2022-2023學年蘇教版（2019）選擇性必修一第四章 數(shù)列 單元測試卷（含答案）

蘇教版（2019）選擇性必修一第四章數(shù)列單元測試卷

學校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

,

1、用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+〃2=工n∈N,則當〃=Z+1時，左端應在

2

〃=%的基礎上加上()

A.?2+lB.(?+I)2

22

C.(^+1)+(Λ+2)..?+(?+1)p(?+l∕+(?+l∕

2、已知數(shù)列｛α,,｝中，4=1,—?—%1=l("eN"),若%=，?，則m=()

?a,,10

A.8B.9C.10D.11

3、甲、乙兩位旅客乘坐高鐵外出旅游，甲旅客喜歡看風景，需要靠窗的座位；乙旅客

行動不便，希望座位靠過道.已知高鐵二等座的部分座位號碼如圖所示，則下列座位號

碼符合甲、乙兩位旅客要求的是（）

12345

678910

過道

窗口窗口

1112131415

????????????…

A.21,28B.22,29C.23,39D.24,40

4、已知數(shù)列｛α,,｝滿足%+∣=2α,,+2"+∣,則下列結論正確的是（）

A數(shù)列｛畀是公差為!的等差數(shù)列冊

B.數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列

2”

a是公比為L的等比數(shù)列a

C.數(shù)列nD.數(shù)列n是公比為1的等比數(shù)列

2"22"

5、已知數(shù)列｛?！埃凉M足為“+1=a“+a“+2（〃eN*）,且q+4+陽=2兀，則

cos(07+629)=()

I

B

2?4Da

6、我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有如下問題：“今有善走男，日增等里，首日行

走一百里，九日共行一千二百六十里，問日增幾何？”，該問題中，善走男第5日所

走的路程里數(shù)是().

A.110B.120C.130D.140

7、設等差數(shù)列｛α,,｝的公差為d,若”=2冊，則"△<()”是“%<25eN*)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8、若數(shù)列｛%｝滿足a；-α]∣=d(其中d是常數(shù))，則稱數(shù)列｛%｝是“等方差數(shù)列已

知數(shù)列也｝是公差為m的等差數(shù)列，則“以=0”是“也｝是等方差數(shù)列”的().

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

9、在數(shù)列｛%｝中，若q=2,α,+∣=l-，(〃wN)S”是數(shù)列｛4｝的前〃項和，則S2021等

an

于()

A.2022B.2024C.1011D.1012

10、已知數(shù)列｛%｝為無窮數(shù)列，由人個不同的數(shù)構成.若對任意的〃∈N*,S,,∈｛2,3｝,

則女的最大值為()

A.3B.4C.5D.6

二、填空題

11、數(shù)列｛%｝滿足%+∣=5α,+3χ5"",q=6,則數(shù)列｛4｝的通項公式為.

12、已知數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，4=2,an+l-an=-^-,則可=.

13、已知函數(shù)〃X)=舟(XGR),等差數(shù)列｛α,,｝滿足4022=0,則

“4)+"?2)+/&)++/(?4043)=-----------

14、正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S",且有S,=g%+，)，則S,,=.

15、已知α,b,C三個數(shù)成等差數(shù)列，函數(shù)/(X)=2"3Y+1的圖像過定點A,函數(shù)

g(x)=l0g2(x+M的圖像經過點A,則函數(shù)g(x)=log2(x+〃z)的定義域為

16、若數(shù)列｛〃“｝的前幾項和=2"—1,貝!jq%+出4+%/+÷ana,^?-.

三、解答題

17、已知S,,為數(shù)列小的前〃項和，4=1,1｝｝是公差為1的等差數(shù)列.

(1)求｛0,,｝的通項公式；

(2)證明：?L≤J-+JL++-1—<1.

3ata2a2aiana,l+i2

18、已知等差數(shù)列｛αj中a?=7，?=13.

(1)求數(shù)列｛α,,｝的通項公式；

(2)若勿=—5—，是否存在正整數(shù)根，使得",“=2粼+1,若存在，求出機的值；若

6-a“

不存在，說明理由.

19、已知等差數(shù)列｛g,J滿足q=1,且03+α7=18.

(1)求數(shù)列｛α,,｝的通項公式：

(2)設％=」一，求數(shù)列也｝的前〃項和

aa

nn+?

20、已知(l+2x)"的展開式中第2項，第3項，第4項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列.

(1)求〃的值；

(2)求(l+2x)"(l-x)2的展開式中Y的系數(shù).

參考答案

1、答案：C

解析：當"=Z時，等式左端為1+2+3+…+公，

當〃=左+1時，等式左端為1+2+3+…+%2+(F+I)+(F+2)+-+(Z+I)2,

.?.左端應在〃=Z的基礎上加上(公+1)+92+2)+...+(k+1)2.

故選：C.

2、答案：C

解析：依題意，"CN*,-=_L__L=1,而_L=1,

a.+ι?4an+lanal

因此，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，，=l+(〃-l)xl=〃，即

IAJ4

1

an~~'

n

由4”得/”=10,所以Tn=I0.

mm10

故選：C.

3、答案：A

解析：左側窗口的座位號可以構成以1為首項，5為公差的等差數(shù)列{q},其通項為

aπ=5n-4,

靠右側窗口的座位號可以構成以5為首項，5為公差的等差數(shù)列{〃,},其通項為

勿=5〃；

左側過道的座位號可以構成以2為首項，5為公差的等差數(shù)列{%},其通項為

%=5〃-3,

右側過道的座位號可以構成以3為首項，5為公差的等差數(shù)列{d,,},其通項為

dn=5〃-2；

則符合甲旅客要求的是q=5〃-4,bfl=5n;符合甲旅客要求的是C“=5幾-3,

dn=5〃-2；

所以座位號碼符合甲、乙兩位旅客要求的是21,28.

故選：A.

4、答案：B

解析:因為。用=24+2叫

故可得巴號=空+1,...M一殳=1,

2“+∣2"+ι2"+∣’2〃

畀是公差為1的等差數(shù)列.

故選：B.

5、答案：B

解析：由題意知，2a“+]=an+an+2,

由等差數(shù)列的等差中項，得數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列,

2兀

又+%+。]3=2兀，所以4=—，

=—

J9τ以cos(tz7+%)=cos-?-=_cos—.

故選：B.

6、答案：D

解析：由題意設此人第一天走％里，第二天走〃2里，，第〃天走氏里，｛4｝是等差

數(shù)列，首項是4=100,

因為Sg=式號@=生|"=9%=1260,所以生=140.故選：D.

7、答案：C

解析：充分性：若d<0,則α,,+∣-4=4<0,即α,,+∣<α,,,2%，即勿+ι<∕,所

α,wlα

以充分性成立；必要性：若b,+]<b,,，BP2<2",/.an+l<an,則0-a“=d<0,必

要性成立.因此，“d<0”是“限9“”的充要條件.

故選：C.

8、答案：C

解析：若相=0,則也｝為常數(shù)列，滿足f-%=0,所以也｝是等方差數(shù)列，充分性

成立，

因為也｝是等方差數(shù)列，所以b"%=d,則(2+如)(4-如)”，

因為數(shù)列也｝是公差為m的等差數(shù)列，所以b"一”ι=m,

所以+%)=d,由于力+%=2b1+(2M-3)J,

當d/0時，2+dτ=24+(2〃一3”隨著n的改變而改變，

機=—^不是定值，不合要求，

"+hi

當d=0時，d+"τ=2優(yōu)為定值，此時加=0滿足題意，

綜上必要性成立.

故選：C.

9、答案：D

解析：?.?ai=2,4=(，%=—1，4=2，…，

???數(shù)列｛α,,｝是以3為周期的周期數(shù)列.

3

又4+〃2+/=5，2021=3x673+2,

.?.S202ι=673(β1+%+?)+tz1+a2=1012.

故選：D.

10、答案：B

解析：由題意4=2或3,由于S.∈｛2,3｝,則當S〃=2時，%M=0或1,S,,=3時，

%=?；?1，

因此數(shù)列｛%｝,從第2項開始，最多只有3個不同的數(shù)：-1,0,1,只有為可以取2

或取3,因此｛α,J中最多只有4個不同的數(shù)，即％的最大值是4.

故選：B.

9

n

11、答案：an=(3n--y5.

解析：?.?*=5∕+3χ5"+l所以翳喙+3,即制號=3,

??.申是等差數(shù)列，而年=?∣,

所以*=^+3(n-1)=3〃—',

9

所以α,,=(3〃一］)?5".

9

故答案為：a“=(3〃—*5'.

12、答案：2yfii

解析：由題意可得匕「。；=4,才=4,所以數(shù)列｛"｝是以4為首項，4為公差的等差

數(shù)列，所以a；=4+4(〃-1)=4〃，得an=2C.

故答案為：2冊I.

4043

13、答案:

2

γ2-t2*1

解析：/(?)+f(-χ｝=^-+--=^+—!—=1.

J')V,2Λ+12-V+12Λ+12Λ+1

依題意｛可｝是等差數(shù)列，

令S=∕(q)+∕3)+∕(q)++/(a4m3),

S=/(。4043)+/(。4042)+/(β4O4l)++/(。1)，

結合等差數(shù)列的性質，兩式相加得2S=l×4043,S="”.

2

故答案為：幽.

2

14、答案：G

人1,1、

解析：依題思4>0,S=-a+一，

n21n%J

1(1A

當〃=1時，4=—q+—=>4=1,

21aι√

當〃≥2時，25,,=S11-S11^+—?-,Srt+S,τ=—^―，

?n—^3n-?1?n一?M-I

s；-S3=l,所以數(shù)列｛S；｝是首項為S；=a；=l,公差為1的等差數(shù)列,

所以S；=〃，S〃=VEN)

故答案為：Jn

15、答案：(-2,+oo)

解析：因為α,4c成等差數(shù)列，所以20=α+c,

所以/(x)=2WA2)+晨當χ=2時，/(2)=20+l=2,

所以函數(shù)/(x)的圖像過定點A(2,2),

所以g(2)=log2(2+加)=2,解得zn=2,

所以g(x)=log2(x+2)，

令x+2>0,則x>-2

所以函數(shù)g(x)的定義域為(-2,+∞)?

故答案為：(-2,+oo).

,..2×4"-2

16、答aλ案：--------

3

解析：當“=1時，d1=S1=I;當N≥2時，an=Sn-Sl^=2"-2"-',〃=1時也適合，則為

a2(1-4")2(4"-1)2x4"-2

則,Λ+ι=2"τ.2"=gX4"，ala2+a2a,+a,a4++anan+l=

1-433

17、答案：(1)an=2n-?,n≥?

(2)證明見解析

解析：(1)因為4=1,所以S∣=q=19

是公差為1的等差數(shù)列,

n

所以-?=1+(〃-I)XI=

n

故5.=7?,

當〃≥2時，4=S“-S?_,=/_(〃_1)2=2〃-1,

顯然4=1=2x1-1,

所以〃“=2〃-1,n≥l.

⑵_L.=______!_____=Ip______k?

anall^(2/7—1)(2∏+1)2?2n-12n+l)

Il??I.111

所以----1--------------FH---------------=-1-—+———+…?+---------------

aaaa

?2生〃3nn+?2(3352/?-12/1+1

=L1，11

2I2?+12^2(2π+l)

隨著〃的變大’『彘品變大‘故當I時'?1

取得最小值,

22(2w+l)

最小值為!一,=L1且T一騎扁

263

,,11111

?-<——+——++-------<-.

3ol02a2a3“M,+ι2

18、答案：（1）?！?2〃+3

（2）不存在，理由見解析

解析：（1）設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

由L=7,

α1+4J=13

得4=5,d=2,

所以α,,=5+