線段MN的最大值是.

Sl圖2圖3

16.已知ΔABC為等邊三角形，取ΔABC的邊ΛB,BC中點。，E,連接Z)E,如圖1,易

證ΔD8E為等邊三角形，將ΔD8E繞點B順時針旋轉，設旋轉的角度NABZ)=e,其中

0<?<180°.

(1)如圖2,當α<60。時，連接ΛD,CE,求證：AD=CE-,

(2)在ΔD8E旋轉過程中，當ɑ超過一定角度時，如圖3,連接4),CE會交于一點，記

交點為點尸，A￡>交BC于點P,CE交BD于點Q,連接求證：FB平分ZAFE;

(3)在第(2)問的條件下，試猜想線段AF,BF和C尸之間的數量關系，并說明理由.

17.如圖1,?ABC與ΔAEF都是等邊三角形，邊長分別為4和6,連接尸C,Az）為ΔA8C

高，連接C?,N為CE的中點.

B

圖1圖2

(1)求證：ΔACFAABE；

(2)將ΔAE∕繞點4旋轉，當點E在4）上時，如圖2,防與AC交于點G,連接M7,

求線段NG的長;

（3）連接BN,在A4￡F繞點A旋轉過程中，求BN的最大值.

答案版：

1.

【解答】【問題呈現】證明：ΔABC和AAOE都是等邊三角形,

o

：.AD=AE,AB=AC9ZDAE=ZBAC=60,

,?ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,

.'.ZBAD=ZCAE,

,'.ABAD=ACAE(SAS)f

:.BD=CE;

【類比探究】解：ΔABC和AAO石都是等腰直角三角形,

ADAB_?,ADAE=ZBAC=45°,

,AE-AC-√2

.?.ZDAE-/BAE=NBAC-ZBAE,

.-.ZBAD=ZCAE,

:.ΛBAD^ACAE,

BDAB1五

...==-==;

CEAC√22

【拓展提升】解：(1)—=—=-,ZABC=ZADE=90°,

BCDE4

.?ΛABC(^ΛADE,

ABAD3

.?.ZBAC=ZDAE,

ACAE5

.?ZCAE=ZBAD,

.??CAE^^BAD,

"_B_D—_A__D??_3?

CE-AE-5'

(2)由(1)得：AC4ESΔB4),

??.ZACE=ZAfiD,

ZAGC=ZBGF,

..ZβFC=ZβAC,

4

.?sinZBFC=—

AC5

2.

【解答】解：（1）四邊形ABCD是對余四邊形且/4=60。,

.?.ZC=90o-ZA=30o,

.?.ND=360。-NA—ZB-NC=140o；

o

(2)①AB=ACfZβ4C=90,

.?.ZB=45o,

.四邊形ABc。是對余四邊形，

.?.ZAZ)E=45o,

又AE=AD,

ZAED=45o,ZE40=90。，

ZBAC=ZEAD=90°,

ZBAE=ZCAD,

AB=ACfZBAE=ZCAD,AE=AD,

..ABAE=^CAD(SAS)f

1.BE=CD;

②作C”_LAO,垂足為“，則NAHC=NDHC=90。,

ZABC=45。，BC=2√2,

/.AC=βC?sinZB=2√2×-=2,

2

設OH=X,則A"=6+1-X,

2222

在RtΔAHC與RtADHC中，AC-AH=CD-DHf

即2?—(百+1-χ)2=(√2)2-X2,

解得：x=l,即Z)H=1,

DH1√2

cosZ.ADC=-----=—==——

DC√22

:.ZADC=45°,

.?.ZABC+ZAZΛ7=90°,

???四邊形ABC。是對余四邊形;

③過點A作AD的垂線交DC的延長線于點尸，連接斷.

圖3

AF1.AD,

.?.NZM尸=90。=NBAC,

.t.ZBAF=ZCADf

四邊形ABCr)是對余四邊形且NABC=45。，

??.ZADF=45。,ZAFD=45。，

ΔΓ)A—

.?.AF=AD,DF=———=——=4√2.

cosZADFcos45°

AB=AC,ZBAF=ZCAD,AF=AD,

：,ZiBAF=ACAD(SAS),

BF=CD9ZAFB=ZADF=45。,

ZBFD=ZAFB+ZAFD=90°,

RtΔBFDφ,BF=4BD1-DF-=√62-(4√2)2=2,

.?CD=2..

(2)連接CE,如圖2,

D.

?

圖2

Δ4BC繞頂點8按順時針方向旋轉60。，得至HADBE,

..AC=DE,BC=BE,NcBE=60°,

.?.ΔBCE是等邊三角形，

.-.EC=BC,ZBCE=60°,

ZDCB=30o.

:.NDCE=90。,

.?.DC2+EC2=DE2,

DC2+BC2=AC2,

：.四邊形ABS是勾股四邊形.

(3)如圖3,將ΔA8C繞頂點B按逆時針方向旋轉60。，使點C與點。重合，得到ΔEBE),

.?AB=AE,AC=DE,ZABE=60°,

.?.A4BE是等邊三角形，

.?.ZΩ4E=ZZMB+Zβ4E=30o+60o=90o,

.?.ΔΩ4E為直角三角形，

.?.DE1=AD2+AE2,

即AC2=AD2+AB2,

AC=√82+62=10.

即AC=IO.

4.

【解答】(1)證明：ZBAC=ZDAEt

??.ZBAC+ZCAD=ZDAE-i-ZCAD,

.?ZBAD=ZCAE,

在ΔA5。和ΔACE中，

AB=AC

<ZBAD=NCAE,

AD=AE

.?ΛABD=ΛACE；

(2)如圖2,ΔABC和ΔADE是等邊三角形，

ΛAB=AC,AD=AE,ZBAC=ZZME=60。，

:.ZBAD=ΛCAE,

在AM。和ΔACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

..AABD=AACE(SAS)1

.?ZADB=ZAEC，

記4)與CE的交點為G，

ZAGE=NDGO,

.?.18OO-NAC應一NDGO=180。-NAEc-NAG￡,

.?.ZDOE=ZDAE=60°,

/.ZBOC=60°；

(3)/.ZA+ZBCD=180o.理由：

如圖3,延長DC至P,使DP=DB,

ZBDC=6O°9

.?.ABDP是等邊三角形,

??.BD=BP,ZDBP=60。，

ZABC=^°=ZDBP,

:.ZABD=ZCBP,

AB=CB,

.?AABDACBP(SAS)f

：.ABCP=ZA,

ZBCD÷ZBCP=180o,

ΛZA+ZBCD=180O.

B

D

圖3

【解答】(1)證明：ZBAC=ZDAEf

.?.ZBAC+ZCAD=ZZME+ZCAD,

,?ZBAD=ZCAE,

在ΔAβ。和AACE中，

AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

??.^ABD=ΔACE(SAS);

⑵解：結論：BD2+CD2=2AD2.

理由：如圖2中，連接CE,

由(1)得，ABAD=ACAEf

:.BD=CE,ZACE=ZB,

.?.NDCε=90°,

:.CE2+CD2=ED2.

又AD=AE9

.?DE2=2AD2,

:.BD2+CD2=2AD2.

(3)解：?ZA+ZBED=180°.

證明：NBDC=60。,BD=CD,

ASDC是等邊三角形,

.?.BD=BC,ZDBC=6O09

ZABC=60°=ZDBCf

.?.ZABD=NCBE,

AB=BE,

???MBDW住EBC(SAS),

ZBEC=ZA,

ZBED+ZBEC=180°,

:.ZA+ZBED=↑80o.

故答案為：ZA+ZβED=180o;

②如圖4中，作AE_LAD,使AE=Ar),連接CEt,DE.

≡4

ABAC+ZCAD=ZDAE-^ZCAD,

即ZBAD=NCAE,

在ΔBAT>與AC4E中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

:.?BAD=ACAE(SAS),

.*.BD=CE=3?

NAQC=45。，NED4=45°,

.?ZEDC=90o,

:.DE=^CE2-CD1=√32-l2=2√2,

NZME=90。，

222

/.AD+AE=DEt

ΛAD2=4,

AD>0,

.?.AD=2.

故答案為：2.

6.

o

【解答】解：(1)AC=BC9ZC=90,

.?ZA=ZB=45o,

DEHBC,

.?.ZCDE=ZCED=45°，

:.CD=CE9

:,AD=BE;

(2)①仍然成立.理由如下：

由旋轉可得：ZACD=ZBCEt

CD=CE,AC=BC9

.?.MCD=ABCE(SAS),

.?AD=BE.

②如圖，CD=CE,Zr)CE=90。，CF±DEf

:.ZCDF=ZDCF=ZECF=ZCEF=45°f

..CF=DF=EF,

AD=BE,

：.AE=AD+ED=BE+2CF.

③CD=3,AC=7,

.,.AC—CDVAD<AC+CD，

∏P4<AD<10,

如圖，當Z)在線段AC上時，4)取最小值,

.?.A。的最小值為：AC-C￡)=4,

當。在線段AC的延長線時，如圖，AD取得最大值,

.?.4)的最大值為AC+8=10,

旋轉過程中，4)的取值范圍是4張收。10.

E

A'B

E

【解答】解：(1)ΔΛC8和A4叱均為等邊三角形，

o

/.AB=AC9AD=AE,ZBAC=ZDAE=60,ZADE=ZAED=3,

/.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC，

BPZfiAD=ZCAE,

在AABO和ΔACE中，

AB=AC

<NBAD=ZCAE,

AD=AE

^ABD^MCE(SAS)f

BD=CE,ZBDA=ZCEA,

?點B,D,E在同一直線上，

/.ZADB=180°-60°=120°,

/.ZAEC=120°,

??.ZB￡C=ZAEC-ZAEo=I20。-60。=60。，

綜上所述，NBEC的度數為60。，線段即與CE之間的數量關系是BD=CE,

故答案為：BD=CE,60；

(2)結論：BD=2CE,ZBEC=45o,理由如下：

MBC和ΛADE均為等腰直角三角形，

.?.ZBAC=ZABC=ZADE=ZDAE=45o,ZAC8=ZAED=90。，

:.ZBAD=ZCAEFZADB=135°,

RtΔABC和RtΔADE中，SinZABC=—,SinZADE=—,sin450=τ,

ABDE

.ACAEy/2

-Aβ^^ΛD^V’

.AB_AC

"ΛD^ΛE’

又ZBAD=ZCAE9

.?.∕SABDζ^ΛACE,

.?.ZADB=ZAEC=135o,BDCE=ABAC=ADAE,

.?.ZBEC=ZAEC-ZAED=45°，

AC_AE_√2

AB~~AD~^2，

,空=夜，

AC

,處=空=日

CEAC

BD=\p2CE；

（3）分兩種情況:

①如圖4,

ZBAC=90。，ZABe=30。，BC=8,

.?.AC=IBC=4,

2

.?.AB=?∣BC2-CB2=√82-42=4√3,

DE為AABC的中位線，

.?.DE=-BC=4,DE//AB,AE=-AC,AD=-AB,

222

ΛΓ)Ap1

二NCDE=ZABC=30。，—=—=-,

ABAC2

由旋轉的性質得：ZBAD=ZCAE,

.?ABAD^ACAE9

—=——=√3,ZADB=ZAEC=ISOo-ZADE=↑50P,

CEAC

ZAJED=90°-NCDE=60°，

.?.NCEB=ZAEC-ZAED=150p-60o=90o,

設CE=x,則BQ=gx,BE=BD+DE=y∣3x+4,

在RtΔABE中，由勾股定理得：X2+(√3Λ+4)2=82,

解得：x=√15->^sgx=-√15-√3(舍去)

:.BE=屈-6

②如圖5,同①得：MCD^ABCE,

則型=空=G,ZA￡3=90。，

CEAC

D

圖5

設CE=y,則83=Gy，AE=AD-DE=底-2,

在RtΔABE中，由勾股定理得：/+（√3y-4）2=82,

解得：y=V15+?∣3^y=-?[i5—\/3（舍去），

.?.CE=√15+√3；

綜上所述，CE的長為Ji5-√5或JiM+G.

8.

【解答】解：（1）①根據旋轉的性質可得：XBAOWABCD,

.-.ZABO=ACBD,BO=BD,

ΔABC是等邊三角形,

/.ZABC=60o,

ZABO=ZCBD,

:.ZABO+ZOBC=ZCBD+ZOBC，

NoBD=ZABC=60。,

BO=BD,

MOD是等邊三角形，

.?OD=OB=↑2;

②?/^BAO=ABCD9

:.ZAOB=NCDB,AO=CD=5,

^BOD是等邊三角形，

.?.NBDO=60。,

OD=U9CD=5,OC=I3,

BP132=52+122,

222

.?.OC=CD+OD9

.?.△8C是直角三角形，ZC>r>C=90o,

.?.ZBQC=NBDO+NODC=60。+90。=150。，

.?.NAOe=ZBQC=I50。；

(2)根據旋轉的性質可得：MAOMMCD,

:.ZABO=ZCBDFBO=BD,ZAoB=NCDB,OA=CD=2,

ZABC=90。，ZABO+NOBC=NCBD+NOBC,

.?.ZOBD=ZABC=90°,

BO=BD,OB=3,

「.△03。是等腰直角三角形，

NBOD=NBDO=45。,OD=^BO2^BD~=3√2,

??.ZAOB=180。一ZBOD=135°,

NAOB=NCDB=I35。,

:.ZODC=ZCDB-ZBDO=90°,

「.△8C是直角三角形，

CD=2,OD=30,

:.OC=OD-+CD2=√22,

故答案為：√22.

圖①圖②

9.

【解答】解：問題解決：如圖1,

ΔABC是等邊三角形，

.-.ZBAC=60°,

△PAB為APBC繞點B逆時針旋轉所得，

.?.Δβ4P,≡ΔBCP,BP=BP,P,A=PC=5,

又旋轉后BC與ΛB重合，04與PC重合，

.?.ZP,AP=ZBAC=60°,

.?.ΔBPP'是等邊三角形，

PP'=PB=4,ABPP,=60°,

由旋轉性質得：P,A=PC=5,

222

V3+4=5,

2,

.?.AP+PP2=Ap'2,

三角形W是直角三角形，ZAPP'=90。,

.?.ZAPB=ZAPP,+ZZyPB=600+90°=150°.

故答案為：4；150；

類比探究：如圖2,

將ΔΛ4B繞點B順時針旋轉90。，使ΛB與BC重合，連接PP,

則NP8∕y=90°,PB=PB=2,PrC=PA=I,

.?.△尸3尸是等腰直角三角形.

由勾股定理得：P'P2=P'B1+PB2=22+22=8,

p,c2=?2=1,PC2=32=9,

.?.P'P2+P,C2=PC2,

.?.Z?PPC是直角三角形，ZP1PC=90°,

△尸BP是等腰直角三角形，

.?.ZPP,B=45o,

:.NBPC=NPPB+NPPC=45o+90°=135°.

:.ZAPB=ZBPC=I35。；

遷移運用：如圖3,

將ΔΛ43繞點5順時針旋轉90。，使AB與BC重合，連接PP,

則ZP3Pz=90°,PB=PB=2,P,C=PA=5,ZBpC=ZAPB=45。,

，APBP是等腰直角三角形，

ZBPP=NPPB=45。,

PP2=PB2+Pβ2=22+22=8,

.?.ZAPB=ZP,PB,

.?.p在線段AP上，

.?.NPPC=ZPP,B+NBPC=45O+45°=90°,

△產PC是直角三角形，

:.PC2=P'P2+P'C2=2+32=?l,PC2=PP1+P,C2=8+52=33,

.?.PC=底.

故答案為：?/??.

P

圖3

10.

【解答】(I)解：如圖1,延長C4,在射線C4上截取4Q=8M,連接DQ.

ZVWC是等邊三角形，AADB是等腰三角形，ZADB=UOo,

.?AD=BDfZCAB=ZABC=ZC=60°,

.?.ZZMB=Zm4=30。，

??.NCAD=NCbD=90。，

.?.NQAz)=NC30=90。，

AQ=BM,AD=BD,

.?.?QDA=AMDB(SAS),

.?.DQ=DM,ZADQ=ZBDM,

.?.ZADQ+ZMDA=/BDM+ZMDA,

即NMDQ=NBD4=120。.

NMDN=60。，

.?.AMDN=NQDN=60°，

DQ=DM,DN=DN,

.^QDN=AMDN(SAS)f

QN=MN,

QN=AQ+AN,AQ=BM,

MN=BM+AN.

C

(2)BM=MN+AN.

證明：如圖，在線段BC上截取BQ=AN,連接QQ.

ΔABC是等邊三角形，AAT厲是等腰三角形，NAZ出=120。,

AD=BD,NGW=ZABC=60。，

:.ZDAB=ΛDBA=30o,

:.NCAD=NCBD=90。,

.?./NAD=NQBD=90。,

BQ=AN,BD=AD,

/.AQBD=ANAD(SAS),

ND=QD,ZNDA=/QDB,

ZNDA÷ΔADQ=NQDB+ZADQ,

即ZNDQ=ZADB=120°.

ZMDN=60。，

NMDN=NMDQ=60。,

DN=DQ,DM=DM,

WlDN=AMDQ(SAS),

:.MN=MQ,

BM=MQ+BQ,BQ=AN,

:.BM=MN+AN；

M

C

圖2

(3)解：如圖，作MH//AC,交BE延長線于點“，延長DE交MH于點G.

MH//AC，

.?ZH=ZCAB=60o,NBMH=ZBCA=60。,

,'.ABHM是等邊三角形，

；.MH=BH=BM,

ΔΛ∕DN≡^MDQ,

∕MND=∕MQD,

ZMND÷ZMNG=180o,+NAQ￡>=180。，

??.ZMNG=ZBQD.

AQBDwglAD,

ZBQD=ZAND,

.?ZMNG=ZAND.

.MHllAC,

:.AMGN=ZAND,

:.ZMGN=ZMNG,

..MN=MG,

BM=MN+AN,MH=MG+GH,BM=MH、

:.AN=HG.

MHHAC,

:.ZANE=ΛHGE,ZNAE=ΛH，

,?ΛANE=AHGE(ASA)t

??.AE=HE=3,

/.B∕∕=AB+AE+∕∕E=4+3+3=10,

.?.BM=BH=IO.

圖2

H.

【解答】解：⑴結論：BD=CE.

理由：如圖1中，ZBAC=ZDAE=a,

.?.ZBAC+^CAD=ZDAEZCAD,

即ZBAD=ZCAE,

在ΔβAD和AC4E中，

BA=CA

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

/.^BADACAE(SAS),

BD=CE；

(2)①如圖3中，當點石落在BC邊上時，連接

.?.ZABC=ZC=45°

NDAE=NBAC=90°,

.?ZDAB=ZEAC,

AD=AE,AB=AC,

..ADAB=AEAC(SAS)f

o

:.DB=EC,ZΛBD=ZACB=459

.?.ZDBP=ZABD+ZABC=90o，

ZDP3=30。，BP=PC=B

.?.BD=PB?tan30o=l,

.?EC=BD=?；

②如圖4中，連接8。，EC,過點Je作成JLp。于點/?.

o

ZDAE=ΛBAC=901

.?ZDAB=ZEAC,

AD=AE9AB=AC9

:.ADAB=ΔE4C(SAS),

.,.DB=EC,

,網＞最小時，EC的值最小，

根據垂線段最短可知，當點。與R重合時，比＞的值最小，比＞的最小值

=BΛ=PB?sin30°=-,

2

.?.的最小值為理.

2

12.

【解答】(1)證明：AAB。和A4CE都是等邊三角形

o

.?AD=ABfAC=AE,ADAB=ZEAC=GO,

ZDAC=ZBAEF且AD=AB,AC=AEf

.?.ΔDAC≡ΔβΛE(SΛS),

/.BE=CD；

(2)證明：DEllBC,

.?.ΔADE^ΔABC,

ABAD

---=---,

ACAE

將三角形ADE旋轉一定的角度，

.?.NBAC=ZDAE,

.\ZBAD=Z.CAE,

ABAD

----=-----，

ACAE

.?.ΛABDζ^ΔACE;

(3)解：如圖，過點B作8EJL8C,ZBEC=ZADB1連接CE,

圖4

ZABD=/CBE=90。,ZBEC=ZADB,

:.MBD^ACBE,

.AB_BD

^C~~BE'

ZABD=ACBE,

IZABC=ZDBE,

ABCS9BE,

.ABBCAC

^D~~BE~2~~DE1

BC=6,

:.BE=I2,

.?.CE=√BE2+BC2=√62÷122=6√5,

.ZADB=ZDCB=ZBEC,ZBEC+ZBCE=90。,

:.ZDCB+ZBCE=90°,

DCE：=90。,

.?.DE=y∣DC1+CE2=2√46,

.?.AC=JoE=A.

2

13.

【解答】解：(1)'.ZBAC=ZDAE9

:,ZBAD=ZCAE,

又AB=ACfAD=AE,

.?.ΔBAD≡ACAE(SAS),

故答案為：ABAD9ACAE；

(2)AABD和AACE是等邊三角形，

.?AB=AD,AC=AE,ZSAD=ZCAE=60°,

.?ZDAC=ZBAEf

.?.ΔDΛC≡ABAE(SAS),

:.ZADC=ZABE,

NADC+N8DC+NABD+NZMB=180。，ZABE+ZBDC+ZABD+ZDOB=180°,

:./DAB=NBoD=60。,

故答案為：60；

(3)BD=CE,BDtCE,理由如下：

ABAC=ZDAE=90°,

.?.NBAC+ZBAE=ZDAE+ZBAE,

即ZCAE=ZBAD9

在AAfi。和AACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

..AABD=AACE(SAS)f

:.BD=CE,ZABD=ZACE9

ZBPC+ZABD=ZBAC+ZACE9

.?.ZBPC=Zβ4C=90o,

..BDLCE.

14.

【解答】(1)證明：ZBAC=ZDAE,

ΛZfiAC-Zl=ZZME-Zl(等式的性質)，

即Z2=Z3,

在AABE和ΔAC。中，

AB=AC

-Z2=Z3,

AD=AE

.?.ΔA8石二ΔACZ)(SAS),

故答案為：等式的性質，N2=Z3,AD=AE;SAS;

(2)解：在BD上取一點E,使AE=AD,

圖2

AE=AD9AB=AC,

..ZADE=ZAEDfZABC=ZACB,

ZADB=ZACB.

??.ZBAC=ZDAE=40°,

.?.ZBAC-ZEAC=ZDAE-ZEAC,

.?ZDAE=ZCAD1

又AB=ACfAE=AD1

.?.ΔA8石會AACQ(SAS),

-.ZABE=ZACD,

設AC和交于點O,

ZAOB=NCOD,

??.ZBDC=ZBAC=40。；

(3)解：ZBAC+ZBDC=I80°.

理由：在DB延長線上取一點石，使得AE=Ar>,

同理可證：MBE=MCD,

ZADC=ZE,

ZADB=ZACB,

:.ZBAC=ZDAE,

Z￡+ADAE+ZADB=180°,

.?.ZBAC+ZADB+ZADC=180°，

,?ZBAC+ZBDC=180o.

15.

【解答】解：(1)NAAC=NQAE=90。,

.?ZBAD=ZCAEf

又AB=ACfAE=AD,

..AABD=AACE(SAS)f

.?BD=CE;

故答案為：ΔACE,BD=CE;

(2)連接AF、PE、PD,

圖？

四邊形APCD和四邊形PBEF是正方形，

.AP=CP,PB=PF,ZAPC=NCPB=9Q°,ZDPC=ZFPE=45°,DP=?AP,

PE=近PF,

.?.ZDPE=90o,^APF=ACPB(SAS),

.-.ZBCP=ZPAF,BC=AF,

DPLPF

—=√2=-,ZDPE=ZAPF,

APPF

:.ADPEc^∕^ΛPF，

.?ZPCB=ZPDEf

ZDNC=ZCPD+ZPDE=ZDMC+ZPCB,

.?.ADMC=/DPC=45°;

o

②ZPDC=ZPAC=459ZPDE=ZPCB=ZPAF,

.λZCAF=ZCDH,

又ZACF=ZDCH=45。,

.?.ΔZX7∕SΔACb，

,DHDC41

"AF^AC^V,

DH√2

.,.---=——；

BC2

(3)MBC和bCDE為等邊三角形，

BC=AC,DC=EC,ZACB=ZDCE=60P.

.?.,ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

即ZACD=ΛBCE.

在ΔΛC。和ΔβCEψ

AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=EC

.?^ACD=ABCE(S