《24.1.4 圓周角》教案、導學案

《24．1.4圓周角》教案【教學目標】1．掌握圓周角定理及其推論并能應用其進行簡單的計算與證明．2．掌握圓內(nèi)接多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)．3．在探索過程中，體會觀察、猜想的思維方法，在定理的證明過程中，體會化歸和分類討論的數(shù)學思想和歸納的方法．【教學過程】一、情境導入你喜歡看足球比賽嗎？你踢過足球嗎？第十九屆世界杯決賽于2014年在巴西舉行，共有來自世界各地的32支球隊參加賽事，共進行64場比賽決定冠軍隊伍．比賽中如圖所示，甲隊員在圓心O處，乙隊員在圓上C處，丙隊員帶球突破防守到圓上C處，依然把球傳給了甲，你知道為什么嗎？你能用數(shù)學知識解釋一下嗎？二、合作探究探究點一：圓周角定理如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為圓上兩點，∠AOC＝130°，則∠D等于()A．25°B．30°C．35°D．50°解析：本題考查同弧所對圓周角與圓心角的關(guān)系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故選A.探究點二：圓周角定理的推論【類型一】利用圓周角定理的推論求角如圖，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∠A＝30°，則∠B＝()A．150°B．75°C．60°D．15°解析：因為eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，根據(jù)“同弧或等弧所對的圓周角相等”得到∠B＝∠C，因為∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B＝180°，又因為∠A＝30°，所以30°＋2∠B＝180°，解得∠B＝75°，故選B.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，相等的兩條弧所對的圓周角也相等．注意方程思想的應用．如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30°，則∠A的度數(shù)為()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：由BD是直徑得∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°.∵∠A與∠BDC是同弧所對的圓周角，∴∠A＝∠BDC＝60°.故選C.【類型二】利用圓周角定理的推論求線段長如圖所示，點C在以AB為直徑的⊙O上，AB＝10cm，∠A＝30°，則BC的長為________．解析：由AB為⊙O的直徑得∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，因為∠A＝30°，所以BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×10＝5cm.【類型三】利用圓周角定理的推論進行有關(guān)證明如圖所示，已知△ABC的頂點在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑，求證：∠BAE＝∠CAD.解析：連接BE構(gòu)造Rt△ABE，由AD是△ABC的高得Rt△ACD，要證∠BAE＝∠CAD，只要證出它們的余角∠E與∠C相等，而∠E與∠C是同弧AB所對的圓周角．證明：連接BE，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°.∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AB,\s\up8(︵))，∴∠E＝∠C，∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD.方法總結(jié)：涉及直徑時，通常是利用“直徑所對的圓周角是直角”來構(gòu)造直角三角形，并借助直角三角形的性質(zhì)來解決問題．探究點三：圓的內(nèi)接四邊形及性質(zhì)【類型一】利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進行計算如圖，點A，B，C，D在⊙O上，點O在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD＋∠OCD＝________度．解析：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四邊形OABC為平行四邊形，∴∠AOC＝∠B.又由題意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC＝180°÷3＝60°.連接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠D＝60°.【類型二】利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進行證明如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點，延長DC，AB相交于點E.若BC＝BE.求證：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的補角相等，得∠A＝∠BCE，則∠E＝∠A.證明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE.∴∠A＝∠E.∴AD＝DE.∴△ADE是等腰三角形．eq\x(方法總結(jié)：圓內(nèi)接四邊形對角互補.)三、板書設(shè)計【教學反思】教學過程中，強調(diào)圓周角定理得出的理論依據(jù)，使學生熟練掌握并會學以致用．在圓中，利用圓周定理及其推論求相關(guān)的角度時，注意輔助線的添加及多種可能情況的考慮.《24.1.4圓周角》教案第1課時圓周角定理及推論【教學內(nèi)容】1．圓周角的概念．2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弦所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應用．【教學目標】1．了解圓周角的概念．2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．3．理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用．設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運用數(shù)學分類思想給予邏輯證明定理，得出推導，讓學生活動證明定理推論的正確性，最后運用定理及其推導解決一些實際問題．【重難點、關(guān)鍵】1．重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題．2．難點：運用數(shù)學分類思想證明圓周角的定理．3．關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在．【教學過程】一、復習引入（學生活動）請同學們口答下面兩個問題．1．什么叫圓心角？2．圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？老師點評：（1）我們把頂點在圓心的角叫圓心角．（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等．剛才講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問題．二、探索新知問題：如圖所示的⊙O，我們在射門游戲中，設(shè)E、F是球門，設(shè)球員們只能在所在的⊙O其它位置射門，如圖所示的A、B、C點．通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像∠EAF、∠EBF、∠ECF這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題．1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個？2．同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？（學生分組討論）提問二、三位同學代表發(fā)言．老師點評：1．一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個．2．通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對的圓周角是沒有變化的．3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半．下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半．”（1）設(shè)圓周角∠ABC的一邊BC是⊙O的直徑，如圖所示∵∠AOC是△ABO的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC（2）如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側(cè)，那么∠ABC=∠AOC嗎？請同學們獨立完成這道題的說明過程．老師點評：連結(jié)BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．（3）如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側(cè)，那么∠ABC=∠AOC嗎？請同學們獨立完成證明．老師點評：連結(jié)OA、OC，連結(jié)BO并延長交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC現(xiàn)在，我如果在畫一個任意的圓周角∠AB′C，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的．從（1）、（2）、（3），我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．進一步，我們還可以得到下面的推導：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．下面，我們通過這個定理和推論來解一些題目．例1．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？分析：BD=CD，因為AB=AC，所以這個△ABC是等腰，要證明D是BC的中點，只要連結(jié)AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．解：BD=CD理由是：如圖24-30，連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、鞏固練習1．教材P92思考題．2．教材P93練習．四、應用拓展例2．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A、∠B、∠C的對邊分別設(shè)為a，b，c，⊙O半徑為R，求證：===2R．分析：要證明===2R，只要證明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明顯要在直角三角形中進行．證明：連接CO并延長交⊙O于D，連接DB∵CD是直徑∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt△DBC中，sinD=，即2R=同理可證：=2R，=2R∴===2R五、歸納小結(jié)（學生歸納，老師點評）本節(jié)課應掌握：1．圓周角的概念；2．圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都相等這條弧所對的圓心角的一半；3．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．第2課時圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理的綜合運用【教學目標】1.知道圓內(nèi)接多邊形和多邊形的外接圓的意義，知道圓內(nèi)接四邊形的對角互補，會簡單運用這個結(jié)論.2.培養(yǎng)演繹推理能力和識圖能力.【教學重點和難點】1.重點：圓內(nèi)接四邊形的對角互補.2.難點：結(jié)論的證明.【教學過程】（一）基本訓練，鞏固舊知1.填空：如圖，x=.2.填空：如圖，∠BAC=55，∠CAD=45，則∠DBC=，∠BDC=，∠BCD=.3.用三角尺畫出下面這個圓的圓心.（二）創(chuàng)設(shè)情境，導入新課（師出示下面的板書）圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半.推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑.師：（指準板書）前面我們學習了圓周角定理和它的兩個結(jié)論，本節(jié)課我們要學習什么？我們要學習圓周角定理的第三個推論（板書：推論3）.師：推論3怎么說？讓我們先來看下面的問題.（三）嘗試指導，講授新課（師出示下圖）師：（指準圖）這是四邊形ABCD，這個四邊形有一個特點，什么特點？（稍停）這個四邊形的四個頂點，點A，點B，點C，點D都在⊙O上，我們把這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形（板書：四邊形ABCD叫做圓內(nèi)接四邊形），我們還把⊙O叫做四邊形ABCD的外接圓（板書：⊙O叫做四邊形ABCD的外接圓）.師：（出示圓內(nèi)接三角形圖片，并指準）這是一個三角形，這個三角形的所有頂點都在這個圓上，我們把這個三角形叫做圓內(nèi)接三角形，把這個圓叫做這個三角形的外接圓.師：（出示圓內(nèi)接五邊形圖片，并指準）這是五邊形，這個五邊形的所有頂點都在這個圓上，我們把這個五邊形叫做圓內(nèi)接五邊形，把這個圓叫做這個五邊形的外接圓.師：（出示圓內(nèi)接五邊形圖片，并指準）一般地說，如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.師：知道了圓內(nèi)接多邊形的概念，（指黑板上的圓內(nèi)接四邊形）現(xiàn)在我們還是回來看圓內(nèi)接四邊形.師：圓內(nèi)接四邊形有一個重要的性質(zhì)，什么性質(zhì)？圓內(nèi)接四邊形的對角互補（板書：圓內(nèi)接四邊形的對角互補）.師：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，什么意思？（指準圖）就是說，∠A+∠C=180，∠B+∠D=180，（板書：∠A+∠C=180，∠B+∠D=180）.師：用圓周角定理可以推出這個結(jié)論，怎么推？大家自己先想一想（讓生思考片刻）.師：我們一起來證明，（指板書）先證明∠A+∠C=180.師：怎么證明∠A+∠C=180？連結(jié)OB，OD（邊講邊用虛線連結(jié)OB，OD）.師：（把描成紅色，并指準）這條紅弧所對的圓周角是哪個？生：（齊答）∠C.師：紅弧所對的圓周角是∠C（邊講邊用紅筆標∠C），那紅弧所對的圓心角是哪個？生：（齊答）∠BOD.師：紅弧所對的圓心角是∠BOD（邊講邊用紅筆標∠BOD）.師：（把描成黃色，并指準）這條黃弧所對的圓周角是哪個？生：（齊答）∠A.師：黃弧所對的圓周角是∠A（邊講邊用紅筆標∠A），那黃弧所對的圓心角是哪個？生：……師：（指準圖）黃弧所對的圓心角是這個角（邊講邊用黃筆標這個角）.師：（指準圖）根據(jù)圓周角定理，∠A等于這個圓心角的一半，∠C等于這個圓心角的一半，所以∠A+∠C等于這個角加上這個角的一半.這個角加上這個角等于360°，所以∠A+∠C等于360的一半，等于180.師：同樣道理可以證明∠B+∠D=180.師：（指板書）推論3是一個很有用的結(jié)論，下面就請同學們利用這個結(jié)論來做幾個練習.（四）試探練習，回授調(diào)節(jié)4.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A=60，填空：(1)∠BCD=；(2)∠DCE=；(3)∠B+∠D=.5.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BOD=100，則∠BAD=，∠BCD=.（五）嘗試指導，講授新課師：下面我們來看一道例題.（師出示例題）例求證：圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.（師畫出圖形寫出已知求證，然后讓生說證明思路，最后師寫出證明過程，圖形、已知、求證及證明過程如下）已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形.求證：∠DCE=∠A.證明：∵∠DCE+∠BCD=180，又∵∠A+∠BCD=180，∴∠DCE=∠A.（六）歸納小結(jié)，布置作業(yè)師：（指準板書）本節(jié)課我們學習了圓周角定理的推論3，圓內(nèi)接四邊形的對角互補；還學習了一個例題，利用推論3證明了圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.這個結(jié)論像別的定理、推論一樣可以在做題的時候直接拿來用.（作業(yè)：P88習題6.7.）課外補充作業(yè)6.如圖，∠A=30，∠ABC=50，則∠E=，∠D=，∠ACB=.四、板書設(shè)計圓周角定理……圖例推論1……四邊形ABCD叫做圓內(nèi)接四邊形推論2……⊙O叫做四邊形ABCD的外接圓推論3……∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°《24.1.4圓周角》教案教學目標知識和能力過程和方法1、通過觀察、比較，分析了解并證明圓內(nèi)接四邊形對角，發(fā)展學生合情推理能力和演繹推理能力.2、通過觀察圖形，提高學生的識圖能力．3、通過引導學生添加合理的輔助線，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力．情感態(tài)度價值觀在解決問題過程中使學生體會數(shù)學知識在生活中的普遍性．教學重點圓內(nèi)接四邊形對角互補的探索與運用.教學難點論證圓內(nèi)接四邊形對角互補．教學設(shè)計設(shè)計意圖一、復習引入，激發(fā)學生興趣.（1）問題：你能設(shè)法確定一個圓形紙片的圓心嗎？（P87練習2）方法：①利用對稱性，兩次對折紙片找到直徑的交點；②利用“90度的圓周角所對的弦是直徑”找到兩條直徑的交點。（2）練習：如圖，BD是⊙O的直徑，∠ABC=130°則∠ADC=°二、探究圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，培養(yǎng)學生的探究精神.1、圓內(nèi)接多邊形和多邊形內(nèi)接圓的概念，介紹圓內(nèi)接四邊形2、如圖四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，那么其相對的兩個內(nèi)角之間有什么關(guān)系？（觀察復習2，寫出你的猜想）3、證明你的發(fā)現(xiàn).解：發(fā)現(xiàn)：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°理由如下：連接OB,OD在⊙O中，∠A所對的弧為BCD，∠C所對的弧為BAD，又∵BCD與BCD所對的圓心角的度數(shù)之和為360°，∴∠A+∠C=360°=180°.同理：∠B+∠D=180°.4、得出結(jié)論：圓內(nèi)接四邊形對角互補.5、幾何語言：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°三、應用舉例：例1、若四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，則下列選項可能成立的是（）A.∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=1﹕2﹕3﹕4B.∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=2﹕1﹕3﹕4C.∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=3﹕2﹕1﹕4D.∠A﹕∠B﹕∠C﹕∠D=4﹕3﹕2﹕1例2、如圖，點C、D是⊙O上不與點A、B重合的兩點，（1）若∠AOB=70°，則∠ACB=°（2）若∠ACB=130°，求∠AOB的度數(shù).（寫出推理過程）OBOBADC則∠A+∠C=°，∠B+∠ADC=°，若∠B=80°，則∠ADC=，∠CDE=；2、如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠AOC=100°，則∠B=，∠D=；3、四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A：∠C=1:3，則∠A=；4、如圖3，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，∠B=75°，則∠C=°。（寫出推理過程）四、歸納與小結(jié)1、圓內(nèi)接多邊形和多邊形外接圓的概念。2、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)復習圓周角定理及其推論推導論證圓內(nèi)接四邊形的對角互補運用圓內(nèi)接四邊形的對角互補進行計算作業(yè)設(shè)計必做P882,5《24.1.4圓周角》導學案姓名：班級：組別：評定等級【自主學習】（一）復習鞏固：1．圓周角的定義.2．圓周角定理.3.在半徑為R的圓內(nèi)，長為R的弦所對的圓周角為.（二）新知導學1.直徑（或半圓）所對的圓周角是.2.900的圓周角所對的弦是.3.圓的內(nèi)接多邊形，多邊形的內(nèi)接圓。圓內(nèi)接四邊形的對角。【合作探究】如圖，AB是⊙O的直徑，AB=AC，D、E在⊙O上．求證：BD=DE．【自我檢測】1．如圖，AB是⊙O的直徑，∠AOD是圓心角，∠BCD是圓周角．若∠BCD=25°，則∠AOD=．2．如圖，⊙O直徑MN⊥AB于P，∠BMN=30°，則∠AON=．3．如圖，A、B、C是⊙O上三點，∠BAC的平分線AM交BC于點D，交⊙O于點M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，則∠CBM=，∠AMB=．4．如圖，⊙O中，兩條弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半徑＝．5．下列說法正確的是（）A．頂點在圓上的角是圓周角B．兩邊都和圓相交的角是圓周角C．圓心角是圓周角的2倍D．圓周角度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半6．下列說法錯誤的是（）A．等弧所對圓周角相等B．同弧所對圓周角相等C．同圓中，相等的圓周角所對弧也相等．D．同圓中，等弦所對的圓周角相等7．在⊙O中，同弦所對的圓周角（）A．相等B．互補C．相等或互補D．都不對8．如圖，在⊙O中，弦AD=弦DC，則圖中相等的圓周角的對數(shù)是（）A．5對B．6對C．7對D．8對《24.1.4圓周角》導學案學習要求1．理解圓周角的概念．2．掌握圓周角定理及其推論．3．理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，探究四點不共圓的性質(zhì)．課堂學習檢測一、基礎(chǔ)知識填空1．_________在圓上，并且角的兩邊都_________的角叫做圓周角．2．在同一圓中，一條弧所對的圓周角等于_________圓心角的_________．3．在同圓或等圓中，____________所對的圓周角____________．4．_________所對的圓周角是直角．90°的圓周角______是直徑．5．如圖，若五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，則∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．6．如圖，若六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，則∠AED=____