《24.1.3 弧、弦、圓心角》教案、導學案

《24．1.3弧、弦、圓心角》教案【教學目標】1．在實際操作中發(fā)現(xiàn)圓的旋轉不變性．2．結合圖形了解圓心角的概念，學會辨別圓心角．3．能發(fā)現(xiàn)圓心角、弦、弧之間的關系，并會初步運用這些關系解決有關的問題．【教學過程】一、情境導入人類為了獲得健康和長壽，經過不斷的實踐探索，到十九世紀末才提出“生命在于運動”的口號．要健康長壽，更重要的是每天要攝取均衡的營養(yǎng)包括蛋白質、糖類、脂肪、維生素、礦物質、纖維和水．根據中國營養(yǎng)學會公布的“中國居民平衡膳食指南”，每人每日攝取量如圖．你能求出各扇形的圓心角嗎？二、合作探究探究點一：圓心角【類型一】圓心角的識別如圖所示的圓中，下列各角是圓心角的是()A．∠ABCB．∠AOBC．∠OABD．∠OCB解析：根據圓心角的概念，∠ABC、∠OAB、∠OCB的頂點分別是B、A、C，都不是圓心O，因此都不是圓心角．只有B中的∠AOB的頂點在圓心，是圓心角．故選B.方法總結：確定一個角是否是圓心角，只要看這個角的頂點是否在圓心上，頂點在圓心上的角就是圓心角，否則不是．探究點二：圓心角的性質【類型一】利用圓心角的性質求角如圖，已知：AB是⊙O的直徑，C、D是eq\o(BE,\s\up8(︵))的三等分點，∠AOE＝60°，則∠COE的大小是()A．40°B．60°C．80°D．120°解析：∵C、D是eq\o(BE,\s\up8(︵))的三等分點，∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝eq\f(1,3)×(180°－60°)＝40°，∴∠COE＝80°.故選C.方法總結：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．探究點三：圓心角、弦、弧之間的關系【類型一】結合三角形內角和求角如圖所示，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∠B＝70°，則∠A＝________．解析：由eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，得這兩條弧所對的弦AB＝AC，所以∠B＝∠C.因為∠B＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的內角和定理可得∠A的度數為40°.故答案為40°.方法總結：在應用弧、弦、圓心角之間的關系定理時，注意根據具體的需要選擇有關部分，本題只需由兩弧相等，得到兩弦相等就可以了．【類型二】弧相等的簡單證明如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，M，N分別是OA，OB的中點，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分別為M，N.求證：eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).解析：根據圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系，可先證明它們所對的圓心角相等或它們所對的弦相等．證法1：如圖所示，連接OC，OD，則OC＝OD.∵OA＝OB.又M，N分別是OA，OB的中點，∴OM＝ON.又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°.∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴∠1＝∠2.∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).證法2：如圖①所示，分別延長CM，DN交⊙O于點E，F(xiàn).∵OM＝eq\f(1,2)OA，ON＝eq\f(1,2)OB，OA＝OB，∴OM＝ON.又∵OM⊥CE，ON⊥DF，∴CE＝DF，∴eq\o(CE,\s\up8(︵))＝eq\o(DF,\s\up8(︵)).又∵eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\f(1,2)eq\o(CE,\s\up8(︵))，eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\f(1,2)eq\o(DF,\s\up8(︵)).∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).圖①圖②證法3：如圖②所示，連接AC，BD.由證法1，知CM＝DN.又∵AM＝BN，∠AMC＝∠BND＝90°，∴△AMC≌△BND.∴AC＝BD，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).方法歸納：在同圓或等圓中，要證明圓心角、弧、弦、弦心距這四組量中的某一組量相等，通常是轉化成證明另外三組量中的某一組量相等．三、板書設計【教學反思】教學過程中，強調弧、弦、圓心角及弦心距之間的關系，只要確定一組等量關系，其他三組也隨之確定了.《24.1.3弧、弦、圓心角》教案【教學內容】1．圓心角的概念．2．有關弧、弦、圓心角關系的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．3．定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．【教學目標】了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個量的兩個相等就可以推出其它兩個量的相對應的兩個值就相等，及其它們在解題中的應用．通過復習旋轉的知識，產生圓心角的概念，然后用圓心角和旋轉的知識探索在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等，最后應用它解決一些具體問題．【重難點、關鍵】1．重點：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對弦也相等及其兩個推論和它們的應用．2．難點與關鍵：探索定理和推導及其應用．【教學過程】一、復習引入（學生活動）請同學們完成下題．已知△OAB，如圖所示，作出繞O點旋轉30°、45°、60°的圖形．老師點評：繞O點旋轉，O點就是固定點，旋轉30°，就是旋轉角∠BOB′=30°．二、探索新知如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．（學生活動）請同學們按下列要求作圖并回答問題：如圖所示的⊙O中，分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′OB′將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉到∠A′OB′的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系？為什么？=，AB=A′B′理由：∵半徑OA與O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′∴半徑OB與OB′重合∵點A與點A′重合，點B與點B′重合∴與重合，弦AB與弦A′B′重合∴=，AB=A′B′因此，在同一個圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．在等圓中，相等的圓心角是否也有所對的弧相等，所對的弦相等呢？請同學們現(xiàn)在動手作一作．（學生活動）老師點評：如圖1，在⊙O和⊙O′中，分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′O′B′得到如圖2，滾動一個圓，使O與O′重合，固定圓心，將其中的一個圓旋轉一個角度，使得OA與O′A′重合．(1)(2)你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系？說一說你的理由？我能發(fā)現(xiàn)：=，AB=A/B/．現(xiàn)在它的證明方法就轉化為前面的說明了，這就是又回到了我們的數學思想上去呢──化歸思想，化未知為已知，因此，我們可以得到下面的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．同樣，還可以得到：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．（學生活動）請同學們現(xiàn)在給予說明一下．請三位同學到黑板板書，老師點評．例1．如圖，在⊙O中，AB、CD是兩條弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為EF．（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE與OF的大小有什么關系？為什么？（2）如果OE=OF，那么與的大小有什么關系？AB與CD的大小有什么關系？為什么？∠AOB與∠COD呢？分析：（1）要說明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中說明AE=CF，即說明AB=CD，因此，只要運用前面所講的定理即可．（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，又有AO=CO是半徑，∴Rt△AOE≌Rt△COF，∴AE=CF，∴AB=CD，又可運用上面的定理得到=解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF理由是：∵∠AOB=∠COD∴AB=CD∵OE⊥AB，OF⊥CD∴AE=AB，CF=CD∴AE=CF又∵OA=OC∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF（2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD理由是：∵OA=OC，OE=OF∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴AE=CF又∵OE⊥AB，OF⊥CD∴AE=AB，CF=CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴=，∠AOB=∠COD三、鞏固練習教材練習1四、應用拓展例2．如圖3和圖4，MN是⊙O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點P，∠APM=∠CPM．（1）由以上條件，你認為AB和CD大小關系是什么，請說明理由．（2）若交點P在⊙O的外部，上述結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由．(3)(4)分析：（1）要說明AB=CD，只要證明AB、CD所對的圓心角相等，只要說明它們的一半相等．上述結論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的．解：（1）AB=CD理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD，垂足分別為E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF連結OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根據垂徑定理可得：AB=CD（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF連接OA、OB、OC、OD易證Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD五、歸納總結（學生歸納，老師點評）本節(jié)課應掌握：1．圓心角概念．2．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都部分相等，及其它們的應用．六、布置作業(yè)1．教材P94-95復習鞏固4、5、《24.1.3弧、弦、圓心角》導學案學習目標：了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧、弦心距中有一個量的兩個相等就可以推出其它兩個量的相對應的兩個值就相等，及其它們在解題中的應用．一、導學過程：（閱讀教材P82—83,完成課前預習）1、知識準備（1）圓是軸圖形，任何一條所在直線都是它的對稱軸．（2）垂徑定理推論．2、預習導航。（1）圓心角：頂點在的角叫做圓心角。（2）等圓：能夠的圓叫做等圓，同圓或等圓的半徑。（3）弧、弦、弦心距、圓心角的關系：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的相等，所對的弦也．同樣，還可以得到：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的相等，所對的弦也，所對的弦心距也。在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的、、相等．注：同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也。二、課堂練習。1．如果兩個圓心角相等，那么（）A．這兩個圓心角所對的弦相等B．這兩個圓心角所對的弧相等C．這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等D．以上說法都不對2．在同圓中，圓心角∠AOB=2∠COD，則兩條弧AB與CD的關系是（）A.AB=2CDB．AB>2CDC．AB<2CDD．不能確定3.一條弦長恰好為半徑長，則此弦所對的弧是半圓的_________．4．如圖，在⊙O中，AB=AC，∠AOB=60°，求證:∠AOB=∠BOC=∠AOC三、課堂小結在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的相等，所對的弦也．在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的、、相等．四、反饋檢測。1．如圖，⊙O中，如果AB=2CD，那么（）．A．AB=ACB．AB=AC