上海市高考數(shù)學二輪復習：例析以集合知識為載體的創(chuàng)新型試題

【學生版】例析以集合知識為載體的創(chuàng)新型試題

集合是刻畫一類事物的語言和工具，是現(xiàn)代數(shù)學的基礎，是數(shù)學表達和交流的工具；而現(xiàn)行的創(chuàng)新型

數(shù)學問題，主要涉及兩大類：一類是創(chuàng)造性地綜合運用已有的數(shù)學知識經(jīng)驗解決新情境問題或陌生的問題;

另一類是發(fā)現(xiàn)新問題（或提出新問題）并解決提出的新問題：本文，欲以集合知識為載體，例析現(xiàn)行的創(chuàng)

新型試題的題型與解法；

例1、給定數(shù)集4,對于任意4,6eA,有o+b∈A且4-beA,則稱集合A為閉集合；

①集合A={Y,-2,0,2,4}為閉集合；

②集合A==3Z,/eZ）為閉集合；

③若集合A，4為閉集合，則A4為閉集合；

④若集合A，4為閉集合，且AUR，A=R,則存在ceR,使得C史（4,A2）.

其中，全部正確結(jié)論的序號是.

說明本題屬于新概念型問題：問題情境給出新定義，考查學習者的及時學習能力，考查了新定義的集合

與元素的判定問題，解題時應深刻理解新定義的概念，適當?shù)膽梅蠢f明命題是否成立，屬于基礎題。

例2、已知M為給定的非空集合，集合7=,<},其中Z≠0,T￡M,且1T2Tn=M,

則稱集合7是集合M的覆蓋；如果除以上條件外，另有〃Tj=0,其中i=l,2,3,,〃，；=1,2,3,,〃，

且iwj,則稱集合T是集合M的劃分；對于集合A={”,仇c},下列命題錯誤的是（）

①.集合S={{α力},{b,c}}是集合A的覆蓋

②.集合Q={伍},{“刈,{α,c}}是集合A的劃分

③.集合E={{0},,{c}}不是集合A的劃分

④.集合F={{a},{α,c}}既不是集合A的覆蓋，也不是集合A的劃分

說明本題屬于新概念型問題：問題情境給出新定義、新法則(公式、原理)，考察學習者的及時學習能

力，一般需要先理解新概念，再運用新概念解決問題；

例3、已知集合U={l,2,3,…，n],集合A、B是集合。的子集，若A18,則稱“集合A緊跟集合

那么任取集合。的兩個子集A、8,“集合A緊跟集合8"的概率為

說明本題屬于知識交匯型問題：一般需要交匯與整合構(gòu)造不等式、方程、代數(shù)式、函數(shù)、圖形、概率與

統(tǒng)計等加以解決的問題；具體到本題考查古典概率公式的簡單應用，解題的關鍵是基本事件個數(shù)的確定。

例4、若集合A具有以下兩條性質(zhì)，則稱集合A為一個“好集合”；

(1)O∈A?1∈A;(2)若x、?lA,則x-yeA,且當XKO時，有4eA；

X

給出以下命題：①集合尸={-2,-1,0,1,2}是“好集合”；②Z是“好集合”；③。是“好集合”；④R是“好集合

⑤設集合A是“好集合”，若X、yiA,則x+y"；

其中真命題的序號是____________________________

說明解決集合中新定義問題的關鍵是準確理解新定義的實質(zhì)，緊扣新定義進行推理論證，把其轉(zhuǎn)化為我

們熟知的基本運算。

例5,定義：對于非空集合A,若元素x∈A,則必有5-x）wA,則稱集合A為“機和集合”；已知集合

8={1,2,3,4,5,6,7},則集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有個。

說明本題屬于猜想推理型問題：通過猜想一推理…驗證實現(xiàn)從特殊到一般的推理論證;

例6、給定數(shù)集A,若對于任意”,beA,有a+h∈A,且α-b∈A,則稱集合A為閉集合.

（1）判斷集合4={工-2,0,2,4},5={幻*=3太正2}是否為閉集合，并給出證明；

（2）若集合A,8為閉集合，則AB是否一定為閉集合?請說明理由；

⑶若集合AB為閉集合，且AURBUR,證明：（AB）UR。

說明本題主要考查了集合子集、真子集，反證法，考查了學生分析推理能力，屬于難題；本題屬于創(chuàng)新

判斷型：這類問題常見的有：①探究給定的結(jié)論是否成立；②探究符合條件的數(shù)學對象是否存在；③類比

已有結(jié)論探索獲得的新命題是否成立；

綜上，不論是哪一類創(chuàng)新型數(shù)學問題，都需要強化閱讀理解，充分研究問題的條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，

運用數(shù)學知識方法，發(fā)現(xiàn)解題策略，展開充分的數(shù)學推理，綜合運用邏輯思維與直覺思維、演繹推理與合

情推理，需要運用特殊與一般、歸納與類比等數(shù)學思維方式，完成數(shù)學問題提出的研究目標。

【教師版】例析以集合知識為載體的創(chuàng)新型試題

集合是刻畫一類事物的語言和工具，是現(xiàn)代數(shù)學的基礎，是數(shù)學表達和交流的工具；而現(xiàn)行的創(chuàng)新型

數(shù)學問題，主要涉及兩大類：一類是創(chuàng)造性地綜合運用已有的數(shù)學知識經(jīng)驗解決新情境問題或陌生的問題;

另一類是發(fā)現(xiàn)新問題（或提出新問題）并解決提出的新問題；本文，欲以集合知識為載體，例析現(xiàn)行的創(chuàng)

新型試題的題型與解法；

例1、給定數(shù)集A,對于任意“∕eA,有o+b∈A且α-b∈A,則稱集合A為閉集合；

①集合A={-4,-2,0,2,4）為閉集合；

②集合A={n?n=3k,kwZ）為閉集合；

③若集合A，4為閉集合，則A4為閉集合；

④若集合A,4為閉集合，且AaR,4=R,則存在ceR,使得C史（A,A2）.

其中，全部正確結(jié)論的序號是.

提示注意理解“新定義”：閉集合；根據(jù)新定義的概念得出：①舉反例說明命題錯誤；②可以通過理論

證明命題正確；③舉反例說明命題錯誤；④舉例說明命題錯誤；

【答案】②；

解析①當。=2、b=4時，a+b=6^A,所以，集合A不是閉集合，命題錯誤；

②任取“、beA,則。=3尢，b=3k2,k∣、&eZ；所以，kl+k2eZ,則α+0=3（k∣+k2）eA,同理，a-b≡A,

所以，A是閉集合，命題正確；

③A={"∣"=3Z,keZ}是閉集合，A2={n?n=5k,keZ}是閉集合，且3eA1，5∈A,,（B3+5?τ?A2,

所以，A4不是閉集合，則命題錯誤；

④集合A=R是閉集合，A1={n?n=5k,k∈Z}是閉集合，且A=R,Λ?R,則A4=R,對于任意

的ceR,貝IJCe（AIA2）,則命題錯誤；

所以，正確命題的序號是②；故答案為：②；

說明本題屬于新概念型問題：問題情境給出新定義，考查學習者的及時學習能力，考查了新定義的集合

與元素的判定問題，解題時應深刻理解新定義的概念，適當?shù)膽梅蠢f明命題是否成立，屬于基礎題。

例2、已知M為給定的非空集合，集合T={7；Z，,7；,},其中（≠0,TiQM,且7；T2g=M,

則稱集合T是集合M的覆蓋；如果除以上條件外，另有〃7；=0,其中i=l,2,3,,〃，7=1,2,3,,n,

且iwj,則稱集合7是集合〃的劃分；對于集合A={α也c},下列命題錯誤的是（）

①.集合§={{〃力}，g?}是集合A的覆蓋

②.集合。={{"},{“力},S,c}}是集合A的劃分

③.集合E={{0},,{c}}不是集合A的劃分

④.集合F=Ha},{αc}}既不是集合A的覆蓋，也不是集合A的劃分

提示理解“新定義”，并根據(jù)集合新定義以及集合的交、并運算，逐一判斷即可；

【答案】②③；

解析對于①，集合S={{α,6},{4c}}滿足{4,b}UA,g,c}UA,且{。,分{b,c}=A,故集合S是集合A的

覆蓋，選項①正確；

對于②，集合Q={{α},S,b},{α,c}}中,{0,于C{α,c}#0,不滿足題目定義中“刀τj=0,",

故集合Q={{4},{"∕},{α,c}}不是集合A的劃分，選項②錯誤；

對于③，集合E={{4},,{c}}是集合A的劃分，因為{4}UA,g}UA,{c}?A,

且⑷旦{C}=A,{α}∩{?}=0,{?}∩{c}=0,{a}∏{c}=0,

滿足定義中的所有要求，選項③錯誤；

對于④，集合F={{0},{0,c}}中,{a}（J{a,c}≠A,{a}{a,c}≠0,

故集合尸={{4},{a,c}}既不是集合A的覆蓋，也不是集合A的劃分，選項④正確.

故選：②③；.

說明本題屬于新概念型問題：問題情境給出新定義、新法則（公式、原理），考察學習者的及時學習能

力，一般需要先理解新概念，再運用新概念解決問題；

例3、已知集合U={1,2,3,…，n],集合A、B是集合U的子集，若A18,則稱“集合A緊跟集合

那么任取集合U的兩個子集A、B,“集合A緊跟集合歹的概率為

提示由題意可知集合U的子集有2"個，然后求出任取集合U的兩個子集4、B的個數(shù)及AUB時A、

5的所有個數(shù)〃，根據(jù)P=K可求結(jié)果.

m

【答案】（》";

解析因為，集合U={1,2,3,…，〃}的子集有2"個，又因為集合A、B是集合U的子集，

所以，任取集合U的兩個子集4、8的所有個數(shù)共有2"X2"個，

因為，A?B,

①若A=0,則5有2"個,

②若4為單元數(shù)集，則8的個數(shù)為C：X2"T個，

同理可得，若A={l,2,3…則B=A只要1個即1=C"2°,

n0

貝!M、3的所有個數(shù)為2+C：×2"τ+C;×2"<+...+C；；×2=(l+2)"=3"個，

集合A緊跟集合3”的概率為P=-?=(-)n,

2,×2,4

故答案為《)"；

4

說明本題屬于知識交匯型問題：一般需要交匯與整合構(gòu)造不等式、方程、代數(shù)式、函數(shù)、圖形、概率與

統(tǒng)計等加以解決的問題；具體到本題考查古典概率公式的簡單應用，解題的關鍵是基本事件個數(shù)的確定。

例4、若集合A具有以下兩條性質(zhì)，則稱集合A為一個“好集合”；

°1

(1)OeA且1∈A;(2)若工、y?A,則x-y∈A,且當XWo時，有一e4；

X

給出以下命題：①集合P={-2,-1,0,1,2}是“好集合”；②Z是“好集合”；③。是“好集合”；④R是“好集合”；

⑤設集合4是“好集合”，若x、NA,則x+ye4；

其中真命題的序號是____________________________

提示注意理解“新定義”；結(jié)合判斷命題真假的方法之一：舉反例；取x=2,y=-2結(jié)合(1)可判斷

①的正誤；取X=2結(jié)合(2)可判斷②的正誤；利用“好集合”的定義可判斷③④的正誤；由,A,可推

導出-yeA,再結(jié)合(1)可判斷⑤的正誤；

【答案】③④⑤；

解析對于命題①，2∈P,-2∈P,但2-(—2)=4走P,①錯誤；

對于命題②，2∈Z,但;任Z,②錯誤；

對于命題③④，顯然，集合。、R均滿足(D(2),所以，Q、R都是“好集合”，③④正確：

對于命題⑤，當NA時，由于OeA,貝∣J-y=0-yeA,當XeA,貝∣Jx+y=x-(一y)eA,⑤正確.

故答案為：③

說明解決集合中新定義問題的關鍵是準確理解新定義的實質(zhì)，緊扣新定義進行推理論證，把其轉(zhuǎn)化為我

們熟知的基本運算。

例5、定義：對于非空集合A,若元素xeA,則必有5-x)eA,則稱集合A為“加和集合”；已知集合

8={1,2,3,4,5,6,7},則集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有個。

提示由新定義可得集合B的子集中，1,7、2,6、3,5、4一定成組出現(xiàn)，再由子集的概念即可得解;

【答案】15；

解析由題意，集合8的子集中，1,7、2,6、3,5、4一定成組出現(xiàn)，

當集合B的子集中只有1個元素時，即為{4},共1個；

當集合B的子集中有2個元素時,即為{1,7},{2,6},{3,5},共3個;

當集合B的子集中有3個元素時,即為{1,4,7},{2,4,6},{3,4,5},共3個;

當集合B的子集中有4個元素時，即為{1,7,2,6},{1,7,3,5}{2,6,3,5},共3個;

當集合B的子集中有5個元素時，即為{1,7,4,2,6},{1,7,4,3,5},{2,6,4,3,5},共3個；

當集合B的子集中有6個元素時，即為8={1,2,3,5,6,7},共1個.

當集合B的子集中有7個元素時，即為B={1,2,3,4,5,6,7},共1個.

則集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有15個.

故答案為：15；

說明本題屬于猜想推理型問題：通過猜想一推理…驗證實現(xiàn)從特殊到一般的推理論證;

例6、給定數(shù)集A,若對于任意α,beA,有α+b∈A,且α-b∈A,則稱集合4為閉集合.

（1）判斷集合4={工-2,0,2,4},8=閨》=3%,壯2}是否為閉集合，并給出證明；

（2）若集合AB為閉集合，則A8是否一定為閉集合?請說明理由；

⑶若集合AB為閉集合，且AuRBuR,證明：（AB）UR。

提示（1）根據(jù)特值4^4,但是4+4=8?A,判斷A不為閉集合，τ^a=3m,b=3n,m,neZ,可證出α+∕>eB,

a-b&B,B為閉集合；（2）取特例A={x∣x=2*,?∈Z},B={x?x=3k,A∈Z},集合48為閉集合，但AB

不為閉集合即可；（3）用反正正法，若AB=R,存在α∈R且αeA,故α∈B,同理，因為BuR,存

在?！蔙且6定B,故。∈A,若α+6eA,則由A為閉集合，a=（a+b）-h≡A,與矛盾，同理可知

若4+b∈B,b=（a+b）-awB，與5任B矛盾，即可證明；

解析（1