2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)《復(fù)數(shù)》測(cè)試卷及答案解析

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)《復(fù)數(shù)》

選擇題（共8小題）

I.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）若復(fù)數(shù)z=N_,則［z-i∣=

B.√5

2.（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，且閔=∣z-i∣=l,則

A.j∕‰A√B.C.-?-??j-D.-l?+zZl√

22222222

3.（2022?福州模擬）設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足（1-/）z=3+i,則復(fù)平面內(nèi)與Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.（2022春?福州期中）已知α,?∈R,ab≠On是“復(fù)數(shù)α+bi為虛數(shù)”的（）

A.必要非充分條件

B.充分非必要條件

C.充要條件

D.既非充分條件也非必要條件

5.（2022?福州模擬）若復(fù)數(shù)Z滿足Z（1-/）=4/,則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.（2021秋?福州期末）已知z=3-4i,則∣z∣+zi=（）

A.l+3zB.8-4/C.9+3/D.20+3Z

7.（2022春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)Z滿足z（l+2i）=∣4+3i∣,（其中i為虛數(shù)單位），

則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）

A.1B.iC.-2D.-2/

8.（2020秋?福州月考）已知復(fù)數(shù)2=1+3^為Z的共朝復(fù)數(shù)，則匹=（）

Z

A.3±LB.1LLC.i?D.ItSL

2222

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)三模）設(shè)復(fù)數(shù)（αCR）,當(dāng)〃變化時(shí)，下列結(jié)論正

a+2i

確的是（）

A.團(tuán)=|力恒成立B.z可能是純虛數(shù)

第1頁(yè)（共14頁(yè)）

C.Zj?可能是實(shí)數(shù)D.∣z∣的最大值為工

Z2

（多選）10.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）設(shè)Zi，Z2,Z3為復(fù)數(shù)，Z1W0,下列命題中正確的

是（）

A.若IZlI=憶2∣,則∣Z1Z3∣=∣Z2Z3∣

B.若Z1Z2=Z1Z3,則Z2=Z3

C.若Zl=Z則Z?=Z2

z2zI

D.若Z∕+Z22>0,∣U!jzi2>-Z22

（多選）11.（2022春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中）設(shè)Z1,Z2是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若IZII=IZ2∣,510Z12=Z22

B.若IZII=IZ2∣,則zι=±z2

C.若z1z2=O,則ZI=O或Z2=0

D.若IZI-Z2∣=0,則z1=z2

（多選）12.（2022春?花都區(qū)校級(jí)期中）設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足Z=-I-23i為虛數(shù)單位，則下列

命題正確的是（）

A.∣z∣=Vδ

B.復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

C.Z的共粗復(fù)數(shù)為-l+2i

D.復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=-2x上

Ξ.填空題（共4小題）

13.（2022春?福州期中）己知α,6eR,i是虛數(shù)單位,若α+i=l-bi,則（a+bi）2-.

14.（2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）zeC,若IZl-~z=l+2i>貝IJZ=.

15.（2021秋?福州期中）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z[=l+√ξi,在復(fù)平面中將Zl繞著原點(diǎn)

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)165°得到Z2，則Z2=.

16.（2022春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，-4的所有平方根為,并由此寫(xiě)出

-4的一個(gè)四次方根.

四.解答題（共4小題）

17.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)z=α+bi（.,?∈R）,若存在實(shí)數(shù)r,使Z=―?+2i、.

t（l-i）

-成立.

第2頁(yè)（共14頁(yè)）

(1)求2α+b的值;

(2)求∣z-2∣的最小值.

18.(2022春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中)已知復(fù)數(shù)Z="?-i(N?€R),且(l+3i)為純虛數(shù)("?z

的共軌復(fù)數(shù)).

(1)求復(fù)數(shù)Z的模；

.2021

(2)復(fù)數(shù)Zl=且二——在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

Z

19.(2022春?項(xiàng)城市校級(jí)月考)當(dāng)實(shí)數(shù)。取何值時(shí),在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)Z=(m2-4w)+(w2

--6)i對(duì)應(yīng)點(diǎn)滿足下列條件？

(1)在第三象限；

(2)在虛軸上；

(3)在直線X-尸?3=0上.

20.(2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中)已知復(fù)數(shù)z=3+bi(b=R),且(l+3i)?z為純虛數(shù).

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)若3二一，求復(fù)數(shù)3以及模∣3∣.

2+i

第3頁(yè)(共14頁(yè))

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)《復(fù)數(shù)》

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

1.(2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中)若復(fù)數(shù)z=N-,則∣z-i∣=()

1+i

A.2B.√5C.4D.5

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：復(fù)數(shù)z=-g-=,2(1;i)=2,Ll?=]_i,

1+i(1+i)(l-i)ι2+ι2

貝22

IJlZ-i?=?l-2i?=√I+(-2)=√5-

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

2.(2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，且閔=∣z-i∣=l,則

Z=()

A.jβ,+Λ(,B.-A-Vl-

4c.D.-JL+ZZIJ

22222222

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

【解答】解：設(shè)Z=X+yi(XV0,y>0),

^?z?=?z-i?=lf

.?.∕×2+y2=1,解得X=XIy=L

Vχ2+(y-l)2=122

3岑^4?i?

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2022?福州模擬)設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足(I-/)z=3+i,則復(fù)平面內(nèi)與Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

第4頁(yè)(共14頁(yè))

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)已知條件，先對(duì)Z化簡(jiǎn)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答】解：：（1-i）z=3+i,

?_3+i_(3+i)(1+i)

z^l-i^(l-i)(l+i)^1+21,

.?.復(fù)平面內(nèi)與Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1,2)位于第一象限.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2022春?福州期中）已知4,b∈R,''b≠Q(mào)"是"復(fù)數(shù)0+初為虛數(shù)”的（）

A.必要非充分條件

B.充分非必要條件

C.充要條件

D.既非充分條件也非必要條件

【考點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)：充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；簡(jiǎn)易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義以及虛數(shù)的定義判斷即可.

【解答】解：a,?∈R,若b六0,則復(fù)數(shù)α+加是虛數(shù)，是充分條件,

反之，若復(fù)數(shù)α+bi為虛數(shù)，則bWO,是必要條件,

.?."6≠0''是"復(fù)數(shù)α+加是虛數(shù)”的充分必要條件,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件和虛數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題.

5.（2022?福州模擬）若復(fù)數(shù)Z滿足Z（1-/）=4i,則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法原則和復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答】解：（1-/）=43

4i4i(1+i)

z1-i(1+i)(1-i)=-2+2i>

第5頁(yè)（共14頁(yè)）

.?.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-2,2)位于第二象限.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練

掌握公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2021秋?福州期末)已知z=3-4i,則團(tuán)+zi=()

A.1+3/B.8-4/C.9+3/D.20+3Z

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，求出團(tuán)和Zi的值，計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，z=3-4i,則∣z∣=√9+16=5,

zi—(3-4Z)i=4+3i,

貝!]∣z∣+zi=9+33

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，注意復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2022春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中)已知復(fù)數(shù)Z滿足z(l+2i)=∣4+3i∣,(其中。為虛數(shù)單位),

則復(fù)數(shù)Z的虛部為()

A.1B.iC.-2D.-2/

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】推導(dǎo)出z=l-2i,由此能求出復(fù)數(shù)Z的虛部.

【解答】解：???復(fù)數(shù)Z滿足Z(l+2f)=∣4+3∕∣,

?.=∣4+3i∣=5=5(l-2i)=5(l-2i)f,2,?.

l+2il+2i(l+2i)(l-2i)1-4i2

復(fù)數(shù)Z的虛部為-2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的虛部求法，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

8.(2020秋?福州月考)已知復(fù)數(shù)z=1+3W為Z的共規(guī)復(fù)數(shù)，則也=()

Z

A.ilkB.ItLc,ι∑3LD.?t?k

2222

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

第6頁(yè)(共14頁(yè))

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)Z,求出Z的共規(guī)復(fù)數(shù)，代入也化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【解答】解：?.,z=l+i,.?.Z=I^i'

?LZ=1+1+i=(2+i)(1+i)=l+3i

,,丁1?Γ(l-i)(1+i)~1~

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題.

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)三模）設(shè)復(fù)數(shù)z=」—（4eR）,當(dāng)。變化時(shí)，下列結(jié)論正

a+2i

確的是（）

A.∣z∣=，恒成立B.Z可能是純虛數(shù)

C.Zj?可能是實(shí)數(shù)D.IZl的最大值為工

Z2

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】首先根據(jù)得到Z=T--------i,再結(jié)合復(fù)數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)

a2÷4a2+4

即可.

【解答】解：Z=—一巖——

22

a+2iCa+2i)(a-2i)a+4a+4

團(tuán)=；=J--黃~~-M一U~~$，故/正確;

V(a2+4)2(a2+4)2

對(duì)于8,Z=―------「當(dāng)”=0時(shí)，Z=-Li是純虛數(shù)，故B正確;

a2+4a2+42

)

對(duì)于C,z+λ=~^-------?-i+a+2i=<-y—+a+.

za+4a+4a+4a÷4

令2--2-=0,即“2+3=0無(wú)解，故C錯(cuò)誤；

a2+4

a?+41?1

對(duì)于D,∣z∣2=

(a2+4)2(a2+4)2a2+44

當(dāng)且僅當(dāng)α=0時(shí)，取等號(hào)，

.?.∣z∣的最大值為工，故。正確.

2

第7頁(yè)（共14頁(yè)）

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

（多選）10.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）設(shè)zι,Z2,Z3為復(fù)數(shù)，zι≠0,下列命題中正確的

是（）

A.若IZll=IZ2∣,則∣z1z3∣=歸2z3∣

B.若Z1Z2=Z1Z3,則Z2=Z3

C.若Zl=￡，則"77=Z2

D.若Z∕+Z22>0,則Z∕>-Z22

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，共軌復(fù)數(shù)的定義，即可求解.

【解答】解:對(duì)于峰,由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可得，∣Z1Z3∣=∣Z1∣∣Z3∣,匕2Z3∣=憶2∣∣Z3∣,

??%l=㈤，

∣Z1Z3∣=匕2Z3∣，故/正確，

對(duì)于8,?.'ZIZ2=Z1Z3,

.".Z1（Z2-Z3）=0,

Vzi≠0,

.?.Z2=Z3,故8正確，

對(duì)于C,Tzi=H

z2

'zI=Z2=z2，故C正確，

對(duì)于。，令z?=-i，z'1+i，滿足Z12+Z22>O,但z∕>-Z22不成立，故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，共輒復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）11.（2022春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中）設(shè)zι,Z2是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若IZlI=IZ2∣,則zp=z22

B.若IZIl=IZ2∣,則Z1=±Z2

C.若z1z2=O,則ZI=O或z2=O

第8頁(yè)（共14頁(yè)）

D.若IZl-Z2∣=0,則z1=z2

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘積運(yùn)算法則，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：對(duì)于4,令zι=l,Z2-i,滿足匕II=憶2I，但故/錯(cuò)誤，

對(duì)于8,令Zl=I,Z2=i,滿足IZIl=IZ2∣,但zι≠土Z2,故8錯(cuò)誤，

對(duì)于C,?.'zι,Z2是復(fù)數(shù),zιz2=0,

二由復(fù)數(shù)的乘積運(yùn)算法則可知，Zl=O或Z2=O,故C正確，

對(duì)于。，".'∣zι-Z2∣=0,

.'.21-Z2—0,即Z1=Z2,故￡）正確.

故選：CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘積運(yùn)算法則，以及特殊值法，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）12.（2022春?花都區(qū)校級(jí)期中）設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足Z=-I-23i為虛數(shù)單位，則下列

命題正確的是（）

A.∣Z∣=Vδ

B.復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限

C.Z的共輒復(fù)數(shù)為-1+2;

D.復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=-Zr上

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義、共軌復(fù)數(shù)等知識(shí)，逐一判斷各選項(xiàng)即可.

【解答】解：由Z--1~2i,得IZlW（T）2+（-2）2,故“正確：

復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,-2）,在第三象限，故B不正確：

Z的共輾復(fù)數(shù)為-1+23故C正確：

復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（-1,-2）不在直線y=-2x上，故。不正確.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)的模和共軌復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題.

三.填空題（共4小題）

13.（2022春?福州期中）已知“，hER,i是虛數(shù)單位，若α+i=l-bi,則（“+bi）2=

第9頁(yè)（共14頁(yè)）

2i?

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件求得。與b的值，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求解

（a+bi）2.

【解答】解：由α+i=l-bi,得α=l,b=-1,

：.（α+bi）2=（1-z）2=1-2z+z2=-2z.

故答案為：-2匚

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題.

14.（2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）zee,若IZI-W=I+2i，貝∣Jz=-∣?+2i―.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)z=α+加（.,?∈R）,代入IZI-W=1+2L整理后利用復(fù)數(shù)相等的條件求解α

與b的值，則Z可求.

【解答】解：設(shè)z=α+加（α,fe∈R）,

由IZl-z=l+2i,得M+b2-（a-bi）=1+2T

即V再S-a+bi=l+2"

Λ,√a2+b2-a=l,解得，a^,

廿2[b=2

???z=?2i，

故答案為：l+2i.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)模的求法，考查復(fù)數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題.

15.（2021秋?福州期中）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1=1/「在復(fù)平面中將Zl繞著原點(diǎn)

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)165°得到Z2,則Z2=-W.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，特殊角的三角函數(shù)值，即可得解.

第10頁(yè)（共14頁(yè)）

【解答】解：Zl=I在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1，M），

將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)165°后落在第三象限，且與X軸負(fù)半軸的夾角為45°,所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

為（-&，-√2）.

所以Z2=-V2^->∏i.

故答案為：-V2^V2∕?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.（2022春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，-4的所有平方根為±2i,并由此寫(xiě)

出-4的一個(gè)四次方根1+/.

【考點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意利用虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)，復(fù)數(shù)的開(kāi)方運(yùn)算，得出結(jié)論.

【解答】解：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，?.?（±2力2=-4,故-4的所有平方根為±2。

V-4=4（cosπ+∕sinπ）,故它的四次方根為^（COSekI.+n_+汝］產(chǎn)卜"+“,

故它的一個(gè)四次方根√5（冬i喙）=1+3

故答案為：±2i；1+工

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的開(kāi)方運(yùn)算，虛數(shù)單位，?的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題（共4小題）

17.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)z=α+4Q,?∈R）,若存在實(shí)數(shù)f,使上④_

t（l-i）

-3。”成立.

⑴求2a+b的值；

（2）求∣z-2出勺最小值.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模.

【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)殳”，再由復(fù)數(shù)相等得到2α+b的值；

1-i

（2）由模長(zhǎng)公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出最值.

【解答】解：（1）6+2i=（6+2i）（1+i）=4+8i=2+43

1-i（1-i）（1+i）2

—2424

z=γ-+γi-3ati=γ+（γ-3at）i'

第11頁(yè)（共14頁(yè)）

(2

.τ=a

??j4，

--3at=-b

:?里=2a,3at=6,

t

:?2a-6=-b,解得2α+b=6.

22

(2)∣z-2∣=∣("2)+(6-2α)∕∣=√(a-2)+(6-2a)

=V5a2-28a+40=(a-γ-)2+∣-

???∣z-2∣的最小值為逃

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

18.(2022春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中)已知復(fù)數(shù)Z="?-i6"∈R),且^^?(l+3i)為純虛數(shù)("?z

的共甄復(fù)數(shù)).

(1)求復(fù)數(shù)Z的模；

.2021

(2)復(fù)數(shù)Zl=且二——在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

Z

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】整體思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化解，然后結(jié)合純虛數(shù)概念可求必進(jìn)而可求；

(2)先結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可求.

【解答】解：(I)^?(l+3i)=(m+i)(1+3/)="-3+(3w+l)i為純虛數(shù)，

則m=3,z=3-i,

所以∣z∣=JTU;

(2)zι=a∑F021=Qj_=(a-i)(3+i)=3a+l+(a-3)i在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一

Z3-i(3-i)(3+i)10

象限，

所以3α+l>0且α-3>0,

所以α>3,

故α的取值范圍為(3,+∞).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

22

19.(2022春?項(xiàng)城市校級(jí)月考)當(dāng)實(shí)數(shù)α取何值時(shí)，在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)Z=(w-4w)+(w

第12頁(yè)(共14頁(yè))

-w-6)i對(duì)應(yīng)點(diǎn)滿足下列條件？

(1)在第三象限；

(2)在虛軸上；

(3)在直線x-y÷3=0上.

【考點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù).