2023年四川省瀘州市高考理科數(shù)學(xué)二診試卷及答案解析

2023年四川省瀘州市高考理科數(shù)學(xué)二診試卷

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)集合A={x∣∣x∣<2},B=Ulx2-3x<0},則AUB=（）

A.（-2,3）B.（-2,0）C.（0,2）D.（2,3）

2.（5分）若復(fù)數(shù)Z=（x2-l）+（x+l）i為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實數(shù)X的值為（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

3.（5分）某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000個零件進(jìn)行一項質(zhì)量指標(biāo)的檢測，

整理檢測結(jié)果得此項質(zhì)量指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（）

B.估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)為45

C.估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標(biāo)的中位數(shù)為60

D.從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取1個零件，其質(zhì)量指標(biāo)在［50,70）的概率約為0.5

TTTTTTTT

4.（5分）已知非零向量a、b滿足向量Q+b與向量Q-b的夾角為5，那么下列結(jié)論中一定

成立的是（）

A?a=bB.IQI=IblC.al.bD.a//b

5.（5分）己知函數(shù)/（無）=沼，則（）

A.7（x）在（-1,+∞）上單調(diào)遞增

B.f（x）的圖象關(guān)于點（-1,1）對稱

C./（x）為奇函數(shù)

D.f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱

6.（5分）（l+x）2+（l+x）3+???+（l+x）9的展開式中W的系數(shù)是（）

A.60B.80C.84D.120

7.（5分）已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，出_L平面ABC,PA=2AB,則下列

命題中錯誤的是（）

A.AELL平面

B.直線尸。與平面ABC所成角為45°

C.平面PBC與平面PE尸的交線與直線4。不平行

D.直線CO與PB所成的角的余弦值為三√5；

8.（5分）已知點P（α,b）是曲線C：y=上3一#+1上的點，曲線C在點P處的切線

平行于直線6x-3y-7=0,則實數(shù)”的值為（）

A.-1B.2C.-1或2D.1或-2

9.（5分）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：t=-42n∕*C為時間，單位

k力一氣

分鐘，。0為環(huán)境溫度，b為物體初始溫度，θ為冷卻后溫度），假設(shè)一杯開水溫度θl=

100℃,環(huán)境溫度。。=20℃,常數(shù)Z=O.2,大約經(jīng)過多少分鐘水溫降為40℃?（結(jié)果保

留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：歷2-0.7）（）

A.9B.8C.7D.6

10.（5分）已知在RtZ?4BC中，斜邊A3=2,BC=I,若將RtZ?ΛBC沿斜邊45上的中線

CQ折起，使平面ACQ_L平面BCQ,則三棱錐A-8CQ的外接球的表面積為（）

1320107

A.—itB.—TiC?—TrD.-Ti

3333

X2V2

11.（5分）已知雙曲線"一三=1（α>0,?>0）的右焦點為尸2,點M,N在雙曲線的同

αzb2

一條漸近線上,O為坐標(biāo)原點.若直線乃M平行于雙曲線的另一條漸近線,且OF2，尸加，

IM=李乃川，則該雙曲線的漸近線方程為（）

11√2

A.y=±-χB.y=+-XC.y=±-XD.y=±2r

422

12.（5分）已知點A（l,-1）,B（4,O）,C（2,2）,平面區(qū)域C是由所有滿足G=λ??+μ∕∏?

（其中入∈[1,a],μ∈[l,b]）的點P（x,y）組成的區(qū)域，若區(qū)域。的面積為8,貝∣J4。+6

的最小值為（）

A.4√2B.5+4√2C.5D.9

二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）計算84+第一/。。23的值為.

14.（5分）已知等差數(shù)列伍〃｝滿足。2+〃5+。8=15,則Q3+"7=.

15.（5分）函數(shù)/（x）滿足：①定義域為R,（2y（-%）+∕ω=o,③色上上口>（）.請

%1一%2

寫出滿足上述條件的一個函數(shù)f（x）,于（X）=.

16.（5分）如圖，正方體ABen-Al中，點E,尸是BC上的兩個三等分點，點G,

H是Agl上的兩個三等分點，點“，N,P分別為A8,CIfh和CQ的中點，點。是AlM

上的一個動點，下面結(jié)論中正確的是.

①F”與ACI異面且垂直；

②FG與ACl相交且垂直；

③￡>iQ〃平面EFN；

④Bi,H,F,P四點共面.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個試題考生都必須答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.（12分）為配合創(chuàng)建文明城市，某市交警支隊全面啟動路口秩序綜合治理，重點整治機(jī)

動車不禮讓行人的行為.經(jīng)過一段時間的治理，從市交警隊數(shù)據(jù)庫中調(diào)取了10個路口的

車輛違章數(shù)據(jù)，根據(jù)這10個路口的違章車次的數(shù)量繪制如下的頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)中

凡違章車次超過40次的路口設(shè)為“重點關(guān)注路口”.

（1）根據(jù)直方圖估計這10個路口的違章車次的平均數(shù)；

（2）現(xiàn)從支隊派遣3位交警去違章車次在（30,50］的路口執(zhí)勤，每人選擇一個路口，

每個路口至多1人，設(shè)去“重點關(guān)注路口”的交警人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

18.(12分)如圖，在三棱錐尸-ABe中，Z?A8C為直角三角形，ZACB=90°,Z?B4C是

邊長為4的等邊三角形，BC=2√3,二面角P-AC-B的大小為60°,點M為膽的中

點.

(1)請你判斷平面Λ4B垂直于平面ABC嗎？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由；

(2)求CM與平面PBC所成角的正弦值.

19.(12分)在aABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(2b+WC)CoSA+小IaCOSC=0.

(1)求角A的大??；

(2)若α=2,求b+Mc的取值范圍.

20.(12分)⑦如圖，Pi,Pi,P3為橢圓上的三點，尸3為橢圓的上頂點，Pl與P2關(guān)于)，軸

對稱，橢圓的左焦點Fl(-1,0),且「1F∣+P2P1+P3F1=6.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓的右焦點Fi且與X軸不重合的直線交橢圓于A,B兩點,M為橢圓的右頂點，

連接MA,MB分別交直線x=4于P,Q兩點.試判斷AQ,BP的交點是否為定點？若是，

請求出該定點；若不是，請說明理由.

1

21.g(x)=2x——f其中tz∈R.

(1)若方程F(X)=g(x)在［1,e］(e為自然對數(shù)的底數(shù))上存在唯一實數(shù)解，求實數(shù)

”的取值范圍;

(2)若在［1,e］上存在一點fo,使得關(guān)于X的不等式(x)>/+以誓+2x成立，求

實數(shù)〃的取值范圍.

四、(二)選做題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做

的第一題記分.

22.(10分)在直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線CI的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，以

原點0為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=4sinθ?

(I)求曲線Ci的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

(∏)已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為9=α,O<a<ττ,p∈R,點A是曲線Cy與Ci的交點，

點B是曲線C3與C2的交點，且A,B均異于原點O,且∣A8∣=4√L求實數(shù)a的值.

23.選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)=JlX+2∣+∣x-4|一Tn的定義域為R.

(1)求實數(shù)，〃的范圍；

41

(2)若團(tuán)的最大值為〃，當(dāng)正數(shù)a,b滿足—?+Tr=〃時，求4o+7∕?的最小值.

a+5b3a+2b

2023年四川省瀘州市高考理科數(shù)學(xué)二診試卷

參考答案與試題解析

選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(5分)設(shè)集合A={x∣∣x∣<2},B={x?x1-3x<0},貝∣J4UB=()

A.(-2,3)B.(-2,0)C.(0,2)D.(2,3)

【解答】解：集合A={x∣W<2}={x∣-2<x<2},B={Λ∣Λ2-3x<O}={x∣O<x<3},

則AUB={x∣-2<x<3}.

故選：A.

2.(5分)若復(fù)數(shù)Z=(x2-l)+(x+l)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則實數(shù)X的值為()

A.-1B.0C.1D.-1或1

【解答】解：Y復(fù)數(shù)Z=(x2-I)+(x+l)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，

?M。，解得X=L

故選：C.

3.(5分)某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000個零件進(jìn)行一項質(zhì)量指標(biāo)的檢測，

整理檢測結(jié)果得此項質(zhì)量指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是()

頻率

B.估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)為45

C.估計這批產(chǎn)品該項質(zhì)量指標(biāo)的中位數(shù)為60

D.從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取1個零件，其質(zhì)量指標(biāo)在［50,70)的概率約為0.5

【解答】解：對于A,由頻率分布直方圖得：(α+0.035+0.030+0.020+0.010)×10=l,解

得α=0.005,故A正確；

40+50

對于B,頻率最大的一組為第二組，中間值為------=45,.?.眾數(shù)為45,故B正確；

2

對于C質(zhì)量指標(biāo)大于等于60的有兩組,頻率之和為(0.020+0.010)×1O=O.3<O.5,

.?.60不是中位數(shù)，故C錯誤;

對于￡>,由于質(zhì)量指標(biāo)在［50,70)之間的頻率之和為(0.03+0.02)XIo=O.5,

可以近似認(rèn)為從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取一個零件，其質(zhì)量指標(biāo)在［50,70)的概率約為0.5,

故。正確.

故選：C.

TT—>TTTTT

4.(5分)已知非零向量a、b滿足向量Q+b與向量Q-b的夾角為那么下列結(jié)論中一定

成立的是()

TTTTTTTT

A.α=6B.?a?=?b?C.α±hD.a//b

【解答】解：由題意可得(Z+b)±(a—&),.*.(α+e)?(α—b)=a2—b2=0,

.,?∣α∣=l?b

故選：B.

5.(5分)已知函數(shù)f(x)=沼，則()

A.7(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增

B.f(x)的圖象關(guān)于點(-1,1)對稱

C./(Λ)為奇函數(shù)

D./(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱

【解答】解：?.?f(x)=∣g=7+g,

.V(x)在(-L+co)上單調(diào)遞減，

故選項A錯誤；

I-X2

.?"⑶=市=τ+ιτr

：.f(X)的圖象關(guān)于點(-1,-1)對稱,

故選項B、C錯誤；

???y=∕(χ)=l?.?.X=ι-y

W

故/Cr)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,

故選項。正確；

故選：D.

6.（5分）（l+x）2+（l+x）3+???+（1+x）9的展開式中了的系數(shù)是（）

A.60B.80C.84D.120

【解答】解：（1+X）2+（1+X）3+…+（l+χ）9的展開式中/的系數(shù)為4+弓+…+弓=

Cf+Cf+-+Cl=Cf0=120.

故選：D.

7.（5分）已知六棱錐尸-ABCDEf的底面是正六邊形，％_L平面ABC,PA=2AB,則下列

命題中錯誤的是（）

A.AE_L平面

B.直線PO與平面ABC所成角為45°

C.平面PBC與平面PE尸的交線與直線AD不平行

√5

D.直線C0與PB所成的角的余弦值為J

10

【解答】解：對于A,V∕?±5p[gjABC,AEU平面ABC,.".AE1PA,

：六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，.?.AELA8,

：勿CAB=A,PA,ABU平面∕?B,.?.尸￡1.平面以8,故A正確；

對于8,；六棱錐P-ABa>EF的底面是正六邊形，以，平面ABC,PA=2AB,

：.PALAD,PA=AD,ΛZPDA=45°是直線PO與平面ABC所成角，故B正確；

對于C,'：EF//AD/∕BC,EFU平面PERBCU平面P8C,

平面PBC與平面PE尸的交線與直線AO平行，故C錯誤；

對于力，設(shè)AB=1,則%=2,AE=√12+I2-2×1×1×cosl20o=√3,

PE=√4+^3=√7,BE=2,PB=√4∏=√5,

?.?CC〃8E,.?.∕P8E是直線CQ與PB所成的角（或所成角的補角），

.?.直線C。與尸B所成的角的余弦值為：

coszpbe=???=故。正確.

故選：C.

8.（5分）已知點P（α,人）是曲線C：y=∣x3-∣x2+1±W?,曲線C在點P處的切線

平行于直線6x-3y-7=0,則實數(shù)a的值為（）

A.-1B.2C.-1或2D.1或-2

［解答］解：:尸上3?聶2+ι,

2

.?.y'=x-χf

,2

結(jié)合題意得：y?x^a=a-a=2f

解得：a=2或a=-1,

經(jīng)檢驗。=2時，切線為直線6χ-3y-7=0,不合題意，舍，

故選：A.

9.（5分）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：t=上柒C為時間，單位

分鐘，00為環(huán)境溫度，θl為物體初始溫度，θ為冷卻后溫度），假設(shè)一■杯開水溫度θl=

100βC,環(huán)境溫度θo=2O°C,常數(shù)R=0.2,大約經(jīng)過多少分鐘水溫降為40℃?（結(jié)果保

留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：/∏2^O.7）（）

A.9B.8C.7D.6

【解答】解：由題意可知t=-春仇=-5lrr-=IO∕∏2^7,

u.z黑IuU-半ZU4

故選：C

10.（5分）已知在RtZ?A8C中，斜邊48=2,BC=I,若將RIZ?A8C沿斜邊AB上的中線

CQ折起，使平面ACDJ_平面BCQ,則三棱錐A-BC。的外接球的表面積為（）

1320107

A.—TrB.—TrC.—TiD.-Ti

3333

【解答】解：如圖，設(shè)點E為ABCO外接圓的圓心，則三棱錐A-BC。外接球的球心一

定在過點E且與平面BC。垂直的直線上，

不妨設(shè)點O為外接圓的圓心，則OE_L平面BCD,且OA=OB=OC=OD=R,

過點。作OM_L平面ACD,則點M為XNCD外接圓的圓心，在AACO中，由余弦定理

AD2+CD2-AC2=1+1-3_1

有，cosZ-ADC

-2ADCD-=2xlxl=^2,

.'.sin?ADC=?,

.?.4M=棄

1,

2X竽

延長BE交CQ于F,連接MF,

；BC=CD=BD=I,

...△BCD為邊長為1的正三角形，F(xiàn)為CO中點,

._1√3_；3

"'ef~3x~2~^6^,

由于平面ACO，平面BCZZ故四邊形OMFE為矩形，貝IJOM=EF=噂,

在RtZ?40M中，AM2WM2=-OA2,即1+(?)2=R2,解得R=息,

.?.三棱錐A-BCD的外接球的表面積為4τrX盤入等

故選：A.

11.(q>0,?>0)的右焦點為尸2,點M,N在雙曲線的同

一條漸近線上,。為坐標(biāo)原點.若直線平行于雙曲線的另一條漸近線,且。放，JFW,

尸2M=苧尸22，則該雙曲線的漸近線方程為()

11√2

A.y=±-χB.y=±-χC.v=±-xD.y=±2x

’4'2'2'

【解答】解：如圖，設(shè)漸近線y=?x的傾斜角為O,Θ∈(0,J),

則NNMF2=2θ,ZONFi=8,

NFSjTI20

在AMNF2中,由正弦定理可得T=--TF-T-

MF2sιn(--θ)

可得sinθ=-i,tanθ=?,即可得

√52a2

12.(5分)已知點A(l,-1),B(4,O),C(2,2),平面區(qū)域。是由所有滿足眉=λAB+μAC

(其中入6[1,a],μ∈[l,b])的點P(X,y)組成的區(qū)域，若區(qū)域。的面積為8,則4α+匕

的最小值為()

A.4√2B.5+4√2C.5D.9

【解答】解：如圖所示，以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABCD

分別作C?=入(?=λ??,BF=μBD=μAC,

則由所有滿足G=λ4?+μ易(λ∈[l,a],μ∈[l,?])表示的平面區(qū)域D為平行四邊形

DEQF.

DE=(λ-?)AB,DF=(1-μ)AC)(λ∈ll,a],μ∈[l,?]),

'：AB=(3,1),AC=(I,3),BC=(-2,2),

→

.".?AB?=√10,?AC?=√Tθ,∣BC∣=2√2.

i4C?4B_6_3.___________4

，COSNCAB=則SinNCAB=Vl-cos2Z-CAB=耳.

?AC??AB?同Xm耳

Y區(qū)域。的面積為8,

TT4

???四邊形OEQ/的面積S=IDElIDFIsinNCAB=(〃-1)(?-1)×√10×√10×

=8(。-1)(Z?-1)=8,

m11

.,.(?-1)(?-1)=1,即一÷-=1.

ab

."Λa+b=(40+?)(?+?)=5+^+?≥5+2^∣??=9,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=3時取等號.

.?.4a+6的最小值為9.

故選：D.

二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)計算84+黑一，0&3的值為

Ig乙2

【解答】解：8-3+鬻—log23=i+log26-IOg23=i÷log22=i÷1=

故答案為：

14.(5分)已知等差數(shù)列｛板｝滿足。2+。5+〃8=15,則43+R=10.

【解答】解：???等差數(shù)列｛劭｝滿足42+05+48=15,

：.〃2+。5+〃8=3〃5=15,解得615=5,

??〃3+〃7=2〃5=10.

故答案為：10.

15.(5分)函數(shù)f(x)滿足：①定義域為R,②M-X)4∕(x)=0,③止1)一""">0?請

%］一%2

寫出滿足上述條件的一個函數(shù)/(x),/(x)=」

【解答】解：因為函數(shù)/(x)滿足：①定義域為R,@f(-χ)+f(x)=0,③"ι)-/3)

工1一％2

>0,

所以函數(shù)/ω是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù),

比如，f(x)=X.

故答案為：X.(答案不唯一)

16.(5分)如圖，正方體48C。-AIBIC中，點E,尸是BC上的兩個三等分點，點G,

“是AiDi上的兩個三等分點，點M,N,P分別為AB,CIDl和CO的中點，點。是AlM

上的一個動點，下面結(jié)論中正確的是①③④.

①尸H與4。異面且垂直；

②FG與ACl相交且垂直；

③Z)IQ〃平面EFN；

④Bl,H,F,P四點共面.

【解答】解：正方體ABCZ)-AIBICIG中，

：點E,F是BC上的兩個三等分點，點G,，是4。上的兩個三等分點，

.?.AG"FCι,四邊形AFClG是平行四邊形，.?.FH與AeI異面，F(xiàn)G與ACl相交,

以。為原點，D4為X軸，DC為y軸，為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

ZA

設(shè)正方體ABCD-A?B?C?D?中棱長為3,

對于①，F(xiàn)(1,3,0),H(1,0,3),A(3,0,0),Ci(0,3,3),

FH=(0,-3,3),AG=(-3,3,3),

FHSC1=0,,FH與ACl異面且垂直，故①正確;

對于②，G(2,0,3),FG=(1,-3,3),

FG-AC1=-3-9+9=-3,

.?.FG與ACl相交但不垂直，故②錯誤；

對于③，'：A\D\//EF,A?M∕∕CN,AιDι∩AιM=Aι,EFCCN=C,

.?.平面4。IM〃平面EFN,

YOiQu平面AIOIM,.?.OιQ〃平面EFM故③正確；

3TTq

對于④，BI(3,3,3),P(0,-,0),B1H=(-2,-3,0),FP=(-1,0),

=2FP,：.B\H//FP,：.B\,H,F,P四點共面，故④正確.

故答案為：①③④.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個試題考生都必須答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.(12分)為配合創(chuàng)建文明城市，某市交警支隊全面啟動路口秩序綜合治理，重點整治機(jī)

動車不禮讓行人的行為.經(jīng)過一段時間的治理，從市交警隊數(shù)據(jù)庫中調(diào)取了10個路口的

車輛違章數(shù)據(jù)，根據(jù)這10個路口的違章車次的數(shù)量繪制如下的頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)中

凡違章車次超過40次的路口設(shè)為“重點關(guān)注路口”.

(1)根據(jù)直方圖估計這10個路口的違章車次的平均數(shù)；

(2)現(xiàn)從支隊派遣3位交警去違章車次在(30,50］的路口執(zhí)勤，每人選擇一個路口，

每個路口至多1人，設(shè)去“重點關(guān)注路口”的交警人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

A頻率/組距

0.04---------------------->--------

0.02----ι------------------------------

0.01-----------------------

°^^1020304050~~

【解答】解：(1)由平均數(shù)計算公式可得：0.01×10×5+0.02×10×15+0.01×10X25+0.04

X10×35+0.02×10X45=29.

(2)(30,40］區(qū)間的路口有0.04XlOXIo=4個,(40,50］區(qū)間的路口有0.02X10XQ

=2個.

由題知隨機(jī)變量X可取值0，1，2.

則P(X=O)=4=彥，P(X=I)=萼=1,P(X=2)=巽=

r???f???

c6c6G6

.?.X的X的分布列為：

數(shù)學(xué)期望E（X）=0×∣+l×∣+2×∣=l.

18.（12分）如圖，在三棱錐尸-42C中，Z?A8C為直角三角形，NACB=90°,是

邊長為4的等邊三角形，BC=2√3,二面角P-AC-B的大小為60°,點M為∕?的中

點.

（1）請你判斷平面以B垂直于平面ABC嗎？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由；

（2）求CM與平面PBC所成角的正弦值.

【解答】解：（1）平面∕?B，平面ABC理由如下：

設(shè)AB的中點為O,AC的中點為。，連結(jié)ODPD,PO,

因為AABC為直角三角形，NAC8=90°,BC=2√3,

所以0。為中位線，則。。=BBc=6，且0￡>J_AC,

因為△%C為等邊三角形，PA=AC=4,

所以PO_LAC,PD=2√3,

由二面角的定義可知，NP。。為二面角P-AC-B的平面角，

所以NPE>O=60°,由余弦定理可得，CoSNP。。=叫離聲=劣

乙IL/LxC/乙

所以PO=3,又PO2+DO2PD2,

所以尸O_LO0,因為AC=4,BC=2√3,∕ACB=90°,

所以AB=2√7,AO=2√7,

又Aθ2+Pθ2=∕?2,所以PO_LA。，

又AorWo=。，AO,。0U平面ABC,

所以P0_L平面A8C,又PoU平面方8,

所以平面B48_L平面ABC；

(2)設(shè)BC的中點為E,連結(jié)。E,

S?OE//AC,ACLBC,

所以O(shè)E_LBC,因為0￡>〃BC,所以0E_L。。，由(1)可知，^。，平面他。，則有Po

LOE,POLOD,

以點。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則B(√5,2,0),C(-√3,2,0),P(0,0,3),?(-√3,-2,0),M(一，,-1,|),

故C?=除-3,|),PB=(√3,2,-3),BC=(-2√3,0,0),

設(shè)平面PBC的法向量為￡=(x,y,z),

則有g(shù)?pf=°,g∣j(75x+2y-3z=0

Vn?FC=0l-2√3x=0

令y=3,則z=2,故3=(0,3,2),

I昂后|_6√39

所以ICOSVCM,n>?=

l?∣n∣號+9+/-13^

√39

故CM與平面PBC所成角的正弦值為行

19.(12分)在AABC中，內(nèi)角A,5,C的對邊分別為a,b,c,且(2Z?+√3c)cos?÷√3αcosC=0.

(1)求角A的大小;

(2)若〃=2,求b+√^c的取值范圍.

【解答】解：(1)由(2b+酷C)CoS4+√5αcosC=0,

根據(jù)正弦定理有QSinB+FSinC)COSA+遮SinACoSC=0.

所以2s譏BCOSa+WSinCCOSA+MsinAcosC=0,

所以2s譏BCOS4+√3sin(C+Λ)=0,

即2siπBcosA+WSinB=0.

因為0VB<π,

所以SinBWO,

所以CoS4=-?,

因為0VAVπ,

所以A=猾.

(2)由(1)知Z=等,

所以B+C=J

6

則C=合B(OVB〈卷)，

abc2bc

由正弦定理：-：^^^=T^~^Σ=.得.5τr=~~Σ=^7^^7π^^77?

SinAStnBsιnCsin—smBsm(--B)

66

所以?=4sinB,c=4sin(^一B)=2cosB—2?∣3sinB.

所以b+√3c=4sinB+y∕3(2cosB—2√3sinβ)=2WCoSB—2sinB=4(孚COSB—

*sinB)=4cos∕+B).

因為0<BV也

o

“J?！?

所以一<cos(-+B)V—,

262

所以b+Hc的取值范圍為(2,2√3).

20.(12分)⑦如圖，Pi,P2,P3為橢圓上的三點，P3為橢圓的上頂點，Pl與尸2關(guān)于y軸

對稱，橢圓的左焦點FI(-1,0),且Pι∕ι+P2F1+P3尸1=6.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓的右焦點尸2且與X軸不重合的直線交橢圓于A,8兩點,M為橢圓的右頂點,

連接MA,MB分別交直線x=4于P,Q兩點.試判斷AQ,BP的交點是否為定點？若是,

請求出該定點；若不是，請說明理由.

【解答】解：(1)因為P3為橢圓的上頂點，P與尸2關(guān)于y軸對稱，

則尸3尸ι=α,PIFl=P2F2,

所以PIFI+P2FI+P3FI=6,可得P2F2+P2F1+P3F1=6,

即2α+α=6,可得α=2,

再由橢圓的左焦點(-1,0),可得C=1,

所以b2=a2-C2=4-1=3,

X2V2

所以橢圓的方程為：丁+J=I;

43

(2)由(1)知：F2(1,0),M(2,0),不妨設(shè)A在X軸上方，

當(dāng)直線AB斜率不存在時，AB：x=l,.?.A(1,≡),8(1,—分

直線AM；y=-≡(x-2),直線BM：y=^(x-2),：.P(4,-3),Q<4,3),

善3

13-1

-2

P=---41-

feR2-2

直線8P：y+3=-∣(x-4),即x+2y+2=0,

直線AQ；y-3=±(x-4),即X-2y+2=O,

.(x+2y+2=0俎(x=-2

由及—2y+2=0得Ty=O，

.?.直線8P與AQ交點為(-2,0),

若直線BP與AQ交點為定點，則該定點必為(-2,0),

假設(shè)當(dāng)直線AB斜率存在時，直線8P與AQ交點為(-2,0),

設(shè)A(xι,yι),B(X2,”),

直線M4：y=?ɑ-2),直線M8：y

令x=4,則yp=3?,%=翁,

11

整理可得:[??z??-6V+2?兩式作和得：種2+砂=4(yι+y2),

ljx2Λl—Xly2—Oyl+zZ2

Vχiy2+%2J1=(tyl+l)>2+(Zy2+1)yι=2tylJ2+yi+j2,

.,.2ryιj2=3(yi+”)，

設(shè)A3：x=)+1(∕≠0),

(x=ty+1

由卜2y2得：(3r2+4)>,2+6∕>,-9=0,

?+τ=1

(?6t

.…=-薪

??J9，

此時2t%y2=3(?+丫2)=---------2,滿足題意，

4+3￡

綜上所述：直線BP與AQ交點為定點(-2,0).

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=當(dāng)竺+χ,g(X)="［，其中α6R.

(1)若方程/(x)=g(X)在［1,e］(e為自然對數(shù)的底數(shù))上存在唯一實數(shù)解，求實數(shù)

”的取值范圍；

(2)若在［1,e］上存在一點《),使得關(guān)于X的不等式(x)>/+"誓+2Λ成立，求

實數(shù)”的取值范圍.

%21

【解答】解：(1)由/(冗)=g(x),化為萬一a^nx-^=0；

令尸(x)=^x1-alnx-^,由題意得只需函數(shù)y=P(x)在［1,e］上有唯一的零點；

F'(X)=X-W=虻井，其中xe［l,e］,

下面對α分類討論：

①當(dāng)αWl時，F(xiàn)(X)No恒成立，F(xiàn)(X)單調(diào)遞增，

又F(I)=0,則函數(shù)F(X)在區(qū)間［1,e］上有唯一的零點；

②當(dāng)時?，F(xiàn)(X)<0恒成立，F(xiàn)(X)單調(diào)遞減，

又F(I)=0,則函數(shù)F(X)在區(qū)間［1,e］上有唯一的零點；

③當(dāng)IVaVe2時，當(dāng)1≤%≤√∏時，F(xiàn)(X)<0,F(x)單調(diào)遞減，

又尸(1)=0,ΛF(√α)<F(l)=0,則函數(shù)/G)在區(qū)間［L√H］上有唯一的零點；

當(dāng)VHVr≤e時，F(xiàn)(X)>0,F(X)單調(diào)遞增，則當(dāng)F(e)<0時符合題意，

e21

即一-α--<0,

22

2［2--?

.?.α>j2,當(dāng)丁二Vα<?2時，則函數(shù)F(X)在區(qū)間［1,府］上有唯一的零點；

42

g2_1

實數(shù)"的取值范圍是(-8,-i］∪+∞).

(2)在［1,e］上存在一點∕o,使得關(guān)于X的不等式M(%)>玲2+半±12+2%成立=%+

Y—alntQ+口Vo在∕o∈［l,e］上有解，

ro?o

必須滿足函數(shù)〃(X)=1+：+/-出〃工在［1，e］上的最小值小于零，

hfV)=T一“=虹嗎曰,

XLXLXXL

下面對。分類討論：

①當(dāng)o+12e時，即o2e-l時，力(X)在［1,e］上單調(diào)遞減，